📝 Instrukcja dla ucznia:
- Wpisz Imię i Nazwisko w polu poniżej.
- Uruchom Czas pracy przyciskiem START.
- Rozwiązuj zadania i klikaj przycisk sprawdzenia przy każdym z nich.
- Na końcu kliknij "Wyślij wyniki", aby zakończyć test.
$a = \left(-\frac{2}{5}\right)^5, \quad b = \left(-\frac{2}{5}\right)^6, \quad c = \left(\frac{2}{5}\right)^0, \quad d = \left(-\frac{2}{5}\right)^8$
Wpisz odpowiednie litery w okienka, aby otrzymać nierówność prawdziwą:- $a < 0$, bo wykładnik $5$ jest nieparzysty.
- $b, c, d > 0$.
- Jeśli $0 < x < 1$, to większa jest ta potęga $x$, która ma mniejszy wykładnik. Ponieważ $\frac{2}{5} < 1$, to porównując wykładniki $8 > 6$, otrzymujemy $d < b$.
- $c = 1$ z definicji potęgi o wykładniku zero.
Wobec tego: $a < d < b < c$
Załóżmy, że musimy dodać $x$ trójek:
- $x \cdot 3 = 3^{10} \quad | : 3$
- $x = 3^{10} : 3$
- $x = 3^{10} : 3^1$
- $x = 3^9$
Odpowiedź: $3^9$
W ciągu tygodnia rozpada się połowa promieniotwórczego pierwiastka zwanego jodem-131. W ciągu następnego tygodnia z pozostałej części znowu rozpada się połowa itd.
Jod-131 ma stosunkowo krótki czas rozpadu, co sprawia, że jest niezwykle cennym narzędziem w medycynie nuklearnej (np. w leczeniu tarczycy). Dzięki szybkiej redukcji radioaktywności wyrządza on znacznie mniejsze szkody w organizmie pacjenta niż pierwiastki o długim czasie trwania rozpadu.
| Czas | Część, która się rozpadła | Część pozostała |
|---|---|---|
| 1 tydz. | $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 2 tyg. | $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ | $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ |
| 3 tyg. | $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ | $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ |
| 4 tyg. | $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ | $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$ |
| ... | ||
| 52 tyg. | $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{52}$ | $\left(\frac{1}{2}\right)^{52}$ |
- Ad a) Zależność opisuje potęga o podstawie $\frac{1}{2}$.
- Ad b) $\frac{1}{4}$ to inaczej $0,25$, czyli $25\%$.
- Ad c) Spadek stężenia 8-krotny oznacza osiągnięcie poziomu $\frac{1}{8}$, co zajmuje 3 tygodnie.
Aby dowiedzieć się, ile razy jedna wartość jest większa od drugiej, musimy obliczyć ich iloraz:
$10^{10} : 10^4 = 10^{10-4} = 10^6$
Odpowiedź: $10^6$
$(1999^{2000})^{2001} : (1999^{2001})^{2000}$
Korzystamy z prawa potęgowania potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
- Obliczamy pierwszy człon: $(1999^{2000})^{2001} = 1999^{2000 \cdot 2001}$
- Obliczamy drugi człon: $(1999^{2001})^{2000} = 1999^{2001 \cdot 2000}$
- Zauważamy, że mnożenie jest przemienne, więc: $2000 \cdot 2001 = 2001 \cdot 2000$.
Zatem całe wyrażenie to dzielenie dwóch identycznych liczb:
$1999^{4002000} : 1999^{4002000} = 1$
Odpowiedź: $1$
Najpierw sprowadzamy obie długości boków do tej samej jednostki (np. milimetrów):
- $a = 10^3\text{ km} = 10^3 \cdot 10^6\text{ mm} = 10^9\text{ mm}$
- $b = 10\text{ mm} = 10^1\text{ mm}$
Wzór na pole kwadratu to $P = \text{bok}^2$:
- $P_a = (10^9)^2 = 10^{18}\text{ mm}^2$
- $P_b = (10^1)^2 = 10^{2}\text{ mm}^2$
Dzielimy pole większego kwadratu przez mniejsze:
$10^{18} : 10^2 = 10^{18-2} = 10^{16}$
Odpowiedź: $10^{16}$
Oblicz sprytnie:
Kluczem jest szukanie par $2 \cdot 5 = 10$.
$128 \cdot 5^7 = 2^7 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^7 = 10^7 = \mathbf{10\,000\,000}$
$25^3 \cdot 64 = (5^2)^3 \cdot 2^6 = 5^6 \cdot 2^6 = (5 \cdot 2)^6 = 10^6 = \mathbf{1\,000\,000}$
$\frac{10^4}{5^7} \cdot 125 = \frac{(2 \cdot 5)^4}{5^7} \cdot 5^3 = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3}{5^7} = \frac{2^4 \cdot 5^7}{5^7} = 2^4 = \mathbf{16}$
Zamień jednostkę powierzchni, korzystając z informacji, że $1\text{ mm} = 1000\text{ μm}$:
Najpierw ustalmy, ile mikrometrów ($\text{μm}$) mieści się w jednym kilometrze ($\text{km}$):
- $1\text{ km} = 1000\text{ m}$
- $1\text{ m} = 1000\text{ mm}$
- $1\text{ mm} = 1000\text{ μm}$
Zatem: $1\text{ km} = 1000 \cdot 1000 \cdot 1000\text{ μm} = 10^9\text{ μm}$.
Ponieważ zamieniamy jednostki pola, musimy podnieść tę zależność do kwadratu:
$1\text{ km}^2 = (10^9\text{ μm})^2 = 10^{9 \cdot 2}\text{ μm}^2 = \mathbf{10^{18}\text{ μm}^2}$
Jednostką masy używaną w chemii jest tzw. atomowa jednostka masy ($1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-24} \text{ g}$). Wyraź w gramach podaną masę i zapisz ją w notacji wykładniczej:
a) Masa atomu helu wynosi $4 \text{ u}$.
Hel jest drugim najpowszechniejszym pierwiastkiem we Wszechświecie. Na Słońcu, w wyniku potężnych reakcji termojądrowych, jądra lżejszego wodoru łączą się ze sobą, przekształcając się właśnie w hel i uwalniając przy tym ogromne ilości energii.
Wiadomo, że $\sqrt{abc} = 2\sqrt{5}$ oraz $\sqrt[3]{abcd} = 5\sqrt[3]{2}$. Oblicz $d$.
Podnosimy pierwsze równanie obustronnie do kwadratu:
$\sqrt{abc} = 2\sqrt{5} \implies abc = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$
Podnosimy drugie równanie obustronnie do trzeciej potęgi (sześcianu):
$\sqrt[3]{abcd} = 5\sqrt[3]{2} \implies abcd = (5\sqrt[3]{2})^3 = 125 \cdot 2 = 250$
Dzielimy wartość $abcd$ przez wartość $abc$:
$d = \frac{abcd}{abc} = \frac{250}{20} = \mathbf{12,5}$
Odpowiedź: $d = 12,5$.
Test zakończony!
Imię Nazwisko
Wróć do zadań i spróbuj jeszcze raz poprawić wynik!
Komentarze
Prześlij komentarz