🎲 Zadanie 9: Prawdopodobieństwo
W pierwszym pojemniku jest 7 kul białych i 13 czarnych. W drugim pojemniku jest 15 kul białych i 20 czarnych.
Ile jeszcze kul białych ($x$) i ile czarnych ($y$) należy dołożyć do drugiego pojemnika, aby prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z obu pojemników było takie samo?
Dołożyć kul białych:
Dołożyć kul czarnych:
Rozwiązanie przy użyciu prawdopodobieństwa:
1. Obliczamy prawdopodobieństwo dla pierwszego pojemnika ($P_1$): $$P_1 = \frac{7}{7 + 13} = \frac{7}{20}$$ 2. Układamy równanie dla drugiego pojemnika po dołożeniu $x$ kul białych i $y$ kul czarnych: $$P_2 = \frac{15 + x}{(15 + 20) + x + y} = \frac{15 + x}{35 + x + y}$$ 3. Chcemy, aby $P_1 = P_2$, czyli: $$\frac{7}{20} = \frac{15 + x}{35 + x + y}$$ 4. Rozszerzamy ułamek $\frac{7}{20}$ tak, aby licznik był większy niż 15 (obecna liczba kul białych): $$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{21}{60}$$ 5. Porównujemy liczniki i mianowniki: $$15 + x = 21 \implies x = 6$$ $$35 + 6 + y = 60 \implies 41 + y = 60 \implies y = 19$$
Odp: Należy dołożyć 6 kul białych i 19 czarnych.
1. Obliczamy prawdopodobieństwo dla pierwszego pojemnika ($P_1$): $$P_1 = \frac{7}{7 + 13} = \frac{7}{20}$$ 2. Układamy równanie dla drugiego pojemnika po dołożeniu $x$ kul białych i $y$ kul czarnych: $$P_2 = \frac{15 + x}{(15 + 20) + x + y} = \frac{15 + x}{35 + x + y}$$ 3. Chcemy, aby $P_1 = P_2$, czyli: $$\frac{7}{20} = \frac{15 + x}{35 + x + y}$$ 4. Rozszerzamy ułamek $\frac{7}{20}$ tak, aby licznik był większy niż 15 (obecna liczba kul białych): $$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{21}{60}$$ 5. Porównujemy liczniki i mianowniki: $$15 + x = 21 \implies x = 6$$ $$35 + 6 + y = 60 \implies 41 + y = 60 \implies y = 19$$
Odp: Należy dołożyć 6 kul białych i 19 czarnych.
Komentarze
Prześlij komentarz