Na rysunkach przedstawiono trzy prostokąty. Dla każdego z nich podano obwód $L$ i długość jednego z boków.
Ile spośród tych prostokątów ma pole równe $36 \text{ cm}^2$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. trzy
B. dwa
C. jeden
D. żaden
Aby obliczyć pole, musimy najpierw wyznaczyć długość drugiego boku każdego prostokąta.
Prostokąt I:
Obwód = 26 cm, jeden bok = 9 cm.
Drugi bok: $(26 - 2 \cdot 9) : 2 = (26 - 18) : 2 = 8 : 2 = 4 \text{ cm}$.
Pole: $P = 9 \cdot 4 = \mathbf{36 \text{ cm}^2}$. (TAK) Prostokąt II: Obwód = 24 cm, jeden bok = 7 cm.
Drugi bok: $(24 - 2 \cdot 7) : 2 = (24 - 14) : 2 = 10 : 2 = 5 \text{ cm}$.
Pole: $P = 7 \cdot 5 = \mathbf{35 \text{ cm}^2}$. (NIE) Prostokąt III: Obwód = 24 cm, jeden bok = 6 cm.
Drugi bok: $(24 - 2 \cdot 6) : 2 = (24 - 12) : 2 = 12 : 2 = 6 \text{ cm}$.
Pole: $P = 6 \cdot 6 = \mathbf{36 \text{ cm}^2}$. (TAK)
Pole równe $36 \text{ cm}^2$ mają dwa prostokąty (pierwszy i trzeci).
Poprawna odpowiedź: B.
Drugi bok: $(26 - 2 \cdot 9) : 2 = (26 - 18) : 2 = 8 : 2 = 4 \text{ cm}$.
Pole: $P = 9 \cdot 4 = \mathbf{36 \text{ cm}^2}$. (TAK) Prostokąt II: Obwód = 24 cm, jeden bok = 7 cm.
Drugi bok: $(24 - 2 \cdot 7) : 2 = (24 - 14) : 2 = 10 : 2 = 5 \text{ cm}$.
Pole: $P = 7 \cdot 5 = \mathbf{35 \text{ cm}^2}$. (NIE) Prostokąt III: Obwód = 24 cm, jeden bok = 6 cm.
Drugi bok: $(24 - 2 \cdot 6) : 2 = (24 - 12) : 2 = 12 : 2 = 6 \text{ cm}$.
Pole: $P = 6 \cdot 6 = \mathbf{36 \text{ cm}^2}$. (TAK)
Pole równe $36 \text{ cm}^2$ mają dwa prostokąty (pierwszy i trzeci).
Poprawna odpowiedź: B.
✏️ 📚 📐
Objętość graniastosłupa prostego przedstawionego na rysunku jest równa $200 \text{ cm}^3$.
Czy jest on graniastosłupem prawidłowym? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1, 2 albo 3.
Czy jest on graniastosłupem prawidłowym? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1, 2 albo 3.
| ponieważ | 1. | ||
| 2. | |||
| 3. | |||
Krok 1: Definicja graniastosłupa prawidłowego
Graniastosłup prosty jest prawidłowy, jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny (w przypadku czworokąta musi to być kwadrat).
Krok 2: Sprawdzenie pola podstawy
Znamy objętość $V = 200 \text{ cm}^3$ oraz wysokość $h = 10 \text{ cm}$.
Wzór na objętość: $V = P_p \cdot h$, więc $P_p = V : h$.
$P_p = 200 : 10 = \mathbf{20 \text{ cm}^2}$. Krok 3: Analiza podstawy Z rysunku widzimy, że jedna z krawędzi podstawy ma długość $5 \text{ cm}$.
Gdyby podstawa była kwadratem (graniastosłup prawidłowy), jej pole wynosiłoby:
$P_p = 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2$.
Skoro nasze obliczone pole podstawy wynosi $20 \text{ cm}^2$, podstawa nie może być kwadratem. Wniosek: Graniastosłup nie jest prawidłowy, ponieważ pole jego podstawy wynosi $20 \text{ cm}^2$ (co wyklucza kwadrat o boku 5).
Poprawna odpowiedź: B2.
Wzór na objętość: $V = P_p \cdot h$, więc $P_p = V : h$.
$P_p = 200 : 10 = \mathbf{20 \text{ cm}^2}$. Krok 3: Analiza podstawy Z rysunku widzimy, że jedna z krawędzi podstawy ma długość $5 \text{ cm}$.
Gdyby podstawa była kwadratem (graniastosłup prawidłowy), jej pole wynosiłoby:
$P_p = 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2$.
Skoro nasze obliczone pole podstawy wynosi $20 \text{ cm}^2$, podstawa nie może być kwadratem. Wniosek: Graniastosłup nie jest prawidłowy, ponieważ pole jego podstawy wynosi $20 \text{ cm}^2$ (co wyklucza kwadrat o boku 5).
Poprawna odpowiedź: B2.
Koszenie trawy na powierzchni 72 arów podzielono na dwa etapy. Pierwszy etap trwał godzinę, a drugi — cztery godziny, przy czym wówczas koszenie wykonywano dwukrotnie szybciej niż przez pierwszą godzinę.
Ile arów trawnika wykoszono w czasie pierwszej godziny? Zapisz obliczenia.
Ile arów trawnika wykoszono w czasie pierwszej godziny? Zapisz obliczenia.
W ciągu pierwszej godziny wykoszono:
arów.
Twoje rozwiązanie:
Przyjmijmy oznaczenia prędkości koszenia:
1 godzina: $x$ arów / h
2, 3, 4, 5 godzina: $y$ arów / h
Z treści zadania wiemy, że w drugim etapie koszono dwukrotnie szybciej:
$y = 2x$
Układamy równanie sumujące całą wykonaną pracę (1 godzina pierwszego etapu + 4 godziny drugiego etapu):
$x + 4y = 72$
$x + 4 \cdot (2x) = 72$
$x + 8x = 72$
$9x = 72$
$x = \mathbf{8}$
Odpowiedź: W ciągu pierwszej godziny wykoszono 8 arów trawnika.
1 godzina: $x$ arów / h
2, 3, 4, 5 godzina: $y$ arów / h
Z treści zadania wiemy, że w drugim etapie koszono dwukrotnie szybciej:
$y = 2x$
Układamy równanie sumujące całą wykonaną pracę (1 godzina pierwszego etapu + 4 godziny drugiego etapu):
$x + 4y = 72$
$x + 4 \cdot (2x) = 72$
$x + 8x = 72$
$9x = 72$
$x = \mathbf{8}$
Odpowiedź: W ciągu pierwszej godziny wykoszono 8 arów trawnika.
✏️ 📚 📐
W kwadratowy trawnik o boku długości $21 \text{ m}$ wbito pręt. Znajduje się on w odległości $12 \text{ m}$ od jednego boku kwadratu i w odległości $16 \text{ m}$ od sąsiedniego boku.
Jaka jest odległość tego pręta od najdalej położonego naroża (wierzchołka)? Zapisz obliczenia.
Jaka jest odległość tego pręta od najdalej położonego naroża (wierzchołka)? Zapisz obliczenia.
Odległość jest równa:
metrów.
Rysunek pomocniczy:
Twoje obliczenia:
Pręt dzieli kwadrat na mniejsze odcinki. Skoro bok ma $21 \text{ m}$:
$(5, 12)$, $(5, 9)$, $(9, 16)$ oraz $(12, 16)$.
Największą odległość dają najdłuższe przyprostokątne: $12$ i $16$. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
$$x^2 = 12^2 + 16^2$$ $$x^2 = 144 + 256$$ $$x^2 = 400$$ $$x = \sqrt{400} = \mathbf{20 \text{ m}}$$
Odpowiedź: Największa odległość wynosi 20 metrów.
Czerwony punkt to pręt, czerwona linia to szukana odległość.
- Odległości od boków pionowych: $12 \text{ m}$ oraz $21 - 12 = 9 \text{ m}$
- Odległości od boków poziomych: $16 \text{ m}$ oraz $21 - 16 = 5 \text{ m}$
$(5, 12)$, $(5, 9)$, $(9, 16)$ oraz $(12, 16)$.
Największą odległość dają najdłuższe przyprostokątne: $12$ i $16$. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
$$x^2 = 12^2 + 16^2$$ $$x^2 = 144 + 256$$ $$x^2 = 400$$ $$x = \sqrt{400} = \mathbf{20 \text{ m}}$$
Odpowiedź: Największa odległość wynosi 20 metrów.
✏️ 📚 📐
W dwóch jednakowych pojemnikach stojących na szalkach wagi umieszczono białe i czarne kule, tak jak pokazano na rysunku. Do pojemnika na lewej szalce dołożono 4 czarne kule, a do pojemnika na prawej szalce — 3 białe.
Czy po dołożeniu kul waga nadal pozostanie w równowadze?
Czy po dołożeniu kul waga nadal pozostanie w równowadze?
Analiza stanu początkowego:
Z rysunku odczytujemy wagę kul (c – czarna, b – biała):
$5c + 4b = 9c + b$
$3b = 4c \implies \mathbf{c = \frac{3}{4}b}$ Analiza zmian: Do lewej strony dodajemy $4c$, a do prawej $3b$. Sprawdzamy, czy te wartości są równe:
$\text{Lewa: } 4c = 4 \cdot \frac{3}{4}b = 3b$
$\text{Prawa: } 3b$
Wniosek: Ponieważ do obu szalek dołożono dokładnie taką samą masę ($4c = 3b$), waga nadal pozostanie w równowadze.
- Lewa szalka: $5c + 4b$
- Prawa szalka: $9c + 1b$
$5c + 4b = 9c + b$
$3b = 4c \implies \mathbf{c = \frac{3}{4}b}$ Analiza zmian: Do lewej strony dodajemy $4c$, a do prawej $3b$. Sprawdzamy, czy te wartości są równe:
$\text{Lewa: } 4c = 4 \cdot \frac{3}{4}b = 3b$
$\text{Prawa: } 3b$
Wniosek: Ponieważ do obu szalek dołożono dokładnie taką samą masę ($4c = 3b$), waga nadal pozostanie w równowadze.
✏️ 📚 📐
W klasie 8a jest 8 dziewcząt, które stanowią $\frac{1}{4}$ wszystkich osób w tej klasie, a także $\frac{1}{30}$ wszystkich osób uczęszczających w tej szkole do klas ósmych.
Jaką część ósmoklasistów stanowią chłopcy uczący się w klasie 8a?
Zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego.
Jaką część ósmoklasistów stanowią chłopcy uczący się w klasie 8a?
Zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego.
Chłopcy z klasy 8a to:
wszystkich ósmoklasistów.
Krok 1: Obliczamy liczbę uczniów w klasie 8a.
Skoro 8 dziewcząt to $\frac{1}{4}$ klasy:
$8 \cdot 4 = 32$ uczniów w klasie 8a. Krok 2: Obliczamy liczbę chłopców w klasie 8a. $32 \text{ (wszyscy)} - 8 \text{ (dziewczęta)} = 24$ chłopców. Krok 3: Obliczamy łączną liczbę ósmoklasistów. Skoro 8 dziewcząt z 8a to $\frac{1}{30}$ wszystkich ósmoklasistów:
$8 \cdot 30 = 240$ uczniów w klasach ósmych. Krok 4: Wyznaczamy szukaną część. Stosunek chłopców z 8a do wszystkich ósmoklasistów:
$$\frac{24}{240}$$ Skracamy ułamek przez 24:
$$\frac{24 : 24}{240 : 24} = \mathbf{\frac{1}{10}}$$
$8 \cdot 4 = 32$ uczniów w klasie 8a. Krok 2: Obliczamy liczbę chłopców w klasie 8a. $32 \text{ (wszyscy)} - 8 \text{ (dziewczęta)} = 24$ chłopców. Krok 3: Obliczamy łączną liczbę ósmoklasistów. Skoro 8 dziewcząt z 8a to $\frac{1}{30}$ wszystkich ósmoklasistów:
$8 \cdot 30 = 240$ uczniów w klasach ósmych. Krok 4: Wyznaczamy szukaną część. Stosunek chłopców z 8a do wszystkich ósmoklasistów:
$$\frac{24}{240}$$ Skracamy ułamek przez 24:
$$\frac{24 : 24}{240 : 24} = \mathbf{\frac{1}{10}}$$
✏️ 📚 📐
Babcia przygotowywała susz owocowy. Wyłożyła na suszarkę mieszankę owoców złożoną z $50 \text{ dag}$ pokrojonych jabłek i $40 \text{ dag}$ śliwek. Po pewnym czasie masa jabłek zmalała o $12\%$, a śliwek — o $30\%$.
Jaki procent początkowej masy mieszanki stanowi masa otrzymanego suszu? Zapisz obliczenia.
Jaki procent początkowej masy mieszanki stanowi masa otrzymanego suszu? Zapisz obliczenia.
Masa suszu stanowi:
% początkowej masy.
Krok 1: Obliczamy początkową masę mieszanki.
$$50 \text{ dag (jabłka)} + 40 \text{ dag (śliwki)} = 90 \text{ dag}$$
Krok 2: Obliczamy masę owoców po wysuszeniu.
Odpowiedź: Masa suszu stanowi 80% początkowej masy mieszanki.
- Jabłka: masa zmalała o $12\%$, czyli zostało $88\%$ masy początkowej.
$$0,88 \cdot 50 \text{ dag} = 44 \text{ dag}$$ - Śliwki: masa zmalała o $30\%$, czyli zostało $70\%$ masy początkowej.
$$0,70 \cdot 40 \text{ dag} = 28 \text{ dag}$$
Odpowiedź: Masa suszu stanowi 80% początkowej masy mieszanki.
✏️ 📚 📐
Jedna ze ścian graniastosłupa prostego jest kwadratem o obwodzie $40 \text{ cm}$. Podstawa tej bryły to trójkąt prostokątny, którego najdłuższy bok jest bokiem tego kwadratu, a najkrótszy bok ma długość $6 \text{ cm}$.
Oblicz objętość graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Oblicz objętość graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Objętość graniastosłupa wynosi:
cm³
Rysunek pomocniczy: Graniastosłup prosty trójkątny w przestrzeni. Najdłuższy bok podstawy (przeciwprostokątna) jest krawędzią kwadratowej ściany bocznej.
$$40 \text{ cm} : 4 = 10 \text{ cm}$$ Z rysunku i treści zadania wynika, że bok ten jest jednocześnie:
- Wysokością graniastosłupa ($h = 10 \text{ cm}$).
- Najdłuższym bokiem (przeciwprostokątną) trójkąta w podstawie ($c = 10 \text{ cm}$).
$$6^2 + x^2 = 10^2$$ $$36 + x^2 = 100$$ $$x^2 = 64 \implies \mathbf{x = 8 \text{ cm}}$$ 3. Pole podstawy ($P_p$) $$P_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = \mathbf{24 \text{ cm}^2}$$ 4. Objętość graniastosłupa ($V$) $$V = P_p \cdot h = 24 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = \mathbf{240 \text{ cm}^3}$$
✏️ 📚 📐
Komentarze
Prześlij komentarz