Powtórzenie do sprawdzianu (RÓWNANIA)
Instrukcja dla ucznia
- Nawigacja: Używaj ponumerowanych przycisków na górze, aby przełączać się między zadaniami.
- Rozwiązywanie: Wybierz jedną odpowiedź (lub kilka w zadaniach typu Prawda/Fałsz). Po dokonaniu wyboru nie można go zmienić.
- Punktacja: Każde zadanie jest warte 1 pkt. W zadaniach złożonych (np. 2 lub 3 części) punkt otrzymasz tylko za poprawne rozwiązanie wszystkich części.
- Pomoc: Po udzieleniu odpowiedzi pojawi się przycisk "Pokaż/ukryj rozwiązanie". Skorzystaj z niego, aby przeanalizować tok rozumowania, zwłaszcza jeśli popełniłeś błąd.
- Twój cel: Staraj się najpierw rozwiązać zadanie na kartce, a dopiero potem zaznaczyć odpowiedź w quizie.
Wynik testu: 0%
O liczbie \(x\) wiadomo, że jest \(5\) razy większa od swojego kwadratu. Warunek ten można zapisać za pomocą równania:
Jeśli wielokąt ma \(n\) boków, to liczbę jego przekątnych obliczamy ze wzoru: \(\frac{n(n-3)}{2}\).
1. Wielokąt o 20 bokach ma:
2. Równanie dla wielokąta o 35 przekątnych:
2. Podstawiamy \(35\) pod wynik wzoru: \(\frac{x(x-3)}{2} = 35\) (Odp: D)
Ania ma \(x\) złotych. Gdyby miała trzy razy więcej pieniędzy, niż ma teraz, to miałaby o \(10\) zł więcej niż połowa kwoty, którą ma teraz. Tę sytuację opisuje równanie:
Równanie: \[3x = x : 2 + 10\] Poprawna odpowiedź: D.
Jednym z rozwiązań równania \(n^2 + n = 2\) jest liczba:
- Dla \(n = 1\): \(1^2 + 1 = 1 + 1 = 2\). Lewa strona równania równa się prawej.
- Dla pozostałych opcji (0, 2, -1) wynik nie będzie równy 2.
Rozwiązaniem równania \(x^2 = x + 2\):
- Dla \(x = -1\): \((-1)^2 = 1\), a \(x + 2 = -1 + 2 = 1\). Lewa strona równa się prawej (\(1 = 1\)).
- Dla \(x = 2\): \(2^2 = 4\), a \(x + 2 = 2 + 2 = 4\). Lewa strona równa się prawej (\(4 = 4\)).
- Dla \(x = 1\): \(1^2 = 1\), a \(x + 2 = 1 + 2 = 3\). Sprzeczność (\(1 \neq 3\)).
Poprawna odpowiedź: C.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F — jeśli jest fałszywe.
| Rozwiązaniem równania \(2(x - 1) - 3(x - 2) = 2\) jest liczba 2. | |
| Liczba 3 spełnia równanie \(\frac{3x + 1}{2} - 5 = 0\). | |
| Liczba -6 nie jest rozwiązaniem równania \(4x + 25 = -11 - 2x\). |
2. \(\frac{3\cdot3 + 1}{2} - 5 = \frac{10}{2} - 5 = 5 - 5 = 0\). Zgadza się! (P)
3. Sprawdźmy \(x = -6\): \(4(-6)+25 = -24+25 = 1\). Prawa strona: \(-11-2(-6) = -11+12 = 1\). Skoro \(1=1\), to -6 jest rozwiązaniem, więc zdanie mówiące, że "nie jest", to fałsz. (F)
Spośród rozwiązań danych równań najmniejszą liczbą jest rozwiązanie równania:
- A: \(6x = -9 - 3 \Rightarrow 6x = -12 \Rightarrow x = -2\)
- B: \(6x = 9 + 3 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2\)
- C: \(-6x = -9 + 3 \Rightarrow -6x = -6 \Rightarrow x = 1\)
- D: \(-6x = 9 - 3 \Rightarrow -6x = 6 \Rightarrow x = -1\)
Poprawna odpowiedź: A.
Dane są cztery równania zaprezentowane w poniższej tabeli:
| I | II | III | IV |
| \(2x + 3 - x = 2 + x\) | \(x + 2 = 2(2x + 1)\) | \(3(x - 2) = -6 + 3x\) | \(3 - 2x = 2x - 3\) |
Ile spośród tych równań ma nieskończenie wiele rozwiązań?
- Równanie I: \(x + 3 = 2 + x \Rightarrow 3 = 2\) (Sprzeczne - 0 rozwiązań)
- Równanie II: \(x + 2 = 4x + 2 \Rightarrow -3x = 0 \Rightarrow x = 0\) (Oznaczone - 1 rozwiązanie)
- Równanie III: \(3x - 6 = -6 + 3x \Rightarrow -6 = -6\) (Tożsamościowe - nieskończenie wiele rozwiązań)
- Równanie IV: \(3 - 2x = 2x - 3 \Rightarrow 6 = 4x \Rightarrow x = 1,5\) (Oznaczone - 1 rozwiązanie)
Poprawna odpowiedź: A.
Którym z podanych wyrażeń należy zastąpić literę \(a\) w równaniu \(5x - 2 = a\), aby otrzymane równanie było sprzeczne?
- A: \(5x - 2 = 5x - 2 \Rightarrow 0 = 0\) (Nieskończenie wiele rozwiązań).
- B: \(5x - 2 = -5x + 2 \Rightarrow 10x = 4\) (Jedno rozwiązanie).
- C: \(5x - 2 = 5x \Rightarrow -2 = 0\) (Sprzeczność – brak rozwiązań).
- D: \(5x - 2 = 5a - 2\) (Równanie z dwiema zmiennymi).
Którym z podanych wyrażeń należy zastąpić literę \(a\) w równaniu \(a + x = 3x - 2\), aby otrzymane równanie było tożsamościowe?
Sprawdźmy opcję A: \[(2x - 2) + x = 3x - 2\] \[3x - 2 = 3x - 2\] Obie strony są identyczne, więc równanie jest tożsamościowe.
Poprawna odpowiedź: A.
Czworo uczniów przekształcało równania. Zapoznaj się z ich wynikami w poniższej tabeli:
| Ala | Tomek |
|
\(-12x + 4 = -20\) \(3x - 1 = 5\) |
\(8 - x = \frac{1}{2}x\) \(16 - x = x\) |
| Jadzia | Olek |
|
\(2 - 3x = 5x\) \(-8x = -2\) |
\(8x - 3 - 5x = 0\) \(3x = 3\) |
Kto poprawnie przekształcił równanie?
- Ala: Podzieliła obie strony przez \(-4\). \((-12x):(-4)=3x\), \(4:(-4)=-1\), \((-20):(-4)=5\). Poprawnie.
- Tomek: Pomnożył obie strony przez \(2\). \(2 \cdot 8 = 16\), ale zapomniał pomnożyć \(-x\). Powinno być \(16 - 2x = x\). Błędnie.
- Jadzia: Przeniosła \(5x\) na lewą stronę i \(2\) na prawą stronę ze zmianą znaków. \(-3x - 5x = -2 \Rightarrow -8x = -2\). Poprawnie.
- Olek: Wykonał redukcję wyrazów podobnych \(8x - 5x = 3x\) i przeniósł \(-3\) na prawą stronę. Poprawnie.
Poprawna odpowiedź: D.
Troje uczniów rozwiązywało równanie \(6(3 - x) = 3x\). Każdy zrobił to inaczej:
| Darek | Basia | Andrzej |
|
\(6(3 - x) = 3x\) \(18 - 6x = 3x\) \(12x = 3x\) \(9x = 0\) \(x = 0\) |
\(6(3 - x) = 3x\) \(2(3 - x) = x\) \(6 - 2x = x\) \(6 = 3x\) \(x = 2\) |
\(6(3 - x) = 3x\) \(18 - 6x = 3x\) \(-9x = 18\) \(x = -2\) |
Przeczytaj komentarze uczniów i oceń ich prawdziwość (P/F):
| Andrzej: Wszyscy rozwiązaliśmy równanie poprawnie. Po prostu ma ono trzy rozwiązania. | |
| Basia: Darek popełnił błąd, ponieważ \(18 - 6x\) nie jest równe \(12x\). | |
| Darek: Rozwiązanie Andrzeja jest poprawne, ponieważ liczba \(-2\) spełnia równanie. |
- Równanie: \(18 - 6x = 3x \Rightarrow 18 = 9x \Rightarrow x = 2\). Tylko Basia rozwiązała je poprawnie.
- Andrzej: Myli się, równanie liniowe tego typu ma tylko jedno rozwiązanie. (F)
- Basia: Ma rację, Darek błędnie połączył liczbę z niewiadomą (\(18 - 6x \neq 12x\)). (P)
- Darek: Myli się, podstawienie \(-2\): \(6(3 - (-2)) = 6(5) = 30\), natomiast \(3(-2) = -6\). \(30 \neq -6\). (F)
Na podstawie opisu miar kątów wewnętrznych w dwóch figurach, oblicz różnicę między kątami \(\alpha\) i \(x\):
- Trójkąt: posiada dwa kąty o mierze \(x\) oraz jeden kąt o mierze \(x + 60^\circ\).
- Czworokąt: posiada trzy kąty o mierze \(\alpha\) oraz jeden kąt o mierze \(\alpha + 60^\circ\).
Różnica między miarami kątów \(\alpha\) i \(x\) to:
\(x + x + (x + 60^\circ) = 180^\circ\)
\(3x + 60^\circ = 180^\circ\)
\(3x = 120^\circ \Rightarrow x = 40^\circ\)
Krok 2: Obliczamy \(\alpha\) (suma kątów w czworokącie = \(360^\circ\)):
\(\alpha + \alpha + \alpha + (\alpha + 60^\circ) = 360^\circ\)
\(4\alpha + 60^\circ = 360^\circ\)
\(4\alpha = 300^\circ \Rightarrow \alpha = 75^\circ\)
Krok 3: Różnica:
\(75^\circ - 40^\circ = 35^\circ\)
Poprawna odpowiedź: B.
Obwód kwadratu jest o 6 cm większy od długości jego boku. Pole tego kwadratu wynosi:
Krok 1: Wyznaczamy długość boku:
Z treści zadania wiemy, że: \(4a = a + 6\)
Przenosimy \(a\) na lewą stronę: \(3a = 6\)
Dzielimy przez 3: \(a = 2 \text{ cm}\)
Krok 2: Obliczamy pole kwadratu:
\(P = a^2\)
\(P = 2^2 = 4 \text{ cm}^2\)
Poprawna odpowiedź: B.
Jeden z boków trójkąta jest o 4 cm krótszy od najdłuższego boku i o 5 cm dłuższy od najkrótszego boku. Obwód tego trójkąta wynosi 34 cm. Dokończ poniższe zdania:
1. Jeżeli literą \(x\) oznaczamy długość średniego boku trójkąta, to zależność opisuje równanie:
2. Jeżeli literą \(x\) oznaczamy długość najkrótszego boku trójkąta, to zależność opisuje równanie:
- Sytuacja 1 (x = średni bok): Najdłuższy jest o 4 cm większy od średniego (\(x+4\)), a najkrótszy o 5 cm mniejszy od średniego (\(x-5\)). Suma: \(x + (x+4) + (x-5) = 34\). (Odpowiedź B)
- Sytuacja 2 (x = najkrótszy bok): Średni jest o 5 cm większy od najkrótszego (\(x+5\)). Najdłuższy jest o 4 cm większy od średniego, czyli \((x+5)+4 = x+9\). Suma: \(x + (x+5) + (x+9) = 34\). (Odpowiedź D)
Figury układane są z patyczków według następującej reguły:
- Figura 1: składa się z 2 patyczków (tworzą kształt ">").
- Każda kolejna figura: powstaje przez dołożenie 3 patyczków do poprzedniej (tworząc wydłużający się "łańcuszek").
Liczbę patyczków w figurze o numerze \(n\) opisuje wzór: \(L = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1\).
Odpowiedz na poniższe pytania:
1. Z ilu patyczków będzie składała się figura o numerze 10?
2. Która w kolejności figura będzie składała się ze 125 patyczków?
3. Czy według tej reguły można ułożyć figurę składającą się ze 136 patyczków?
Ad 1: Dla \(n=10\): \(L = 3 \cdot 10 - 1 = 30 - 1 = 29\). (Odpowiedź A)
Ad 2: Szukamy \(n\), dla którego \(3n - 1 = 125\):
\(3n = 126 \Rightarrow n = 42\). (Odpowiedź D)
Ad 3: Sprawdzamy równanie \(3n - 1 = 136\):
\(3n = 137\). Liczba 137 nie dzieli się przez 3 bez reszty, więc taka figura nie istnieje. (Odpowiedź F)
Poprawna sekwencja: A, D, F.
Równanie \(0,6x = 8\) można zinterpretować jako:
- Liczba \(0,6\) to ułamkowy zapis 60% (ponieważ \(0,6 = \frac{60}{100}\)).
- Znak mnożenia (domyślny między \(0,6\) a \(x\)) w zadaniach tekstowych często zastępujemy przyimkiem "z" lub "liczby".
- Znak \(=\) interpretujemy jako "równa się" lub "wynosi".
Poprawna odpowiedź: C.
Janek oszczędza na rower. Miał już 20% potrzebnej sumy, ale wydał 10% swoich oszczędności. Zostało mu 135 zł. Ile kosztuje rower, na który oszczędza Janek?
Janek wydał 10% swoich oszczędności, więc zostało mu 90% tej kwoty.
90% oszczędności = 135 zł
0,9 · oszczędności = 135
oszczędności = 135 : 0,9 = 150 zł (Tyle miał przed wydatkami).
Krok 2: Obliczamy cenę roweru.
Wiemy, że te 150 zł to było 20% ceny roweru.
20% ceny = 150 zł
0,2 · cena = 150
cena = 150 : 0,2 = 750 zł.
Poprawna odpowiedź: B.
W wodzie o masie $x$ (gramów) rozpuszczono 30 g soli i otrzymano roztwór dziesięcioprocentowy. Masę wody można wyznaczyć z równania:
* Masa soli = $30\text{ g}$
* Masa wody = $x$
* Masa całego roztworu = masa soli + masa wody = $30 + x$
* Stężenie roztworu = $10\% = 0,1$
Wzór na stężenie to: $$\frac{\text{masa substancji}}{\text{masa roztworu}} = \text{stężenie}$$ Podstawiając nasze dane, otrzymujemy równanie: $$\frac{30}{30 + x} = 0,1$$ Poprawna odpowiedź: B.
W 200 g roztworu jest 30 g soli. Aby obliczyć masę wody (w gramach), jaką trzeba dolać do roztworu, żeby otrzymać roztwór dziesięcioprocentowy, można skorzystać z równania:
* Początkowa masa roztworu = $200\text{ g}$
* Masa soli (nie zmienia się) = $30\text{ g}$
* Masa dolanej wody = $x$
* Nowa masa roztworu = $200 + x$
* Docelowe stężenie = $10\% = 0,1$
Stosujemy wzór na stężenie procentowe: $$\frac{\text{masa substancji}}{\text{nowa masa roztworu}} = \text{stężenie}$$ Podstawiamy dane: $$\frac{30}{200 + x} = 0,1$$ Poprawna odpowiedź: C.
Czworo uczniów przekształcało równania. Kto poprawnie przekształcił równanie?
* Ala: $-12x + 4 = -20 \Rightarrow -12x = -24 \Rightarrow x = 2$. Drugie: $3x - 1 = 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. (TAK)
* Tomek: $8 - x = \frac{1}{2}x \Rightarrow 8 = 1,5x \Rightarrow x = 5\frac{1}{3}$. Drugie: $16 - x = x \Rightarrow 16 = 2x \Rightarrow x = 8$. (NIE)
* Jadzia: $2 - 3x = 5x \Rightarrow 2 = 8x$. Drugie: $-8x = -2$. (TAK - to to samo równanie pomnożone przez -1)
* Olek: $8x - 3 - 5x = 0 \Rightarrow 3x = 3$. (TAK)
Poprawnie: Ala, Jadzia i Olek. Odpowiedź: D.
W trójkącie i czworokącie dane są kąty jak na rysunku. Różnica między miarami kątów $\alpha$ i $x$ to:
2. Czworokąt: $\alpha + \alpha + \alpha + (\alpha + 60°) = 360° \Rightarrow 4\alpha = 300° \Rightarrow \alpha = 75°$.
3. Różnica: Nie pasuje do opcji? Sprawdźmy sumę kątów czworokąta: $4\alpha = 300 \Rightarrow \alpha = 75$. $75 - 40 = 35$.
Uwaga: Na schemacie czworokąta suma wynosi 360°. Wynik to 35° (B), ale grafika sugeruje 60° (D) jeśli liczyć różnicę $x+60$ a $x$. Poprawna matematycznie różnica $\alpha - x = 35°$.
Jarek przekształcał wzór $3a = \frac{b}{c}$ na różne sposoby. Ile z tych przekształceń ($a = \frac{b}{3c}$, $b = 3ac$, $c = \frac{b}{3a}$) jest prawidłowych?
Wzór wyjściowy: $3a = \frac{b}{c}$
1. $a = \frac{b}{3c}$ - Poprawne (obie strony podzielone przez 3).
2. $b = 3ac$ - Poprawne (obie strony pomnożone przez $c$).
3. $c = \frac{b}{3a}$ - Poprawne (zamiana miejscami $c$ oraz $3a$).
Wszystkie trzy przekształcenia są prawidłowe.
Komentarze
Prześlij komentarz