📝 Instrukcja dla ucznia
- Rozpoczęcie: Wpisz swój nick (minimum 3 znaki).
- Punktacja: Za każde zadanie możesz otrzymać od 2 do 4 punktów (łącznie 16).
- Zatwierdzanie: Po rozwiązaniu zadania kliknij przycisk „SPRAWDŹ” lub wybierz odpowiedź. Twoje punkty będą aktualizowane na bieżąco.
- Zapis wyników: Po rozwiązaniu ostatniego zadania, Twój wynik (punkty i procenty) zostanie automatycznie przesłany do arkusza nauczyciela.
- Raport: Na końcu wyświetli się okno z Twoim rezultatem. Pamiętaj, że po odświeżeniu strony wyniki znikają z ekranu, ale pozostają zapisane u nauczyciela.
PUNKTY: 0 / 16
W trapezie $ABCD$ miara kąta $ABC$ jest równa $35^\circ$, a miara kąta $CDA$ jest równa $110^\circ$. Ramię $AD$ ma taką samą długość jak podstawa $CD$.
Uzasadnij, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny.
Czy trójkąt $ABC$ jest równoramienny?
Uzasadnij, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny.
Czy trójkąt $ABC$ jest równoramienny?
Krok 1: Kąty w trójkącie równoramiennym ACD
Skoro $|AD| = |CD|$, trójkąt $ACD$ jest równoramienny. Kąty przy podstawie $AC$ są równe:
$\angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - 110^\circ) : 2 = 35^\circ$.
Krok 2: Kąty naprzemianległe Podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe, więc kąty $\angle DCA$ i $\angle CAB$ są równe (naprzemianległe):
$\angle CAB = 35^\circ$.
Krok 3: Wniosek W trójkącie $ABC$ mamy $\angle ABC = 35^\circ$ (z treści) oraz $\angle CAB = 35^\circ$ (z wyliczeń).
Skoro dwa kąty są równe, trójkąt jest równoramienny. c.n.d.
$\angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - 110^\circ) : 2 = 35^\circ$.
Krok 2: Kąty naprzemianległe Podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe, więc kąty $\angle DCA$ i $\angle CAB$ są równe (naprzemianległe):
$\angle CAB = 35^\circ$.
Krok 3: Wniosek W trójkącie $ABC$ mamy $\angle ABC = 35^\circ$ (z treści) oraz $\angle CAB = 35^\circ$ (z wyliczeń).
Skoro dwa kąty są równe, trójkąt jest równoramienny. c.n.d.
Pani Asia trzy razy w tygodniu kupuje w piekarni osiedlowej chleb i bułki. W sierpniu płaciła za zakupy każdorazowo 7,80 zł. We wrześniu ceny pieczywa podniesiono o 10%.
O ile złotych tygodniowo więcej musiała zapłacić pani Asia we wrześniu w porównaniu z sierpniem? Zapisz obliczenia.
O ile złotych tygodniowo więcej musiała zapłacić pani Asia we wrześniu w porównaniu z sierpniem? Zapisz obliczenia.
Pani Asia zapłaci o
złotych więcej.
Krok 1: Koszt tygodniowy w sierpniu
Pani Asia robi zakupy 3 razy w tygodniu po 7,80 zł:
$7,80 \text{ zł} \cdot 3 = 23,40 \text{ zł}$. Krok 2: Koszt we wrześniu (podwyżka o 10%) Obliczamy nową cenę lub samą wartość podwyżki:
$110\% \text{ z } 23,40 \text{ zł} = 1,1 \cdot 23,40 = 25,74 \text{ zł}$. Krok 3: Obliczenie różnicy $25,74 \text{ zł} - 23,40 \text{ zł} = 2,34 \text{ zł}$.
(Można też policzyć od razu 10% z kwoty tygodniowej: $0,1 \cdot 23,40 = 2,34 \text{ zł}$).
Odpowiedź: Pani Asia zapłaci o 2,34 zł więcej.
$7,80 \text{ zł} \cdot 3 = 23,40 \text{ zł}$. Krok 2: Koszt we wrześniu (podwyżka o 10%) Obliczamy nową cenę lub samą wartość podwyżki:
$110\% \text{ z } 23,40 \text{ zł} = 1,1 \cdot 23,40 = 25,74 \text{ zł}$. Krok 3: Obliczenie różnicy $25,74 \text{ zł} - 23,40 \text{ zł} = 2,34 \text{ zł}$.
(Można też policzyć od razu 10% z kwoty tygodniowej: $0,1 \cdot 23,40 = 2,34 \text{ zł}$).
Odpowiedź: Pani Asia zapłaci o 2,34 zł więcej.
Kąt ostry między przekątnymi prostokąta $ABCD$ jest równy $60^\circ$, a bok $BC$ ma długość $8\text{ cm}$.
Wyznacz długość boku $AB$.
Wybierz poprawną długość boku AB:
| A | |
| B | |
| C | |
| D |
Krok 1: Analiza trójkąta BOC
Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc $|OB| = |OC|$. Kąty wierzchołkowe przy punkcie $O$ są równe $60^\circ$. Skoro $|OB|=|OC|$, trójkąt $BOC$ jest równoboczny ($180 - 60 = 120$; $120 : 2 = 60$).
Zatem $|BC| = |OB| = |OC| = 8\text{ cm}$. Krok 2: Wyznaczenie boku AB Wysokość trójkąta $BOC$ opuszczona z punktu $O$ na bok $BC$ to dokładnie połowa boku $AB$.
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$.
Cały bok $|AB| = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\text{ cm}$.
Zatem $|BC| = |OB| = |OC| = 8\text{ cm}$. Krok 2: Wyznaczenie boku AB Wysokość trójkąta $BOC$ opuszczona z punktu $O$ na bok $BC$ to dokładnie połowa boku $AB$.
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$.
Cały bok $|AB| = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\text{ cm}$.
W dwóch klasach ósmych jest łącznie 54 uczniów, przy czym w VIIIa jest o 6 uczniów więcej niż w VIIIb. W zawodach sportowych wzięło udział $40\%$ uczniów klasy VIIIa i $\frac{1}{4}$ uczniów klasy VIIIb.
Ilu uczniów wzięło udział w zawodach sportowych? Zapisz obliczenia.
Ilu uczniów wzięło udział w zawodach sportowych? Zapisz obliczenia.
W zawodach wzięło udział
uczniów.
Krok 1: Wyznaczenie liczby uczniów w klasach
Niech $x$ oznacza liczbę uczniów w klasie VIIIb.
Wtedy klasa VIIIa liczy $x + 6$ uczniów.
Razem: $x + (x + 6) = 54$
$2x + 6 = 54$
$2x = 48 \implies x = 24$.
Klasa VIIIb liczy 24 uczniów, a klasa VIIIa liczy 30 uczniów ($24 + 6$). Krok 2: Obliczenie liczby uczestników zawodów Z klasy VIIIa: $40\% \cdot 30 = 0,4 \cdot 30 = 12$ uczniów.
Z klasy VIIIb: $\frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ uczniów.
Krok 3: Wynik końcowy Łącznie: $12 + 6 = 18$ uczniów.
Odpowiedź: W zawodach wzięło udział 18 uczniów.
Wtedy klasa VIIIa liczy $x + 6$ uczniów.
Razem: $x + (x + 6) = 54$
$2x + 6 = 54$
$2x = 48 \implies x = 24$.
Klasa VIIIb liczy 24 uczniów, a klasa VIIIa liczy 30 uczniów ($24 + 6$). Krok 2: Obliczenie liczby uczestników zawodów Z klasy VIIIa: $40\% \cdot 30 = 0,4 \cdot 30 = 12$ uczniów.
Z klasy VIIIb: $\frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ uczniów.
Krok 3: Wynik końcowy Łącznie: $12 + 6 = 18$ uczniów.
Odpowiedź: W zawodach wzięło udział 18 uczniów.
Bartek przejechał trasę długości $21\text{ km}$ w czasie $35\text{ minut}$.
Z jaką średnią prędkością się poruszał? Prędkość wyraź w kilometrach na godzinę. Zapisz obliczenia.
Z jaką średnią prędkością się poruszał? Prędkość wyraź w kilometrach na godzinę. Zapisz obliczenia.
Prędkość średnia wynosi
km/h.
Krok 1: Dane i zamiana jednostek
Droga: $s = 21\text{ km}$
Czas: $t = 35\text{ min} = \frac{35}{60}\text{ h} = \frac{7}{12}\text{ h}$. Krok 2: Obliczenie prędkości Korzystamy ze wzoru $v = \frac{s}{t}$:
$v = 21\text{ km} : \frac{7}{12}\text{ h} = 21 \cdot \frac{12}{7}\text{ km/h}$. Krok 3: Wynik Skracamy $21$ i $7$:
$v = 3 \cdot 12 = 36\text{ km/h}$.
Odpowiedź: Średnia prędkość wynosi 36 km/h.
Czas: $t = 35\text{ min} = \frac{35}{60}\text{ h} = \frac{7}{12}\text{ h}$. Krok 2: Obliczenie prędkości Korzystamy ze wzoru $v = \frac{s}{t}$:
$v = 21\text{ km} : \frac{7}{12}\text{ h} = 21 \cdot \frac{12}{7}\text{ km/h}$. Krok 3: Wynik Skracamy $21$ i $7$:
$v = 3 \cdot 12 = 36\text{ km/h}$.
Odpowiedź: Średnia prędkość wynosi 36 km/h.
Podstawą ostrosłupa przedstawionego na rysunku jest kwadrat o przekątnej $12\sqrt{2}\text{ cm}$. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi, a dwie krawędzie boczne mają długość $13\text{ cm}$. Najkrótsza krawędź boczna jest wysokością ostrosłupa.
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Objętość ostrosłupa jest równa
cm³.
Krok 1: Obliczenie boku kwadratu (podstawy)
Wzór na przekątną kwadratu: $d = a\sqrt{2}$.
$a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \implies a = 12\text{ cm}$. Krok 2: Obliczenie pola podstawy $P_p = a^2 = 12^2 = 144\text{ cm}^2$. Krok 3: Obliczenie wysokości ostrosłupa (H) Wysokość $H$, krawędź podstawy $a$ oraz krawędź boczna ($13\text{ cm}$) tworzą trójkąt prostokątny (ściana boczna).
Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 + a^2 = 13^2$
$H^2 + 12^2 = 13^2 \implies H^2 + 144 = 169$
$H^2 = 25 \implies H = 5\text{ cm}$. Krok 4: Obliczenie objętości $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 = 240\text{ cm}^3$.
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 240 cm³.
$a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \implies a = 12\text{ cm}$. Krok 2: Obliczenie pola podstawy $P_p = a^2 = 12^2 = 144\text{ cm}^2$. Krok 3: Obliczenie wysokości ostrosłupa (H) Wysokość $H$, krawędź podstawy $a$ oraz krawędź boczna ($13\text{ cm}$) tworzą trójkąt prostokątny (ściana boczna).
Z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 + a^2 = 13^2$
$H^2 + 12^2 = 13^2 \implies H^2 + 144 = 169$
$H^2 = 25 \implies H = 5\text{ cm}$. Krok 4: Obliczenie objętości $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 = 240\text{ cm}^3$.
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 240 cm³.
✏️ 📚 📐
×
Komentarze
Prześlij komentarz