Oblicz sprytnie, korzystając z praw działań na potęgach. Wpisz wyniki w puste pola:
a) $1,5^{4} \cdot 2^{5} =$
c) $(\frac{7}{3})^{8} \cdot (\frac{3}{7})^{10} =$
b) $0,4^{6} \cdot 5^{5} =$
d) $1,2^{5} : 0,6^{6} =$
Rozwiązania:
a) $1,5^{4} \cdot 2^{4} \cdot 2 = (1,5 \cdot 2)^{4} \cdot 2 = 3^{4} \cdot 2 = 81 \cdot 2 = \mathbf{162}$
b) $0,4 \cdot (0,4 \cdot 5)^{5} = 0,4 \cdot 2^{5} = 0,4 \cdot 32 = \mathbf{12,8}$
c) $(\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7})^{8} \cdot (\frac{3}{7})^{2} = 1^{8} \cdot \frac{9}{49} = \mathbf{\frac{9}{49}}$
d) $(\frac{1,2}{0,6})^{5} \cdot \frac{1}{0,6} = 2^{5} \cdot \frac{10}{6} = 32 \cdot \frac{5}{3} = \frac{160}{3} = \mathbf{53 \frac{1}{3}}$
✏️ 📚 📐
Wiadomo, że $3^{5} = 243$. Skorzystaj z tej równości i oblicz:
a) $30^{5} =$
b) $0,3^{5} =$
c) $(\frac{1}{3})^{5} =$
d) $(-3)^{5} =$
e) $(\frac{3}{100})^{5} =$
f) $(3 \frac{1}{3})^{5} =$
Rozwiązania:
a) $30^{5} = (3 \cdot 10)^{5} = 3^{5} \cdot 10^{5} = 243 \cdot 100\,000 = \mathbf{24\,300\,000}$
b) $0,3^{5} = (\frac{3}{10})^{5} = \frac{3^{5}}{10^{5}} = \frac{243}{100\,000} = \mathbf{0,000243}$
c) $(\frac{1}{3})^{5} = \frac{1^{5}}{3^{5}} = \mathbf{\frac{1}{243}}$
d) Wykładnik jest nieparzysty, więc wynik zachowuje znak minus: $\mathbf{-243}$
e) $(\frac{3}{100})^{5} = \frac{3^{5}}{(10^{2})^{5}} = \frac{243}{10^{10}} = \mathbf{\frac{243}{10\,000\,000\,000}}$
f) $(3 \frac{1}{3})^{5} = (\frac{10}{3})^{5} = \frac{10^{5}}{3^{5}} = \mathbf{\frac{100\,000}{243}}$
✏️ 📚 📐
Oblicz sprytnie, wykorzystując zamianę liczb na potęgi o tych samych podstawach lub wykładnikach:
a) $128 \cdot 5^{7} =$
b) $25^{3} \cdot 64 =$
c) $\frac{10^{4}}{5^{7}} \cdot 125 =$
d) $\frac{32}{27} \cdot 1,5^{7} =$
Rozwiązania:
a) $128 = 2^{7}$. Mamy: $2^{7} \cdot 5^{7} = (2 \cdot 5)^{7} = 10^{7} = \mathbf{10\,000\,000}$
b) $(5^{2})^{3} \cdot 2^{6} = 5^{6} \cdot 2^{6} = (5 \cdot 2)^{6} = 10^{6} = \mathbf{1\,000\,000}$
c) $\frac{(2 \cdot 5)^{4}}{5^{7}} \cdot 5^{3} = \frac{2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 5^{3}}{5^{7}} = \frac{2^{4} \cdot 5^{7}}{5^{7}} = 2^{4} = \mathbf{16}$
d) $\frac{2^{5}}{3^{3}} \cdot (\frac{3}{2})^{7} = \frac{2^{5}}{3^{3}} \cdot \frac{3^{7}}{2^{7}} = \frac{3^{4}}{2^{2}} = \frac{81}{4} = \mathbf{20 \frac{1}{4}}$
✏️ 📚 📐
Przyjmij, że $2^{10} \approx 1000$ oraz $3^{10} \approx 60\,000$. Oszacuj wartość:
a) $6^{10} \approx$
b) $1,5^{10} \approx$
Rozwiązania:
a) $6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10} \approx 1000 \cdot 60\,000 = \mathbf{60\,000\,000}$
b) $1,5^{10} = (\frac{3}{2})^{10} = \frac{3^{10}}{2^{10}} \approx \frac{60\,000}{1000} = \mathbf{60}$
✏️ 📚 📐
Mniejszy sześcian ma krawędź długości $a$, większy zaś ma krawędź długości $3a$. Ile razy większa jest objętość większego sześcianu od mniejszego?
Odpowiedź: razy
Wyjaśnienie:
Objętość mniejszego: $V_1 = a^3$
Objętość większego: $V_2 = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$
Stosunek objętości: $27a^3 / a^3 = \mathbf{27}$
Komentarze
Prześlij komentarz