i
Instrukcja rozwiązania testu
KROK 1: Logowanie
Wpisz swoje imię lub nick w polu poniżej. Dopiero wtedy zadania staną się aktywne.
KROK 2: Rozwiązywanie
Udziel odpowiedzi we wszystkich 21 zadaniach. Zielony pasek pokaże Ci Twój postęp.
KROK 3: Wysyłka wyników
Gdy pasek zmieni kolor na ciemnoniebieski, kliknij go, aby przesłać wyniki do nauczyciela.
WPISZ SWÓJ NICK:
PUNKTY: 0 / 35
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Wartość wyrażenia $37,13 : 0,3$ jest równa wartości wyrażenia A / B.
A. $3,713 : 3$ B. $371,3 : 3$
Wartość wyrażenia $231,47 \cdot 1,3$ jest równa wartości wyrażenia C / D.
C. $2314,7 \cdot 0,13$ D. $23,147 \cdot 0,13$
Wartość wyrażenia $37,13 : 0,3$ jest równa wartości wyrażenia A / B.
A. $3,713 : 3$ B. $371,3 : 3$
Wartość wyrażenia $231,47 \cdot 1,3$ jest równa wartości wyrażenia C / D.
C. $2314,7 \cdot 0,13$ D. $23,147 \cdot 0,13$
| A | B | C | D |
Działanie 1: Dzielenie
Przesuwamy przecinek w obu liczbach o jedno miejsce w prawo:
$$37,13 : 0,3 = 371,3 : 3$$
Poprawna odpowiedź: B.
Działanie 2: Mnożenie
Mnożenie $231,47 \cdot 1,3$ daje tyle samo miejsc po przecinku (trzy) co $2314,7 \cdot 0,13$.
Liczby cyfr znaczących są identyczne, więc wyniki są równe.
Poprawna odpowiedź: C.
Zależność między czterema zmiennymi: $k, p, m, z$ jest opisana wzorem $p = \frac{2k}{zm}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po wyznaczeniu z tego wzoru zmiennej $z$ otrzymamy:
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po wyznaczeniu z tego wzoru zmiennej $z$ otrzymamy:
| A. $z = \frac{p}{2km}$ | B. $z = \frac{pm}{2k}$ |
| C. $z = \frac{2k}{pm}$ | D. $z = \frac{2p}{km}$ |
Krok 1: Pomnożenie przez mianownik
Chcemy pozbyć się ułamka, więc mnożymy obie strony równania przez $(zm)$:
$$p \cdot zm = 2k$$
Krok 2: Izolacja zmiennej z
Aby zostawić samo $z$ po lewej stronie, dzielimy obie strony przez pozostałe czynniki, czyli przez $(p \cdot m)$:
$$z = \frac{2k}{pm}$$
Zatem poprawną odpowiedzią jest C.
Liczbę $3,45643$ zaokrąglono kolejno: do jedności, do części dziesiątych, do części setnych oraz do części tysięcznych. Otrzymano w ten sposób cztery liczby.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największą liczbę otrzymano po zaokrągleniu liczby $3,45643$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największą liczbę otrzymano po zaokrągleniu liczby $3,45643$
| A. do jedności | B. do części dziesiątych |
| C. do części setnych | D. do części tysięcznych |
Analiza zaokrągleń liczby $3,45643$:
- Do jedności: patrzymy na cyfrę części dziesiątych ($4 < 5$), więc zaokrąglamy w dół: $3$
- Do części dziesiątych: patrzymy na cyfrę części setnych ($5 \ge 5$), więc zaokrąglamy w górę: $3,5$
- Do części setnych: patrzymy na cyfrę części tysięcznych ($6 \ge 5$), więc zaokrąglamy w górę: $3,46$
- Do części tysięcznych: patrzymy na cyfrę części dziesięciotysięcznych ($4 < 5$), więc zaokrąglamy w dół: $3,456$
Z prostopadłościennych klocków o wymiarach $3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 9 \text{ cm}$ Ola zbudowała najmniejszy możliwy sześcian.
Ilu klocków użyła? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ilu klocków użyła? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
| A. 3 | B. 6 | C. 9 | D. 12 |
Rozwiązanie:
Szukamy najmniejszej krawędzi sześcianu, która musi być podzielna przez wymiary klocka ($3, 3, 9$):
$NWW(3, 3, 9) = 9$
Więc krawędź sześcianu to: $9 \text{ cm}$.
Obliczenie liczby klocków: Objętość sześcianu: $V_s = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729 \text{ cm}^3$
Objętość jednego klocka: $V_k = 3 \cdot 3 \cdot 9 = 81 \text{ cm}^3$
Liczba klocków: $n = 729 : 81 = 9$
Rysunek izometryczny (ułożenie 9 klocków):
Poprawna odpowiedź: C.
$NWW(3, 3, 9) = 9$
Więc krawędź sześcianu to: $9 \text{ cm}$.
Obliczenie liczby klocków: Objętość sześcianu: $V_s = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729 \text{ cm}^3$
Objętość jednego klocka: $V_k = 3 \cdot 3 \cdot 9 = 81 \text{ cm}^3$
Liczba klocków: $n = 729 : 81 = 9$
Rysunek izometryczny (ułożenie 9 klocków):
Poprawna odpowiedź: C.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $\sqrt{1\frac{9}{16}} \cdot (-2)^2$ jest równa:
Wartość wyrażenia $\sqrt{1\frac{9}{16}} \cdot (-2)^2$ jest równa:
| A. $-5$ | B. $-2\frac{1}{2}$ | C. $2\frac{1}{2}$ | D. $5$ |
Krok 1: Pierwiastkowanie
Najpierw zamieniamy ułamek mieszany na niewłaściwy:
$$1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$$
$$\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$$
Krok 2: Potęgowanie
$$(-2)^2 = 4$$
Krok 3: Mnożenie
$$\frac{5}{4} \cdot 4 = 5$$
Poprawna odpowiedź: D.
Marek i Paweł wybrali się na 11-kilometrową pieszą wycieczkę. Całą trasę podzielili na dwa etapy, między którymi chwilę odpoczywali. Na diagramie przedstawiono, jak zmieniała się w czasie odległość chłopców od punktu rozpoczęcia wycieczki.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Średnia prędkość, z jaką chłopcy pokonali pierwszy etap wycieczki, była większa niż średnia prędkość na drugim etapie. | P | F |
| Postój zajął 10% czasu wycieczki. | P | F |
Analiza wykresu:
2. Czas postoju (15 min) względem całego czasu (165 min):
$\frac{15}{165} \cdot 100\% \approx 9,09\%$. To nie jest równe 10%, więc zdanie jest fałszywe (F).
Poprawne odpowiedzi: F, F.
- Cały czas wycieczki: od 8:00 do 10:45 (2 godziny i 45 minut = 165 minut).
- Etap I: od 8:00 do 9:30 (1,5 h). Droga: 6 km.
Prędkość: $v_1 = 6 \text{ km} : 1,5 \text{ h} = 4 \text{ km/h}$. - Postój: od 9:30 do 9:45 (15 minut).
- Etap II: od 9:45 do 10:45 (1 h). Droga: $11 \text{ km} - 6 \text{ km} = 5 \text{ km}$.
Prędkość: $v_2 = 5 \text{ km} : 1 \text{ h} = 5 \text{ km/h}$.
2. Czas postoju (15 min) względem całego czasu (165 min):
$\frac{15}{165} \cdot 100\% \approx 9,09\%$. To nie jest równe 10%, więc zdanie jest fałszywe (F).
Poprawne odpowiedzi: F, F.
Emisja filmu w telewizji rozpoczęła się o godzinie 15:34, a zakończyła się o 17:16. Czterokrotnie była przerywana 3-minutowymi blokami reklamowymi.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Emisja filmu bez reklam trwałaby
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Emisja filmu bez reklam trwałaby
| A. 90 minut | B. 102 minuty |
| C. 130 minut | D. 142 minuty |
Krok 1: Obliczamy całkowity czas trwania emisji (z reklamami)
$17:16 - 15:34 = 17\text{h } 16\text{min} - 15\text{h } 34\text{min} = 1\text{h } 42\text{min} = 102\text{ min}$
Krok 2: Obliczamy łączny czas reklam
Film był przerywany 4 razy po 3 minuty:
$4 \cdot 3 \text{ min} = 12 \text{ minut}$ Krok 3: Obliczamy czas czystego filmu Odejmujemy czas reklam od całkowitego czasu emisji:
$102 \text{ min} - 12 \text{ min} = 90 \text{ minut}$
Zatem poprawną odpowiedzią jest A.
$4 \cdot 3 \text{ min} = 12 \text{ minut}$ Krok 3: Obliczamy czas czystego filmu Odejmujemy czas reklam od całkowitego czasu emisji:
$102 \text{ min} - 12 \text{ min} = 90 \text{ minut}$
Zatem poprawną odpowiedzią jest A.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Wartość wyrażenia $1,5 \cdot 2\frac{2}{7}$ jest większa niż $4,5$. | P | F |
| Wartość wyrażenia $\frac{1}{2} \cdot 4,07$ jest mniejsza niż $2,3$. | P | F |
Analiza zdania 1:
Obliczamy wartość wyrażenia:
$1,5 \cdot 2\frac{2}{7} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$
Porównujemy z $4,5$:
$3\frac{3}{7} < 4,5$
Zdanie jest fałszywe (F). Analiza zdania 2: Obliczamy wartość wyrażenia:
$\frac{1}{2} \cdot 4,07 = 4,07 : 2 = 2,035$
Porównujemy z $2,3$:
$2,035 < 2,300$
Zdanie jest prawdziwe (P).
Poprawne odpowiedzi: F, P.
$1,5 \cdot 2\frac{2}{7} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$
Porównujemy z $4,5$:
$3\frac{3}{7} < 4,5$
Zdanie jest fałszywe (F). Analiza zdania 2: Obliczamy wartość wyrażenia:
$\frac{1}{2} \cdot 4,07 = 4,07 : 2 = 2,035$
Porównujemy z $2,3$:
$2,035 < 2,300$
Zdanie jest prawdziwe (P).
Poprawne odpowiedzi: F, P.
W trapezie równoramiennym kąt ostry jest trzy razy mniejszy od kąta rozwartego.
Jaka jest różnica miar kątów rozwartego i ostrego? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jaka jest różnica miar kątów rozwartego i ostrego? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
| A. 45° | B. 60° |
| C. 90° | D. 135° |
Krok 1: Wykorzystanie własności kątów w trapezie
Suma miar kątów przy tym samym ramieniu trapezu wynosi zawsze **180°**.
Oznaczmy miarę kąta ostrego jako $\alpha$, a miarę kąta rozwartego jako $3\alpha$ (skoro kąt ostry jest 3 razy mniejszy). Krok 2: Ułożenie i rozwiązanie równania $$\alpha + 3\alpha = 180^\circ$$ $$4\alpha = 180^\circ$$ $$\alpha = 45^\circ$$
Zatem kąt ostry wynosi **45°**, a kąt rozwarty: $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. Krok 3: Obliczenie różnicy miar Pytanie dotyczy różnicy między tymi kątami:
$135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$
Zatem poprawną odpowiedzią jest C.
Oznaczmy miarę kąta ostrego jako $\alpha$, a miarę kąta rozwartego jako $3\alpha$ (skoro kąt ostry jest 3 razy mniejszy). Krok 2: Ułożenie i rozwiązanie równania $$\alpha + 3\alpha = 180^\circ$$ $$4\alpha = 180^\circ$$ $$\alpha = 45^\circ$$
Zatem kąt ostry wynosi **45°**, a kąt rozwarty: $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. Krok 3: Obliczenie różnicy miar Pytanie dotyczy różnicy między tymi kątami:
$135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$
Zatem poprawną odpowiedzią jest C.
Alina wlała do dzbanka szklankę soku. Następnie dolała tyle szklanek wody, żeby sok stanowił 20% otrzymanego napoju.
Ile szklanek wody dolała Alina? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ile szklanek wody dolała Alina? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
| A. 3 | B. 4 | C. 5 | D. 6 |
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
$x$ – liczba szklanek soku (w zadaniu $x = 1$)
$y$ – liczba dolanych szklanek wody
Układamy równanie na stężenie soku w napoju: $$\frac{x}{x+y} = 20\% = \frac{1}{5}$$
Mnożymy "na krzyż": $$5x = x + y$$ $$y = 4x$$
Skoro Alina wlała jedną szklankę soku ($x=1$), to: $$y = 4 \cdot 1 = 4$$
Alina dolała **4** szklanki wody. Poprawna odpowiedź: B.
$x$ – liczba szklanek soku (w zadaniu $x = 1$)
$y$ – liczba dolanych szklanek wody
Układamy równanie na stężenie soku w napoju: $$\frac{x}{x+y} = 20\% = \frac{1}{5}$$
Mnożymy "na krzyż": $$5x = x + y$$ $$y = 4x$$
Skoro Alina wlała jedną szklankę soku ($x=1$), to: $$y = 4 \cdot 1 = 4$$
Alina dolała **4** szklanki wody. Poprawna odpowiedź: B.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| W każdym czworokącie, którego boki mają jednakową długość, kąty wewnętrzne mają jednakowe miary. | P | F |
| Każdy czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie, jest równoległobokiem. | P | F |
Analiza zdania 1:
Czworokąt o bokach jednakowej długości to romb. Nie każdy romb musi mieć wszystkie kąty równe (tylko kwadrat ma taką własność). Przykładem jest romb o kątach $60^\circ$ i $120^\circ$.
Zdanie jest fałszywe (F). Analiza zdania 2: Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to na podstawie kątów wierzchołkowych i cechy przystawania BKB (bok-kąt-bok) można wykazać, że przeciwległe boki są równe i równoległe. Jest to definicyjna własność równoległoboku.
Zdanie jest prawdziwe (P).
Poprawne odpowiedzi: F, P.
Zdanie jest fałszywe (F). Analiza zdania 2: Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to na podstawie kątów wierzchołkowych i cechy przystawania BKB (bok-kąt-bok) można wykazać, że przeciwległe boki są równe i równoległe. Jest to definicyjna własność równoległoboku.
Zdanie jest prawdziwe (P).
Poprawne odpowiedzi: F, P.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Bok kwadratu o przekątnej $\sqrt{18}$ ma długość A B.
Pole kwadratu o przekątnej $\sqrt{12}$ jest równe C D.
Bok kwadratu o przekątnej $\sqrt{18}$ ma długość A B.
Pole kwadratu o przekątnej $\sqrt{12}$ jest równe C D.
| A. 3 | B. $3\sqrt{2}$ |
| C. 6 | D. 12 |
Część 1: Bok kwadratu
Wzór na przekątną kwadratu to $d = a\sqrt{2}$.
Podstawiamy $d = \sqrt{18}$: $$\sqrt{18} = a\sqrt{2}$$ $$\sqrt{9 \cdot 2} = a\sqrt{2}$$ $$3\sqrt{2} = a\sqrt{2}$$ $$a = 3$$ Zatem poprawna odpowiedź to **A**. Część 2: Pole kwadratu Wzór na pole kwadratu z wykorzystaniem przekątnej to $P = \frac{d^2}{2}$.
Podstawiamy $d = \sqrt{12}$: $$P = \frac{(\sqrt{12})^2}{2}$$ $$P = \frac{12}{2}$$ $$P = 6$$ Zatem poprawna odpowiedź to **C**.
Poprawne odpowiedzi: A, C.
Podstawiamy $d = \sqrt{18}$: $$\sqrt{18} = a\sqrt{2}$$ $$\sqrt{9 \cdot 2} = a\sqrt{2}$$ $$3\sqrt{2} = a\sqrt{2}$$ $$a = 3$$ Zatem poprawna odpowiedź to **A**. Część 2: Pole kwadratu Wzór na pole kwadratu z wykorzystaniem przekątnej to $P = \frac{d^2}{2}$.
Podstawiamy $d = \sqrt{12}$: $$P = \frac{(\sqrt{12})^2}{2}$$ $$P = \frac{12}{2}$$ $$P = 6$$ Zatem poprawna odpowiedź to **C**.
Poprawne odpowiedzi: A, C.
Z urny, w której jest 12 kul białych i 8 kul czarnych, losujemy jedną kulę.
Czy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest większe niż $\frac{1}{2}$? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.
Czy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest większe niż $\frac{1}{2}$? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.
| T | Tak, | ponieważ | A. $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ |
| N | Nie, | B. $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$ | |
| C. $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$ | |||
Krok 1: Obliczamy łączną liczbę kul w urnie
Liczba kul białych: 12
Liczba kul czarnych: 8
Suma wszystkich kul ($N$): $12 + 8 = 20$. Krok 2: Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej Prawdopodobieństwo ($P$) to stosunek liczby kul czarnych do wszystkich kul: $$P = \frac{8}{20}$$ Skracamy ułamek przez 4: $$P = \frac{2}{5}$$ Krok 3: Porównujemy wynik z $\frac{1}{2}$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika (10): $$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$$ Zatem: $$\frac{4}{10} < \frac{5}{10} \implies \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$$ Odpowiedź brzmi **Nie**, ponieważ $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.
Poprawny wybór: N, B.
Liczba kul czarnych: 8
Suma wszystkich kul ($N$): $12 + 8 = 20$. Krok 2: Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej Prawdopodobieństwo ($P$) to stosunek liczby kul czarnych do wszystkich kul: $$P = \frac{8}{20}$$ Skracamy ułamek przez 4: $$P = \frac{2}{5}$$ Krok 3: Porównujemy wynik z $\frac{1}{2}$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika (10): $$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$$ Zatem: $$\frac{4}{10} < \frac{5}{10} \implies \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$$ Odpowiedź brzmi **Nie**, ponieważ $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.
Poprawny wybór: N, B.
W zamrażarce są dwa rodzaje sześciennych kostek lodu do schładzania napojów – mniejsze i większe. Mniejsze kostki ważą po 92 g i mają krawędzie dwa razy krótsze niż większe kostki.
Jaką masę mają większe kostki lodu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jaką masę mają większe kostki lodu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
| A. 18,4 dag | B. 73,6 dag |
| C. 184 dag | D. 736 dag |
Krok 1: Relacja między krawędziami i objętością
Oznaczmy:
$x$ – długość krawędzi mniejszej kostki
$2x$ – długość krawędzi większej kostki
Objętość sześcianu to $V = a^3$.
Objętość mniejszej kostki: $V_{m} = x^3$
Objętość większej kostki: $V_{d} = (2x)^3 = 8x^3 = 8V_{m}$ Krok 2: Obliczenie masy większej kostki Skoro objętość jest 8 razy większa, masa również będzie 8 razy większa:
$8 \cdot 92\text{ g} = 736\text{ g}$ Krok 3: Zamiana jednostek Zamieniamy gramy na dekagramy ($1\text{ dag} = 10\text{ g}$):
$736\text{ g} = 73,6\text{ dag}$
Zatem poprawną odpowiedzią jest B.
$x$ – długość krawędzi mniejszej kostki
$2x$ – długość krawędzi większej kostki
Objętość sześcianu to $V = a^3$.
Objętość mniejszej kostki: $V_{m} = x^3$
Objętość większej kostki: $V_{d} = (2x)^3 = 8x^3 = 8V_{m}$ Krok 2: Obliczenie masy większej kostki Skoro objętość jest 8 razy większa, masa również będzie 8 razy większa:
$8 \cdot 92\text{ g} = 736\text{ g}$ Krok 3: Zamiana jednostek Zamieniamy gramy na dekagramy ($1\text{ dag} = 10\text{ g}$):
$736\text{ g} = 73,6\text{ dag}$
Zatem poprawną odpowiedzią jest B.
W układzie współrzędnych zaznaczono punkty $A$, $B$ i $C$ o obu współrzędnych całkowitych. Odcinki $AB$ i $BC$ są sąsiednimi bokami kwadratu $ABCD$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Wierzchołek $D$ tego kwadratu ma współrzędne $(0, 2)$. | P | F |
| Bok kwadratu $ABCD$ ma długość $\sqrt{41}$. | P | F |
Zdanie 1: Współrzędne wierzchołka D
Z rysunku odczytujemy współrzędne punktów: $A=(-4, -3)$, $B=(1, -7)$ oraz $C=(5, -2)$.
Aby wyznaczyć punkt $D$, musimy przesunąć się z punktu $C$ o taki sam wektor, o jaki przesunęliśmy się z $B$ do $A$. Wektor $\vec{BA} = [-4-1, -3-(-7)] = [-5, 4]$. Zatem $D = C + \vec{BA} = (5-5, -2+4) = (0, 2)$.
Uwaga korekta: Wcześniejsza analiza sugerowała $(2, 0)$, jednak po przeliczeniu wektorów: z $B(1, -7)$ do $C(5, -2)$ idziemy 4 w prawo i 5 do góry. Robiąc to samo z punktu $A(-4, -3)$, otrzymujemy $D(0, 2)$.
Zdanie jest prawdziwe (P). *(Uwaga: Poprawiłem logikę w rozwiązaniu, aby pasowała do matematycznych faktów z rysunku)*. Zdanie 2: Długość boku kwadratu Obliczamy długość boku $AB$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt o przyprostokątnych 5 i 4 kratki):
$a^2 = 5^2 + 4^2$
$a^2 = 25 + 16 = 41$
$a = \sqrt{41}$
Zdanie jest prawdziwe (P).
Poprawne odpowiedzi: P, P.
Aby wyznaczyć punkt $D$, musimy przesunąć się z punktu $C$ o taki sam wektor, o jaki przesunęliśmy się z $B$ do $A$. Wektor $\vec{BA} = [-4-1, -3-(-7)] = [-5, 4]$. Zatem $D = C + \vec{BA} = (5-5, -2+4) = (0, 2)$.
Uwaga korekta: Wcześniejsza analiza sugerowała $(2, 0)$, jednak po przeliczeniu wektorów: z $B(1, -7)$ do $C(5, -2)$ idziemy 4 w prawo i 5 do góry. Robiąc to samo z punktu $A(-4, -3)$, otrzymujemy $D(0, 2)$.
Zdanie jest prawdziwe (P). *(Uwaga: Poprawiłem logikę w rozwiązaniu, aby pasowała do matematycznych faktów z rysunku)*. Zdanie 2: Długość boku kwadratu Obliczamy długość boku $AB$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt o przyprostokątnych 5 i 4 kratki):
$a^2 = 5^2 + 4^2$
$a^2 = 25 + 16 = 41$
$a = \sqrt{41}$
Zdanie jest prawdziwe (P).
Poprawne odpowiedzi: P, P.
Janek zapisał na tablicy pewną liczbę dwucyfrową. Małgosia zapisała pod nią liczbę dwucyfrową powstałą przez przestawienie cyfr w liczbie Janka.
Czy różnica tych liczb jest zawsze podzielna przez 9?
Dowód matematyczny:
Oznaczmy cyfry liczby Janka jako:
$a$ – cyfra dziesiątek, $b$ – cyfra jedności.
Wartość liczby Janka to: $10a + b$.
Po przestawieniu cyfr otrzymujemy liczbę Małgosi: $10b + a$. Obliczamy różnicę tych liczb: $$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$$ Wniosek: Otrzymany wynik jest iloczynem liczby $9$ i liczby całkowitej $(a - b)$. To udowadnia, że różnica tych liczb jest zawsze podzielna przez $9$.
$a$ – cyfra dziesiątek, $b$ – cyfra jedności.
Wartość liczby Janka to: $10a + b$.
Po przestawieniu cyfr otrzymujemy liczbę Małgosi: $10b + a$. Obliczamy różnicę tych liczb: $$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$$ Wniosek: Otrzymany wynik jest iloczynem liczby $9$ i liczby całkowitej $(a - b)$. To udowadnia, że różnica tych liczb jest zawsze podzielna przez $9$.
Obwód prostokąta zbudowanego z 7 jednakowych kwadratów jest równy 48 cm.
Oblicz pole tego prostokąta. Zapisz obliczenia.
Pole prostokąta wynosi:
cm2
Obliczenia i wyjaśnienie:
1. Oznaczmy bok pojedynczego kwadratu jako $x$. Siedem kwadratów ułożonych obok siebie tworzy prostokąt o bokach $x$ oraz $7x$.
2. Obwód prostokąta: $2 \cdot x + 2 \cdot 7x = 48$
3. Uproszczenie: $2x + 14x = 48 \implies 16x = 48 \implies x = 3$ cm.
4. Wymiary prostokąta: bok $a = 3$ cm, bok $b = 7 \cdot 3 = 21$ cm.
5. Pole powierzchni: $P = 3 \cdot 21 = 63$ cm².
Poprawny wynik: 63 cm².
1. Oznaczmy bok pojedynczego kwadratu jako $x$. Siedem kwadratów ułożonych obok siebie tworzy prostokąt o bokach $x$ oraz $7x$.
2. Obwód prostokąta: $2 \cdot x + 2 \cdot 7x = 48$
3. Uproszczenie: $2x + 14x = 48 \implies 16x = 48 \implies x = 3$ cm.
4. Wymiary prostokąta: bok $a = 3$ cm, bok $b = 7 \cdot 3 = 21$ cm.
5. Pole powierzchni: $P = 3 \cdot 21 = 63$ cm².
Poprawny wynik: 63 cm².
Zakład produkuje 1600 litrów napoju dziennie. Składniki miesza się według rodzinnej receptury – w proporcji 3 litry soku owocowego na 5 litrów wody. Z 1 kilograma owoców otrzymuje się 0,8 litra soku. Ile kilogramów owoców dziennie zużywa się w tym zakładzie? Zapisz obliczenia.
Dziennie należy wykorzystać:
kg owoców.
Obliczenia krok po kroku:
1. Stosunek soku do wody wynosi $3:5$. Oznaczamy części jako $x$.
2. Suma części w napoju: $3x \text{ (sok)} + 5x \text{ (woda)} = 8x \text{ (cały napój)}$.
3. Obliczamy wartość jednej części ($x$): $$8x = 1600 \text{ l} \implies x = 200 \text{ l}$$ 4. Ilość potrzebnego soku owocowego: $$3 \cdot 200 \text{ l} = 600 \text{ l}$$ 5. Obliczamy masę owoców (skoro z 1 kg otrzymujemy 0,8 l soku): $$600 \text{ l} : 0,8 \text{ l/kg} = 750 \text{ kg}$$
Odp: Dziennie zużywa się 750 kg owoców.
1. Stosunek soku do wody wynosi $3:5$. Oznaczamy części jako $x$.
2. Suma części w napoju: $3x \text{ (sok)} + 5x \text{ (woda)} = 8x \text{ (cały napój)}$.
3. Obliczamy wartość jednej części ($x$): $$8x = 1600 \text{ l} \implies x = 200 \text{ l}$$ 4. Ilość potrzebnego soku owocowego: $$3 \cdot 200 \text{ l} = 600 \text{ l}$$ 5. Obliczamy masę owoców (skoro z 1 kg otrzymujemy 0,8 l soku): $$600 \text{ l} : 0,8 \text{ l/kg} = 750 \text{ kg}$$
Odp: Dziennie zużywa się 750 kg owoców.
Na podwórku stał prostopadłościenny zbiornik na wodę, którego podstawa ma kształt prostokąta o jednym boku 2 razy dłuższym od drugiego. Po intensywnych opadach deszczu w zbiorniku przybyły 64 litry wody, a poziom wody podniósł się o 20 cm. Jakie wymiary ma podstawa tego zbiornika? Zapisz obliczenia.
Dłuższy bok podstawy:
cm
Krótszy bok podstawy: cm
Krótszy bok podstawy: cm
Obliczenia krok po kroku:
1. Zamieniamy jednostki na decymetry ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ litr}$):
Przyrost objętości $V = 64\text{ l} = 64\text{ dm}^3$
Wzrost poziomu wody $h = 20\text{ cm} = 2\text{ dm}$
2. Oznaczamy boki podstawy:
$x$ – krótszy bok (dm)
$2x$ – dłuższy bok (dm)
3. Korzystamy ze wzoru na objętość $V = a \cdot b \cdot h$:
$x \cdot 2x \cdot 2\text{ dm} = 64\text{ dm}^3$
$4x^2 = 64 \implies x^2 = 16 \implies x = 4\text{ dm}$
4. Wynik końcowy w cm:
Krótszy bok: $4\text{ dm} = 40\text{ cm}$
Dłuższy bok: $2 \cdot 4\text{ dm} = 8\text{ dm} = 80\text{ cm}$
Odp: Wymiary podstawy to 80 cm na 40 cm.
1. Zamieniamy jednostki na decymetry ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ litr}$):
Przyrost objętości $V = 64\text{ l} = 64\text{ dm}^3$
Wzrost poziomu wody $h = 20\text{ cm} = 2\text{ dm}$
2. Oznaczamy boki podstawy:
$x$ – krótszy bok (dm)
$2x$ – dłuższy bok (dm)
3. Korzystamy ze wzoru na objętość $V = a \cdot b \cdot h$:
$x \cdot 2x \cdot 2\text{ dm} = 64\text{ dm}^3$
$4x^2 = 64 \implies x^2 = 16 \implies x = 4\text{ dm}$
4. Wynik końcowy w cm:
Krótszy bok: $4\text{ dm} = 40\text{ cm}$
Dłuższy bok: $2 \cdot 4\text{ dm} = 8\text{ dm} = 80\text{ cm}$
Odp: Wymiary podstawy to 80 cm na 40 cm.
Za 2 piłki do tenisa stołowego i 4 piłki do tenisa ziemnego zapłacono 51 zł. Piłka do tenisa ziemnego jest droższa od piłki do tenisa stołowego o 7,50 zł. Ile kosztuje piłka do tenisa stołowego, a ile – do tenisa ziemnego? Zapisz obliczenia.
Piłka do tenisa stołowego kosztuje:
zł
Piłka do tenisa ziemnego kosztuje: zł
Piłka do tenisa ziemnego kosztuje: zł
Obliczenia krok po kroku:
1. Oznaczmy ceny piłek:
$y$ – cena piłki do tenisa stołowego
$x$ – cena piłki do tenisa ziemnego
2. Układamy równania na podstawie treści zadania:
I: $2y + 4x = 51$ (łączny koszt)
II: $x = y + 7,50$ (różnica w cenie)
3. Podstawiamy równanie II do równania I:
$2y + 4(y + 7,50) = 51$
$2y + 4y + 30 = 51$
$6y = 21 \implies y = 3,50$
4. Obliczamy cenę $x$:
$x = 3,50 + 7,50 = 11,00$
Odp: Piłka do tenisa stołowego kosztuje 3,50 zł, a do ziemnego 11 zł.
1. Oznaczmy ceny piłek:
$y$ – cena piłki do tenisa stołowego
$x$ – cena piłki do tenisa ziemnego
2. Układamy równania na podstawie treści zadania:
I: $2y + 4x = 51$ (łączny koszt)
II: $x = y + 7,50$ (różnica w cenie)
3. Podstawiamy równanie II do równania I:
$2y + 4(y + 7,50) = 51$
$2y + 4y + 30 = 51$
$6y = 21 \implies y = 3,50$
4. Obliczamy cenę $x$:
$x = 3,50 + 7,50 = 11,00$
Odp: Piłka do tenisa stołowego kosztuje 3,50 zł, a do ziemnego 11 zł.
Trójkąty $ABC$ oraz $ABD$ mają wspólną podstawę $AB$ (patrz rysunek). Pole trójkąta $ABD$ jest 1,5 raza mniejsze niż pole trójkąta $ABC$.
Oblicz wysokość trójkąta $ABD$ opuszczoną z wierzchołka $D$. Zapisz obliczenia.
Wysokość opuszczona z wierzchołka $D$ jest równa:
cm
Obliczenia krok po kroku:
1. Niech $h_{D}$ oznacza wysokość trójkąta $ABD$ opuszczoną z wierzchołka $D$.
2. Z rysunku odczytujemy: podstawa $AB = 6$ cm, a wysokość trójkąta $ABC$ wynosi 9 cm.
3. Z treści zadania wiemy, że $P_{ABC} = 1,5 \cdot P_{ABD}$.
4. Zapisujemy równanie:
$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 1,5 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_{D})$
$3 \cdot 9 = 1,5 \cdot 3 \cdot h_{D}$
$27 = 4,5 \cdot h_{D}$
$h_{D} = 27 : 4,5 = 6$ cm.
Odp: Wysokość opuszczona z wierzchołka D jest równa 6 cm.
1. Niech $h_{D}$ oznacza wysokość trójkąta $ABD$ opuszczoną z wierzchołka $D$.
2. Z rysunku odczytujemy: podstawa $AB = 6$ cm, a wysokość trójkąta $ABC$ wynosi 9 cm.
3. Z treści zadania wiemy, że $P_{ABC} = 1,5 \cdot P_{ABD}$.
4. Zapisujemy równanie:
$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 1,5 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_{D})$
$3 \cdot 9 = 1,5 \cdot 3 \cdot h_{D}$
$27 = 4,5 \cdot h_{D}$
$h_{D} = 27 : 4,5 = 6$ cm.
Odp: Wysokość opuszczona z wierzchołka D jest równa 6 cm.
✏️ 📚 📐
×
Komentarze
Prześlij komentarz