Styczna do okręgu. Długość okręgu. Powtórzenie do klasówki - klasa 8

Instrukcja dla ucznia

• 1
  Wpisz swoje Imię i Nazwisko w wyznaczonym polu poniżej.
• 2
  Uruchom odliczanie czasu pracy, klikając przycisk START.
  Uwaga: Stoper musi być uruchomiony abyś mógł rozwiązywać zadania.
• 3
  Rozwiązuj zadania po kolei i klikaj przycisk sprawdzenia przy każdym z nich.

  💡 Wskazówka: Po sprawdzeniu odpowiedzi pojawi się dodatkowa opcja "Pokaż rozwiązanie", która pozwoli Ci przeanalizować zadanie krok po kroku.
• 4
  Po rozwiązaniu wszystkich zadań kliknij przycisk Wyślij wyniki.

  📧 Twoje odpowiedzi oraz końcowy rezultat zostaną automatycznie przesłane na konto nauczyciela.
• 5
  Po rozwiązaniu wszystkich zadań obejrzyj film ilustrujący konstrukcję stycznej do okręgu poprowadzone z punktu leżącego poza okręgiem. Zapraszam

Informacja o uczniu:

Czas pracy

00:00

Postęp: 0% | Punkty: 0 / 0

Zadanie 1 2 pkt

Proste przedstawione na rysunku są styczne do dwóch okręgów. Mniejszy okrąg ma promień $r = 4$, a większy $R = 8$. Odcinek wspólnej stycznej między punktami styczności ma długość $8\sqrt{2}$.

Oblicz pole całkowitej zacieniowanej figury.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Analiza struktury figury: Figura składa się z dwóch symetrycznych trapezów prostokątnych.
2. Wymiary trapezu: Podstawy $a = 4$, $b = 8$, wysokość $h = 8\sqrt{2}$.
3. Obliczenie pola: $P = 2 \cdot \frac{4 + 8}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$.

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 2 1 pkt

Narysowana prosta jest styczna do okręgu o średnicy $d = 8$.

Oblicz długość odcinka $x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Promień wynosi $r = 4$.
2. Z twierdzenia Pitagorasa: $x^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.
3. $x = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 3 1 pkt

Latarnia morska wysyła sygnał świetlny sięgający linii horyzontu. Oblicz maksymalną odległość, z której kapitan okrętu zbliżającego się do latarni może dostrzec jej światło. Skorzystaj z danych umieszczonych na rysunku. Do obliczeń użyj kalkulatora.

Wybierz poprawną odległość w zaokrągleniu do trzech miejsc po przecinku:

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Uzgodnienie jednostek: Wysokość latarni musimy wyrazić w kilometrach, tak jak promień Ziemi: $$30\text{ m} = 0,03\text{ km}$$
2. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: Promień Ziemi, linia horyzontu (styczna) oraz odległość od środka planety do czubka latarni tworzą trójkąt prostokątny: $$x^2 + 6370^2 = (6370 + 0,03)^2$$ $$x^2 + 40576900 = 6370,03^2$$ $$x^2 + 40576900 = 40577282,2009$$ $$x^2 = 40577282,2009 - 40576900$$ $$x^2 = 382,2009$$
3. Obliczenie wyniku pierwiastkowego: $$x = \sqrt{382,2009} \approx 19,550\text{ km}$$

Poprawna odpowiedź: A

Zadanie 4 1 pkt

Wiatrak ma skrzydła długości $4\text{ m}$.

W jakiej odległości od punktu $S$ znajduje się na skrzydle wiatraka punkt, który pokonuje w ciągu jednego obrotu drogę $22\text{ m}$?

Wybierz poprawną odległość:

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Definicja ruchu punktu: Podczas pełnego obrotu wiatraka każdy punkt na jego skrzydle porusza się po okręgu o promieniu $r$, gdzie $r$ to odległość tego punktu od środka obrotu $S$.
2. Wzór na drogę (obwód okręgu): Droga pokonana w ciągu jednego pełnego obrotu odpowiada długości całego okręgu: $$L = 2\pi r$$
3. Ułożenie równania: Wiemy z treści zadania, że pokonana droga wynosi $22\text{ m}$. Podstawiamy tę wartość do wzoru: $$2\pi r = 22$$
4. Wyznaczenie odległości $r$: Dzielimy obie strony równania przez $2\pi$: $$r = \frac{22}{2\pi}$$ Po skróceniu ułamka przez $2$ otrzymujemy ostateczną odległość: $$r = \frac{11}{\pi}\text{ m}$$ *(Warto zauważyć, że wyliczona odległość $\frac{11}{\pi} \approx 3,5\text{ m}$ mieści się na skrzydle wiatraka, którego całkowita długość wynosi $4\text{ m}$).*

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 5 1 pkt

Jurij Gagarin, pierwszy kosmonauta, podczas swojego lotu wykonał jedno okrążenie po kołowej orbicie na wysokości $180\text{ km}$ nad powierzchnią Ziemi. Średnica Ziemi jest równa $12\ 740\text{ km}$.

Jaką drogę pokonał Gagarin, okrążając Ziemię? Wynik podaj w kilometrach.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Wyznaczenie promienia orbity ($r$): Promień orbity to promień Ziemi ($R$) plus wysokość nad jej powierzchnią ($h$). Promień Ziemi to połowa podanej średnicy: $$R = 12\ 740 : 2 = 6370\text{ km}$$ $$r = R + h = 6370 + 180 = 6550\text{ km}$$
2. Obliczenie drogi (obwodu okręgu): Korzystamy ze wzoru na obwód koła: $$L = 2\pi r \approx 2 \cdot 3,1415926 \cdot 6550 \approx 41\ 154,86\text{ km}$$ W zaokrągleniu do pełnych jednostek daje to około $41\ 155\text{ km}$.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 6 1 pkt

Wykorzystując dane i wynik z poprzedniego zadania oblicz:

Ile razy droga przebyta przez Gagarina jest dłuższa od średnicy Ziemi?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Aby obliczyć, ile razy droga jest dłuższa, należy podzielić całkowitą długość orbity przez średnicę Ziemi: $$\text{Stosunek} = \frac{41\ 155}{12\ 740} \approx 3,23037$$
2. Otrzymany wynik wskazuje, że droga była ponad 3-krotnie większa (w przybliżeniu $3,23$ raza).

Poprawna odpowiedź: C

Zadanie 7 1 pkt

Statki kosmiczne krążące po orbicie Ziemi poruszają się z prędkością około $8\text{ km/s}$. Ile czasu zajęło Gagarinowi okrążenie Ziemi?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Korzystamy ze wzoru na czas w ruchu jednostajnym: $$t = \frac{s}{v} = \frac{41\ 155\text{ km}}{8\text{ km/s}} \approx 5144,375\text{ sekund}$$
2. Przeliczamy sekundy na minuty, dzieląc przez 60: $$5144,375 : 60 \approx 85,74\text{ minut}$$
3. Zamieniamy minuty na godziny i minuty ($85,74\text{ min} = 60\text{ min} + 25,74\text{ min}$): Wynik to w zaokrągleniu **1 godzina i 26 minut** (dokładnie około $86$ minut).

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 8 1 pkt

Na rysunku przedstawiono pierścień kołowy i najdłuższy możliwy odcinek w nim zawarty.

Co jest większe: pole pierścienia czy pole kwadratu, którego bokiem jest ten odcinek? Uzasadnij odpowiedź, obliczając najpierw długość tego odcinka.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. **Wyznaczenie promieni okręgów:**
   Promień mniejszego okręgu wynosi $r = 3$. Szerokość pierścienia to $2$, więc promień większego okręgu wynosi $R = 3 + 2 = 5$.
2. **Obliczenie długości odcinka (cięciwy):**
   Najdłuższy odcinek w pierścieniu jest styczny do wewnętrznego okręgu. Promień wewnętrzny $r$, połowa cięciwy $x$ oraz promień zewnętrzny $R$ tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa: $$3^2 + x^2 = 5^2 \implies 9 + x^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$$ Cały odcinek (bok kwadratu $a$) ma długość: $a = 2x = 2 \cdot 4 = 8$.
3. **Obliczenie pola kwadratu ($P_k$):** $$P_k = a^2 = 8^2 = 64$$
4. **Obliczenie pola pierścienia ($P_p$):** $$P_p = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(5^2 - 3^2) = 16\pi \approx 16 \cdot 3,1416 \approx 50,27$$
5. **Porównanie pól:**
   Ponieważ $64 > 50,27$, pole kwadratu jest większe od pola pierścienia.

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie 9 1 pkt

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz odpowiedź, która zawiera poprawne zestawienie ocen (P – prawda, F – fałsz).

Treść zdania
1. Pole prostokąta o bokach długości $3\text{ cm}$ i $4\text{ cm}$ jest mniejsze od pola koła o promieniu $2\text{ cm}$.
2. Pole kwadratu o boku długości $9\pi\text{ cm}$ jest większe od pola koła o promieniu $5\pi\text{ cm}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza zdania 1:

• Pole prostokąta: $P = 3 \cdot 4 = 12\text{ cm}^2$
• Pole koła: $P = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \approx 4 \cdot 3,14 = 12,56\text{ cm}^2$
• Ponieważ $12 < 12,56$, pole prostokąta jest mniejsze od pola koła. Zdanie jest **PRAWDZIWE (P)**.

Analiza zdania 2:

• Pole kwadratu: $P = (9\pi)^2 = 81\pi^2\text{ cm}^2$
• Pole koła: $P = \pi \cdot (5\pi)^2 = 25\pi^3\text{ cm}^2$
• Porównujemy wartości dzieląc przez $\pi^2$: kwadrat to $81$, a koło to $25\pi \approx 78,54$.
• Ponieważ $81 > 78,54$, pole kwadratu jest większe od pola koła. Zdanie jest **PRAWDZIWE (P)**.

Poprawna odpowiedź: A (P, P)

Zadanie 10 1 pkt

Pole zacieniowanej figury jest równe:

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Pole dużego półkola: $$\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 3^2 = 4,5\pi$$
2. Suma ćwiartki i półkola: $$\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 + \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = 3\pi$$
3. Pole zacieniowane: $$4,5\pi - 3\pi = 1,5\pi$$

Poprawna odpowiedź: D

🏆

Test zakończony!

Imię Nazwisko

---

Uzyskane punkty:

0 / 22

Twój wynik:

0%

Wróć do zadań i spróbuj jeszcze raz poprawić wynik!

Konstrukcja stycznej do okręgu poprowadzonej z danego punktu

Przebieg konstrukcji:

1. Rysujemy okrąg i zaznaczamy punkt na zewnątrz okręgu.
2. Rysujemy okrąg współśrodkowy o promieniu dwa razy dłuższym.
3. Rysujemy łuk okręgu o promieniu równym odległości od środka okręgu do punktu poza okręgiem.
4. Łączymy punkt przecięcia większego okręgu z zaznaczonym łukiem ze środkiem okręgów.
5. Rysujemy odcinek łączący punkt przecięcia okręgów oraz środek okręgów.
6. Zaznaczony odcinek wyznacza punkt styczności prostej i mniejszego okręgu.

Dowód na punkt styczności:

• Uzyskany trójkąt jest równoramienny.
• Podstawę tego trójkąta stanowi dwukrotność promienia okręgu, a wysokość musi padać pod kątem prostym na podstawę, co dowodzi styczności.

Rysunek: Konstrukcja geometryczna stycznej do okręgu.

✏️ 📚 📐

×

×

Gotowy do wysyłki?

Przesyłasz materiał do posta:

TAK, OTWÓRZ FORMULARZ