📝 Instrukcja dla ucznia:
- Wpisz Imię i Nazwisko w polu poniżej.
- Uruchom Czas pracy przyciskiem START.
- Rozwiązuj zadania i klikaj przycisk sprawdzenia przy każdym z nich.
- Na końcu kliknij "Wyślij wyniki", aby zakończyć test.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Autobus dotarł do Olsztyna o godzinie:
$1,25 \text{ godziny} = 1 \text{ godzina} + 0,25 \text{ godziny}$
$0,25 \text{ godziny} = \frac{1}{4} \cdot 60 \text{ min} = 15 \text{ min}$
Zatem czas przejazdu to **1 godzina i 15 minut**.
2. Dodajemy czas przejazdu do godziny wyjazdu:
$6:30 + 1 \text{ godz.} = 7:30$
$7:30 + 15 \text{ min} = 7:45$
Poprawna odpowiedź: C.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Możliwe układy cyfr to $(2,0,0,0)$ oraz $(1,1,0,0)$.
Wypisujemy wszystkie takie liczby:
* $2000$
* $1100$
* $1010$
* $1001$
Anita zapisała **4** liczby (odpowiedź B).
2. Najmniejsza liczba i reszta z dzielenia:
Najmniejszą z wypisanych liczb jest $1001$.
Dzielimy ją przez $20$:
$$1001 = 1000 + 1$$ $$1000 : 20 = 50$$ Zatem: $$1001 = 50 \cdot 20 + 1$$ Reszta z dzielenia wynosi **1** (odpowiedź C).
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Możliwe układy cyfr to $(2,0,0,0)$ oraz $(1,1,0,0)$.
Wypisujemy wszystkie takie liczby:
* $2000$
* $1100$
* $1010$
* $1001$
Anita zapisała **4** liczby (odpowiedź B).
2. Najmniejsza liczba i reszta z dzielenia:
Najmniejszą z wypisanych liczb jest $1001$.
Dzielimy ją przez $20$:
$$1001 = 1000 + 1$$ $$1000 : 20 = 50$$ Zatem: $$1001 = 50 \cdot 20 + 1$$ Reszta z dzielenia wynosi **1** (odpowiedź C).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.Pole tego trójkąta można zapisać w postaci wyrażenia:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód kwadratu na rysunku drugim jest równy:
Obwód w skali $1:4$ wynosi $32 \text{ cm}$.
2. Obliczamy **rzeczywisty obwód** kwadratu (na tablicy): $$L_{\text{tablica}} = 32 \text{ cm} \cdot 4 = 128 \text{ cm}$$ 3. Obliczamy obwód na drugim rysunku (**skala $1:8$**): $$L_{\text{rysunek 2}} = 128 \text{ cm} : 8 = 16 \text{ cm}$$
Szybszy sposób: Skala $1:8$ jest dwa razy większym pomniejszeniem niż $1:4$. Zatem obwód będzie dwa razy mniejszy: $32 \text{ cm} : 2 = 16 \text{ cm}$.
Poprawna odpowiedź: C.
O której godzinie babcia zaczęła smażyć dziewiąty naleśnik? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cofnijmy się w czasie o naleśniki, które smażyły się po rozpoczęciu dziewiątego:
* Smażenie 11. naleśnika: 3 minuty
* Smażenie 10. naleśnika: 3 minuty
* Smażenie 9. naleśnika: 3 minuty
Łącznie od momentu rozpoczęcia smażenia 9. naleśnika do zakończenia smażenia 11. naleśnika upłynęło:
$3 \text{ naleśniki} \cdot 3 \text{ minuty} = 9 \text{ minut}$.
Odejmujemy ten czas od godziny końcowej:
$13:00 - 9 \text{ minut} = \mathbf{12:51}$.
Poprawna odpowiedź: C.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.Pole otrzymanego zacieniowanego sześciokąta jest równe:
1. Pole kwadratu ($P_k$):
$P_k = 8 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 64 \text{ cm}^2$
2. Pole jednego trójkąta ($P_t$):
Podstawa trójkąta to bok kwadratu ($a=8$). Ramię ma długość $5$.
Wysokość ($h$) obliczamy z twierdzenia Pitagorasa w połowie trójkąta:
$h^2 + 4^2 = 5^2 \implies h^2 + 16 = 25 \implies h^2 = 9 \implies h = 3 \text{ cm}$.
$P_t = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \text{ cm}^2$
3. Pole sześciokąta ($P_s$):
$P_s = P_k - 2 \cdot P_t = 64 - 2 \cdot 12 = 64 - 24 = \mathbf{40 \text{ cm}^2}$
Poprawna odpowiedź: B.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.Długość boku największego białego kwadratu jest równa:
$m$ – bok najmniejszego kwadratu,
$x$ – bok średniego (szarego) kwadratu,
$d$ – bok największego białego kwadratu.
Krok po kroku:
1. Zauważmy, że dwa boki małych kwadratów odpowiadają długości boku szarego kwadratu:
$2m = x \implies m = \frac{1}{2}x$
2. Bok największego białego kwadratu składa się z trzech bocznych krawędzi małych kwadratów:
$d = 3m$
3. Podstawiamy wyliczone $m$ do wzoru:
$d = 3 \cdot \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x = 1\frac{1}{2}x$
Poprawna odpowiedź: B ($1\frac{1}{2}x$).
Na ilu kartkach kalendarza Marina odnotowała wspólną obecność z Arturem na basenie w marcu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Analiza dni marca:
* Wejścia na basen Mariny (co 4 dni): 24, 20, 16, 12, 8, 4.
* Wejścia na basen Artura (co 3 dni): 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3.
Zatem wspólne wejścia to 24 oraz 12.
Metoda matematyczna (NWW):
$NWW(3, 4) = 12$
Oznacza to, że są razem na basenie co 12 dni:
* $24 - 12 = 12$ (marzec)
* $24 + 12 = 36$ (poza zakresem, marzec ma 31 dni!)
Poprawna odpowiedź: B (na dwóch).
Czy te trójkąty mają równe pola? Wybierz odpowiedź A (Tak) albo B (Nie) i jej uzasadnienie spośród 1, 2 albo 3.
* **Pierwszy trójkąt:** Jego podstawa pokrywa się z bokiem prostokąta o długości $b$, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa bokowi prostokąta o długości $a$.
$P_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a = \frac{ab}{2}$
* **Drugi trójkąt:** Jego podstawa pokrywa się z bokiem prostokąta o długości $a$, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa bokowi prostokąta o długości $b$.
$P_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{ab}{2}$
Pola obu trójkątów są równe, ponieważ oba można zapisać tym samym wzorem.
Poprawna odpowiedź: A2.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Suma tych liczb jest równa A | B.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Widzimy więc, że obie liczby na tablicy są równe: $2\sqrt{5}$ oraz $2\sqrt{5}$.
1. Obliczamy sumę:
$2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (2+2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
Poprawna odpowiedź to A.
2. Obliczamy iloczyn:
$2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = (2 \cdot 2) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 4 \cdot 5 = 20$
Poprawna odpowiedź to C.
Poprawna odpowiedź: AC.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
🖱️ Chwyć i obracaj sześcian myszką
Ile pączków dołożyła Marzena? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Monika utworzyła na dysku dwa foldery: Kot i Pies. W każdym folderze jest po 10 plików. W tabeli podano liczby plików zawartych w tych folderach.
| Nazwa folderu | Pliki ze zdjęciami | Pliki z rysunkami |
|---|---|---|
| Kot | 5 | 5 |
| Pies | 4 | 6 |
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| 1. Po przeniesieniu wszystkich plików ze zdjęciami z katalogu Kot do katalogu Pies pliki ze zdjęciami będą stanowiły 60% wszystkich plików w katalogu Pies. | ||
| 2. Po przeniesieniu wszystkich plików z katalogu Pies do katalogu Kot pliki z rysunkami będą stanowiły 55% wszystkich plików w katalogu Kot. |
Folder Pies ma 10 plików. Dodajemy 5 zdjęć z folderu Kot.
Suma plików: $10 + 5 = 15$.
Suma zdjęć: $4 + 5 = 9$.
Procent: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 60\%$. ➔ Prawda
Do folderu Kot (10 plików) trafia 10 plików z folderu Pies.
Suma plików: $10 + 10 = 20$.
Suma rysunków: $5$ (z Kota) $+ 6$ (z Psa) $= 11$.
Procent: $\frac{11}{20} = \frac{55}{100} = 55\%$. ➔ Prawda
Dwóch zawodników — I i II — w czasie treningu pokonało prosty stumetrowy odcinek bieżni. Zawodnicy nie wystartowali równocześnie. Na wykresach pokazano, jak zmieniała się odległość każdego zawodnika od linii startu w ciągu biegu. Czas na osi $x$ podano z dokładnością do jednej sekundy.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| 1. Zawodnik I pokonał stumetrowy odcinek bieżni z większą średnią prędkością niż zawodnik II. | ||
| 2. O godzinie 14:00:10 zawodników dzieliła odległość 20 m. |
Średnia prędkość to całkowita droga podzielona przez całkowity czas ruchu.
• Zawodnik I: start 14:00:00, meta (100 m) 14:00:14. Czas = 14 s.
• Zawodnik II: start 14:00:02, meta (100 m) 14:00:12. Czas = 10 s.
Zawodnik II pokonał tę samą drogę w krótszym czasie, więc miał większą prędkość średnią. ➔ Fałsz
Odczytujemy wartości z wykresów dla czasu 14:00:10:
• Zawodnik I: odległość od startu wynosi 60 m.
• Zawodnik II: odległość od startu wynosi 80 m.
Różnica odległości: $80\text{ m} - 60\text{ m} = 20\text{ m}$. ➔ Prawda
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
W połowie odcinka bieżni zawodnik I był o jedną sekundę niż zawodnik II.
C. wcześniej D. później
Moment, w którym zawodnicy się mijają, to punkt przecięcia wykresów.
Wykresy przecinają się w punkcie odpowiadającym czasowi 14:00:06.
Odczytujemy wartość na osi pionowej (odległość): wynosi ona 40 m. ➔ A
Połowa odcinka bieżni to 50 metrów.
• Zawodnik I był na 50. metrze o godzinie 14:00:08.
• Zawodnik II był na 50. metrze o godzinie 14:00:07 (punkt dokładnie między 14:00:06 a 14:00:08).
Zawodnik I (08s) był na miejscu o sekundę później niż zawodnik II (07s). ➔ D
Na rysunku przedstawiono romb $ABCD$ oraz jego dwie wysokości — $DE$ i $DG$. Uzasadnij, że trójkąty $AED$ i $GCD$ są przystające.
Przeprowadź dowód w zeszycie, a następnie zaznacz odpowiedź:
Wykorzystujemy cechę przystawania Kąt-Bok-Kąt (KBK):
- Bok: Wszystkie boki rombu są równe, więc $|AD| = |CD|$.
- Kąt: Kąty naprzeciwległe w rombie mają równe miary, zatem $\angle EAD = \angle GCD$.
- Kąt: Ponieważ $DE$ i $DG$ to wysokości, trójkąty są prostokątne: $|\angle AED| = |\angle CGD| = 90^\circ$.
Skoro dwa kąty w trójkątach są identyczne, to trzeci kąt ($\angle ADE$ oraz $\angle GDC$) również musi być taki sam ($180^\circ - 90^\circ - \alpha$).
Na mocy cechy KBK (lub KKB), trójkąty $AED$ i $GCD$ są przystające.
Ścianka boczna pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma wymiary podane na rysunku. Pole podstawy tego pudełka jest większe niż 10 cm².
Klucz do rozwiązania (zadanie za 2 pkt):
1. Wyznaczenie krawędzi podstawy:
Możliwe wymiary to 5 cm lub 3 cm.
- Jeśli $a = 3$, to $P_p = 9 \text{ cm}^2$ (nie spełnia warunku $> 10$).
- Jeśli $a = 5$, to $P_p = 25 \text{ cm}^2$ (spełnia warunek). To jest pierwszy krok punktowany.
2. Obliczenie objętości:
Skoro $a = 5 \text{ cm}$, to wysokość $H = 3 \text{ cm}$.
$V = 25 \text{ cm}^2 \cdot 3 \text{ cm} = \mathbf{75 \text{ cm}^3}$. To jest drugi krok punktowany.
Wynik: 75 cm³.
W czasie akcji charytatywnej do skarbonki wrzucono 400 zł tylko w monetach po 10 groszy i 20 groszy. Liczba dziesięciogroszówek jest równa 1000. W tabeli podano masę tych dwóch rodzajów monet.
| Nominał monety | Masa |
|---|---|
| 10 gr | 2,51 g |
| 20 gr | 3,22 g |
Jaką masę w kilogramach mają wszystkie monety w skarbonce? Zapisz obliczenia.
1. Obliczamy wartość dziesięciogroszówek:
$1000 \cdot 10\text{ gr} = 10\,000\text{ gr} = 100\text{ zł}$
2. Obliczamy pozostałą kwotę w dwudziestogroszówkach:
$400\text{ zł} - 100\text{ zł} = 300\text{ zł}$
3. Obliczamy liczbę monet 20-groszowych:
$300\text{ zł} = 30\,000\text{ gr}$
$30\,000\text{ gr} : 20\text{ gr} = 1500\text{ sztuk}$
4. Obliczamy łączną masę wszystkich monet:
Masa 10 gr: $1000 \cdot 2,51\text{ g} = 2510\text{ g}$
Masa 20 gr: $1500 \cdot 3,22\text{ g} = 4830\text{ g}$
Suma: $2510\text{ g} + 4830\text{ g} = 7340\text{ g}$
5. Zamiana na kilogramy:
$7340\text{ g} = 7,34\text{ kg}$
Odpowiedź: Masa monet to 7,34 kg.
Prostokąt $ABCD$ podzielono na dwa prostokąty $AEFD$ i $EBCF$ w taki sposób, że boki prostokąta $EBCF$ są 3 razy dłuższe od odpowiednich boków prostokąta $AEFD$. Bok $AD$ ma długość 6 cm. Oblicz długość boku $AB$. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie:
$AE = 2\text{ cm}$
$EB = 3 \cdot EF = 3 \cdot 6\text{ cm} = 18\text{ cm}$
$AB = AE + EB = 2\text{ cm} + 18\text{ cm} = \mathbf{20\text{ cm}}$
Komentarz: Ponieważ boki większego prostokąta są 3 razy dłuższe, pionowy bok 6 cm odpowiada trzykrotności boku $AE$ (stąd $AE=2$). Z kolei poziomy bok $EB$ jest trzykrotnością pionowego boku $EF$ (który ma 6 cm), co daje 18 cm. Suma obu odcinków to długość boku $AB$.
Bukiet kwiatów składał się z róż, tulipanów i czterech żonkili. Róże stanowiły $\frac{2}{5}$ wszystkich kwiatów w bukiecie. Liczba tulipanów była o dwa większa od liczby róż. Ile róż było w bukiecie? Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie:
tulipany: $y$
żonkile: $4$
$y = x + 2$
$x = \frac{2}{5} \cdot (x + y + 4)$
$5x = 2x + 2y + 8$
$3x = 2y + 8$
Podstawiamy $y$:
$3x = 2 \cdot (x + 2) + 8$
$3x = 2x + 4 + 8$
$\mathbf{x = 12}$
Komentarz: W rozwiązaniu wykorzystano układ równań. Pierwsze równanie opisuje zależność między liczbą tulipanów a różami, natomiast drugie wynika z faktu, że róże stanowią 40% (czyli 2/5) sumy wszystkich kwiatów w bukiecie.
Ścieżka $AB$ podzieliła działkę w kształcie prostokąta $CDEF$ na dwa czworokąty, tak jak pokazano na rysunku. Działka ma wymiary $120\text{ m} \times 40\text{ m}$, a koniec $A$ ścieżki leży w połowie boku $CD$. Stosunek pól otrzymanych czworokątów $CABF$ i $ADEB$ jest równy $5:3$. Oblicz długość ścieżki $AB$. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie:
$\dfrac{\frac{(60+x) \cdot 40}{2}}{\frac{(y+60) \cdot 40}{2}} = \dfrac{5}{3}$
$\dfrac{60+x}{y+60} = \dfrac{5}{3}$
$3 \cdot (60+x) = 5 \cdot (y+60) \implies 3x = 5y + 120$
Ponadto $x + y = 120$, więc $y = 120 - x$.
$3x = 5 \cdot (120 - x) + 120$
$3x = 600 - 5x + 120 \implies 8x = 720 \implies x = 90$
Wtedy $y = 120 - 90 = 30$.
Z twierdzenia Pitagorasa:
$z^2 = (60 - 30)^2 + 40^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
$\mathbf{z = 50\text{ m}}$
Komentarz: Stosunek pól trapezów sprowadza się do stosunku ich podstaw, ponieważ wysokości ($40\text{ m}$) są identyczne i skracają się w ułamku piętrowym.
Test zakończony!
Imię Nazwisko
Wróć do zadań i spróbuj jeszcze raz poprawić wynik!
Świetny wynik 31/32
OdpowiedzUsuń31/32 to świetny wynik
OdpowiedzUsuń