Szymon kupił \( 3,2 \text{ kg} \) śrub za \( 48 \text{ zł} \). Masa jednej śruby jest równa \( 80 \text{ g} \).
Ile kosztuje 15 śrub? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile kosztuje 15 śrub? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
1. Zamiana jednostek
$$ 3,2 \text{ kg} = 3200 \text{ g} $$
2. Obliczenie liczby śrub
$$ 3200 \text{ g} : 80 \text{ g} = 40 \text{ sztuk} $$
3. Obliczenie ceny (metoda proporcji)
\( 40 \text{ szt.} \) kosztuje \( 48 \text{ zł} \) | \( : 4 \)
\( 10 \text{ szt.} \) kosztuje \( 12 \text{ zł} \) | \( : 2 \)
\( 5 \text{ szt.} \) kosztuje \( 6 \text{ zł} \) | \( \cdot 3 \)
\( 15 \text{ szt.} \) kosztuje \( 18 \text{ zł} \)
Odpowiedź: Prawidłowy wybór to A (18 zł).
\( 10 \text{ szt.} \) kosztuje \( 12 \text{ zł} \) | \( : 2 \)
\( 5 \text{ szt.} \) kosztuje \( 6 \text{ zł} \) | \( \cdot 3 \)
\( 15 \text{ szt.} \) kosztuje \( 18 \text{ zł} \)
Odpowiedź: Prawidłowy wybór to A (18 zł).
✏️ 📚 📐
W pudełku znajduje się 6 kul białych, 8 czarnych i 10 zielonych. Razem są \( 24 \) kule.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz C i D.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz C i D.
Jeśli dorzucimy do tego pudełka 6 kul białych, to kule białe będą stanowiły...
Jeśli wyjmiemy z pudełka ... kule czarne, to kule czarne będą stanowiły 20% wszystkich pozostałych kul.
Część 1: Obliczanie procentu kul białych
Początkowa liczba kul: \( 6 + 8 + 10 = 24 \).
Po dodaniu 6 białych, mamy \( 12 \) kul białych i \( 24 + 6 = 30 \) wszystkich kul.
$$ \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = \frac{40}{100} = 40\% $$ Poprawna odpowiedź: A. Część 2: Obliczanie liczby wyjętych kul czarnych Przyjmijmy \( x \) jako liczbę wyjętych kul czarnych.
Nowa liczba kul czarnych: \( 8 - x \).
Nowa liczba wszystkich kul: \( 24 - x \).
Czarne mają stanowić \( 20\% \), czyli \( \frac{1}{5} \) całości:
$$ \frac{8 - x}{24 - x} = \frac{1}{5} $$ $$ 5(8 - x) = 24 - x $$ $$ 40 - 5x = 24 - x $$ $$ 16 = 4x \implies x = 4 $$ Poprawna odpowiedź: D.
Ostateczna odpowiedź: AD
Po dodaniu 6 białych, mamy \( 12 \) kul białych i \( 24 + 6 = 30 \) wszystkich kul.
$$ \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = \frac{40}{100} = 40\% $$ Poprawna odpowiedź: A. Część 2: Obliczanie liczby wyjętych kul czarnych Przyjmijmy \( x \) jako liczbę wyjętych kul czarnych.
Nowa liczba kul czarnych: \( 8 - x \).
Nowa liczba wszystkich kul: \( 24 - x \).
Czarne mają stanowić \( 20\% \), czyli \( \frac{1}{5} \) całości:
$$ \frac{8 - x}{24 - x} = \frac{1}{5} $$ $$ 5(8 - x) = 24 - x $$ $$ 40 - 5x = 24 - x $$ $$ 16 = 4x \implies x = 4 $$ Poprawna odpowiedź: D.
Ostateczna odpowiedź: AD
✏️ 📚 📐
Dane są cztery wyrażenia:
I. \( -15,947 + 3\frac{5}{6} \quad \) II. \( -15,947 \cdot 3\frac{5}{6} \quad \) III. \( -15,947 - 3\frac{5}{6} \quad \) IV. \( -15,947 : 3\frac{5}{6} \)
Które z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz właściwą odpowiedź.
I. \( -15,947 + 3\frac{5}{6} \quad \) II. \( -15,947 \cdot 3\frac{5}{6} \quad \) III. \( -15,947 - 3\frac{5}{6} \quad \) IV. \( -15,947 : 3\frac{5}{6} \)
Które z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz właściwą odpowiedź.
1. Szacowanie wartości wyrażeń
Przyjmijmy przybliżenie \( -15,947 \approx -16 \) oraz \( 3\frac{5}{6} \approx 4 \):
* I: \( -16 + 4 \approx -12 \)
* II: \( -16 \cdot 4 \approx -64 \) (duża liczba ujemna)
* III: \( -16 - 4 \approx -20 \)
* IV: \( -16 : 4 \approx -4 \)
2. Porządkowanie wyników Pamiętamy, że w liczbach ujemnych największa jest ta, która leży najbliżej zera:
$$ -64 < -20 < -12 < -4 $$ Zatem: \( II < III < I < IV \).
Największą wartość ma wyrażenie IV.
Odpowiedź: D
* I: \( -16 + 4 \approx -12 \)
* II: \( -16 \cdot 4 \approx -64 \) (duża liczba ujemna)
* III: \( -16 - 4 \approx -20 \)
* IV: \( -16 : 4 \approx -4 \)
2. Porządkowanie wyników Pamiętamy, że w liczbach ujemnych największa jest ta, która leży najbliżej zera:
$$ -64 < -20 < -12 < -4 $$ Zatem: \( II < III < I < IV \).
Największą wartość ma wyrażenie IV.
Odpowiedź: D
✏️ 📚 📐
W pewnym sklepie papierniczym ołówki można kupić pojedynczo, w zestawie po dwa lub po trzy. Ofertę zapisano w tabeli:
Tomek rozważa trzy warianty zakupu 10 ołówków:
Wariant A: 5 zestawów po 2 ołówki.
Wariant B: 3 zestawy po 3 ołówki i jeszcze jeden ołówek.
Wariant C: 2 zestawy po 3 ołówki i 2 zestawy po 2 ołówki.
| Rodzaj | Cena |
|---|---|
| Jeden ołówek | 0,95 zł |
| Zestaw dwóch ołówków | 1,85 zł |
| Zestaw trzech ołówków | 2,75 zł |
Wariant A: 5 zestawów po 2 ołówki.
Wariant B: 3 zestawy po 3 ołówki i jeszcze jeden ołówek.
Wariant C: 2 zestawy po 3 ołówki i 2 zestawy po 2 ołówki.
1. Wariant A jest o 5 groszy droższy od wariantu C.
2. Wariant B kosztuje tyle samo co wariant C.
Rozwiązanie:
A: \( 5 \cdot 1,85 = 9,25 \)
B: \( 3 \cdot 2,75 + 0,95 = 9,20 \)
C: \( 2 \cdot 2,75 + 2 \cdot 1,85 = 9,20 \)
1. P (9,25 jest o 0,05 większe od 9,20)
2. P (9,20 = 9,20)
A: \( 5 \cdot 1,85 = 9,25 \)
B: \( 3 \cdot 2,75 + 0,95 = 9,20 \)
C: \( 2 \cdot 2,75 + 2 \cdot 1,85 = 9,20 \)
1. P (9,25 jest o 0,05 większe od 9,20)
2. P (9,20 = 9,20)
✏️ 📚 📐
W słoiku znajdowało się 100 kolorowych cukierków. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany z tego słoika cukierek będzie czerwony, wynosiło \( \frac{1}{5} \). Do słoika dosypano tyle czerwonych cukierków, że liczba czerwonych cukierków w słoiku się podwoiła.
Teraz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany z tego słoika cukierek będzie czerwony, jest równe:
Teraz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany z tego słoika cukierek będzie czerwony, jest równe:
Rozwiązanie:
Początkowa liczba czerwonych: \( P_{c} = \frac{1}{5} \), więc \( \frac{1}{5} \cdot 100 = 20 \)
Czerwone po dosypaniu: \( 20 \cdot 2 = 40 \)
Nowa łączna liczba cukierków: \( 100 + 20 = 120 \)
Nowe prawdopodobieństwo: \( P_{c} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \)
Odpowiedź: B
Początkowa liczba czerwonych: \( P_{c} = \frac{1}{5} \), więc \( \frac{1}{5} \cdot 100 = 20 \)
Czerwone po dosypaniu: \( 20 \cdot 2 = 40 \)
Nowa łączna liczba cukierków: \( 100 + 20 = 120 \)
Nowe prawdopodobieństwo: \( P_{c} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \)
Odpowiedź: B
✏️ 📚 📐
Miesiąc temu krzew miał 120 cm wysokości, a teraz ma 150 cm. Ogrodnik ma zamiar przyciąć ten krzew tak, by znów miał 120 cm wysokości.
1. Krzew ma obecnie wysokość o 20% większą od wysokości sprzed miesiąca.
2. Ogrodnik postanowił zmniejszyć wysokość krzewu o 25% obecnej wysokości.
Rozwiązanie:
Wcześniej: 120 cm, Obecnie: 150 cm.
1) Przyrost procentowy: \( \frac{150-120}{120} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 25\% \).
Zdanie mówi o 20%, więc jest to FAŁSZ (F).
2) Planowane zmniejszenie: Krzew ma 150 cm, ma mieć 120 cm. Trzeba uciąć 30 cm.
Jaki to procent obecnej wysokości? \( \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 20\% \).
Zdanie mówi o 25%, więc jest to FAŁSZ (F).
Odpowiedź: FF
Wcześniej: 120 cm, Obecnie: 150 cm.
1) Przyrost procentowy: \( \frac{150-120}{120} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 25\% \).
Zdanie mówi o 20%, więc jest to FAŁSZ (F).
2) Planowane zmniejszenie: Krzew ma 150 cm, ma mieć 120 cm. Trzeba uciąć 30 cm.
Jaki to procent obecnej wysokości? \( \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 20\% \).
Zdanie mówi o 25%, więc jest to FAŁSZ (F).
Odpowiedź: FF
✏️ 📚 📐
Wartość którego z poniższych wyrażeń nie jest równa \( \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązanie:
A: \( \frac{3^{10}}{(2^2)^{10}} = \frac{3^{10}}{4^{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
B: \( \frac{3^5 \cdot 3^5}{(2^{10})^2} = \frac{3^{10}}{2^{20}} = \frac{3^{10}}{(2^2)^{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
C: \( \frac{9^5}{16^5} = \frac{(3^2)^5}{(4^2)^5} = \frac{3^{10}}{4^{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
D: \( \frac{(3^5)^5}{4^2 \cdot 4^8} = \frac{3^{25}}{4^{10}} \neq \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
Odpowiedź: D
A: \( \frac{3^{10}}{(2^2)^{10}} = \frac{3^{10}}{4^{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
B: \( \frac{3^5 \cdot 3^5}{(2^{10})^2} = \frac{3^{10}}{2^{20}} = \frac{3^{10}}{(2^2)^{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
C: \( \frac{9^5}{16^5} = \frac{(3^2)^5}{(4^2)^5} = \frac{3^{10}}{4^{10}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
D: \( \frac{(3^5)^5}{4^2 \cdot 4^8} = \frac{3^{25}}{4^{10}} \neq \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \)
Odpowiedź: D
✏️ 📚 📐
Dwa lata temu cena pewnego towaru wynosiła 200 zł. Po roku wzrosła o 10%, a po następnym roku — o 15%.
Jaka jest obecna cena tego towaru? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jaka jest obecna cena tego towaru? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązanie:
Po 1 roku: 110% \(\cdot\) 200 = 220
Po 2 roku: 115% \(\cdot\) 220 = 1,15 \(\cdot\) 220 = 11,5 \(\cdot\) 22 = 253 (D)
Odpowiedź: D
Po 1 roku: 110% \(\cdot\) 200 = 220
Po 2 roku: 115% \(\cdot\) 220 = 1,15 \(\cdot\) 220 = 11,5 \(\cdot\) 22 = 253 (D)
Odpowiedź: D
✏️ 📚 📐
Która z podanych liczb nie jest rozwiązaniem równania $4x^3 - x = 0$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązanie:
Podstawiając $x = 1$ do równania otrzymamy:
$4 \cdot 1^3 - 1 = 0$
$4 - 1 = 0$
$3 = 0$ (Sprzeczność)
Skoro lewa strona po podstawieniu nie jest równa prawej stronie, liczba $x = 1$ nie jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź: D
Podstawiając $x = 1$ do równania otrzymamy:
$4 \cdot 1^3 - 1 = 0$
$4 - 1 = 0$
$3 = 0$ (Sprzeczność)
Skoro lewa strona po podstawieniu nie jest równa prawej stronie, liczba $x = 1$ nie jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź: D
✏️ 📚 📐
Wierzchołkami równoległoboku są punkty $A = (-1, -1)$, $B = (4, 11)$, $C = (4, 23)$ i $D = (-1, 11)$.
Obwód tego równoległoboku jest równy:
Obwód tego równoległoboku jest równy:
Rozwiązanie:
Obliczamy długości boków równoległoboku korzystając ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:
Długość boku $AB$:
$|AB| = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (11 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
Długość boku $BC$:
$|BC| = \sqrt{(4 - 4)^2 + (23 - 11)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = \sqrt{144} = 12$
Obliczenie obwodu:
W równoległoboku przeciwległe boki są równej długości, zatem:
Obwód $= 2 \cdot 13 + 2 \cdot 12 = 26 + 24 = 50$
Zauważ, że boki o równej długości tworzą pary, co znacznie ułatwia końcowe sumowanie!
Odpowiedź: B
Obliczamy długości boków równoległoboku korzystając ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:
Długość boku $AB$:
$|AB| = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (11 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
Długość boku $BC$:
$|BC| = \sqrt{(4 - 4)^2 + (23 - 11)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = \sqrt{144} = 12$
Obliczenie obwodu:
W równoległoboku przeciwległe boki są równej długości, zatem:
Obwód $= 2 \cdot 13 + 2 \cdot 12 = 26 + 24 = 50$
Zauważ, że boki o równej długości tworzą pary, co znacznie ułatwia końcowe sumowanie!
Odpowiedź: B
✏️ 📚 📐
Dwóch kolarzy wyruszyło z tego samego miejsca i dotarło do tego samego celu. Na diagramie pokazano ich ruch.
Wcześniej dojechał do celu A B.
W momencie gdy kolarz II był 8 km od startu, kolarzowi I pozostało C D.
Wcześniej dojechał do celu A B.W momencie gdy kolarz II był 8 km od startu, kolarzowi I pozostało C D.
Krok 1: Kto był szybciej u celu?
Z wykresu odczytujemy czas dla końcowej odległości 16 km:
- Kolarz I: 50 min
- Kolarz II: 40 min
Wniosek: Szybciej (wcześniej) dotarł kolarz II (B).
Krok 2: Ile zostało kolarzowi I?
- Sprawdzamy, kiedy kolarz II był na 8 km: w 30. minucie.
- W tej samej 30. minucie kolarz I przejechał 10 km.
- Skoro cała trasa to 16 km, zostało mu: $16 - 10 = 6$ km (C).
Poprawna odpowiedź: B i C
Z wykresu odczytujemy czas dla końcowej odległości 16 km:
- Kolarz I: 50 min
- Kolarz II: 40 min
Wniosek: Szybciej (wcześniej) dotarł kolarz II (B).
Krok 2: Ile zostało kolarzowi I?
- Sprawdzamy, kiedy kolarz II był na 8 km: w 30. minucie.
- W tej samej 30. minucie kolarz I przejechał 10 km.
- Skoro cała trasa to 16 km, zostało mu: $16 - 10 = 6$ km (C).
Poprawna odpowiedź: B i C
✏️ 📚 📐
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Na całej trasie kolarz II jechał przed kolarzem I. | ||
| Średnia prędkość kolarza II na całej trasie wynosiła 24 km/h. |
Analiza zdania 1:
Patrząc na wykres, linie kolarzy przecinają się. Na przykład w 30. minucie kolarz I przejechał 10 km, a kolarz II 8 km. Zatem kolarz II nie był z przodu przez całą trasę. Zdanie jest fałszywe (F).
Analiza zdania 2:
Droga $s = 16$ km, czas $t = 40$ min = $\frac{2}{3}$ h.
Prędkość $v = \frac{16}{\frac{2}{3}} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$ km/h.
Zdanie jest prawdziwe (P).
Patrząc na wykres, linie kolarzy przecinają się. Na przykład w 30. minucie kolarz I przejechał 10 km, a kolarz II 8 km. Zatem kolarz II nie był z przodu przez całą trasę. Zdanie jest fałszywe (F).
Analiza zdania 2:
Droga $s = 16$ km, czas $t = 40$ min = $\frac{2}{3}$ h.
Prędkość $v = \frac{16}{\frac{2}{3}} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$ km/h.
Zdanie jest prawdziwe (P).
✏️ 📚 📐
Marysia narysowała dwa prostokąty $ABCD$ i $KLMN$. Bok $BC$ prostokąta $ABCD$ ma długość $a$. Bok $AB$ jest dwa razy dłuższy od boku $BC$. Bok $KL$ prostokąta $KLMN$ jest o 2 cm dłuższy od boku $AB$ prostokąta $ABCD$, a bok $LM$ jest o 2 cm krótszy od boku $BC$ prostokąta $ABCD$.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
| Pole prostokąta $ABCD$ jest większe od pola prostokąta $KLMN$. | ||
| Pole prostokąta $KLMN$ jest równe $2a^2 - 4a$. |
Dane z treści zadania:
$BC = a$
$AB = 2 \cdot BC = 2a$
$KL = AB + 2 = 2a + 2$
$LM = BC - 2 = a - 2$
Obliczenia pól:
$P_{ABCD} = 2a \cdot a = 2a^2$
$P_{KLMN} = (2a + 2)(a - 2) = 2a^2 - 4a + 2a - 4 = 2a^2 - 2a - 4$
Analiza zdania 1:
Różnica pól: $P_{ABCD} - P_{KLMN} = 2a^2 - (2a^2 - 2a - 4) = 2a + 4$.
Z warunków zadania $a > 2$ (bok $LM$ musi być dodatni), więc $2a + 4 > 0$.
Zatem $P_{ABCD} > P_{KLMN}$ – zdanie jest Prawdziwe (P).
Analiza zdania 2:
Wyznaczone pole $P_{KLMN} = 2a^2 - 2a - 4$. Jest ono różne od wyrażenia $2a^2 - 4a$.
Zdanie jest Fałszywe (F).
(Zaznacz tekst powyżej, aby zobaczyć obliczenia)
$BC = a$
$AB = 2 \cdot BC = 2a$
$KL = AB + 2 = 2a + 2$
$LM = BC - 2 = a - 2$
Obliczenia pól:
$P_{ABCD} = 2a \cdot a = 2a^2$
$P_{KLMN} = (2a + 2)(a - 2) = 2a^2 - 4a + 2a - 4 = 2a^2 - 2a - 4$
Analiza zdania 1:
Różnica pól: $P_{ABCD} - P_{KLMN} = 2a^2 - (2a^2 - 2a - 4) = 2a + 4$.
Z warunków zadania $a > 2$ (bok $LM$ musi być dodatni), więc $2a + 4 > 0$.
Zatem $P_{ABCD} > P_{KLMN}$ – zdanie jest Prawdziwe (P).
Analiza zdania 2:
Wyznaczone pole $P_{KLMN} = 2a^2 - 2a - 4$. Jest ono różne od wyrażenia $2a^2 - 4a$.
Zdanie jest Fałszywe (F).
✏️ 📚 📐
Komentarze
Prześlij komentarz