Drzewko prawdopodobieństwa (materiał dla klas 7 i 8)

Doświadczenie: Stan pudełka po każdym losowaniu

W ramkach na drzewku zobaczysz **dokładny stan kulek w pudełku** w danym momencie. Pod ramkami podpisany jest cel losowania (kolor wylosowanej kuli). Użyj suwaków, aby ustawić początkową liczbę kulek zielonych i czerwonych.

Początkowa liczba zielonych:

Zielone: 6

Początkowa liczba czerwonych:

Czerwone: 4

Razem kul na starcie: \(6 + 4 = 10\)

Prawdopodobieństwa dróg (mnożenie ułamków):

Zielona i Zielona

\(\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}\)

\(= \frac{30}{90} \approx 0{,}3333\)

Zielona i Czerwona

\(\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9}\)

\(= \frac{24}{90} \approx 0{,}2667\)

Czerwona i Zielona

\(\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}\)

\(= \frac{24}{90} \approx 0{,}2667\)

Czerwona i Czerwona

\(\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}\)

\(= \frac{12}{90} \approx 0{,}1333\)

Suma wszystkich prawdopodobieństw: \(\frac{90}{90} = 1\) (czyli \(100\%\))

Zadanie

W pudełku są \(3\) kulki czerwone i \(4\) niebieskie. Łucja wyciąga losowo jedną kulkę, a Julek — drugą. Łucja wygrywa, gdy obie kulki są tego samego koloru, a Julek — gdy są różnych kolorów.

a) Oblicz prawdopodobieństwo wygranej Łucji i prawdopodobieństwo wygranej Julka.
b) Jak można zmienić liczby kulek w pudełku, aby każdy miał taką samą szansę wygrania?

💡 Spróbuj sam!

Podpunkt a) spróbuj rozwiązać samodzielnie w zeszycie.
Wskazówka: Aby sprawdzić swój wynik, możesz użyć naszego interaktywnego kalkulatora u góry strony! Ustaw na suwakach \(3\) kule jednego koloru oraz \(4\) kule drugiego koloru, a program natychmiast pokaże Ci poprawne ułamki i ułatwi weryfikację Twoich obliczeń.

Rozwiązanie podpunktu b):

Aby gra była sprawiedliwa, szansa na wygraną Łucji (obie kule tego samego koloru) oraz szansa na wygraną Julka (kule różnych kolorów) muszą być równe i wynosić dokładnie po \(50\%\) (czyli \(\frac{1}{2}\)).

Oznaczmy:
• \(c\) – liczba kul czerwonych w pudełku,
• \(n\) – liczba kul niebieskich w pudełku,
• \(t = c + n\) – łączna liczba kul w pudełku.

Zapiszmy prawdopodobieństwo wygranej Łucji (ten sam kolor): $$P(\text{ten sam kolor}) = P(\text{czerwona, czerwona}) + P(\text{niebieska, niebieska})$$ $$P(\text{ten sam kolor}) = \frac{c}{t} \cdot \frac{c-1}{t-1} + \frac{n}{t} \cdot \frac{n-1}{t-1} = \frac{c(c-1) + n(n-1)}{t(t-1)}$$

Zapiszmy prawdopodobieństwo wygranej Julka (różne kolory): $$P(\text{różne kolory}) = P(\text{czerwona, niebieska}) + P(\text{niebieska, czerwona})$$ $$P(\text{różne kolory}) = \frac{c}{t} \cdot \frac{n}{t-1} + \frac{n}{t} \cdot \frac{c}{t-1} = \frac{2cn}{t(t-1)}$$

Chcemy, aby te prawdopodobieństwa były sobie równe: $$\frac{c(c-1) + n(n-1)}{t(t-1)} = \frac{2cn}{t(t-1)}$$

Mianowniki są takie same, więc możemy porównać same liczniki: $$c(c-1) + n(n-1) = 2cn$$ $$c^2 - c + n^2 - n = 2cn$$

Przenosimy wyrażenie \(2cn\) na lewą stronę, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: $$c^2 - 2cn + n^2 = c + n$$ $$(c - n)^2 = c + n$$

Wnioski do podpunktu b) i przykładowe odpowiedzi:

Otrzymaliśmy zależność: kwadrat różnicy liczby kul musi być równy ich sumie. Ponieważ liczba kul musi być dodatnią liczbą całkowitą, możemy wskazać kilka przykładowych zestawów kul spełniających ten warunek:

• Zestaw 1: Różnica kul wynosi \(2\). Kwadrat różnicy to \(2^2 = 4\), więc w pudełku muszą być razem \(4\) kule.
  Rozwiązanie: \(3\) kule jednego koloru i \(1\) kula drugiego koloru (np. \(3\) czerwone i \(1\) niebieska). Sprawdzenie: \((3-1)^2 = 4\).
• Zestaw 2: Różnica kul wynosi \(3\). Kwadrat różnicy to \(3^2 = 9\), więc w pudełku musi być razem \(9\) kul.
  Rozwiązanie: \(6\) kul jednego koloru i \(3\) kule drugiego koloru (np. \(6\) czerwonych i \(3\) niebieskie). Sprawdzenie: \((6-3)^2 = 9\).
• Zestaw 3: Różnica kul wynosi \(4\). Kwadrat różnicy to \(4^2 = 16\), więc w pudełku musi być razem \(16\) kul.
  Rozwiązanie: \(10\) kul jednego koloru i \(6\) kul drugiego koloru (np. \(10\) czerwonych i \(6\) niebieskich). Sprawdzenie: \((10-6)^2 = 16\).