Asia i Kasia złożyły się na prezent dla mamy. Asia dała kwotę na pokrycie \(0,3\) ceny prezentu i jeszcze \(40 \text{ zł}\), a Kasia dała kwotę na pokrycie \(0,2\) ceny prezentu i jeszcze \(60 \text{ zł}\). Za całą zebraną w ten sposób kwotę kupiły prezent.
Ile kosztował prezent? Wybierz właściwą odpowiedź.
Ile kosztował prezent? Wybierz właściwą odpowiedź.
1. Oznaczenie: \(x\) – cena prezentu.
2. Równanie:
$$(0,3x + 40) + (0,2x + 60) = x$$ $$0,5x + 100 = x$$ $$100 = 0,5x$$ $$x = 200$$
Odpowiedź: C.
2. Równanie:
$$(0,3x + 40) + (0,2x + 60) = x$$ $$0,5x + 100 = x$$ $$100 = 0,5x$$ $$x = 200$$
Odpowiedź: C.
Deser lodowy ma masę \(15 \text{ dag}\), z czego \(30\%\) to masa owoców.
Ile owoców potrzeba do przygotowania 10 takich deserów? Wybierz właściwą odpowiedź.
Ile owoców potrzeba do przygotowania 10 takich deserów? Wybierz właściwą odpowiedź.
1. Obliczenie masy owoców w jednym deserze
Deser waży \(15 \text{ dag}\), a owoce stanowią \(30\%\) tej masy:
$$ 30\% \cdot 15 \text{ dag} = 0,3 \cdot 15 \text{ dag} = 4,5 \text{ dag} $$
2. Obliczenie masy owoców dla 10 deserów
$$ 4,5 \text{ dag} \cdot 10 = 45 \text{ dag} $$
3. Zamiana jednostek na kilogramy
Wiemy, że \(1 \text{ kg} = 100 \text{ dag}\), więc:
$$ 45 \text{ dag} = 0,45 \text{ kg} $$
Odpowiedź: Do przygotowania 10 deserów potrzeba 0,45 kg owoców (Odpowiedź B).
Odpowiedź: Do przygotowania 10 deserów potrzeba 0,45 kg owoców (Odpowiedź B).
✏️ 📚 📐
Liczbę \(x = 6887\) zaokrąglono do dziesiątek.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
| 1. Są dwie liczby naturalne mniejsze od \(x\), które mają takie samo zaokrąglenie do dziesiątek co liczba \(x\). |
| 2. Jest osiem liczb naturalnych większych od \(x\), które mają takie samo zaokrąglenie do dziesiątek co liczba \(x\). |
Analiza
Zaokrąglenie \(6887\) do dziesiątek to \(6890\).
Liczby dające to zaokrąglenie: {6885, 6886, 6887, 6888, 6889, 6890, 6891, 6892, 6893, 6894}.
1. Mniejsze od 6887 są: 6885, 6886 (sztuk: 2) -> PRAWDA.
2. Większe od 6887 są: 6888, 6889, 6890, 6891, 6892, 6893, 6894 (sztuk: 7) -> FAŁSZ.
Liczby dające to zaokrąglenie: {6885, 6886, 6887, 6888, 6889, 6890, 6891, 6892, 6893, 6894}.
1. Mniejsze od 6887 są: 6885, 6886 (sztuk: 2) -> PRAWDA.
2. Większe od 6887 są: 6888, 6889, 6890, 6891, 6892, 6893, 6894 (sztuk: 7) -> FAŁSZ.
✏️ 📚 📐
Dane jest wyrażenie:
\( W = (x - 1)(2x + 5) \)
Które z poniższych wyrażeń przyjmuje dla \( x = 1 \) wartość 7?
Krok 1: Obliczamy wartość wyrażenia W dla x = 1
Podstawiamy \( 1 \) w miejsce każdego \( x \) we wzorze:
$$ W = (1 - 1)(2 \cdot 1 + 5) $$
$$ W = 0 \cdot 7 = 0 $$
Zatem dla \( x = 1 \) wartość \( W \) wynosi 0.
Krok 2: Sprawdzamy opcje odpowiedzi dla x = 1
Podstawiamy \( W = 0 \) oraz \( x = 1 \) do każdego wyrażenia:
Odpowiedź: Prawidłowe wyrażenie to D.
- A: \( x^2 - W = 1^2 - 0 = 1 \) (nie)
- B: \( W - 7 = 0 - 7 = -7 \) (nie)
- C: \( 2 + W = 2 + 0 = 2 \) (nie)
- D: \( W + 7x = 0 + 7 \cdot 1 = 7 \) (TAK!)
Odpowiedź: Prawidłowe wyrażenie to D.
✏️ 📚 📐
Czy wartość wyrażenia \( 77\,777 \cdot 7777 - 33\,333 \cdot 3333 \) jest podzielna przez 10? Wybierz odpowiedź A lub B i jej uzasadnienie 1, 2 lub 3.
| ponieważ |
pierwszy i drugi iloczyn są nieparzyste.
żadna z liczb nie dzieli się przez 2 ani 5.
cyfry jedności obu iloczynów są takie same.
|
Analiza cyfry jedności
Liczba dzieli się przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0.
1. Ostatnia cyfra \( 77\,777 \cdot 7777 \) to \( 7 \cdot 7 = 49 \rightarrow \mathbf{9} \).
2. Ostatnia cyfra \( 33\,333 \cdot 3333 \) to \( 3 \cdot 3 = \mathbf{9} \).
3. Wynik odejmowania: \( 9 - 9 = \mathbf{0} \).
Skoro cyfry jedności obu iloczynów są identyczne, ich różnica kończy się na 0, więc liczba jest podzielna przez 10.
Poprawna odpowiedź: A3.
1. Ostatnia cyfra \( 77\,777 \cdot 7777 \) to \( 7 \cdot 7 = 49 \rightarrow \mathbf{9} \).
2. Ostatnia cyfra \( 33\,333 \cdot 3333 \) to \( 3 \cdot 3 = \mathbf{9} \).
3. Wynik odejmowania: \( 9 - 9 = \mathbf{0} \).
Skoro cyfry jedności obu iloczynów są identyczne, ich różnica kończy się na 0, więc liczba jest podzielna przez 10.
Poprawna odpowiedź: A3.
✏️ 📚 📐
Pan Wojciech miał na festynie cztery stoiska gastronomiczne. Pierwsze z nich wypracowało \(15\%\) dochodu, drugie – \(25\%\), trzecie – \(40\%\), a czwarte – \(2400 \text{ zł}\) dochodu.
Ile średnio dochodu wypracowało jedno stoisko? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile średnio dochodu wypracowało jedno stoisko? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
1. Procentowy udział czwartego stoiska
Suma udziałów wszystkich stoisk to \(100\%\). Obliczamy udział czwartego stoiska:
$$100\% - (15\% + 25\% + 40\%) = 100\% - 80\% = 20\%$$
2. Obliczenie całkowitego dochodu
Z zadania wiemy, że \(20\%\) dochodu odpowiada kwocie \(2400 \text{ zł}\).
$$20\% \text{ --- } 2400 \text{ zł} \quad | \cdot 5$$
$$100\% \text{ --- } 12\,000 \text{ zł}$$
3. Średnia na jedno stoisko
Całkowity dochód dzielimy przez liczbę stoisk (4):
$$12\,000 \text{ zł} : 4 = 3000 \text{ zł}$$
Odpowiedź: Średnio jedno stoisko wypracowało 3000 zł (Odpowiedź C).
Odpowiedź: Średnio jedno stoisko wypracowało 3000 zł (Odpowiedź C).
✏️ 📚 📐
Zapisano liczby: \(a = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}\) i \(b = 4 \cdot 9\).
Jaką liczbę należy dodać do \(a\), aby otrzymać liczbę \(b\)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jaką liczbę należy dodać do \(a\), aby otrzymać liczbę \(b\)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
1. Obliczenie wartości liczby \(a\)
Wyciągamy pierwiastki i mnożymy wyniki:
$$a = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$$
2. Obliczenie wartości liczby \(b\)
Mnożymy podane liczby:
$$b = 4 \cdot 9 = 36$$
3. Obliczenie różnicy (szukanej liczby)
Szukamy liczby \(x\), takiej że \(a + x = b\):
$$6 + x = 36$$
$$x = 36 - 6$$
$$x = 30$$
Odpowiedź: Do liczby \(a\) należy dodać 30 (Odpowiedź A).
Odpowiedź: Do liczby \(a\) należy dodać 30 (Odpowiedź A).
✏️ 📚 📐
Jurek wypisywał pewne liczby naturalne. Zaczął od liczb 4, 5. Każdą następną dobierał tak, aby była ona jak najmniejsza, ale z dwiema poprzednimi stanowiła długości boków trójkąta. Początek tego zapisu wyglądał następująco:
\(4 \quad 5 \quad 2 \quad 4\)
Jurek dopisał jeszcze dwie liczby.
Jaka liczba znalazła się na ostatnim miejscu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jurek dopisał jeszcze dwie liczby.
Jaka liczba znalazła się na ostatnim miejscu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W zadaniu musimy wyznaczyć pełny ciąg liczb: \(4, 5, 2, 4, x, y\).
Zasada: W każdym trójkącie suma dwóch dowolnych boków musi być większa niż trzeci bok. 1. Wyznaczenie piątej liczby (\(x\)) Bierzemy dwie poprzednie liczby: \(2\) oraz \(4\). Układamy nierówności dla boku \(x\):
Odpowiedź: Na ostatnim miejscu znalazła się liczba 2 (Odpowiedź A).
Zasada: W każdym trójkącie suma dwóch dowolnych boków musi być większa niż trzeci bok. 1. Wyznaczenie piątej liczby (\(x\)) Bierzemy dwie poprzednie liczby: \(2\) oraz \(4\). Układamy nierówności dla boku \(x\):
- \(2 + 4 > x \implies x < 6\)
- \(2 + x > 4 \implies x > 2\)
- \(4 + x > 2 \implies x > -2\)
- \(4 + 3 > y \implies y < 7\)
- \(4 + y > 3 \implies y > -1\)
- \(3 + y > 4 \implies y > 1\)
Odpowiedź: Na ostatnim miejscu znalazła się liczba 2 (Odpowiedź A).
✏️ 📚 📐
Kwadraty \(ABCD\) i \(EFGC\) położone są tak, jak pokazano na rysunku. Jeden z kątów trójkąta \(AFC\) ma miarę \(25^\circ\).
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Jeden z pozostałych kątów trójkąta \(AFC\) ma miarę A / B.
Różnica miar między największym i najmniejszym kątem w trójkącie \(AFC\) jest równa C / D.
Jeden z pozostałych kątów trójkąta \(AFC\) ma miarę A / B.
Różnica miar między największym i najmniejszym kątem w trójkącie \(AFC\) jest równa C / D.
1. Wyznaczenie kąta \(AFC\) (lub \(ACF\))
Kąt \(ACF\) składa się z dwóch kątów po \(45^\circ\) (przekątne kwadratów dzielą kąty proste na połowy):
$$\angle ACF = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \quad \text{(Odpowiedź A)}$$
2. Wyznaczenie kąta \(CFA\)
Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\). Mając dany kąt \(25^\circ\) oraz obliczony kąt \(90^\circ\):
$$\angle CFA = 180^\circ - (90^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$
3. Obliczenie różnicy miar
Największy kąt to \(90^\circ\), a najmniejszy to \(25^\circ\).
$$\text{Różnica} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \quad \text{(Odpowiedź C)}$$
Odpowiedź: Pierwsza luka to A, druga luka to C.
Odpowiedź: Pierwsza luka to A, druga luka to C.
✏️ 📚 📐
Dane są liczby: \(x = (-3)^2\) i \(y = (-2)^3\).
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Suma liczb \(x\) i \(y\) jest A / B.
Iloczyn liczb \(x\) i \(y\) jest C / D.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Suma liczb \(x\) i \(y\) jest A / B.
Iloczyn liczb \(x\) i \(y\) jest C / D.
1. Obliczenie wartości liczb \(x\) i \(y\)
Podnosimy liczby ujemne do potęg:
Odpowiedź: Pierwsza luka: A, druga luka: D.
- \(x = (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\) (liczba ujemna do potęgi parzystej daje wynik dodatni)
- \(y = (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8\) (liczba ujemna do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny)
Odpowiedź: Pierwsza luka: A, druga luka: D.
✏️ 📚 📐
Dane są trzy wyrażenia:
\(P = 182x + 391\) \(Q = 151x + 591\) \(R = 237x - 354\)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Rozwiązaniem równania \(P = Q\) jest liczba dodatnia. | ||
| Rozwiązaniem równania \(Q = R\) jest liczba ujemna. |
1. Analiza równania \(P = Q\)
Przyrównujemy: \(182x + 391 = 151x + 591\).
\(31x = 200 \implies x = \frac{200}{31}\).
Wynik jest liczbą dodatnią. Zdanie jest Prawdziwe. 2. Analiza równania \(Q = R\) Przyrównujemy: \(151x + 591 = 237x - 354\).
\(945 = 86x \implies x = \frac{945}{86}\).
Wynik jest liczbą dodatnią. Zdanie "jest liczba ujemna" jest Fałszywe.
Odpowiedź końcowa: P, F.
\(31x = 200 \implies x = \frac{200}{31}\).
Wynik jest liczbą dodatnią. Zdanie jest Prawdziwe. 2. Analiza równania \(Q = R\) Przyrównujemy: \(151x + 591 = 237x - 354\).
\(945 = 86x \implies x = \frac{945}{86}\).
Wynik jest liczbą dodatnią. Zdanie "jest liczba ujemna" jest Fałszywe.
Odpowiedź końcowa: P, F.
✏️ 📚 📐
Wojtek wypisał wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez 9 — każdą na oddzielnej karteczce. Następnie pomieszał wszystkie karteczki i poprosił Asię o wylosowanie jednej.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że Asia wylosuje liczbę podzielną przez 5? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że Asia wylosuje liczbę podzielną przez 5? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
1. Wypisanie wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 9:
Są to: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.
Łącznie jest ich 10 (to jest nasza liczba wszystkich możliwych zdarzeń). 2. Wybranie liczb podzielnych przez 5 z powyższego zbioru: Liczby podzielne przez 5 muszą kończyć się na 0 lub 5. W naszym zbiorze są to:
45, 90.
Mamy zatem 2 zdarzenia sprzyjające. 3. Obliczenie prawdopodobieństwa: $$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B.
Łącznie jest ich 10 (to jest nasza liczba wszystkich możliwych zdarzeń). 2. Wybranie liczb podzielnych przez 5 z powyższego zbioru: Liczby podzielne przez 5 muszą kończyć się na 0 lub 5. W naszym zbiorze są to:
45, 90.
Mamy zatem 2 zdarzenia sprzyjające. 3. Obliczenie prawdopodobieństwa: $$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B.
✏️ 📚 📐
Pole kwadratu \(K\) jest równe \(x^2 \text{ cm}^2\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Pole kwadratu o boku o \(3 \text{ cm}\) dłuższym od boku kwadratu \(K\) jest równe \((x^2 + 3^2) \text{ cm}^2\). | ||
| Pole kwadratu o boku dwukrotnie krótszym niż bok kwadratu \(K\) jest równe \(\frac{1}{4}x^2 \text{ cm}^2\). |
Analiza kwadratu \(K\)
Skoro pole kwadratu \(K\) wynosi \(x^2\), to długość jego boku wynosi \(\sqrt{x^2} = x \text{ cm}\).
1. Sprawdzenie pierwszego zdania
Nowy bok jest o \(3 \text{ cm}\) dłuższy, czyli ma długość \((x + 3) \text{ cm}\).
Pole tego kwadratu to:
$$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$$
Wyrażenie to nie jest równe \(x^2 + 3^2\) (czyli \(x^2 + 9\)), ponieważ brakuje składnika \(6x\).
Zatem zdanie jest Fałszywe (F).
2. Sprawdzenie drugiego zdania
Nowy bok jest dwukrotnie krótszy, czyli ma długość \(\frac{x}{2} \text{ cm}\).
Pole tego kwadratu to:
$$\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2^2} = \frac{1}{4}x^2 \text{ cm}^2$$
Zdanie jest Prawdziwe (P).
Odpowiedź końcowa: F, P.
Odpowiedź końcowa: F, P.
✏️ 📚 📐
Działka pana Jerzego jest prostokątem o wymiarach \(100 \text{ m} \times 300 \text{ m}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Kwadratowa działka o takim samym obwodzie jak działka pana Jerzego miałaby powierzchnię większą o \(25\) arów. | ||
| Po sprzedaniu \(2,5 \text{ ha}\) tej działki panu Jerzemu pozostała część o powierzchni \(5\) arów. |
1. Analiza działki pana Jerzego
Odpowiedź końcowa: F, F.
- Obwód: \(2 \cdot (100 \text{ m} + 300 \text{ m}) = 800 \text{ m}\).
- Pole: \(100 \text{ m} \cdot 300 \text{ m} = 30\,000 \text{ m}^2\).
- Zamiana na ary: \(30\,000 \text{ m}^2 = 300 \text{ arów}\) (ponieważ \(1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2\)).
- Zamiana na hektary: \(300 \text{ arów} = 3 \text{ ha}\) (ponieważ \(1 \text{ ha} = 100 \text{ a}\)).
Odpowiedź końcowa: F, F.
✏️ 📚 📐
Komentarze
Prześlij komentarz