Instrukcja dla ucznia
-
1
Wpisz swoje Imię i Nazwisko w wyznaczonym polu poniżej.
-
2
Uruchom odliczanie czasu pracy, klikając przycisk START.
-
3
Rozwiązuj zadania po kolei i klikaj przycisk sprawdzenia przy każdym z nich.💡 Wskazówka: Po sprawdzeniu odpowiedzi pojawi się dodatkowa opcja "Pokaż rozwiązanie", która pozwoli Ci przeanalizować zadanie krok po kroku.
-
4
Po rozwiązaniu wszystkich zadań kliknij przycisk Wyślij wyniki.📧 Twoje odpowiedzi oraz końcowy rezultat zostaną automatycznie przesłane na konto nauczyciela.🏆 Po wysłaniu wyników pojawi się wyskakujące okienko w którym zobaczysz swój wynik - sumę punktów oraz procent poprawnych odpowiedzi
Informacja o uczniu:
Czas pracy
00:00
Postęp: 0% | Punkty: 0 / 0
Zadanie 1
0–4 pkt
Czy poniższe równości są prawdziwe? Wskaż poprawne odpowiedzi.
| $0,2^2 = 0,4$ | $(3\frac{2}{5})^2 = 9\frac{4}{25}$ | ||
| $(\frac{2}{3})^3 = \frac{6}{9}$ | $0,5^6 = \frac{1}{2^6}$ |
Analiza krok po kroku:
Wskazówka: Przy potęgowaniu ułamków dziesiętnych pamiętaj, że liczba miejsc po przecinku w wyniku to liczba miejsc w podstawie pomnożona przez wykładnik.
Zadanie 2
0–1 pkt
Wartość wyrażenia $-(-2)^5$ wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
- Najpierw obliczamy potęgę liczby ujemnej: $(-2)^5$. Ponieważ wykładnik (5) jest nieparzysty: $(-2)^5 = -32$.
- Uwzględniamy znak minus przed nawiasem: $-(-32) = 32$.
- Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 3
0–1 pkt
Spośród poniższych wyrażeń największą wartość ma:
Analiza wartości wyrażeń:
- A: $-0,1^2 = -0,01$
- B: $(-0,1)^2 = 0,01$
- C: $-0,3^2 = -0,09$
- D: $(-0,3)^2 = 0,09$
Największą wartością jest $0,09$.
Poprawna odpowiedź: D.
Zadanie 4
0–1 pkt
Kwadrat liczby $2\frac{2}{3}$ wynosi:
Rozwiązanie:
- Zamiana na ułamek niewłaściwy: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
- Podniesienie do kwadratu: $(\frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9}$.
- Wyciągnięcie całości: $\frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}$.
- Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 5
0–2 pkt
Dane są cztery liczby: $a = 0^7$, $b = (-5)^0$, $c = 8^0$, $d = 1^6$.
a) Która z tych liczb jest najmniejsza?
a) Która z tych liczb jest najmniejsza?
b) Które z tych liczb są równe?
Analiza wartości liczb:
Podsumowanie:
- Najmniejsza liczba to **$a$ (wynosi 0)**. Poprawna odpowiedź: **A**.
- Liczby równe to **$b, c, d$ (wszystkie wynoszą 1)**. Poprawna odpowiedź: **B**.
Zadanie 6
0–1 pkt
W którym wypadku znak równości wpisano błędnie?
Analiza poprawności równości:
Wyjaśnienie błędu w C: Przy potęgowaniu ułamka dziesiętnego $0,3$ do potęgi trzeciej, wynik musi mieć 3 miejsca po przecinku (1 miejsce $\times$ 3). Zatem $0,3^3 = 0,027$, a nie $0,27$.
Poprawna odpowiedź: C.
Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 7
0–1 pkt
Liczba $10^{-6}$ zapisana słownie to:
Rozwiązanie:
Ujemny wykładnik potęgi oznacza odwrotność liczby. Skorzystajmy ze wzoru:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
$10^{-6} = \frac{1}{10^6} = \frac{1}{1\,000\,000}$
W naszym przypadku:
Liczba $1\,000\,000$ to milion, zatem ułamek $\frac{1}{1\,000\,000}$ to jedna milionowa.
Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 8
0–1 pkt
Jeden procent liczby $10^{7}$ jest równy:
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Zamieniamy procent na ułamek lub potęgę liczby 10:
1% = $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$ -
Obliczamy 1% z liczby $10^7$ wykonując mnożenie:
$10^{-2} \cdot 10^7$ -
Stosujemy prawo działań na potęgach (dodajemy wykładniki):
$10^{-2 + 7} = 10^5$
Inny sposób: Jeden procent to jedna setna, czyli dzielenie przez 100:
$\frac{10^7}{100} = \frac{10^7}{10^2} = 10^{7-2} = 10^5$
Poprawna odpowiedź: D.
$\frac{10^7}{100} = \frac{10^7}{10^2} = 10^{7-2} = 10^5$
Poprawna odpowiedź: D.
Zadanie 9
0–3 pkt
Czy poniższe równości są prawdziwe? Wskaż poprawne odpowiedzi.
| $(2^5)^7 = 2^{12}$ | |
| $(3^4)^2 = 9^4$ | |
| $49^5 = 7^{10}$ |
Analiza działań:
$(2^5)^7 = 2^{5 \cdot 7} = 2^{35}$
Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki. Ponieważ $35 \neq 12$, równość jest błędna.
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$ oraz $9^4 = (3^2)^4 = 3^8$
Obie strony sprowadzone do podstawy 3 dają ten sam wynik. Równość jest prawdziwa.
$49^5 = (7^2)^5 = 7^{2 \cdot 5} = 7^{10}$
Liczba 49 to $7^2$. Po zastosowaniu prawa mnożenia wykładników otrzymujemy dokładnie $7^{10}$. Równość jest prawdziwa.
Zadanie 10
0–1 pkt
Rozwiązaniem równania $7^x \cdot 7^3 : 7 = 49$ jest liczba:
Rozwiązanie równania:
1. Sprowadzamy obie strony równania do potęgi o podstawie 7:
Lewa strona: $7^x \cdot 7^3 : 7^1 = 7^{x + 3 - 1} = 7^{x + 2}$
Prawa strona: $49 = 7^2$
Lewa strona: $7^x \cdot 7^3 : 7^1 = 7^{x + 3 - 1} = 7^{x + 2}$
Prawa strona: $49 = 7^2$
2. Otrzymujemy równanie: $7^{x + 2} = 7^2$
3. Porównujemy wykładniki: $x + 2 = 2 \implies x = 0$
Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 11
0–1 pkt
Która z liczb $a = 5^{18} : 5^4$, $b = (5^7)^2$, $c = 5^{10} \cdot 25^4$, $d = 25^7$ jest największa?
Porównanie liczb (podstawa 5):
Liczba a: $5^{18} : 5^4$
$5^{14}$
Liczba b: $(5^7)^2$
$5^{14}$
Liczba c: $5^{10} \cdot (5^2)^4 = 5^{10} \cdot 5^8$
$5^{18}$
Liczba d: $25^7 = (5^2)^7$
$5^{14}$
Wniosek: Największa jest liczba c.
Poprawna odpowiedź: C.
Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 12
0–2 pkt
Dane są liczby: $a = 27 \cdot 27 \cdot 27$, $b = 3 \cdot 3^8$, $c = 81^2$, $d = \frac{3^{10}}{3}$, $e = 3^{12} : 9$.
12.1. Ile z tych liczb jest równych $3^9$?
12.2. Ile z tych liczb jest mniejszych od $3^9$?
12.1. Ile z tych liczb jest równych $3^9$?
Analiza wszystkich liczb (podstawa 3):
a = $27^3 = (3^3)^3 = 3^9$
b = $3^1 \cdot 3^8 = 3^9$
c = $81^2 = (3^4)^2 = 3^8$ (mniejsza od $3^9$)
d = $3^{10} : 3^1 = 3^9$
e = $3^{12} : 3^2 = 3^{10}$ (większa od $3^9$)
Wyniki:
• Równe $3^9$ są liczby: a, b, d (łącznie trzy) → Odp: B
• Mniejsza od $3^9$ jest liczba: c (łącznie jedna) → Odp: C
• Równe $3^9$ są liczby: a, b, d (łącznie trzy) → Odp: B
• Mniejsza od $3^9$ jest liczba: c (łącznie jedna) → Odp: C
Zadanie 13
0–1 pkt
Wyrażenie $((5^5)^5)^5$ można zapisać inaczej jako:
Analiza wszystkich wariantów:
Opcja B (Poprawna):
$((5^5)^5)^5 = 5^{5 \cdot 5 \cdot 5} = 5^{125}$
Opcja A:
$5^{15}$ — powstałaby, gdybyśmy zamiast potęgować, wykonali działanie $5^{5+5+5}$. Jest to błędne podejście przy potęgowaniu potęgi.
Opcja C:
$25^{10} = (5^2)^{10} = 5^{20}$ — wartość ta jest znacznie mniejsza niż $5^{125}$.
Opcja D:
$5^{55^5}$ — to jedynie zapis symboliczny, który nie wynika z żadnej reguły działań na potęgach w tym przykładzie.
Zapamiętaj: Przy "piętrowym" potęgowaniu w nawiasach, czyli $( (a^m)^n )^p$, zawsze **mnożymy** wszystkie wykładniki przez siebie.
Poprawna odpowiedź: B.
Poprawna odpowiedź: B.
Zadanie 14
0–1 pkt
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $10^6$ m wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu to $P_c = 6 \cdot a^2$, gdzie $a$ to długość krawędzi.
2. Podstawiamy naszą krawędź $a = 10^6$ m:
$P_c = 6 \cdot (10^6)^2$
Stosujemy prawo potęgowania potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(10^6)^2 = 10^{6 \cdot 2} = 10^{12}$
Zatem: $P_c = 6 \cdot 10^{12}$ m$^2$
Stosujemy prawo potęgowania potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(10^6)^2 = 10^{6 \cdot 2} = 10^{12}$
Zatem: $P_c = 6 \cdot 10^{12}$ m$^2$
Dlaczego pozostałe są błędne?
• Opcja A: Zapomniano o potęgowaniu krawędzi ($a^2$).
• Opcja C: Błędnie włączono szóstkę pod nawias z potęgą.
• Opcja D: To wzór na objętość ($a^3$), bo $(10^6)^3 = 10^{18}$.
• Opcja A: Zapomniano o potęgowaniu krawędzi ($a^2$).
• Opcja C: Błędnie włączono szóstkę pod nawias z potęgą.
• Opcja D: To wzór na objętość ($a^3$), bo $(10^6)^3 = 10^{18}$.
Poprawna odpowiedź: B
Zadanie 15
0–3 pkt
Czy poniższe równości są prawdziwe? Wskaż poprawne odpowiedzi.
$30^6 = 5^6 \cdot 6^6$
$12^6 = 10^6 + 2^6$
$15^4 : 3^4 = 5^4$
Wyjaśnienie zasad:
1. $30^6 = (5 \cdot 6)^6 = 5^6 \cdot 6^6$
✔ TAK. Przy mnożeniu potęg o tym samym wykładniku, mnożymy ich podstawy.
✔ TAK. Przy mnożeniu potęg o tym samym wykładniku, mnożymy ich podstawy.
2. $12^6 = 10^6 + 2^6$
✘ NIE. Nie istnieje żadna reguła pozwalająca na dodawanie podstaw przy tym samym wykładniku. Wartość $12^6$ jest znacznie większa niż suma tych dwóch liczb.
✘ NIE. Nie istnieje żadna reguła pozwalająca na dodawanie podstaw przy tym samym wykładniku. Wartość $12^6$ jest znacznie większa niż suma tych dwóch liczb.
3. $15^4 : 3^4 = (15 : 3)^4 = 5^4$
✔ TAK. Przy dzieleniu potęg o tym samym wykładniku, dzielimy ich podstawy.
✔ TAK. Przy dzieleniu potęg o tym samym wykładniku, dzielimy ich podstawy.
Zadanie 16
0–1 pkt
Sześcian o krawędzi długości 3 000 000 ma objętość równą:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Najpierw zapisujemy długość krawędzi $a$ w notacji wykładniczej:
$a = 3\,000\,000 = 3 \cdot 10^6$
2. Stosujemy wzór na objętość sześcianu: $V = a^3$.
$V = (3 \cdot 10^6)^3$
Korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$V = 3^3 \cdot (10^6)^3$
Obliczamy poszczególne elementy:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$(10^6)^3 = 10^{6 \cdot 3} = 10^{18}$ (potęgowanie potęgi)
Wynik: $V = 27 \cdot 10^{18}$
Korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$V = 3^3 \cdot (10^6)^3$
Obliczamy poszczególne elementy:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$(10^6)^3 = 10^{6 \cdot 3} = 10^{18}$ (potęgowanie potęgi)
Wynik: $V = 27 \cdot 10^{18}$
Poprawna odpowiedź: D
Zadanie 17
0–1 pkt
Kwadrat wyrażenia $2x^2y$ można zapisać w postaci:
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby podnieść jednomian do kwadratu, musimy podnieść do drugiej potęgi każdy jego czynnik z osobna (liczby i litery):
$(2x^2y)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2$
Wykonujemy działania:
• $2^2 = 4$
• $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$ (zgodnie z zasadą $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$)
• $y^2 = y^2$
Ostateczny wynik: $4x^4y^2$
Wykonujemy działania:
• $2^2 = 4$
• $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$ (zgodnie z zasadą $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$)
• $y^2 = y^2$
Ostateczny wynik: $4x^4y^2$
Analiza błędów:
• Opcja A: Błędnie dodano wykładnik do $x$ ($2+1$) zamiast pomnożyć ($2 \cdot 2$).
• Opcja B: Nie podniesiono zmiennych do kwadratu.
• Opcja D: Zapomniano o podniesieniu liczby 2 do kwadratu.
• Opcja A: Błędnie dodano wykładnik do $x$ ($2+1$) zamiast pomnożyć ($2 \cdot 2$).
• Opcja B: Nie podniesiono zmiennych do kwadratu.
• Opcja D: Zapomniano o podniesieniu liczby 2 do kwadratu.
Poprawna odpowiedź: C
Zadanie 18
0–1 pkt
Rozwiązaniem równania $32^2 \cdot 4^2 : 2^7 = 2^x$ jest liczba:
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby rozwiązać to równanie, sprowadzamy wszystkie podstawy do liczby 2:
1. Zamieniamy podstawy:
• $32 = 2^5$, więc $32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}$
• $4 = 2^2$, więc $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$
2. Podstawiamy do równania:
$2^{10} \cdot 2^4 : 2^7 = 2^x$
3. Korzystamy z działań na potęgach:
• Mnożenie: $2^{10+4} = 2^{14}$
• Dzielenie: $2^{14-7} = 2^7$
Otrzymujemy: $2^7 = 2^x \implies \mathbf{x = 7}$
• $32 = 2^5$, więc $32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}$
• $4 = 2^2$, więc $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$
2. Podstawiamy do równania:
$2^{10} \cdot 2^4 : 2^7 = 2^x$
3. Korzystamy z działań na potęgach:
• Mnożenie: $2^{10+4} = 2^{14}$
• Dzielenie: $2^{14-7} = 2^7$
Otrzymujemy: $2^7 = 2^x \implies \mathbf{x = 7}$
Poprawna odpowiedź: C
Zadanie 19
0–1 pkt
Odległość od Ziemi do najbliższych gwiazd (poza Słońcem) to około $4 \cdot 10^{13}$ km. Odległość ta zapisana bez użycia potęg ma postać:
Wyjaśnienie:
Zapis $4 \cdot 10^{13}$ oznacza, że liczbę 4 mnożymy przez jedynkę z trzynastoma zerami ($10\,000\,000\,000\,000$).
4 [i dopisujemy 13 zer]
= 40 000 000 000 000
= 40 000 000 000 000
Pamiętaj:
• Dodatni wykładnik (13) oznacza bardzo dużą liczbę (przesuwamy przecinek w prawo).
• Ujemny wykładnik (np. $-13$) oznaczałby bardzo małą liczbę ułamkową (jak w opcjach B i D).
• Dodatni wykładnik (13) oznacza bardzo dużą liczbę (przesuwamy przecinek w prawo).
• Ujemny wykładnik (np. $-13$) oznaczałby bardzo małą liczbę ułamkową (jak w opcjach B i D).
Poprawna odpowiedź: A
Zadanie 20
0–1 pkt
Kropla wody waży około $4 \cdot 10^{-5}$ kg, czyli:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Najpierw zamieniamy kilogramy na gramy. Wiemy, że $1$ kg $= 1000$ g $= 10^3$ g.
$4 \cdot 10^{-5}$ kg $= 4 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3$ g
Korzystamy z dodawania wykładników przy mnożeniu:
$10^{-5} \cdot 10^3 = 10^{-5 + 3} = 10^{-2}$
Zatem: $4 \cdot 10^{-2}$ g $= 4 \cdot 0,01$ g $= \mathbf{0,04}$ g
Korzystamy z dodawania wykładników przy mnożeniu:
$10^{-5} \cdot 10^3 = 10^{-5 + 3} = 10^{-2}$
Zatem: $4 \cdot 10^{-2}$ g $= 4 \cdot 0,01$ g $= \mathbf{0,04}$ g
Inna metoda:
$4 \cdot 10^{-5}$ kg $= 0,00004$ kg. Przesuwamy przecinek o 3 miejsca w prawo, aby przejść na gramy: $0,04$ g.
Poprawna odpowiedź: D
Zadanie 21
0–1 pkt
Troje uczniów zapisało następujące równości:
Alicja
$4 \cdot (5 \cdot 10^8) = 2 \cdot 10^9$
$4 \cdot (5 \cdot 10^8) = 2 \cdot 10^9$
Bartek
$(2 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^5) = 6 \cdot 10^{11}$
$(2 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^5) = 6 \cdot 10^{11}$
Celina
$(3 \cdot 10^4)^2 = 9 \cdot 10^8$
$(3 \cdot 10^4)^2 = 9 \cdot 10^8$
Kto z nich zapisał poprawną równość?
Analiza równości:
- Alicja: $4 \cdot 5 \cdot 10^8 = 20 \cdot 10^8$. W notacji wykładniczej $20 \cdot 10^8 = 2 \cdot 10^1 \cdot 10^8 = 2 \cdot 10^9$. (POPRAWNIE)
- Bartek: $(2 \cdot 3) \cdot (10^6 \cdot 10^5) = 6 \cdot 10^{6+5} = 6 \cdot 10^{11}$. (POPRAWNIE)
- Celina: $(3 \cdot 10^4)^2 = 3^2 \cdot (10^4)^2 = 9 \cdot 10^{4 \cdot 2} = 9 \cdot 10^8$. (POPRAWNIE)
Poprawna odpowiedź: D
Zadanie 22
0–1 pkt
Elektron waży ok. $10^{-30}$ kg, a wirus grypy — ok. $10^{-15}$ kg. Z tego wynika, że:
Rozwiązanie:
Aby dowiedzieć się, ile razy jedna rzecz jest lżejsza od drugiej, musimy podzielić ich masy przez siebie:
$$\frac{\text{masa wirusa}}{\text{masa elektronu}} = \frac{10^{-15}}{10^{-30}}$$
Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki:
$10^{-15 - (-30)} = 10^{-15 + 30} = 10^{15}$
Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki:
$10^{-15 - (-30)} = 10^{-15 + 30} = 10^{15}$
Oznacza to, że wirus jest $10^{15}$ razy cięższy od elektronu, czyli elektron jest $10^{15}$ razy lżejszy od wirusa.
Poprawna odpowiedź: B
Zadanie 23
0–3 pkt
Jedna warstwa lakieru nakładanego na nadwozie samochodu ma grubość około $9 \cdot 10^{-5}$ m. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F — jeśli jest fałszywe.
| Zdanie | Ocena |
|---|---|
| Grubość 10 warstw takiego lakieru byłaby równa $9 \cdot 10^{-6}$ m. | |
| Połowa grubości warstwy lakieru byłaby równa $4,5 \cdot 5^{-2,5}$ m. | |
| Jeżeli lakier na nadwoziu samochodu tworzyłby powłokę o grubości $1,8 \cdot 10^{-4}$ m, to znaczy, że nadwozie pokryto 20 warstwami lakieru. |
Wyjaśnienie (dlaczego FFF):
- Zdanie 1 (FAŁSZ): Obliczamy grubość 10 warstw: $10 \cdot (9 \cdot 10^{-5}) = 9 \cdot 10^1 \cdot 10^{-5} = 9 \cdot 10^{-4}$ m. Podana wartość $10^{-6}$ jest błędna.
- Zdanie 2 (FAŁSZ): Połowa grubości to $\frac{9 \cdot 10^{-5}}{2} = 4,5 \cdot 10^{-5}$ m. Zapis z podstawą 5 w wykładniku jest całkowicie niepoprawny.
-
Zdanie 3 (FAŁSZ): Sprawdzamy grubość 20 warstw:
$20 \cdot (9 \cdot 10^{-5}) = 180 \cdot 10^{-5} = 1,8 \cdot 10^2 \cdot 10^{-5} = \mathbf{1,8 \cdot 10^{-3}}$ m.
W zadaniu podano $1,8 \cdot 10^{-4}$ m, co jest wartością 10-krotnie mniejszą.
Poprawne odpowiedzi: F / F / F
Zadanie 24
0–1 pkt
Masę Słońca można zapisać jako $2 \cdot 10^{30}$ kg. Słoń waży przeciętnie 5 ton. Ile razy Słońce jest cięższe od czterdziestu tysięcy słoni?
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Masa 40 000 słoni w kilogramach:
- • Jeden słoń: $5$ ton $= 5000$ kg $= 5 \cdot 10^3$ kg
- • 40 000 słoni: $4 \cdot 10^4$
- • Razem: $4 \cdot 10^4 \cdot 5 \cdot 10^3 = 20 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^8$ kg
2. Obliczamy, ile razy Słońce jest cięższe:
$$\frac{\text{Masa Słońca}}{\text{Masa słoni}} = \frac{2 \cdot 10^{30}}{2 \cdot 10^8}$$
Skracamy dwójki i odejmujemy wykładniki:
$10^{30-8} = 10^{22}$
Skracamy dwójki i odejmujemy wykładniki:
$10^{30-8} = 10^{22}$
Poprawna odpowiedź: A
Zadanie 25
0–1 pkt
Pierwiastek kwadratowy z liczby $1\frac{9}{16}$ wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby wyciągnąć pierwiastek z liczby mieszanej, najpierw zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy:
$$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$$
Teraz wyciągamy pierwiastek z licznika i mianownika:
$$\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$$
Na koniec zamieniamy ułamek niewłaściwy z powrotem na liczbę mieszaną:
$$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$
Teraz wyciągamy pierwiastek z licznika i mianownika:
$$\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$$
Na koniec zamieniamy ułamek niewłaściwy z powrotem na liczbę mieszaną:
$$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$
Poprawna odpowiedź: C
Zadanie 26
0–1 pkt
Bok kwadratu, którego pole wynosi $9 \cdot 10^{16}$ m², ma długość:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wiemy, że pole kwadratu $P$ obliczamy ze wzoru $P = a^2$, gdzie $a$ to długość boku.
2. Aby znaleźć bok, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z pola:
$$a = \sqrt{9 \cdot 10^{16}}$$
Korzystamy z własności pierwiastkowania iloczynu:
$$a = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10^{16}}$$
Obliczamy:
$$\sqrt{9} = 3$$ $$\sqrt{10^{16}} = 10^{16 : 2} = 10^8$$
Zatem: $$a = \mathbf{3 \cdot 10^8 \text{ m}}$$
Korzystamy z własności pierwiastkowania iloczynu:
$$a = \sqrt{9} \cdot \sqrt{10^{16}}$$
Obliczamy:
$$\sqrt{9} = 3$$ $$\sqrt{10^{16}} = 10^{16 : 2} = 10^8$$
Zatem: $$a = \mathbf{3 \cdot 10^8 \text{ m}}$$
Poprawna odpowiedź: D
Zadanie 27
0–1 pkt
Pan Sławek chce namalować na ścianie jak największy kwadrat. Ma do dyspozycji litr farby. Warstwa farby, którą nanosi na ścianę, ma 1 mm grubości. Bok kwadratu może mieć długość co najwyżej:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Ujednolicamy jednostki (przejdźmy na centymetry):
- Objętość farby ($V$): $1 \text{ litr} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$
- Grubość warstwy ($g$): $1 \text{ mm} = 0,1 \text{ cm}$
2. Obliczamy pole powierzchni ($P$), jaką możemy zamalować:
$$V = P \cdot g \implies P = \frac{V}{g}$$
$$P = \frac{1000 \text{ cm}^3}{0,1 \text{ cm}} = 10\,000 \text{ cm}^2$$
3. Obliczamy długość boku kwadratu ($a$):
$$P = a^2 \implies a = \sqrt{P}$$
$$a = \sqrt{10\,000 \text{ cm}^2} = 100 \text{ cm}$$
4. Zamieniamy jednostkę na metry: $100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$.
Poprawna odpowiedź: B
Zadanie 28
0–1 pkt
Liczba 0,4 jest równa:
Rozwiązanie krok po kroku:
Sprawdzamy, która z podanych liczb po wyciągnięciu pierwiastka trzeciego stopnia daje wynik 0,4.
Wiemy, że $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Podnosząc tę liczbę do potęgi trzeciej, otrzymamy liczbę podpierwiastkową:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$$Zatem: $$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = 0,4$$
Poprawna odpowiedź: B
Zadanie 29
0–2 pkt
Sześcian ma objętość $8 \cdot 10^{15}$ cm³. Dokończ poniższe zdania. Wybierz odpowiedzi spośród A i B oraz spośród C i D.
| Krawędź tego sześcianu ma długość: | |
| Pole jednej ściany sześcianu wynosi: |
Rozwiązanie:
1. Obliczamy długość krawędzi ($a$):
$$V = a^3 \implies a = \sqrt[3]{V}$$
$$a = \sqrt[3]{8 \cdot 10^{15}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{10^{15}}$$
$$a = 2 \cdot 10^{15:3} = 2 \cdot 10^5 \text{ cm}$$
2. Obliczamy pole jednej ściany ($P$):
$$P = a^2$$
$$P = (2 \cdot 10^5)^2 = 2^2 \cdot (10^5)^2$$
$$P = 4 \cdot 10^{10} \text{ cm}^2$$
Poprawne odpowiedzi: A i C
Zadanie 30
0–2 pkt
Czy poniższe równości są prawdziwe? Wybierz P, jeśli równość jest prawdziwa, lub F — jeśli jest fałszywa.
a)
| $\sqrt{0} = \sqrt[3]{0}$ | |
| $\sqrt{1} = \sqrt[3]{1}$ |
b)
| $\sqrt{2^2} = \sqrt[3]{2^3}$ | |
| $\sqrt{(-1)^2} = \sqrt[3]{(-1)^3}$ |
Rozwiązanie:
Część a): $\sqrt{0}=0$ i $\sqrt[3]{0}=0$ (P); $\sqrt{1}=1$ i $\sqrt[3]{1}=1$ (P).
Część b): $\sqrt{2^2}=2$ i $\sqrt[3]{2^3}=2$ (P); $\sqrt{(-1)^2}=1$ natomiast $\sqrt[3]{(-1)^3}=-1$ (F).
Zadanie 31
0–1 pkt
Pierwiastek kwadratowy z sześcianu liczby 4 wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczamy sześcian liczby 4: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
2. Obliczamy pierwiastek kwadratowy z wyniku: $\sqrt{64} = 8$.
Zapis matematyczny: $\sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$.
Poprawna odpowiedź: C
Zadanie 32
0–1 pkt
Które z poniższych wyrażeń ma wartość różną od 25?
Analiza wyrażeń:
- A: $(\sqrt{5})^4 = 5^2 = 25$
- B: $\sqrt{5^4} = \sqrt{625} = 25$
- C: $\sqrt[3]{5^6} = 5^{6:3} = 5^2 = 25$
- D: $\sqrt[3]{125} = 5$ (Wartość różna od 25)
Poprawna odpowiedź: D
Zadanie 33
0–2 pkt
Dokończ poniższe zdania. Wybierz odpowiedzi spośród A i B oraz spośród C i D.
| Wynikiem działania $\sqrt{27} - \sqrt{12}$ jest liczba: | |
| Wynikiem działania $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8}$ jest liczba: |
Rozwiązanie:
Pierwsze działanie:
$$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \mathbf{\sqrt{3}}$$
(Odpowiedź B)
Drugie działanie:
$$2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} = 2\sqrt{9 \cdot 2} + 3\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} + 3 \cdot 2\sqrt{2}$$
$$6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = \mathbf{12\sqrt{2}}$$
(Odpowiedź D)
Poprawne odpowiedzi: B i D
Zadanie 34
0–1 pkt
Wyrażenie $\sqrt{17} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}$ można zapisać inaczej jako:
Rozwiązanie:
Korzystamy z własności iloczynu pierwiastków stopnia drugiego:
$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$$
$$\sqrt{17} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{17 \cdot 10 \cdot 2} = \sqrt{340}$$
Poprawna odpowiedź: B
Zadanie 35
0–1 pkt
Wartość wyrażenia $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{20} \cdot \sqrt[3]{40}$ jest:
Rozwiązanie krok po kroku:
Korzystamy z własności iloczynu pierwiastków tego samego stopnia:
$$\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{20} \cdot \sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{10 \cdot 20 \cdot 40}$$
$$\sqrt[3]{8000} = 20$$
Ponieważ $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$, wynikiem działania jest liczba 20.
Poprawna odpowiedź: B
Zadanie 36
0–2 pkt
Dokończ poniższe zdania. Wybierz odpowiedzi spośród A i B oraz spośród C i D.
| Pole kwadratu o boku długości $2\sqrt{6}$ jest równe: | |
| Pole prostokąta o długości $3\sqrt{2}$ i szerokości $2\sqrt{6}$ jest równe: |
Obliczenia:
Część 1 (Kwadrat): $P = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = \mathbf{24}$ (B)
Część 2 (Prostokąt): $P = a \cdot b = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{12\sqrt{3}}$ (C)
Zadanie 37
0–1 pkt
Sześcian o krawędzi $5\sqrt{3}$ ma objętość równą:
Rozwiązanie:
Objętość sześcianu obliczamy ze wzoru $V = a^3$:
$$V = (5\sqrt{3})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt{3})^3$$
$$V = 125 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$$
$$V = 125 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \mathbf{375\sqrt{3}}$$
Poprawna odpowiedź: D
Zadanie 38
0–1 pkt
Kwadrat kwadratu liczby $\sqrt[3]{3}$ wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczamy pierwszy kwadrat: $(\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
2. Obliczamy kwadrat wyniku (czyli "kwadrat kwadratu"):
$$(\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9^2} = \sqrt[3]{81}$$
$$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}$$
Zapis skrócony: $((\sqrt[3]{3})^2)^2 = (\sqrt[3]{3})^4 = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81} = 3\sqrt[3]{3}$.
Poprawna odpowiedź: A
Zadanie 39
0–1 pkt
Która z poniższych równości jest fałszywa?
Analiza odpowiedzi:
Sprawdzamy poszczególne równości:
- A: $2^{0+1+2+3+4+5} = 2^{15}$. Ponieważ $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$, równość jest prawdziwa.
- B: $\sqrt{1+4+9+16+25} = \sqrt{55}$. Natomiast $1+2+3+4+5 = 15$. Ponieważ $\sqrt{55} \neq 15$, ta równość jest FAŁSZYWA.
- C: $(\sqrt{2})^2 = 2$ oraz $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$, więc $1+2+3 = 1+2+3$. Prawda.
- D: Zgodnie z prawem potęgowania iloczynu: $a^n \cdot b^n \cdot c^n \cdot d^n = (a \cdot b \cdot c \cdot d)^n$. Prawda.
Poprawna odpowiedź: B
Test zakończony!
Imię Nazwisko
Uzyskane punkty:
0 / 32
Twój wynik:
0%
Wróć do zadań i spróbuj jeszcze raz poprawić wynik!
✏️ 📚 📐
×
Komentarze
Prześlij komentarz