Zadanie 18. (0-2 pkt)
🔍 Kliknij, aby powiększyć
Trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), podzielono na trójkąt \(ABD\) oraz dwa trójkąty równoramienne \(ADC\) i \(BCD\). Kąt między ramionami trójkąta \(ABC\) ma miarę \(30^\circ\).
Uzasadnij, że trójkąt \(ABD\) jest równoboczny.
Zastanów się nad miarami kątów w trójkątach równoramiennych
\(ADC\) i \(BCD\).
Dowód:
1. Skoro \(\triangle ADC\) i \(\triangle BCD\) są równoramienne, a kąt przy wierzchołku \(C\) wynosi \(30^\circ\), to kąty przy ich podstawach wynoszą:
\[\angle CAD = \angle ACD = 15^\circ\] \[\angle CBD = \angle BCD = 15^\circ\]
2. Miara kąta \(\angle ADC\) (oraz \(\angle BDC\)):
\[\angle ADC = 180^\circ - 2 \cdot 15^\circ = 150^\circ\]
3. Miara kąta \(\angle ADB\) (wokół punktu \(D\)):
\[\angle ADB = 360^\circ - 2 \cdot 150^\circ = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\]
4. Obliczamy kąty przy podstawie głównego trójkąta \(ABC\):
\[\angle BAC = (180^\circ - 30^\circ) : 2 = 75^\circ\]
5. Wyznaczamy kąt \(\angle BAD\):
\[\angle BAD = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ\]
6. Ponieważ w trójkącie \(ABD\) dwa kąty mają miarę \(60^\circ\) (\(\angle ADB\) oraz \(\angle BAD\)), to trzeci kąt również musi mieć \(60^\circ\).
Wniosek: Trójkąt \(ABD\) ma wszystkie kąty o mierze \(60^\circ\), zatem jest trójkątem równobocznym.
1. Skoro \(\triangle ADC\) i \(\triangle BCD\) są równoramienne, a kąt przy wierzchołku \(C\) wynosi \(30^\circ\), to kąty przy ich podstawach wynoszą:
\[\angle CAD = \angle ACD = 15^\circ\] \[\angle CBD = \angle BCD = 15^\circ\]
2. Miara kąta \(\angle ADC\) (oraz \(\angle BDC\)):
\[\angle ADC = 180^\circ - 2 \cdot 15^\circ = 150^\circ\]
3. Miara kąta \(\angle ADB\) (wokół punktu \(D\)):
\[\angle ADB = 360^\circ - 2 \cdot 150^\circ = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\]
4. Obliczamy kąty przy podstawie głównego trójkąta \(ABC\):
\[\angle BAC = (180^\circ - 30^\circ) : 2 = 75^\circ\]
5. Wyznaczamy kąt \(\angle BAD\):
\[\angle BAD = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ\]
6. Ponieważ w trójkącie \(ABD\) dwa kąty mają miarę \(60^\circ\) (\(\angle ADB\) oraz \(\angle BAD\)), to trzeci kąt również musi mieć \(60^\circ\).
Wniosek: Trójkąt \(ABD\) ma wszystkie kąty o mierze \(60^\circ\), zatem jest trójkątem równobocznym.
Komentarze
Prześlij komentarz