Każda ściana boczna graniastosłupa prawidłowego siedmiokątnego jest kwadratem o obwodzie \(12 \text{ cm}\).
Ile jest równa suma długości wszystkich krawędzi tej bryły? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile jest równa suma długości wszystkich krawędzi tej bryły? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
1. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa:
Ściana boczna jest kwadratem o obwodzie \(12 \text{ cm}\).
Długość boku kwadratu (czyli krawędzi bryły \(a\)) wynosi:
$$12 \text{ cm} : 4 = 3 \text{ cm}$$
2. Określenie liczby krawędzi w graniastosłupie siedmiokątnym:
Graniastosłup ten posiada:
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B.
- \(7\) krawędzi w podstawie dolnej,
- \(7\) krawędzi w podstawie górnej,
- \(7\) krawędzi bocznych.
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B.
Punkt \(C\) jest środkiem odcinka o końcach \(A = (-7, -1)\) i \(B = (9, 11)\). Jakie współrzędne ma środek odcinka \(AC\)? Zapisz obliczenia.
Wpisz współrzędne szukanego punktu:
Krok 1: Wyznaczamy współrzędne punktu \(C\) (środka odcinka \(AB\))
Korzystamy ze wzoru na środek odcinka: \(S = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\).
Dla punktów \(A = (-7, -1)\) i \(B = (9, 11)\):
$$x_C = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
$$y_C = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
Zatem punkt \(C = (1, 5)\).
Krok 2: Wyznaczamy środek odcinka \(AC\)
Teraz obliczamy środek odcinka o końcach \(A = (-7, -1)\) i \(C = (1, 5)\):
$$x = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
$$y = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
Odpowiedź: Szukany punkt ma współrzędne x = -3 oraz y = 2.
Odpowiedź: Szukany punkt ma współrzędne x = -3 oraz y = 2.
✏️ 📚 📐
W trójkącie \(ABC\) poprowadzono wysokość \(CD\) (patrz rysunek). Na podstawie informacji zamieszczonych na rysunku ustal, o ile dłuższy jest odcinek \(BD\) od odcinka \(AD\). Zapisz obliczenia.
Różnica \(BD - AD\) =
cm
1. Obliczamy długość odcinka \(AD\) w trójkącie \(ADC\):
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: \(AD^2 + CD^2 = AC^2\)
$$AD^2 + 12^2 = 15^2$$
$$AD^2 + 144 = 225$$
$$AD^2 = 225 - 144 = 81$$
$$AD = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}$$
2. Obliczamy długość odcinka \(BD\) w trójkącie \(BDC\):
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: \(BD^2 + CD^2 = BC^2\)
$$BD^2 + 12^2 = 20^2$$
$$BD^2 + 144 = 400$$
$$BD^2 = 400 - 144 = 256$$
$$BD = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}$$
3. Obliczamy różnicę długości odcinków:
$$BD - AD = 16 \text{ cm} - 9 \text{ cm} = 7 \text{ cm}$$
Odpowiedź: Odcinek \(BD\) jest dłuższy od odcinka \(AD\) o 7 cm.
Odpowiedź: Odcinek \(BD\) jest dłuższy od odcinka \(AD\) o 7 cm.
✏️ 📚 📐
Uzasadnij, że trójkąt \(ABC\) (patrz rysunek) jest równoramienny.
Czy trójkąt \(ABC\) jest równoramienny? Wybierz odpowiedź:
Obliczamy miary kątów wierzchołkowych trójkąta \(ABC\):
1. W trójkącie \(ADE\):
\(\angle DAB = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ\)
2. W trójkącie \(BFG\):
\(\angle FBG = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 80^\circ\)
3. W trójkącie \(ABC\):
\(\angle ACB = 180^\circ - (80^\circ + 50^\circ) = 50^\circ\)
Wniosek: Ponieważ \(\angle DAB = \angle ACB = 50^\circ\), trójkąt \(ABC\) posiada dwa kąty o równej mierze, co oznacza, że jest on równoramienny.
1. W trójkącie \(ADE\):
\(\angle DAB = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ\)
2. W trójkącie \(BFG\):
\(\angle FBG = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 80^\circ\)
3. W trójkącie \(ABC\):
\(\angle ACB = 180^\circ - (80^\circ + 50^\circ) = 50^\circ\)
Wniosek: Ponieważ \(\angle DAB = \angle ACB = 50^\circ\), trójkąt \(ABC\) posiada dwa kąty o równej mierze, co oznacza, że jest on równoramienny.
✏️ 📚 📐
W pierwszym zbiorniku było 20 litrów wody, a w drugim – 40 litrów. W tym samym momencie odkręcono zawory i odblokowano dopływ wody do zbiorników. Do pierwszego zbiornika woda wpływała w tempie 5 litrów na minutę, a do drugiego – w tempie 2 litrów na minutę. Po pewnym czasie w pierwszym zbiorniku było dwukrotnie więcej wody niż w drugim. Ile razem wody było wówczas w obu zbiornikach? Zapisz obliczenia.
Łączna ilość wody:
litrów
1. Ustalamy oznaczenia i układamy równanie:
Niech \(t\) oznacza czas w minutach, który upłynął od odkręcenia zaworów.
Odpowiedź: W obu zbiornikach było wówczas razem 480 litrów wody.
- Ilość wody w I zbiorniku po czasie \(t\): \(20 + 5t\)
- Ilość wody w II zbiorniku po czasie \(t\): \(40 + 2t\)
- I zbiornik: \(20 + 5 \cdot 60 = 20 + 300 = 320 \text{ litrów}\)
- II zbiornik: \(40 + 2 \cdot 60 = 40 + 120 = 160 \text{ litrów}\)
Odpowiedź: W obu zbiornikach było wówczas razem 480 litrów wody.
✏️ 📚 📐
Pan Jerzy obejrzał w telewizji dwuczęściowy film. Rozpoczął seans o godzinie 12:45. Między pierwszą i drugą częścią był 12-minutowy blok reklamowy. Na diagramie pokazano procentowy rozkład czasu, który pan Jerzy spędził przed telewizorem. O której godzinie zakończyła się emisja drugiej części filmu? Zapisz obliczenia.
Emisja zakończy się o godzinie:
cyfra 1
cyfra 2
:
cyfra 3
cyfra 4
1. Obliczamy procentowy udział bloku reklamowego:
\(100\% - (49\% + 45\%) = 100\% - 94\% = 6\%\)
2. Wyznaczamy całkowity czas seansu:
Wiemy, że \(6\%\) czasu to \(12\) minut.
Zatem \(1\%\) to \(2\) minuty.
Cały seans (\(100\%\)) trwał: \(100 \cdot 2 = 200\) minut.
3. Zamieniamy minuty na godziny:
\(200\) min = \(3\) godziny i \(20\) minut.
4. Obliczamy godzinę zakończenia:
Godzina rozpoczęcia: \(12:45\)
\(12:45 + 3\text{h } 20\text{min} = 15:45 + 20\text{min} = 16:05\).
Odpowiedź: Emisja zakończy się o godzinie 16:05.
\(100\% - (49\% + 45\%) = 100\% - 94\% = 6\%\)
2. Wyznaczamy całkowity czas seansu:
Wiemy, że \(6\%\) czasu to \(12\) minut.
Zatem \(1\%\) to \(2\) minuty.
Cały seans (\(100\%\)) trwał: \(100 \cdot 2 = 200\) minut.
3. Zamieniamy minuty na godziny:
\(200\) min = \(3\) godziny i \(20\) minut.
4. Obliczamy godzinę zakończenia:
Godzina rozpoczęcia: \(12:45\)
\(12:45 + 3\text{h } 20\text{min} = 15:45 + 20\text{min} = 16:05\).
Odpowiedź: Emisja zakończy się o godzinie 16:05.
✏️ 📚 📐
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przedstawionym na rysunku poprowadzono przekątne trzech ścian o wspólnym wierzchołku \(F\). Suma pól trójkątów \(BFE\), \(BFG\), \(EFG\) jest równa \(28 \text{ cm}^2\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Pole powierzchni całkowitej \(P_c\) =
\(\text{cm}^2\)
1. Oznaczamy krawędzie graniastosłupa:
\(a\) – krawędź podstawy (kwadratu),
\(h\) – wysokość (krawędź boczna).
2. Analizujemy pola trójkątów: Trójkąty \(BFE\), \(BFG\) oraz \(EFG\) to połowy ścian graniastosłupa:
Odpowiedź: Pole całkowite graniastosłupa wynosi 112 cm².
\(h\) – wysokość (krawędź boczna).
2. Analizujemy pola trójkątów: Trójkąty \(BFE\), \(BFG\) oraz \(EFG\) to połowy ścian graniastosłupa:
- \(P_{\triangle EFG} = \frac{1}{2} a^2\) (połowa podstawy górnej)
- \(P_{\triangle BFE} = \frac{1}{2} ah\) (połowa ściany bocznej)
- \(P_{\triangle BFG} = \frac{1}{2} ah\) (połowa ściany bocznej)
Odpowiedź: Pole całkowite graniastosłupa wynosi 112 cm².
✏️ 📚 📐
Komentarze
Prześlij komentarz