Czy kwadrat $ABCD$ i równoległobok $KLMN$, przedstawione na rysunku, mają równe pola? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
| Tak, | ponieważ | 1. | ||
| 2. | ||||
| Nie, | 3. |
Krok 1: Analiza podstaw
Na rysunku widzimy, że bok kwadratu $AB$ ma długość $a$. Podstawa równoległoboku $KL$ również ma długość $a$. Obie figury mają zatem podstawy tej samej długości.
Krok 2: Analiza wysokości
Obie figury leżą pomiędzy tymi samymi dwiema liniami równoległymi. Wysokość kwadratu jest równa jego bokowi ($a$). Wysokość równoległoboku to odległość między jego podstawami, która w tym układzie jest identyczna i wynosi $a$.
Krok 3: Obliczenie pól
Pole kwadratu: $P_k = a \cdot a = a^2$.
Pole równoległoboku: $P_r = a \cdot h = a \cdot a = a^2$.
Pola są równe. Wniosek: Zaznaczamy odpowiedź T (Tak), ponieważ prawdziwe jest uzasadnienie nr 2.
Pole równoległoboku: $P_r = a \cdot h = a \cdot a = a^2$.
Pola są równe. Wniosek: Zaznaczamy odpowiedź T (Tak), ponieważ prawdziwe jest uzasadnienie nr 2.
✏️ 📚 📐
Na rysunku przedstawiono trzy graniastosłupy: dwa o podstawie prostokąta i jeden o podstawie trapezu. Bryły te mają równe pola podstaw oraz jednakową objętość. Uporządkuj pola powierzchni bocznej $P_I$, $P_{II}$ i $P_{III}$ tych brył od najmniejszego do największego. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Krok 1: Wysokość brył
Skoro bryły mają jednakowe pola podstaw ($P_p$) oraz taką samą objętość ($V$), to na podstawie wzoru $V = P_p \cdot h$ wnioskujemy, że ich wysokości ($h$) również muszą być identyczne.
Krok 2: Zależność pola bocznego od obwodu
Wzór na pole powierzchni bocznej to $P_b = Obw \cdot h$. Ponieważ wysokości są równe, o wielkości pola bocznego decyduje wyłącznie obwód podstawy danej bryły. Im większy obwód, tym większe pole boczne.
Krok 3: Obliczenie obwodów podstaw
Zatem relacja między polami bocznymi wygląda następująco: $P_{II} < P_{III} < P_I$. Wniosek: Poprawna odpowiedź to D.
- Graniastosłup I: Prostokąt o bokach $12$ cm i $3$ cm.
$Obw_I = 2 \cdot (12 + 3) = 30$ cm. - Graniastosłup II: Prostokąt o bokach $9$ cm i $4$ cm.
$Obw_{II} = 2 \cdot (9 + 4) = 26$ cm. - Graniastosłup III: Trapez o bokach $12$ cm, $5$ cm, $6$ cm i $5$ cm.
$Obw_{III} = 12 + 5 + 6 + 5 = 28$ cm.
Zatem relacja między polami bocznymi wygląda następująco: $P_{II} < P_{III} < P_I$. Wniosek: Poprawna odpowiedź to D.
✏️ 📚 📐
Janek otrzymał z kartkówki ocenę dostateczną (3). Postanowił porównać tę ocenę ze średnią ocen klasy. Przeanalizuj diagram i oblicz, o ile ocena Janka była wyższa niż średnia ocen klasy.
Ocena Janka była o
wyższa niż średnia klasy.
Krok 1: Odczytanie liczby uczniów
Na podstawie diagramu słupkowego:
Średnia: $50 : 20 = 2,5$. Krok 3: Wyznaczenie różnicy Janek otrzymał 3. Średnia to 2,5.
Różnica: $3 - 2,5 = 0,5$. Wniosek: Ocena Janka była wyższa o 0,5.
- Ocena 1: 4 uczniów
- Ocena 2: 6 uczniów
- Ocena 3: 7 uczniów
- Ocena 4: 2 uczniów
- Ocena 5: 1 uczeń
Średnia: $50 : 20 = 2,5$. Krok 3: Wyznaczenie różnicy Janek otrzymał 3. Średnia to 2,5.
Różnica: $3 - 2,5 = 0,5$. Wniosek: Ocena Janka była wyższa o 0,5.
✏️ 📚 📐
Trzy przyjaciółki umówiły się na popołudniowe spotkanie w kawiarni Sama słodycz. Ania zamówiła ciastko i herbatę, które kosztowały w sumie 24 zł, Hania – deser lodowy i espresso, w sumie za 36 zł, a Lena – torcik bezowy i świeży sok – za 40 zł. Okazało się, że do rachunku został doliczony napiwek, i do zapłaty była łączna kwota 115 zł. Ile powinna dopłacić do swojego zamówienia Lena, aby kwota ta była proporcjonalna do wartości zamówienia? Zapisz obliczenia.
Lena powinna dopłacić
zł.
Krok 1: Obliczenie łącznej wartości zamówienia bez napiwku
Sumujemy kwoty zamówień trzech przyjaciółek:
$24 \text{ zł} + 36 \text{ zł} + 40 \text{ zł} = 100 \text{ zł}$. Krok 2: Obliczenie kwoty napiwku Od łącznej kwoty do zapłaty odejmujemy wartość zamówienia:
$115 \text{ zł} - 100 \text{ zł} = 15 \text{ zł}$. Krok 3: Wyznaczenie części napiwku przypadającej na Lenę Lena zamówiła produkty za 40 zł z całości wartej 100 zł. Jej udział w zamówieniu to:
$\frac{40}{100} = 0,4$ (czyli 40%).
Aby dopłata była proporcjonalna, Lena musi pokryć 0,4 kwoty napiwku:
$0,4 \cdot 15 \text{ zł} = 6 \text{ zł}$. Wniosek: Lena powinna dopłacić 6 zł.
$24 \text{ zł} + 36 \text{ zł} + 40 \text{ zł} = 100 \text{ zł}$. Krok 2: Obliczenie kwoty napiwku Od łącznej kwoty do zapłaty odejmujemy wartość zamówienia:
$115 \text{ zł} - 100 \text{ zł} = 15 \text{ zł}$. Krok 3: Wyznaczenie części napiwku przypadającej na Lenę Lena zamówiła produkty za 40 zł z całości wartej 100 zł. Jej udział w zamówieniu to:
$\frac{40}{100} = 0,4$ (czyli 40%).
Aby dopłata była proporcjonalna, Lena musi pokryć 0,4 kwoty napiwku:
$0,4 \cdot 15 \text{ zł} = 6 \text{ zł}$. Wniosek: Lena powinna dopłacić 6 zł.
✏️ 📚 📐
Proste $k$ i $l$ są równoległe. Czy kąt $DAE$ zaznaczony na rysunku jest ostry, prosty czy rozwarty? Uzasadnij odpowiedź.
Krok 1: Wykorzystanie równoległości prostych
Proste $k$ i $l$ są równoległe. Kąt o mierze $42^\circ$ przy prostej $k$ oraz kąt między prostą $l$ a półprostą $AE$ są kątami odpowiadającymi. Oznacza to, że dolna część kąta $DAE$ ma miarę $42^\circ$.
Krok 2: Sumowanie miar kątów
Kąt $DAE$ składa się z dwóch mniejszych kątów widocznych na rysunku:
$\sphericalangle DAE = 47^\circ + 42^\circ = 89^\circ$. Krok 3: Klasyfikacja kąta Kąt ostry to taki, którego miara jest większa niż $0^\circ$, ale mniejsza niż $90^\circ$.
Ponieważ $89^\circ < 90^\circ$, kąt $DAE$ jest kątem ostrym.
$\sphericalangle DAE = 47^\circ + 42^\circ = 89^\circ$. Krok 3: Klasyfikacja kąta Kąt ostry to taki, którego miara jest większa niż $0^\circ$, ale mniejsza niż $90^\circ$.
Ponieważ $89^\circ < 90^\circ$, kąt $DAE$ jest kątem ostrym.
✏️ 📚 📐
Prostokąt o bokach długości 8 cm i 30 cm (rysunek 1) rozcięto na cztery przystające trójkąty, a następnie z tych trójkątów ułożono figurę, jak pokazano na rysunku 2. Ile wynosi obwód figury przedstawionej na rysunku 2? Zapisz obliczenia.
Obwód figury na rysunku 2 wynosi
cm.
Krok 1: Wymiary pojedynczego trójkąta
Oryginalny prostokąt o bokach $8 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}$ rozcięto na 4 identyczne trójkąty prostokątne.
Każdy z nich ma przyprostokątne o długościach:
- $a = 8 \text{ cm}$
- $b = 30 \text{ cm} : 2 = 15 \text{ cm}$
✏️ 📚 📐
Dziadek Janusz chce pomalować jedno z pomieszczeń w swoim mieszkaniu. Oszacował, że powierzchnia ścian i sufitu to łącznie prawie 70 m². Z oferty sklepu wybrał wstępnie cztery rodzaje farb, które przedstawiono w poniższej tabeli. Którą farbę powinien wybrać, by dwukrotnie pomalować tę powierzchnię i wydać jak najmniej?
| Nazwa farby | Pojemność puszki | Cena za opakowanie | Wydajność |
|---|---|---|---|
| Śnieżynka | 2 l | 16 zł | 10 m²/1 litr |
| Bielinka | 3 l | 22 zł | 10 m²/1 litr |
| Aksamitna | 4 l | 35 zł | 12 m²/1 litr |
| Welurowa | 5 l | 54 zł | 14 m²/1 litr |
Dziadek powinien wybrać farbę:
Krok 1: Całkowita powierzchnia do pomalowania
Pomieszczenie ma $70 \text{ m}^2$, ale malujemy je dwukrotnie:
$$70 \text{ m}^2 \cdot 2 = \mathbf{140 \text{ m}^2}$$
Krok 2: Analiza kosztów dla każdej farby
Wniosek:
Najtańszą opcją jest zakup trzech puszek farby Aksamitnej.
| Śnieżynka | $140 : 10 = 14 \text{ litrów}$. Potrzeba $14 : 2 = 7$ puszek. Koszt: $7 \cdot 16 \text{ zł} = \mathbf{112 \text{ zł}}$ |
| Bielinka | $140 : 10 = 14 \text{ litrów}$. Potrzeba $14 : 3 \approx 4,67 \rightarrow \mathbf{5 \text{ puszek}}$. Koszt: $5 \cdot 22 \text{ zł} = \mathbf{110 \text{ zł}}$ |
| Aksamitna | $140 : 12 \approx 11,67 \text{ litrów}$. Potrzeba $11,67 : 4 \approx 2,92 \rightarrow \mathbf{3 \text{ puszki}}$. Koszt: $3 \cdot 35 \text{ zł} = \mathbf{105 \text{ zł}}$ |
| Welurowa | $140 : 14 = 10 \text{ litrów}$. Potrzeba $10 : 5 = 2 \text{ puszki}$. Koszt: $2 \cdot 54 \text{ zł} = \mathbf{108 \text{ zł}}$ |
✏️ 📚 📐
Pan Karol rozważa kupno komputera. Przy płatności jednorazowej kosztuje on 2500 zł. Przy zakupie na raty cena tego komputera jest o 8% wyższa – w momencie zakupu trzeba wpłacić 20% jego podwyższonej wartości, a pozostała kwota jest rozłożona na 12 równych części (rat). Oblicz wysokość każdej z tych rat. Zapisz obliczenia.
Wysokość każdej raty wynosi
złotych.
Krok 1: Obliczenie ceny komputera w systemie ratalnym
Cena podstawowa to 2500 zł. Cena ratalna jest o 8% wyższa:
$$2500 \text{ zł} + 0,08 \cdot 2500 \text{ zł} = 2500 \text{ zł} + 200 \text{ zł} = \mathbf{2700 \text{ zł}}$$
Krok 2: Obliczenie kwoty wpłaty własnej
Przy zakupie należy wpłacić 20% podwyższonej wartości (2700 zł):
$$0,20 \cdot 2700 \text{ zł} = \mathbf{540 \text{ zł}}$$
Krok 3: Obliczenie kwoty pozostałej do spłaty
Od ceny ratalnej odejmujemy dokonaną wpłatę:
$$2700 \text{ zł} - 540 \text{ zł} = \mathbf{2160 \text{ zł}}$$
Krok 4: Obliczenie wysokości jednej raty
Pozostałą kwotę dzielimy na 12 równych rat:
$$2160 \text{ zł} : 12 = \mathbf{180 \text{ zł}}$$
Wniosek:
Wysokość każdej raty wynosi 180 złotych.
✏️ 📚 📐
Komentarze
Prześlij komentarz