Próbny egzamin GWO (całość, r. szk. 2021/22)

📝 Instrukcja dla ucznia:

1. Wpisz Imię i Nazwisko w polu poniżej.
2. Uruchom Czas pracy przyciskiem START.
3. Rozwiązuj zadania i klikaj przycisk sprawdzenia przy każdym z nich.
4. Na końcu kliknij "Wyślij wyniki", aby zakończyć test.

Informacja o uczniu:

Czas pracy

00:00

Postęp: 0% | Punkty: 0 / 0

📊 Zadanie 1 (0–1 pkt) Analiza danych

Posiłki w pewnej restauracji zostały ocenione przez grupę gości. Każdy przyznał ocenę punktową w skali od $1$ do $5$ punktów. Zebrane oceny przedstawiono na diagramie.

Szesnaście osób oceniło posiłki na $2$ punkty. Ile osób oceniło posiłki w tej restauracji na $4$ punkty?

Krok po kroku:

1. Ocena $2$ pkt to $20\%$ wszystkich głosów ($16$ osób).
2. Obliczamy liczbę wszystkich osób ($100\%$): $$20\% \longrightarrow 16 \text{ osób}$$ $$100\% \longrightarrow 16 \cdot 5 = 80 \text{ osób}$$ 3. Szukamy liczby osób, które przyznały $4$ pkt ($15\%$ z całości): $$15\% \cdot 80 = 12$$ Poprawna odpowiedź: A.

🔢 Zadanie 2 (0–1 pkt) Średnia i ułamki

Średnia arytmetyczna dwóch różnych ułamków jest równa $\frac{5}{8}$. Jeden z nich różni się od tej średniej o $\frac{1}{8}$.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Suma tych ułamków jest równa:

A. $\frac{5}{4}$ | B. $\frac{5}{16}$

Mniejszy z tych ułamków jest równy:

C. $\frac{1}{2}$ | D. $\frac{1}{4}$

Rozwiązanie krok po kroku:

Przyjmijmy, że $a$ oraz $b$ to szukane różne ułamki.

1. Z definicji średniej arytmetycznej: $$\frac{a + b}{2} = \frac{5}{8} \implies a + b = \frac{5}{4}$$ To odpowiada odpowiedzi A.

2. Wiemy, że jeden z ułamków (np. $a$) różni się od średniej o $\frac{1}{8}$: $$a - \frac{5}{8} = \frac{1}{8} \implies a = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ 3. Obliczamy drugi ułamek $b$: $$b = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Mniejszy z tych ułamków to $\frac{1}{2}$, co odpowiada odpowiedzi C.

🔢 Zadanie 3 (0–1 pkt) Liczby naturalne i podzielność

Asia wypisała kolejne liczby naturalne od $82$ do $98$, a następnie niektóre z nich wykreśliła i otrzymała następujący zestaw:

82, 83, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zdanie

P

F

Wśród wykreślonych było więcej liczb nieparzystych niż liczb parzystych.

Wszystkie wykreślone liczby są podzielne przez 3.

Rozwiązanie krok po kroku:

Najpierw ustalmy, jakie liczby zostały wykreślone z zakresu od $82$ do $98$.
Pełna lista: $82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98$.
Zestaw Asi nie zawiera liczb: 84, 87, 90, 93, 96.

1. Analiza parzystości wykreślonych liczb:
Liczby parzyste: $84, 90, 96$ ($3$ liczby).
Liczby nieparzyste: $87, 93$ ($2$ liczby).
Zatem liczb nieparzystych nie było więcej niż parzystych.
Zdanie 1: F.

2. Analiza podzielności przez $3$:
Sprawdzamy sumy cyfr:
$8+4 = 12$ (TAK), $8+7 = 15$ (TAK), $9+0 = 9$ (TAK), $9+3 = 12$ (TAK), $9+6 = 15$ (TAK).
Wszystkie wykreślone liczby są podzielne przez $3$.
Zdanie 2: P.

🎲 Zadanie 4 (0–1 pkt) Prawdopodobieństwo

W koszyku jest $6$ białych spinaczy i $4$ czarne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnego spinacza z tego pudełka będzie równe $\frac{1}{3}$, gdy do tego pudełka dołożymy:

Analiza rozwiązania:

1. Stan początkowy: $6$ białych, $4$ czarne. Razem: $10$ spinaczy.
2. Prawdopodobieństwo wylosowania czarnego bez dokładania: $$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} > \frac{1}{3}$$ 3. Aby zmniejszyć prawdopodobieństwo do $\frac{1}{3}$, musimy zwiększyć liczbę wszystkich spinaczy (mianownik), dokładając $x$ białych spinaczy: $$\frac{4}{10 + x} = \frac{1}{3}$$ 4. Rozwiązujemy równanie: $$4 \cdot 3 = 1 \cdot (10 + x)$$ $$12 = 10 + x \implies x = 2$$ Należy dołożyć **2 białe spinacze**. Poprawna odpowiedź: C.

📐 Zadanie 5 (0–1 pkt) Geometria i procenty

Na rysunkach przedstawiono trzy trójkąty równoramienne. Długość jednego z ramion każdego trójkąta oznaczono literą $c$, a obwód — literą $L$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość podstawy stanowi $25\%$ obwodu:

Rozwiązanie:

$a$ – długość podstawy

Trójkąt I
$a = 40 - 15 \cdot 2 = 10$
$\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 25\%$ (TAK)

Trójkąt II
$a = 36 - 2 \cdot 13 = 10$
$\frac{10}{36} = \frac{5}{18} \neq \frac{1}{4}$ (NIE)

Trójkąt III
$a = 32 - 2 \cdot 12 = 8$
$\frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 25\%$ (TAK)

Poprawna odpowiedź: B.

🔢 Zadanie 6 (0–1 pkt) Pierwiastki i wyrażenia

Dane są dwa wyrażenia:

$x = 9\sqrt{4} - 4\sqrt{9}$      $y = 9\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot 4\sqrt{\frac{1}{9}}$

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Zdanie

P

F

$x = \sqrt{9 \cdot 4}$

$x = y$

Rozwiązanie:

Najpierw obliczamy wartości wyrażeń $x$ oraz $y$:
$$x = 9\sqrt{4} - 4\sqrt{9} = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$$ $$y = 9\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot 4\sqrt{\frac{1}{9}} = 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{6} = 6$$
1. Sprawdzamy pierwsze zdanie: czy $x = \sqrt{9 \cdot 4}$?
$$\sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{36} = 6$$ Ponieważ $x=6$, zdanie jest Prawdziwe.

2. Sprawdzamy drugie zdanie: czy $x = y$?
Ponieważ $x=6$ oraz $y=6$, zdanie jest Prawdziwe.

📐 Zadanie 7 (0–1 pkt) Kąty w trójkątach

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Jeśli w trójkącie równoramiennym miara kąta między ramionami jest równa $\alpha$, to miarę kąta przy podstawie można zapisać jako

.

A. $\frac{180^\circ - \alpha}{2}$      B. $180^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Jeśli w trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstawie jest równa $\beta$, to miarę kąta między ramionami można zapisać jako

.

C. $90^\circ - \beta$      D. $180^\circ - 2\beta$

Wyjaśnienie:

Suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają taką samą miarę.

1. Pierwsze zdanie:
Kąt między ramionami to $\alpha$. Suma dwóch kątów przy podstawie to $180^\circ - \alpha$.
Ponieważ są one równe, jeden kąt przy podstawie to: $$\frac{180^\circ - \alpha}{2}$$ Zatem poprawna odpowiedź to A.

2. Drugie zdanie:
Kąt przy podstawie to $\beta$. Drugi kąt przy podstawie również ma miarę $\beta$.
Suma kątów przy podstawie to $\beta + \beta = 2\beta$.
Kąt między ramionami to pozostała część z $180^\circ$: $$180^\circ - 2\beta$$ Zatem poprawna odpowiedź to D.

🧊 Zadanie 8 (0–1 pkt) Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym obwód podstawy jest równy $40 \text{ cm}$, a obwód ściany bocznej — $60 \text{ cm}$.

Jaką objętość ma ten graniastosłup? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krawędź podstawy ($a$):
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. $$Obw_p = 4a = 40 \implies a = 10 \text{ cm}$$ 2. Wysokość graniastosłupa ($H$):
Ściana boczna jest prostokątem o bokach $a$ i $H$. $$Obw_{sb} = 2a + 2H = 60$$ $$2 \cdot 10 + 2H = 60 \implies 20 + 2H = 60 \implies 2H = 40 \implies H = 20 \text{ cm}$$ 3. Objętość ($V$):
$$V = P_p \cdot H = a^2 \cdot H$$ $$V = 10^2 \cdot 20 = 100 \cdot 20 = 2000 \text{ cm}^3$$
Poprawna odpowiedź: C.

📝 Zadanie 9 (0–1 pkt) Wyrażenia algebraiczne

Na tablicy zapisano wyrażenie $K = 3x - 2y + 1$.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Suma wyrażenia $K$ oraz wyrażenia

wynosi $0$.

A. $1 - 2y - 3x$      B. $2y - 3x - 1$

Różnica wyrażenia $K$ oraz wyrażenia

wynosi $0$.

C. $1 + 3x - 2y$      D. $-3x + 2y - 1$

Wyjaśnienie:

Dla danego wyrażenia $K = 3x - 2y + 1$:

1. Pierwsze zdanie (Suma wynosi $0$):
Suma dwóch wyrażeń jest równa zero tylko wtedy, gdy drugie wyrażenie jest przeciwne do pierwszego (ma wszystkie znaki zmienione na przeciwne).
Wyrażenie przeciwne do $K$: $-(3x - 2y + 1) = -3x + 2y - 1$.
Patrzymy na opcje: odpowiedź B to właśnie $-3x + 2y - 1$ (zmieniona kolejność wyrazów).

2. Drugie zdanie (Różnica wynosi $0$):
Różnica dwóch wyrażeń jest równa zero tylko wtedy, gdy oba wyrażenia są identyczne.
Szukamy wyrażenia równego $3x - 2y + 1$.
Odpowiedź C to $1 + 3x - 2y$, co po uporządkowaniu daje dokładnie $3x - 2y + 1$.

Poprawna odpowiedź: B, C.

⚡ Zadanie 10 (0–1 pkt) Potęgi i ich własności

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Kwadrat wyrażenia $\frac{2^5}{3^4}$ jest równy

.

A. $\frac{2^{10}}{3^8}$      B. $\frac{4^{10}}{9^8}$

Sześcian wyrażenia $\frac{5^2}{2^3}$ jest równy

.

C. $\frac{125^5}{8^9}$      D. $\frac{5^6}{2^9}$

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.

1. Pierwsze zdanie (Kwadrat):
Kwadrat to potęga o wykładniku $2$. Podnosimy całe wyrażenie do potęgi drugiej: $$\left( \frac{2^5}{3^4} \right)^2 = \frac{(2^5)^2}{(3^4)^2} = \frac{2^{5 \cdot 2}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{2^{10}}{3^8}$$ Poprawna odpowiedź: A.

2. Drugie zdanie (Sześcian):
Sześcian to potęga o wykładniku $3$. Podnosimy całe wyrażenie do potęgi trzeciej: $$\left( \frac{5^2}{2^3} \right)^3 = \frac{(5^2)^3}{(2^3)^3} = \frac{5^{2 \cdot 3}}{2^{3 \cdot 3}} = \frac{5^6}{2^9}$$ Poprawna odpowiedź: D.

➕ Zadanie 11 (0–1 pkt) Wyrażenia algebraiczne

Liczby $p, r$ spełniają warunek $p + r = 7$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $10 - (p + r) + 2$ jest równa:

Rozwiązanie:

W zadaniu podano, że suma $p + r$ wynosi $7$.
Wystarczy podstawić tę wartość do wyrażenia:

$10 - \mathbf{(p + r)} + 2 =$
$= 10 - \mathbf{7} + 2 =$
$= 3 + 2 = \mathbf{5}$

Poprawna odpowiedź: B.

🗺️ Zadanie 12 (0–1 pkt) Skala i plan

Plan pewnego osiedla, sporządzony w skali $1:3000$, ma kształt prostokąta o wymiarach $9 \text{ cm} \times 12 \text{ cm}$.

Jakie długości boków miałby prostokąt przedstawiający plan tego samego terenu w skali $1:1000$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązanie:

Zadanie można rozwiązać, porównując obie skale:

1. Porównanie skal:
Skala $1:1000$ jest 3 razy większa niż skala $1:3000$ (ponieważ mianownik jest 3 razy mniejszy, co oznacza 3-krotnie mniejsze pomniejszenie rzeczywistości).

2. Obliczenie nowych wymiarów:
Skoro nowa skala jest 3 razy większa, to każdy bok prostokąta na nowym planie będzie 3 razy dłuższy:
$9 \text{ cm} \cdot 3 = \mathbf{27 \text{ cm}}$
$12 \text{ cm} \cdot 3 = \mathbf{36 \text{ cm}}$

Poprawna odpowiedź: A.

⚖️ Zadanie 13 (0–1 pkt) Jednostki masy

Masy trzech paczek podano w różnych jednostkach:
Który zestaw paczek ma masę $2,66 \text{ kg}$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązanie:

Sprowadzamy masy wszystkich paczek do kilogramów ($1 \text{ kg} = 100 \text{ dag} = 1000 \text{ g}$):

Paczka I: $1 \text{ kg } 300 \text{ g} = 1,3 \text{ kg}$
Paczka II: $90 \text{ dag } 60 \text{ g} = 0,9 \text{ kg} + 0,06 \text{ kg} = 0,96 \text{ kg}$
Paczka III: $1 \text{ kg } 70 \text{ dag} = 1 \text{ kg} + 0,7 \text{ kg} = 1,7 \text{ kg}$

Szukamy sumy równej $2,66 \text{ kg}$:
* I + II: $1,3 + 0,96 = 2,26 \text{ kg}$ (NIE)
* I + III: $1,3 + 1,7 = 3,0 \text{ kg}$ (NIE)
* II + III: $0,96 + 1,7 = 2,66 \text{ kg}$ (TAK)

Poprawna odpowiedź: C.

⚖️ Zadanie 14 (0–1 pkt) Równania stopnia pierwszego

Dane są równania:    I. $3 + \frac{1}{2}x = 5$    i    II. $6 + x = -10$.

Czy powyższe równania mają to samo rozwiązanie? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Tak,

Nie,

ponieważ

dla $x = -6$ lewe strony obu równań mają taką samą wartość.

rozwiązaniem równania II jest liczba ujemna.

równanie I można przekształcić tak, że jego lewa strona będzie taka jak w równaniu II, a prawe strony nie będą równe.

Rozwiązanie:

Rozwiążmy oba równania:

Równanie I:
$3 + \frac{1}{2}x = 5 \quad | -3$
$\frac{1}{2}x = 2 \quad | \cdot 2$
$x = 4$

Równanie II:
$6 + x = -10 \quad | -6$
$x = -16$

Wnioski:
* Rozwiązania są różne ($4 \neq -16$), więc odpowiedź brzmi Nie (B).
* Sprawdźmy uzasadnienie 3: Przekształćmy równanie I tak, by lewa strona przypominała równanie II ($6+x$):
$2 \cdot (3 + \frac{1}{2}x) = 2 \cdot 5 \implies 6 + x = 10$.
W równaniu II po lewej stronie mamy $6+x$, ale po prawej $-10$. Ponieważ $10 \neq -10$, uzasadnienie 3 jest poprawne.

Poprawna odpowiedź: B3.

📦 Zadanie 15 (0–1 pkt) Objętość brył

Na rysunku podane są trzy wymiary jednego prostopadłościanu oraz dwa z trzech wymiarów drugiego prostopadłościanu. Obie bryły mają taką samą objętość.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Krawędź oznaczona na rysunku literą $x$ jest równa:

Rozwiązanie:

Objętość prostopadłościanu obliczamy ze wzoru: $V = a \cdot b \cdot c$.

1. Obliczamy objętość pierwszego prostopadłościanu ($V_1$):
$V_1 = 8 \cdot 6 \cdot 10 = 48 \cdot 10 = 480$

2. Wyznaczamy krawędź $x$ drugiego prostopadłościanu ($V_2$):
Wiemy, że $V_1 = V_2$, zatem:
$16 \cdot x \cdot 5 = 480$
$80 \cdot x = 480$
$x = 480 : 80$
$x = 6$

Poprawna odpowiedź: D.

🥗 Zadanie 16 (0–2 pkt) Proporcje i obliczenia praktyczne

Jurek znalazł przepis na sałatkę owocową, w której masa winogron do masy bananów tworzy proporcję $2 : 3$, a masa banana do masy ananasa tworzy proporcję $1 : 4$. Do przygotowania takiej sałatki Jurek chce użyć $360 \text{ g}$ ananasa.

Ile gramów winogron powinien przygotować? Zapisz obliczenia.

Twoja odpowiedź (w gramach):

Rozwiązanie:

1. Obliczamy masę bananów ($b$):
Z proporcji $b:a = 1:4$ (ananas $a = 360 \text{ g}$):
$b = \frac{1}{4} \cdot 360 = 90 \text{ g}$.

2. Obliczamy masę winogron ($w$):
Z proporcji $w:b = 2:3$:
$\frac{w}{90} = \frac{2}{3} \implies 3w = 180 \implies w = 60 \text{ g}$.

Odpowiedź: 60 g.

🥪 Zadanie 17 (0–2 pkt) Procenty i obliczenia cenowe

Wczoraj w pewnym barze kanapka kosztowała $8 \text{ zł}$, a dzisiaj jest droższa o $25\%$. Uzasadnij, że wczoraj za $40 \text{ zł}$ można było kupić o $1$ kanapkę więcej niż dzisiaj. Zapisz obliczenia.

O ile więcej kanapek można było kupić wczoraj?

Uzasadnienie krok po kroku:

1. Sytuacja wczorajsza:
Cena kanapki: $8 \text{ zł}$.
Liczba kanapek za $40 \text{ zł}$: $40 \text{ zł} : 8 \text{ zł} = 5$.

2. Sytuacja dzisiejsza:
Podwyżka: $25\% \text{ z } 8 \text{ zł} = 0,25 \cdot 8 = 2 \text{ zł}$.
Nowa cena: $8 \text{ zł} + 2 \text{ zł} = 10 \text{ zł}$.
Liczba kanapek za $40 \text{ zł}$: $40 \text{ zł} : 10 \text{ zł} = 4$.

3. Porównanie:
Różnica: $5 - 4 = 1$.

Wniosek: Wczoraj można było kupić o $1$ kanapkę więcej niż dzisiaj, co należało uzasadnić.

🏋️ Zadanie 18 (0–3 pkt) Ciągi i równania

Pan Jerzy przez tydzień robił przysiady. Każdego dnia robił o 5 więcej niż poprzedniego. Łącznie wykonał 210 przysiadów.
Ile razy więcej przysiadów wykonał pan Jerzy w niedzielę niż w poniedziałek?

Wynik (ile razy więcej):

Obliczenia:

Dni tygodnia: $x, x+5, x+10, x+15, x+20, x+25, x+30$
Suma: $7x + 105 = 210$
$7x = 105 \implies x = 15$ (poniedziałek)
Niedziela: $15 + 30 = 45$
Porównanie: $45 : 15 = 3$
Odpowiedź: W niedzielę wykonał 3 razy więcej przysiadów.

📐 Zadanie 19 (0–3 pkt) Geometria - obwód trójkąta

W kwadracie o boku długości $20 \text{ cm}$ umieszczono dwa mniejsze kwadraty $K_1$ i $K_2$ o polach odpowiednio równych $16 \text{ cm}^2$ i $64 \text{ cm}^2$ oraz trójkąt $T$.

Oblicz obwód trójkąta $T$. Zapisz obliczenia.

Obwód trójkąta $T$ jest równy (w cm):

Kroki rozwiązania:

1. Obliczamy boki małych kwadratów:
- Bok $K_1 = \sqrt{16 \text{ cm}^2} = 4 \text{ cm}$.
- Bok $K_2 = \sqrt{64 \text{ cm}^2} = 8 \text{ cm}$.

2. Obliczamy przyprostokątne trójkąta $T$:
- Pionowa: $20 \text{ cm} - 8 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.
- Pozioma: $20 \text{ cm} - 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$.

3. Obliczamy przeciwprostokątną ($x$) z Twierdzenia Pitagorasa:
$x^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$x = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$.

4. Obliczamy obwód trójkąta $T$:
$Obw = 12 \text{ cm} + 16 \text{ cm} + 20 \text{ cm} = 48 \text{ cm}$.

Odpowiedź: Obwód trójkąta $T$ jest równy 48 cm.

🏆

Test zakończony!

0 / 0

0%

✏️ 📚 📐

×

×

Gotowy do wysyłki?

Przesyłasz materiał do posta:

TAK, OTWÓRZ FORMULARZ