Figura narysowana poniżej składa się z rombu \(ABCD\), równoległoboku \(FDCE\) i trapezu równoramiennego \(GADF\). Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(FB\). Przekątne rombu mają długości: \(|BD| = 6 \text{ cm}\) i \(|AC| = 4 \text{ cm}\).
Pole trapezu \(GADF\) jest równe:
Pole trapezu \(GADF\) jest równe:
1. Analiza górnej podstawy trapezu (FD)
Punkt \(D\) jest środkiem \(FB\), a \(|BD| = 6 \text{ cm}\). Wynika stąd, że:
$$ |FD| = 6 \text{ cm} $$
2. Wyznaczenie wysokości trapezu (h)
Wysokość trapezu \(h\) to połowa pionowej przekątnej rombu \(AC\):
$$ h = 4 \text{ cm} : 2 = 2 \text{ cm} $$
3. Analiza dolnej podstawy trapezu (GA)
Z geometrii układu wynika, że dolna podstawa \(GA\) ma długość:
$$ |GA| = |FD| + |DB| = 6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 12 \text{ cm} $$
4. Obliczenie pola
Korzystamy ze wzoru na pole trapezu:
$$ P = \frac{(6 + 12) \cdot 2}{2} = 18 \text{ cm}^2 $$
Odpowiedź: Prawidłowy wybór to B (18 cm²).
Odpowiedź: Prawidłowy wybór to B (18 cm²).
✏️ 📚 📐
Siatka graniastosłupa, którą pokazano na rysunku, składa się z dwóch kwadratów o boku \(6 \text{ cm}\), dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych i jednego prostokąta.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz C i D.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz C i D.
Pole największej ściany graniastosłupa jest równe:
Objętość graniastosłupa jest równa:
1. Wyznaczenie wymiarów ścian
Podstawą graniastosłupa są trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych \(a = 6 \text{ cm}\). Obliczamy przeciwprostokątną \(d\) ze wzoru na przekątną kwadratu:
$$ d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ cm} $$
2. Analiza pola największej ściany
Ściany boczne mają wymiary: dwie ściany to kwadraty \(6 \times 6\), a trzecia to prostokąt o bokach \(6\) oraz \(6\sqrt{2}\).
$$ P = 6 \text{ cm} \cdot 6\sqrt{2} \text{ cm} = 36\sqrt{2} \text{ cm}^2 $$
Zatem właściwa odpowiedź to B.
3. Obliczenie objętości
Pole podstawy (trójkąta):
$$ P_p = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ cm}^2 $$
Objętość graniastosłupa (wysokość \(H = 6 \text{ cm}\)):
$$ V = P_p \cdot H = 18 \cdot 6 = 108 \text{ cm}^3 $$
Zatem właściwa odpowiedź to C.
Odpowiedź: B oraz C.
Odpowiedź: B oraz C.
✏️ 📚 📐
W torebce znajduje się 15 orzechów o średniej masie \(5 \text{ g}\). Dołożono do nich jeszcze 5 orzechów i teraz średnia masa wszystkich orzechów w torebce wynosi \(5,1 \text{ g}\).
Jaka jest średnia masa pięciu dołożonych orzechów? Zapisz obliczenia.
Jaka jest średnia masa pięciu dołożonych orzechów? Zapisz obliczenia.
Średnia masa pięciu dołożonych orzechów to:
g
1. Obliczenie masy początkowej
Masa 15 orzechów przed dołożeniem:
$$ 15 \cdot 5 \text{ g} = 75 \text{ g} $$
2. Obliczenie masy całkowitej po dołożeniu
Liczba wszystkich orzechów wynosi \(15 + 5 = 20\). Ich nowa średnia masa to \(5,1 \text{ g}\):
$$ 20 \cdot 5,1 \text{ g} = 102 \text{ g} $$
3. Obliczenie masy 5 dołożonych orzechów
Różnica między masą końcową a początkową to masa dołożonych orzechów:
$$ 102 \text{ g} - 75 \text{ g} = 27 \text{ g} $$
4. Wyznaczenie średniej masy dołożonych orzechów
Dzielimy masę dołożonych orzechów przez ich liczbę (5):
$$ 27 \text{ g} : 5 = 5,4 \text{ g} $$
Odpowiedź: Średnia masa pięciu dołożonych orzechów wynosi 5,4 g.
Odpowiedź: Średnia masa pięciu dołożonych orzechów wynosi 5,4 g.
✏️ 📚 📐
Na rysunkach przedstawiono fragment mozaiki ułożonej z jednakowych płytek oraz jedną taką płytkę, przy której literą \(d\) oznaczono jej długość.
Ile wynosi ta długość \(d\)? Zapisz obliczenia.
Ile wynosi ta długość \(d\)? Zapisz obliczenia.
Długość \(d\) jest równa:
cm
1. Wprowadzenie oznaczeń
Przyjmijmy oznaczenia:
\(d\) – długość elementu (płytki)
\(2x\) – szerokość elementu (płytki) [zatem \(x\) to połowa szerokości] 2. Ułożenie układu równań na podstawie rysunku Z górnej części mozaiki (wymiar 45 cm): $$ d + x = 45 $$ Z dolnej części mozaiki (wymiar 54 cm), gdzie widzimy długość oraz długość pomniejszoną o dwie szerokości: $$ d + (d - 2x) = 54 $$ 3. Rozwiązanie układu Z pierwszego równania: \(x = 45 - d\). Podstawiamy do drugiego: $$ d + d - 2(45 - d) = 54 $$ $$ 2d - 90 + 2d = 54 $$ $$ 4d = 144 $$ $$ d = 36 \text{ cm} $$ Możemy to też zapisać prościej: $$ \begin{cases} d + x = 45 \\ d - x = 27 \end{cases} $$ Dodając równania stronami: $$ 2d = 72 \implies d = 36 \text{ cm} $$
Odpowiedź: Długość \(d\) wynosi 36 cm.
\(d\) – długość elementu (płytki)
\(2x\) – szerokość elementu (płytki) [zatem \(x\) to połowa szerokości] 2. Ułożenie układu równań na podstawie rysunku Z górnej części mozaiki (wymiar 45 cm): $$ d + x = 45 $$ Z dolnej części mozaiki (wymiar 54 cm), gdzie widzimy długość oraz długość pomniejszoną o dwie szerokości: $$ d + (d - 2x) = 54 $$ 3. Rozwiązanie układu Z pierwszego równania: \(x = 45 - d\). Podstawiamy do drugiego: $$ d + d - 2(45 - d) = 54 $$ $$ 2d - 90 + 2d = 54 $$ $$ 4d = 144 $$ $$ d = 36 \text{ cm} $$ Możemy to też zapisać prościej: $$ \begin{cases} d + x = 45 \\ d - x = 27 \end{cases} $$ Dodając równania stronami: $$ 2d = 72 \implies d = 36 \text{ cm} $$
Odpowiedź: Długość \(d\) wynosi 36 cm.
✏️ 📚 📐
W kwietniu w pewnym sklepie sprzedano o \(\frac{1}{5}\) mniej rowerów niż w maju, ale w czerwcu sprzedano ich o \(\frac{2}{5}\) więcej niż w maju. W ciągu tych trzech miesięcy sprzedano łącznie 80 rowerów.
Ile rowerów sprzedano w tym sklepie w czerwcu? Zapisz obliczenia.
Ile rowerów sprzedano w tym sklepie w czerwcu? Zapisz obliczenia.
W czerwcu sprzedano:
rowerów
1. Wprowadzenie oznaczeń
Niech \(x\) oznacza liczbę rowerów sprzedanych w maju.
Wtedy na podstawie treści zadania:
Odpowiedź: W czerwcu sprzedano 35 rowerów.
Wtedy na podstawie treści zadania:
- Kwiecień: \(x - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x\)
- Czerwiec: \(x + \frac{2}{5}x = \frac{7}{5}x\)
Odpowiedź: W czerwcu sprzedano 35 rowerów.
✏️ 📚 📐
Narysowana obok gwiazda jest zbudowana z kwadratu i czterech przystających trójkątów równoramiennych.
Oceń prawdziwość zdania:
Oceń prawdziwość zdania:
Pole tej gwiazdy jest równe \(ab\).
1. Analiza figury
Gwiazda składa się z kwadratu o boku \(a\) oraz czterech przystających trójkątów równoramiennych. Podstawą każdego trójkąta jest bok kwadratu, czyli \(a\).
2. Wyznaczenie wysokości trójkątów
Całkowita rozpiętość gwiazdy w pionie i poziomie wynosi \(b\). Odcinek \(b\) składa się z boku kwadratu (\(a\)) oraz dwóch wysokości trójkątów (\(h\)).
$$ b = a + 2h \implies 2h = b - a \implies h = \frac{b - a}{2} $$
3. Obliczenie pól składowych
Wniosek: Uzasadniono, że pole gwiazdy faktycznie wynosi \(ab\). Zdanie jest prawdziwe.
- Pole kwadratu: \(P_k = a^2\)
- Pole jednego trójkąta: \(P_t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b - a}{2} = \frac{a(b - a)}{4}\)
Wniosek: Uzasadniono, że pole gwiazdy faktycznie wynosi \(ab\). Zdanie jest prawdziwe.
✏️ 📚 📐
Kwadrat \(KLMN\) podzielono na kwadrat i dwa prostokąty – tak jak pokazano na rysunku. Pole prostokąta \(B\) jest cztery razy mniejsze od pola kwadratu \(KLMN\). Jaką część pola kwadratu \(KLMN\) stanowi pole kwadratu \(A\)? Zapisz obliczenia.
Pole kwadratu A stanowi:
1. Oznaczenia boku dużego kwadratu
Przyjmijmy, że bok kwadratu \(KLMN\) ma długość \(a\).
Wtedy jego pole to:
$$ P_{KLMN} = a^2 $$
2. Wyznaczenie wymiarów prostokąta B
Niech \(x\) oznacza szerokość prostokąta \(B\). Jeden z jego boków to \(a\), więc pole wynosi:
$$ P_B = a \cdot x $$
Z treści zadania wiemy, że pole \(B\) jest 4 razy mniejsze od pola \(KLMN\):
$$ 4 \cdot (a \cdot x) = a^2 $$
$$ x = \frac{1}{4}a $$
3. Obliczenie pola kwadratu A
Bok kwadratu \(A\) to różnica boku dużego kwadratu i szerokości prostokąta \(B\):
$$ a_A = a - x = a - \frac{1}{4}a = \frac{3}{4}a $$
Pole kwadratu \(A\) wynosi:
$$ P_A = (a_A)^2 = \left( \frac{3}{4}a \right)^2 = \frac{9}{16} a^2 $$
4. Wynik końcowy
Stosunek pola \(P_A\) do pola \(P_{KLMN}\) wynosi:
$$ \frac{P_A}{P_{KLMN}} = \frac{\frac{9}{16} a^2}{a^2} = \frac{9}{16} $$
Odpowiedź: Pole kwadratu \(A\) stanowi \(\frac{9}{16}\) pola kwadratu \(KLMN\).
Odpowiedź: Pole kwadratu \(A\) stanowi \(\frac{9}{16}\) pola kwadratu \(KLMN\).
✏️ 📚 📐
Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 12 cm wynosi 88 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
1. Wyznaczenie krawędzi bocznej (\(x\))
Ostrosłup czworokątny ma 4 krawędzie podstawy i 4 krawędzie boczne:
$$4 \cdot 12\text{ cm} + 4x = 88\text{ cm}$$
$$48 + 4x = 88$$
$$4x = 40 \implies x = 10\text{ cm}$$
2. Obliczenie wysokości ściany bocznej (\(h\))
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego (połowa krawędzi podstawy, wysokość ściany bocznej, krawędź boczna):
$$h^2 + 6^2 = 10^2$$
$$h^2 + 36 = 100$$
$$h^2 = 64 \implies h = 8\text{ cm}$$
3. Obliczenie pól powierzchni
Pole podstawy (\(P_p\)):
$$P_p = 12 \cdot 12 = 144\text{ cm}^2$$
Pole powierzchni bocznej (\(P_b\)):
$$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 192\text{ cm}^2$$
Pole całkowite (\(P_c\)):
$$P_c = 144 + 192 = 336\text{ cm}^2$$
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi 336 cm².
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi 336 cm².
Komentarze
Prześlij komentarz