Przeanalizuj trasę ślimaka, wpisz odpowiednie współczynniki w luki, a następnie sprawdź wynik. Jeśli masz problem, kliknij przycisk na dole.
🐌 Zadanie: Ślimak Wędrowniczek
Ślimak pokonuje w poniedziałki \(x\) m, we wtorki \(y\) m, a w środy i w soboty po \(z\) m. W pozostałe dni odpoczywa. Ślimak wyruszył 1 czerwca w sobotę. Jaką drogę pokonał do 15 czerwca?
📅 Kalendarz wędrówki (1–15 czerwca)
| Pn (\(x\)) | Wt (\(y\)) | Śr (\(z\)) | Cz | Pt | So (\(z\)) | Nd |
|---|---|---|---|---|---|---|
| - | - | - | - | - | 1.06 | 2.06 |
| 3.06 | 4.06 | 5.06 | 6.06 | 7.06 | 8.06 | 9.06 |
| 10.06 | 11.06 | 12.06 | 13.06 | 14.06 | 15.06 | - |
🟩 Poniedziałki: 2 dni (3, 10 czerwca)
🟧 Wtorki: 2 dni (4, 11 czerwca)
🟦 Środy i Soboty: 5 dni (5, 12 oraz 1, 8, 15 czerwca)
Ostateczny wzór: \(2x + 2y + 5z\)
🔢 Zadanie: Podzielność przez 7
Liczba \(p\) przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5.
Ułóż trzy kolejne liczby naturalne większe od \(p\) podzielne przez 7.
Instrukcja: Przeciągnij elementy z banku do szarych pól. W każdym rzędzie ułóż jedno wyrażenie.
\( p : 7 = x \text{ reszty } 5 \)
\( p = 7x + 5 \quad / + 2 \)
\( p + 2 = 7x + 7 \) — jest podzielna przez 7
Następne dwie (co 7):
\( p + 2 + 7 = p + 9 \)
\( p + 9 + 7 = p + 16 \)
Figura 1: 1 kropka
Figura 2: 1 + 2 = 3 kropki
Figura 3: 1 + 2 + 3 = 6 kropek
Figura 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 kropek
Figura o numerze n: to suma kolejnych liczb naturalnych \( S_n = 1 + 2 + \dots + n \).
Stąd wzór ogólny: $$ S_n = \frac{(n+1) \cdot n}{2} $$
Podstawienie do wzoru:
Dla \( n = 5 \): $$ S_{5} = \frac{(5+1) \cdot 5}{2} = 15 $$ Dla \( n = 100 \): $$ S_{100} = \frac{(100+1) \cdot 100}{2} = 5050 $$
Zadanie: Pola prostokątów
| Prostokąt | Długość | Szerokość | Pole | Różnica pól (obecny – poprzedni) |
|---|---|---|---|---|
| Prostokąt 1 | 2 | 1 | 2 | — |
| Prostokąt 2 | 3 | 2 | 6 | 4 |
| Prostokąt 3 | 4 | 3 | 12 | 6 |
| Prostokąt 4 | 5 | 4 | 20 | 8 |
| Prostokąt 20 | 21 | 20 | 420 | |
| Prostokąt \( n \) | \( n+1 \) | \( n \) |
Pole 20. prostokąta jest większe od 19. o:
Pole n-tego prostokąta jest większe od poprzedniego o:
\( P_{20} = 21 \cdot 20 = 420 \)
\( P_{19} = 20 \cdot 19 = 380 \)
\( P_{20} - P_{19} = 420 - 380 = 40 \) (Odp. B)
Dla dowolnego n:
\( P_{n} = n(n+1) = n^2 + n \)
\( P_{n-1} = (n-1)n = n^2 - n \)
\( P_{n} - P_{n-1} = (n^2 + n) - (n^2 - n) = 2n \) (Odp. C)
Krawędzie w ciągu sześcianów
1. 🧐 Przyjrzyj się rysunkowi – przedstawia on bryłę zbudowaną z sześcianów.
2. 🖱️ Przeciągnij i upuść kafelek z Twoim zdaniem poprawnym wzorem na liczbę krawędzi.
3. ✅ Kliknij "Sprawdz wynik", aby zweryfikować odpowiedź.
4. 💡 Jeśli utkniesz, kliknij "Pokaż rozwiązanie".
Moje rozwiązanie:
Aby wyznaczyć wzór na liczbę krawędzi, przeanalizujmy jak zmienia się ich liczba przy dodawaniu kolejnych sześcianów:
- Dla n = 1: Sześcian ma 12 krawędzi.
- Dla n = 2: Gdy dostawiamy drugi sześcian, "zakrywamy" jedną ścianę. Wspólne są 4 krawędzie pionowe i poziome na styku. Zamiast dodawać kolejne 12, dodajemy tylko 8 nowych krawędzi.
- Dla n = 3: Ponownie dodajemy tylko 8 krawędzi.
Logika wzoru:
Zaczynamy od 12 krawędzi pierwszego sześcianu, a dla każdego z pozostałych \((n-1)\) sześcianów dodajemy po 8 krawędzi:
\[ F_{n} = 12 + 8(n - 1) \]Po uproszczeniu:
\[ F_{n} = 12 + 8n - 8 \] \[ \mathbf{F_{n} = 8n + 4} \]Sprawdzenie dla n=4 (jak na rysunku): \( 8 \cdot 4 + 4 = 36 \) krawędzi.
Przykład kartkówki
Temat: Zapisywanie wyrażeń algebraicznych
Zeszyt kosztuje n zł, a długopis jest o 5 zł tańszy. Ile kosztuje długopis?
Marek ma m lat, a siostra jest o 12 lat starsza. Ile lat ma siostra?
Rower jest 6 razy droższy od rolek. Niech r oznacza cenę rolek. Ile kosztuje rower?
Piłka jest 4 razy droższa niż lotka. Oznacz literą p cenę piłki. Ile kosztuje lotka?
Julia ma tyle samo braci co sióstr. Niech x oznacza liczbę braci. Ile dzieci jest w tej rodzinie?
Jacek ma 3 razy więcej braci niż sióstr. Niech y oznacza liczbę sióstr. Ile dzieci jest w tej rodzinie?
a) 3 kg jabłek po a złotych za kilogram:
b) 0,2 kg szynki po b złotych za kilogram:
c) 75 dag sera po c złotych za kilogram:
d) 100 g cukierków po d złotych za kilogram:
Wskazówka: Dzielenie w wyrażeniach możesz zapisać za pomocą dwukropka : lub ukośnika / (np. a:12 lub a/12).
Komentarze
Prześlij komentarz