Na osi liczbowej zaznaczono dwie liczby \(a\) i \(b\).
Ile razy suma liczb \(a + b\) jest większa od liczby \(a\)? Wybierz właściwą odpowiedź.
Ile razy suma liczb \(a + b\) jest większa od liczby \(a\)? Wybierz właściwą odpowiedź.
rysunek do zadania 1
1. Ustalenie jednostki na osi:
Skoro od 0 do 128 mamy dwa równe odcinki, to jedna kreska na osi oznacza:
\(128 : 2 = 64\)
2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\): Liczba \(a\) to 1. kreska: \(a = 64\)
Liczba \(b\) to 4. kreska: \(b = 4 \cdot 64 = 256\)
3. Obliczenie sumy i porównanie: \(a + b = 64 + 256 = 320\)
\(320 : 64 = 5\)
Odpowiedź: Suma jest 5 razy większa, czyli poprawna jest odpowiedź D.
\(128 : 2 = 64\)
2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\): Liczba \(a\) to 1. kreska: \(a = 64\)
Liczba \(b\) to 4. kreska: \(b = 4 \cdot 64 = 256\)
3. Obliczenie sumy i porównanie: \(a + b = 64 + 256 = 320\)
\(320 : 64 = 5\)
Odpowiedź: Suma jest 5 razy większa, czyli poprawna jest odpowiedź D.
✏️ 📚 📐
Dane są cztery liczby:
\(k = 3\sqrt[3]{5}\) \(l = 4\sqrt{3}\) \(m = \sqrt{26}\) \(r = \sqrt[3]{91}\)
Jedna z tych liczb jest mniejsza od 5. Która to liczba? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
\(k = 3\sqrt[3]{5}\) \(l = 4\sqrt{3}\) \(m = \sqrt{26}\) \(r = \sqrt[3]{91}\)
Jedna z tych liczb jest mniejsza od 5. Która to liczba? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Metoda: Porównujemy każdą liczbę z liczbą 5
Aby ułatwić porównanie, zapiszmy liczbę 5 w postaci pierwiastka:
\(5 = \sqrt{25}\) oraz \(5 = \sqrt[3]{125}\)
1. Sprawdzamy liczbę \(k\): \(k = 3\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{135}\)
\(\sqrt[3]{135} > \sqrt[3]{125}\), czyli \(k > 5\).
2. Sprawdzamy liczbę \(l\): \(l = 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\)
\(\sqrt{48} > \sqrt{25}\), czyli \(l > 5\).
3. Sprawdzamy liczbę \(m\): \(m = \sqrt{26}\)
\(\sqrt{26} > \sqrt{25}\), czyli \(m > 5\).
4. Sprawdzamy liczbę \(r\): \(r = \sqrt[3]{91}\)
\(\sqrt[3]{91} < \sqrt[3]{125}\), czyli \(r < 5\).
Odpowiedź: Liczbą mniejszą od 5 jest \(r\). Poprawna odpowiedź to D.
\(5 = \sqrt{25}\) oraz \(5 = \sqrt[3]{125}\)
1. Sprawdzamy liczbę \(k\): \(k = 3\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{135}\)
\(\sqrt[3]{135} > \sqrt[3]{125}\), czyli \(k > 5\).
2. Sprawdzamy liczbę \(l\): \(l = 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\)
\(\sqrt{48} > \sqrt{25}\), czyli \(l > 5\).
3. Sprawdzamy liczbę \(m\): \(m = \sqrt{26}\)
\(\sqrt{26} > \sqrt{25}\), czyli \(m > 5\).
4. Sprawdzamy liczbę \(r\): \(r = \sqrt[3]{91}\)
\(\sqrt[3]{91} < \sqrt[3]{125}\), czyli \(r < 5\).
Odpowiedź: Liczbą mniejszą od 5 jest \(r\). Poprawna odpowiedź to D.
✏️ 📚 📐
Z pudełka wysypano na stół cukierki, których masa stanowiła \(\frac{2}{5}\) masy całej zawartości pudełka, i podzielono je po równo dla klas 5a i 5b. Pozostałe w pudełku cukierki podzielono po równo dla klas 6a, 6b, 6c, 6d.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Masa cukierków klasy 6a jest większa od masy cukierków klasy 5a. | ||
| Masa cukierków klasy 6b stanowi \(\frac{3}{4}\) masy cukierków klasy 5b. |
Analiza podziału dla klas 5:
Dla klas 5a i 5b przeznaczono \(\frac{2}{5}\) całości. Każda z dwóch klas otrzymała połowę tej części:
$$\frac{2}{5} : 2 = \frac{1}{5}$$ Aby łatwiej porównywać, sprowadźmy do mianownika 20: \(\frac{1}{5} = \frac{4}{20}\).
Analiza podziału dla klas 6: W pudełku zostało: \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) całości. Tę resztę podzielono na 4 klasy (6a, 6b, 6c, 6d):
$$\frac{3}{5} : 4 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$$ Każda klasa szósta otrzymała \(\frac{3}{20}\) całości.
Weryfikacja zdań: Zdanie 1: Porównujemy \(\frac{3}{20}\) (klasa 6a) oraz \(\frac{4}{20}\) (klasa 5a).
\(\frac{3}{20} < \frac{4}{20}\), więc masa klasy 6a nie jest większa. → FAŁSZ (F).
Zdanie 2: Sprawdzamy, czy \(\frac{3}{4}\) masy klasy 5b to masa klasy 6b:
$$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{20} = \frac{3}{20}$$ Wynik zgadza się z udziałem klasy 6b. → PRAWDA (P).
Odpowiedź: F, P
$$\frac{2}{5} : 2 = \frac{1}{5}$$ Aby łatwiej porównywać, sprowadźmy do mianownika 20: \(\frac{1}{5} = \frac{4}{20}\).
Analiza podziału dla klas 6: W pudełku zostało: \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) całości. Tę resztę podzielono na 4 klasy (6a, 6b, 6c, 6d):
$$\frac{3}{5} : 4 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$$ Każda klasa szósta otrzymała \(\frac{3}{20}\) całości.
Weryfikacja zdań: Zdanie 1: Porównujemy \(\frac{3}{20}\) (klasa 6a) oraz \(\frac{4}{20}\) (klasa 5a).
\(\frac{3}{20} < \frac{4}{20}\), więc masa klasy 6a nie jest większa. → FAŁSZ (F).
Zdanie 2: Sprawdzamy, czy \(\frac{3}{4}\) masy klasy 5b to masa klasy 6b:
$$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{20} = \frac{3}{20}$$ Wynik zgadza się z udziałem klasy 6b. → PRAWDA (P).
Odpowiedź: F, P
✏️ 📚 📐
Kwadrat \(ABCD\) i trójkąt równoboczny \(ABK\) położone są tak, jak pokazano na rysunku.
Miara kąta \(AKC\) zaznaczonego na rysunku łukiem jest równa:
Miara kąta \(AKC\) zaznaczonego na rysunku łukiem jest równa:
rysunek do zadania 4
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Przyjmijmy \(a\) jako bok kwadratu. Z własności figur wynika, że:
\(AB = BK = BC\) (bok kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta równobocznego).
2. Rozważamy trójkąt \(BKC\). Jest on równoramienny (\(BK = BC\)).
Kąt \(KBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Zatem kąt przy podstawie: \(BKC = (180^\circ - 30^\circ) : 2 = 75^\circ\).
3. Kąt trójkąta równobocznego: \(AKB = 60^\circ\).
4. Obliczamy kąt \(AKC\) (wypukły):
\(60^\circ + 75^\circ = 135^\circ\).
5. Kąt \(AKC\) (wklęsły – zaznaczony łukiem):
\(360^\circ - 135^\circ = 225^\circ\).
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B (225°).
\(AB = BK = BC\) (bok kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta równobocznego).
2. Rozważamy trójkąt \(BKC\). Jest on równoramienny (\(BK = BC\)).
Kąt \(KBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Zatem kąt przy podstawie: \(BKC = (180^\circ - 30^\circ) : 2 = 75^\circ\).
3. Kąt trójkąta równobocznego: \(AKB = 60^\circ\).
4. Obliczamy kąt \(AKC\) (wypukły):
\(60^\circ + 75^\circ = 135^\circ\).
5. Kąt \(AKC\) (wklęsły – zaznaczony łukiem):
\(360^\circ - 135^\circ = 225^\circ\).
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B (225°).
✏️ 📚 📐
Jedna maszyna produkuje 50 jednakowych guzików w czasie trzech minut.
Ile guzików produkują trzy takie maszyny w czasie jednej minuty? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile guzików produkują trzy takie maszyny w czasie jednej minuty? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązanie:
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B (50).
| 1 maszyna | — 3 minuty — | 50 guzików |
| 3 maszyny | — 3 minuty — | 150 guzików |
| 3 maszyny | — 1 minuta — | 50 guzików |
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B (50).
✏️ 📚 📐
Największy wspólny dzielnik liczb \(a\) i \(b\) jest równy 30. Liczba \(a\) nie jest podzielna przez 9.
Największy wspólny dzielnik liczb \(2a\) i \(6b\) jest równy:
Największy wspólny dzielnik liczb \(2a\) i \(6b\) jest równy:
Analiza danych:
1. Wiemy, że \(NWD(a, b) = 30\). Oznacza to, że każdą z tych liczb możemy zapisać jako:
\(a = 30 \cdot x\)
\(b = 30 \cdot y\)
gdzie \(x\) i \(y\) nie mają wspólnych dzielników (są względnie pierwsze).
2. Skoro liczba \(a\) nie jest podzielna przez 9, a wiemy, że dzieli się przez 3 (bo dzieli się przez 30), to znaczy, że w jej rozkładzie na czynniki liczba 3 występuje tylko raz. Czyli \(x\) nie dzieli się przez 3.
Obliczanie NWD dla nowych liczb: Chcemy znaleźć \(NWD(2a, 6b)\), co możemy zapisać jako:
\(2a = 2 \cdot (30 \cdot x) = 60 \cdot x\)
\(6b = 6 \cdot (30 \cdot y) = 180 \cdot y = 60 \cdot (3 \cdot y)\)
Teraz szukamy wspólnych czynników dla \(60x\) oraz \(60 \cdot 3y\):
- Obie liczby dzielą się przez 60.
- Liczba \(60 \cdot 3y\) dzieli się dodatkowo przez 3, ale nasza liczba \(60x\) dzieli się przez \(60x\) i nie dzieli się dodatkowo jeszcze przez 3 (bo ustaliliśmy wcześniej, że \(x\) nie jest podzielne przez 3).
Zatem największym wspólnym dzielnikiem jest właśnie 60.
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to D (60).
\(a = 30 \cdot x\)
\(b = 30 \cdot y\)
gdzie \(x\) i \(y\) nie mają wspólnych dzielników (są względnie pierwsze).
2. Skoro liczba \(a\) nie jest podzielna przez 9, a wiemy, że dzieli się przez 3 (bo dzieli się przez 30), to znaczy, że w jej rozkładzie na czynniki liczba 3 występuje tylko raz. Czyli \(x\) nie dzieli się przez 3.
Obliczanie NWD dla nowych liczb: Chcemy znaleźć \(NWD(2a, 6b)\), co możemy zapisać jako:
\(2a = 2 \cdot (30 \cdot x) = 60 \cdot x\)
\(6b = 6 \cdot (30 \cdot y) = 180 \cdot y = 60 \cdot (3 \cdot y)\)
Teraz szukamy wspólnych czynników dla \(60x\) oraz \(60 \cdot 3y\):
- Obie liczby dzielą się przez 60.
- Liczba \(60 \cdot 3y\) dzieli się dodatkowo przez 3, ale nasza liczba \(60x\) dzieli się przez \(60x\) i nie dzieli się dodatkowo jeszcze przez 3 (bo ustaliliśmy wcześniej, że \(x\) nie jest podzielne przez 3).
Zatem największym wspólnym dzielnikiem jest właśnie 60.
Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to D (60).
✏️ 📚 📐
Majka ma 15 lat. Za trzy lata mama Majki będzie od niej dwa razy starsza.
Ile lat ma mama Majki? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile lat ma mama Majki? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
1. Wypisujemy dane:
Odpowiedź: Mama Majki ma obecnie 33 lata. Poprawna odpowiedź to C.
- Obecny wiek Majki: 15 lat
- Obecny wiek mamy: \(x\)
- Wiek Majki: \(15 + 3 = 18\) lat
- Wiek mamy: \(x + 3\)
Odpowiedź: Mama Majki ma obecnie 33 lata. Poprawna odpowiedź to C.
✏️ 📚 📐
Biało-czarny pasek papieru przedstawiony na rysunku 1. złożono pierwszy raz, tak jak na rysunku 2., i drugi raz, tak jak na rysunku 3.
Pole powstałego czarnego trójkąta na rysunku 3. jest równe \(16 \text{ cm}^2\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szerokość paska papieru jest równa:
Pole powstałego czarnego trójkąta na rysunku 3. jest równe \(16 \text{ cm}^2\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szerokość paska papieru jest równa:
rysunek do zadania 8
Analiza geometryczna:
Przy składaniu paska pod kątem prostym, czarny trójkąt widoczny na rysunku 3. jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.
Jego przyprostokątne odpowiadają szerokości paska.
Odpowiedź: Szerokość paska wynosi 4 cm. Poprawna odpowiedź to B.
| Szerokość paska | \(x\) |
| Wzór na pole trójkąta z rysunku 3. | \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) |
| Podstawienie danych (podstawa \(2x\), wysokość \(x\)) | \(P = \frac{2x \cdot x}{2} = x^2\) |
| Obliczenie szerokości | \(x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ cm}\) |
Odpowiedź: Szerokość paska wynosi 4 cm. Poprawna odpowiedź to B.
✏️ 📚 📐
Kwadrat podzielono na trzy trójkąty i zapisano pola dwóch z nich (patrz rysunek).
Dokończ zdanie. Pole trzeciego trójkąta jest równe:
Dokończ zdanie. Pole trzeciego trójkąta jest równe:
rysunek do zadania 9
Rozwiązanie:
Odpowiedź: Pole trzeciego trójkąta wynosi 6. Poprawna odpowiedź to C.
| Przyjmijmy \(a\) jako bok kwadratu. |
| Trójkąt o polu 18 ma podstawę równą \(a\) i wysokość równą \(a\). |
| Wzór: \(\frac{1}{2} \cdot a^2 = 18 \implies a^2 = 36\) (pole kwadratu). |
| Trzeci trójkąt: \(36 - (12 + 18) = 6\) |
Odpowiedź: Pole trzeciego trójkąta wynosi 6. Poprawna odpowiedź to C.
✏️ 📚 📐
Bułka jest o 20% tańsza niż rogal.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
| Za 10 bułek zapłacisz tyle samo, co za A B rogali. | A. 5 B. 8 |
| Za 4 rogale zapłacisz tyle samo, co za C D bułek. | C. 5 D. 6 |
Wprowadzenie oznaczeń:
\(r\) – cena rogala
\(b\) – cena bułki
Wiemy, że bułka jest o 20% tańsza niż rogal, czyli kosztuje 80% jego ceny:
\(b = 0,8r = \frac{4}{5}r\)
Zdanie 1: Koszt 10 bułek Obliczamy cenę 10 bułek podstawiając zależność: $$10 \cdot b = 10 \cdot 0,8r = 8r$$ Za 10 bułek zapłacimy tyle samo co za 8 rogali. → Odpowiedź B.
Zdanie 2: Koszt 4 rogali Skoro \(b = \frac{4}{5}r\), to przekształcając wzór otrzymujemy \(r = \frac{5}{4}b\).
Teraz obliczamy cenę 4 rogali: $$4 \cdot r = 4 \cdot \frac{5}{4}b = 5b$$ Za 4 rogale zapłacimy tyle samo co za 5 bułek. → Odpowiedź C.
Odpowiedź końcowa: B, C
\(b\) – cena bułki
Wiemy, że bułka jest o 20% tańsza niż rogal, czyli kosztuje 80% jego ceny:
\(b = 0,8r = \frac{4}{5}r\)
Zdanie 1: Koszt 10 bułek Obliczamy cenę 10 bułek podstawiając zależność: $$10 \cdot b = 10 \cdot 0,8r = 8r$$ Za 10 bułek zapłacimy tyle samo co za 8 rogali. → Odpowiedź B.
Zdanie 2: Koszt 4 rogali Skoro \(b = \frac{4}{5}r\), to przekształcając wzór otrzymujemy \(r = \frac{5}{4}b\).
Teraz obliczamy cenę 4 rogali: $$4 \cdot r = 4 \cdot \frac{5}{4}b = 5b$$ Za 4 rogale zapłacimy tyle samo co za 5 bułek. → Odpowiedź C.
Odpowiedź końcowa: B, C
✏️ 📚 📐
Dwa drewniane klocki w kształcie graniastosłupa prawidłowego sklejono tak, jak pokazano na rysunku.
W tabeli podano pole jednej ściany graniastosłupa I i pola powierzchni obu klocków.
Dokończ zdanie. Pole powierzchni otrzymanej bryły jest równe:
W tabeli podano pole jednej ściany graniastosłupa I i pola powierzchni obu klocków.
| Pole kwadratowej ściany graniastosłupa I | \(4\text{ cm}^2\) |
| Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa I | \(56\text{ cm}^2\) |
| Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa II | \(138\text{ cm}^2\) |
rysunek do zadania 11
Analiza powierzchni:
Kiedy sklejamy dwie bryły, ich łączna powierzchnia zmniejsza się o te części, które do siebie przylegają (stają się "wewnętrzne").
1. Co tracimy?
Znikają dwie kwadratowe ściany o polu \(4\text{ cm}^2\) każda (jedna z bryły I i jedna z bryły II).
Łącznie tracimy: \(2 \cdot 4\text{ cm}^2 = 8\text{ cm}^2\).
2. Obliczenia:
Sumujemy pola całkowite obu brył i odejmujemy pole styku:
\(P = 138 + 56 - 8\)
\(P = 186\text{ cm}^2\)
Odpowiedź: Pole otrzymanej bryły wynosi \(186\text{ cm}^2\). Poprawna odpowiedź to B.
1. Co tracimy?
Znikają dwie kwadratowe ściany o polu \(4\text{ cm}^2\) każda (jedna z bryły I i jedna z bryły II).
Łącznie tracimy: \(2 \cdot 4\text{ cm}^2 = 8\text{ cm}^2\).
2. Obliczenia:
Sumujemy pola całkowite obu brył i odejmujemy pole styku:
\(P = 138 + 56 - 8\)
\(P = 186\text{ cm}^2\)
Odpowiedź: Pole otrzymanej bryły wynosi \(186\text{ cm}^2\). Poprawna odpowiedź to B.
✏️ 📚 📐
✏️ 📚 📐
Komentarze
Prześlij komentarz