Ile co najwyżej takich zestawów można skompletować, mając do dyspozycji 55 tubek farby, 35 pędzli i 135 kartek?
Wyjaśnienie:
Sprawdzamy dostępność każdego elementu:
Nawet jeśli farb wystarczy na 18 zestawów, a pędzli na 17, to liczba kartek ogranicza nas do 16 zestawów. To najmniejszy wynik wyznacza ostateczną odpowiedź.
Poprawna odpowiedź: B (16)
Dana jest równość:
$$\frac{1}{3} + K + K + K = \frac{1}{2} - K - K$$
Jaka liczba kryje się pod literą $K$?
Rozwiązanie równania krok po kroku:
$ \frac{1}{3} + 5K = \frac{1}{2} \quad / - \frac{1}{3} $
$ 5K = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ 5K = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} $
$ 5K = \frac{1}{6} \quad / : 5 $
$ K = \frac{1}{6 \cdot 5} = \mathbf{\frac{1}{30}} $
Poprawna odpowiedź: B ($\frac{1}{30}$)
Na klombie rosną białe i różowe tulipany. Białych jest $20$, a różowe stanowią $60\%$ wszystkich.
Uzupełnij poniższe zdania:
Na klombie jest A / B różowych tulipanów.
Różowych tulipanów jest o C / D więcej niż białych.
Analiza krok po kroku:
Wszystkie tulipany: $20 + x$
Równanie: $x = 0,6(20 + x)$
$x = 12 + 0,6x \quad / - 0,6x$
$0,4x = 12 \quad / : 0,4$
$x = 30$ (odp. B)
Różowe ($30$) - Białe ($20$) = 10 (odp. C)
Asia buduje wieże z $20$ klocków. Zasady: min. 2 klocki w wieży, wszystkie wykorzystane, brak wieży 20-klockowej.
Oceń prawdziwość zdań:
Uzasadnienie odpowiedzi:
Szukamy dzielników liczby $20$ (liczba klocków w wieży $\ge 2$ i liczba wież $> 1$):
- $2$ wieże po $10$ klocków,
- $10$ wież po $2$ klocki,
- $4$ wieże po $5$ klocków,
- $5$ wież po $4$ klocki.
Są 4 sposoby, więc zdanie mówiące o 3 jest błędne.
Sprawdzamy sumę najniższych różnych wysokości:
$1+2+3+4+5+6+7 = 28 > 20$ (za mało klocków na 7 różnych wież).
Ale dla 5 wież: $2+3+4+5+6 = 20$.
Skoro 5 wież mieści się w zakresie "co najwyżej 7", zdanie jest prawdziwe.
Wojtek wypisał wszystkie liczby dwucyfrowe, w których obie cyfry są nieparzyste i różnią się o $4$.
Ile jest tych liczb? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wypisanie wszystkich liczb spełniających warunki:
- Para 1 i 5: liczby 15, 51
- Para 3 i 7: liczby 37, 73
- Para 5 i 9: liczby 59, 95
Poprawna odpowiedź: D ($6$)
Na osi liczbowej zaznaczono trzy odcinki.
Który z ułamków nie należy do żadnego z odcinków?
Analiza przedziałów na osi liczbowej:
- Odcinek I: od 0,1 do 0,3
- Odcinek II: od 0,4 do 0,6
- Odcinek III: od 0,7 do 0,9
- $\frac{11}{20} = \frac{55}{100} = 0,55$ (należy do odcinka II)
- $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0,25$ (należy do odcinka I)
- $\frac{4}{5} = \frac{80}{100} = 0,80$ (należy do odcinka III)
- $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0,36$ (nie należy do żadnego odcinka)
Poprawna odpowiedź: D ($\frac{9}{25}$)
W pojemniku był $1\text{ kg}$ roztworu soli kuchennej, która stanowiła $10\%$ masy całego roztworu. Do pojemnika dolano jeszcze $1\text{ litr}$ wody ($1\text{ litr}$ wody ma masę $1\text{ kg}$).
Jaki procent masy nowego roztworu stanowi masa rozpuszczonej w nim soli?
Rozwiązanie krok po kroku:
$10\% \text{ z } 1\text{ kg} = 0,1 \cdot 1 = \mathbf{0,1\text{ kg}}$
Początkowa masa ($1\text{ kg}$) + dolana woda ($1\text{ kg}$) = $\mathbf{2\text{ kg}}$
Stosunek masy soli do nowej masy roztworu:
$\frac{0,1}{2} = \frac{0,10}{2} = 0,05$
Zamiana na procenty: $0,05 \cdot 100\% = \mathbf{5\%}$
Poprawna odpowiedź: C ($5\%$)
W układzie współrzędnych zaznaczono cztery punkty: $K, L, M, N$. Przyjmujemy, że pierwsza współrzędna punktu to $x$, a druga to $y$.
Współrzędne którego z zaznaczonych punktów spełniają równanie $2x + 3y = 0$?
Weryfikacja punktów:
- N = $(-2, 3)$
- L = $(3, -2)$
- Dla N: $2 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 = -4 + 9 = 5 \neq 0$
- Dla L: $2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = \mathbf{0}$
Poprawna odpowiedź: B (Punkt L)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czworokątem, którego przekątna nie może być równa żadnemu bokowi, jest:
Uzasadnienie geometryczne:
Poprawna odpowiedź: B (prostokąt)
Na rysunku przedstawiono trójkąt, w którym poprowadzono jedną z wysokości. Długości wybranych odcinków oznaczono literami $u, w, x, y, z$.
Wartość wyrażenia $(x - u - w) \cdot (y - z)$ jest równa:
Obliczenia krok po kroku:
Z twierdzenia Pitagorasa: $y^2 + w^2 = z^2$
$12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$z = \sqrt{169} = \mathbf{13}$
Z twierdzenia Pitagorasa: $u^2 + y^2 = x^2$
$u^2 + 12^2 = 15^2 \implies u^2 = 225 - 144 = 81$
$u = \sqrt{81} = \mathbf{9}$
$(x - u - w) \cdot (y - z)$
$(15 - 9 - 5) \cdot (12 - 13) = 1 \cdot (-1) = \mathbf{-1}$
Poprawna odpowiedź: A (-1)
Dane są liczby $a = 4^8$ oraz $b = 8^4$.
Dokończ zdanie. Aby otrzymać liczbę $a$, należy:
Rozwiązanie (zapis matematyczny):
Liczba $a = 2^{16}$ jest $16$ razy większa od liczby $b = 2^{12}$, ponieważ $2^4 = 16$.
Dane są liczby $x = \sqrt{1000} \cdot \sqrt{0,1}$ oraz $y = \sqrt{10} \cdot \sqrt{0,001}$.
| Liczba $x$ jest $100$ razy większa od liczby $y$. | P |
F |
| Liczba $y$ jest o $10$ mniejsza od liczby $x$. | P |
F |
Obliczenia:
1. $\frac{x}{y} = \frac{10}{0,1} = 100 \implies$ PRAWDA
2. $x - y = 10 - 0,1 = 9,9 \neq 10 \implies$ FAŁSZ
Czy liczba $\sqrt{2}-1$ jest odwrotnością liczby $\sqrt{2}+1$? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.
| T | Tak, | ponieważ | A | odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. |
| N | Nie, | B | suma tych liczb nie jest równa 0. | |
| C | iloczyn tych liczb jest równy 1. | |||
Rozwiązanie:
Odpowiedź: TAK (T), ponieważ iloczyn tych liczb jest równy 1 (C).
W kwadracie $ABCD$ o boku długości $12$ cm umieszczono czworokąt $EBFD$ tak, jak na rysunku.
| Pole czworokąta $EBFD$ jest równe | A. $60$ cm$^2$ | B. $72$ cm$^2$ |
| Obwód czworokąta $EBFD$ jest równy | C. $38$ cm | D. $48$ cm |
Twoje obliczenia:
$EB = 12 - 5 = 7$ cm
$DF = 12 - 9 = 3$ cm
$P = \frac{(7 + 3) \cdot 12}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm$^2$
$ED = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ cm
$FB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ cm
$Obw = 15 + 13 + 7 + 3 = 38$ cm
Poprawna odpowiedź: AC
Liczba $t$ dla graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa
Twoje rozwiązanie:
Każda ściana boczna sąsiaduje z 4 innymi (2 inne boczne + 2 podstawy).
Suma dla ścian bocznych: $6 \times 4 = 24$
Każda podstawa jest sześciokątem, więc sąsiaduje z 6 ścianami bocznymi.
Suma dla podstaw: $2 \times 6 = 12$
$t = 24 + 12 = 36$
Poprawna odpowiedź: A. 36
Oceń prawdziwość podanych zdań. Kliknij w odpowiednią komórkę.
| Dla ostrosłupa, który ma 6 wierzchołków, liczba $t$ jest równa 15. | P | F |
| Ostrosłup, dla którego $t = 24$, ma w podstawie sześciokąt. | P | F |
Twoje rozwiązanie:
Poprawna odpowiedź: F, P
| Rodzaj bryły | Liczba wierzchołków |
|---|---|
| Graniastosłup | |
| Ostrosłup |
Szczegółowa analiza zadania
Liczba $t$ to suma liczb zapisanych na wszystkich ścianach bryły. Przyjmijmy, że podstawą obu brył jest $n$-kąt.
Graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+2$ ściany:
- Podstawy (2): Każda styka się z $n$ ścianami bocznymi.
- Ściany boczne ($n$): Każda styka się z 2 podstawami i 2 sąsiednimi ścianami bocznymi (4 sąsiadów).
Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ ścian:
- Podstawa (1): Styka się z $n$ ścianami bocznymi.
- Ściany boczne ($n$): Każda styka się z podstawą i 2 sąsiednimi ścianami bocznymi (3 sąsiadów).
Zgodnie z treścią: Suma $t_{gran} + t_{ostr} = 60$.
$10n = 60 \implies \mathbf{n = 6}$
Dla sześciokąta ($n = 6$):
- Graniastosłup: $2 \cdot n = 2 \cdot 6 = \mathbf{12}$ wierzchołków.
- Ostrosłup: $n + 1 = 6 + 1 = \mathbf{7}$ wierzchołków.
Rozwiązanie krok po kroku:
Kąty $FOG$ oraz $COB$ są kątami wierzchołkowymi, więc mają tę samą miarę: $$\angle COB = \angle FOG = 48^\circ$$
Z rysunku wiemy, że $\angle AOC = 79^\circ$. Składa się on z kątów $AOB$ i $COB$. $$\angle AOB = \angle AOC - \angle COB = 79^\circ - 48^\circ = 31^\circ$$
Kąty $\alpha$ ($\angle DOE$), $\angle BOD$ oraz $\angle AOB$ leżą na jednej prostej ($EA$), co oznacza, że ich suma wynosi $180^\circ$: $$\alpha + \angle BOD + \angle AOB = 180^\circ$$ $$\alpha + 92^\circ + 31^\circ = 180^\circ$$
$$\alpha + 123^\circ = 180^\circ$$ $$\alpha = 180^\circ - 123^\circ = \mathbf{57^\circ}$$
Komentarze
Prześlij komentarz