Liczby naturalne, całkowite i wymierne.

Zadanie 1

Przeciągnij liczby z poniższej puli do odpowiednich worków. W każdym worku muszą znaleźć się dokładnie trzy liczby pasujące do jego opisu.

Instrukcja dla ucznia:
1. Komputer: Przeciągnij wybraną liczbę myszką do wnętrza odpowiedniego worka.
2. Telefon / Tablet: Dotknij liczby w puli (zostanie podświetlona na żółto), a następnie dotknij wybranego worka.
3. Ta sama liczba może być użyta w wielu workach. Aby usunąć liczbę z worka, kliknij ją bezpośrednio w worku.

Pula liczb (kliknij lub przeciągnij):

$8$

$15$

$50$

$12$

$\frac{60}{3}$

$-3$

$-10$

$-\frac{16}{2}$

$-7$

$-\frac{1}{4}$

$1{,}5$

$2\frac{1}{3}$

Liczby naturalne

Liczby całkowite

Liczby całkowite,
które nie są naturalne

Liczby wymierne,
które nie są całkowite

Rozwiązanie krok po kroku i analiza zbiorów:

Hierarchia zbiorów liczbowych wskazuje, że liczby naturalne ($\mathbb{N}$) są podzbiorem liczb całkowitych ($\mathbb{C}$), które z kolei zawierają się w liczbach wymiernych ($\mathbb{W}$):

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W}\]

Prawidłowe przyporządkowanie opiera się na matematycznych właściwościach tych zbiorów:

Worek 1 (Liczby naturalne): Wybieramy trzy dowolne liczby całkowite nieujemne, ponieważ $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Z puli pasują: $8$, $15$, $50$, $12$ oraz $\frac{60}{3}$ (gdyż $\frac{60}{3} = 20$).
Worek 2 (Liczby całkowite): Z uwagi na zależność $\mathbb{N} \subset \mathbb{C}$, każda liczba naturalna jest również liczbą całkowitą. Można tu umieścić trzy dowolne liczby całkowite z puli, zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.:
$12$, $-7$, $-\frac{16}{2}$ (gdyż $-\frac{16}{2} = -8$).
Worek 3 (Liczby całkowite, które nie są naturalne): Są to wyłącznie całkowite liczby ujemne (oznaczane jako $\mathbb{C}^-$ lub $\mathbb{C} \setminus \mathbb{N}$). Z puli wybieramy trzy dowolne z poniższych:
$-3$, $-10$, $-7$, $-\frac{16}{2}$ (czyli $-8$).
Worek 4 (Liczby wymierne, które nie są całkowite): Liczby posiadające niezerowe rozwinięcie ułamkowe ($\mathbb{W} \setminus \mathbb{C}$). W tym worku muszą się znaleźć dokładnie te trzy dostępne ułamki:
$-\frac{1}{4}$ (ułamek zwykły), $1{,}5$ (ułamek dziesiętny), $2\frac{1}{3}$ (liczba mieszana).

Zadanie 2

Wpisz brakujące liczniki lub mianowniki, tak aby podane ułamki były równe liczbie zapisanej w kółku.

Instrukcja dla ucznia:
Kliknij w puste szare pola i wpisz odpowiednie liczby (całkowite dodatnie lub ujemne). Po zakończeniu kliknij przycisk „Sprawdź”, aby zweryfikować swoje odpowiedzi. Błędne wyniki zostaną podświetlone na czerwono, a poprawne na zielono.

-15

-5

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Kreska ułamkowa w matematyce pełni dokładnie taką samą rolę jak znak dzielenia. Aby ułamek $\frac{a}{b}$ był równy wyznaczonej liczbie $k$, licznik i mianownik muszą spełniać podstawowy warunek:

\[\frac{a}{b} = k \iff a = k \cdot b \quad \text{oraz} \quad b = \frac{a}{k}\]

Przeanalizujmy poszczególne przypadki:

Podzadanie a) dążymy do wartości $1$:
- $\frac{\mathbf{x}}{1} = 1 \implies x = 1 \cdot 1 = 1$
- $\frac{\mathbf{y}}{7} = 1 \implies y = 1 \cdot 7 = 7$
- $\frac{9}{\mathbf{z}} = 1 \implies z = \frac{9}{1} = 9$
Podzadanie b) dążymy do wartości $13$:
- $\frac{\mathbf{x}}{1} = 13 \implies x = 13 \cdot 1 = 13$
- $\frac{\mathbf{y}}{2} = 13 \implies y = 13 \cdot 2 = 26$
- $\frac{39}{\mathbf{z}} = 13 \implies z = \frac{39}{13} = 3$
Podzadanie c) dążymy do wartości $-15$:
- $\frac{\mathbf{x}}{2} = -15 \implies x = -15 \cdot 2 = -30$
- $\frac{\mathbf{y}}{-5} = -15 \implies y = -15 \cdot (-5) = 75$ (iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią)
- $\frac{15}{\mathbf{z}} = -15 \implies z = \frac{15}{-15} = -1$

Zadanie 3

Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz odpowiednie liczby w puste pola: u góry wpisz licznik, a na dole wpisz mianownik ułamka niewłaściwego. Po uzupełnieniu wszystkich pól kliknij „Sprawdź”.

a) $1\frac{2}{3}$ =

b) $2\frac{4}{7}$ =

c) $5\frac{1}{6}$ =

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Aby zamienić liczbę mieszaną $w\frac{a}{b}$ (gdzie $w$ oznacza całości, $a$ licznik ułamka, a $b$ jego mianownik) na ułamek niewłaściwy, posługujemy się prostym schematem:

\[w\frac{a}{b} = \frac{w \cdot b + a}{b}\]

Oznacza to, że mianownik ułamka pozostaje niezmieniony, a nowy licznik powstaje poprzez pomnożenie całości przez mianownik i dodanie dotychczasowego licznika.

Wykonajmy obliczenia dla poszczególnych podpunktów:

Podpunkt a): \[1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}\] Prawidłowy licznik to 5, a mianownik to 3.
Podpunkt b): \[2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14 + 4}{7} = \frac{18}{7}\] Prawidłowy licznik to 18, a mianownik to 7.
Podpunkt c): \[5\frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{30 + 1}{6} = \frac{31}{6}\] Prawidłowy licznik to 31, a mianownik to 6.

Zadanie 5

Ułamek skracamy, dzieląc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, a rozszerzamy, mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Wpisz brakujące liczniki albo mianowniki.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj pary ułamków w każdym podpunkcie. Wpisz brakujące wartości w puste pola (liczniki lub mianowniki), a następnie kliknij „Sprawdź”, aby zweryfikować swoje wyniki.

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie teorii:

Operacje na ułamkach rządzą się dwiema symetrycznymi zasadami:

Skracanie ułamka: Polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę naturalną (wspólny dzielnik): \[\frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}\]
Rozszerzanie ułamka: Polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę naturalną (różną od zera): \[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}\]

Przeanalizujmy poszczególne przypadki z zadania:

Podpunkt a) - Skracanie ułamków:
- $\frac{8}{12} = \frac{?}{3}$ $\implies$ zauważamy, że mianownik został podzielony przez $4$ ($12 \div 4 = 3$). Licznik także musimy podzielić przez $4$: \[8 \div 4 = \mathbf{2} \implies \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]
- $\frac{3}{15} = \frac{?}{5}$ $\implies$ mianownik został podzielony przez $3$ ($15 \div 3 = 5$). Licznik również dzielimy przez $3$: \[3 \div 3 = \mathbf{1} \implies \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\]
Podpunkt b) - Skracanie ułamków:
- $\frac{21}{24} = \frac{7}{?}$ $\implies$ licznik został podzielony przez $3$ ($21 \div 3 = 7$). Mianownik również dzielimy przez $3$: \[24 \div 3 = \mathbf{8} \implies \frac{21}{24} = \frac{7}{8}\]
- $\frac{25}{30} = \frac{5}{?}$ $\implies$ licznik został podzielony przez $5$ ($25 \div 5 = 5$). Mianownik również dzielimy przez $5$: \[30 \div 5 = \mathbf{6} \implies \frac{25}{30} = \frac{5}{6}\]
Podpunkt c) - Rozszerzanie ułamków:
- $\frac{2}{3} = \frac{?}{9}$ $\implies$ mianownik został pomnożony przez $3$ ($3 \cdot 3 = 9$). Licznik również mnożymy przez $3$: \[2 \cdot 3 = \mathbf{6} \implies \frac{2}{3} = \frac{6}{9}\]
- $\frac{5}{7} = \frac{?}{21}$ $\implies$ mianownik został pomnożony przez $3$ ($7 \cdot 3 = 21$). Licznik również mnożymy przez $3$: \[5 \cdot 3 = \mathbf{15} \implies \frac{5}{7} = \frac{15}{21}\]
Podpunkt d) - Rozszerzanie ułamków:
- $\frac{3}{4} = \frac{12}{?}$ $\implies$ licznik został pomnożony przez $4$ ($3 \cdot 4 = 12$). Mianownik również mnożymy przez $4$: \[4 \cdot 4 = \mathbf{16} \implies \frac{3}{4} = \frac{12}{16}\]
- $\frac{6}{10} = \frac{18}{?}$ $\implies$ licznik został pomnożony przez $3$ ($6 \cdot 3 = 18$). Mianownik również mnożymy przez $3$: \[10 \cdot 3 = \mathbf{30} \implies \frac{6}{10} = \frac{18}{30}\]

Zadanie 6

Zamień odpowiednio ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne, a ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe lub liczby mieszane.

Instrukcja dla ucznia:
W podpunkcie a) wpisz odpowiedni ułamek dziesiętny z przecinkiem (np. 0,5).
W podpunkcie b) uzupełnij pola ułamka (całość, licznik, mianownik). Jeśli ułamek nie ma całości, pole całość pozostaw puste.

a) Zapisz, używając przecinka

$\frac{9}{10} =$

$2\frac{73}{100} =$

$\frac{7}{100} =$

$1\frac{3}{1000} =$

b) Zamień na ułamki zwykłe

$0{,}3 =$

$1{,}8 =$

$0{,}21 =$

$1{,}503 =$

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie pojęć:

Ułamki zwykłe i ułamki dziesiętne to dwa różne sposoby zapisu tej samej wartości matematycznej. Łączy je prosta zasada związana z systemem dziesiątkowym.

a) Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne:

Liczba zer w mianowniku ułamka zwykłego (10, 100, 1000...) wskazuje dokładnie, ile cyfr musi znaleźć się po przecinku w zapisie dziesiętnym:

$\frac{9}{10} = 0,9$ $\implies$ mianownik 10 ma jedno zero, czyli mamy 1 miejsce po przecinku.
$2\frac{73}{100} = 2,73$ $\implies$ mianownik 100 ma dwa zera, czyli mamy 2 miejsca po przecinku. Liczba całości (2) staje przed przecinkiem.
$\frac{7}{100} = 0,07$ $\implies$ mianownik 100 wymaga 2 miejsc po przecinku. Wolne miejsce przed cyfrą 7 uzupełniamy zerem.
$1\frac{3}{1000} = 1,003$ $\implies$ mianownik 1000 wymaga 3 miejsc po przecinku. Wolne miejsca uzupełniamy dwoma zerami.

b) Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe:

Liczba cyfr po przecinku określa mianownik ułamka zwykłego (10, 100, 1000...), a same cyfry po przecinku stają się jego licznikiem:

$0,3 = \frac{3}{10}$ $\implies$ jedno miejsce po przecinku daje mianownik 10.
$1,8 = 1\frac{8}{10}$ (lub po skróceniu przez 2: $1\frac{4}{5}$) $\implies$ cyfra 1 to całości, a jedno miejsce po przecinku daje ułamek $\frac{8}{10}$.
$0,21 = \frac{21}{100}$ $\implies$ dwa miejsca po przecinku dają mianownik 100.
$1,503 = 1\frac{503}{1000}$ $\implies$ cyfra 1 to całości, a trzy miejsca po przecinku dają mianownik 1000.

Zadanie 7

Zamień podane ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe niewłaściwe.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz odpowiednie wartości w puste pola ułamków: u góry wpisz licznik, a na dole wpisz mianownik ułamka zwykłego niewłaściwego. Po uzupełnieniu wszystkich pól kliknij „Sprawdź”.

a) $1{,}9 =$

b) $3{,}1 =$

c) $12{,}7 =$

d) $1{,}73 =$

e) $3{,}08 =$

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie metod:

Aby zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły niewłaściwy, postępujemy według schematu zaprezentowanego w ramce przykładowej:

\[2{,}17 = 2 + \frac{17}{100} = \frac{200}{100} + \frac{17}{100} = \frac{217}{100}\]

Szybsza, bezpośrednia metoda polega na zapisaniu w liczniku całej liczby bez przecinka, a w mianowniku jedynki z tyloma zerami, ile było miejsc po przecinku w ułamku dziesiętnym:

Podpunkt a): Liczba $1{,}9$ ma jedno miejsce po przecinku (części dziesiętne): \[1{,}9 = \frac{19}{10}\]
Podpunkt b): Liczba $3{,}1$ ma jedno miejsce po przecinku (części dziesiętne): \[3{,}1 = \frac{31}{10}\]
Podpunkt c): Liczba $12{,}7$ ma jedno miejsce po przecinku (części dziesiętne): \[12{,}7 = \frac{127}{10}\]
Podpunkt d): Liczba $1{,}73$ ma dwa miejsca po przecinku (części setne): \[1{,}73 = \frac{173}{100}\]
Podpunkt e): Liczba $3{,}08$ ma dwa miejsca po przecinku (części setne): \[3{,}08 = \frac{308}{100}\] Jeśli chcemy zapisać ułamek w postaci najprostszej (skróconej), dzielimy licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik, czyli przez $4$: \[\frac{308 \div 4}{100 \div 4} = \frac{77}{25}\] Obie formy ($\frac{308}{100}$ oraz $\frac{77}{25}$) są poprawne.

Zadanie 8

Przeanalizuj ułamki, a następnie uzupełnij brakujące mianowniki lub zapisz liczby za pomocą przecinka.

Instrukcja dla ucznia:
W podpunkcie a) wpisz brakujący mianownik w ułamkach zwykłych.
W podpunkcie b) wpisz odpowiednią wartość dziesiętną, używając przecinka (np. 1,5). Po skończeniu kliknij „Sprawdź”.

a) Uzupełnij brakujące mianowniki

$= 0{,}5$

$= 0{,}125$

$= 0{,}25$

$= 0{,}2$

b) Zapisz, używając przecinka

$3\frac{1}{2} =$

$1\frac{2}{5} =$

$\frac{3}{4} =$

$\frac{3}{8} =$

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie metod:

Ułamki zwykłe o liczniku 1 są podstawowymi ułamkami, których rozwinięcia dziesiętne warto zapamiętać, gdyż ułatwiają one szybkie obliczenia matematyczne.

a) Uzupełnienie mianowników:

Ułamek zwykły zamieniamy na ułamek dziesiętny poprzez dzielenie licznika przez mianownik (lub poprzez rozszerzenie mianownika do 10, 100, 1000...):

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0,5$ $\implies$ poszukiwany mianownik to 2.
$\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0,25$ $\implies$ poszukiwany mianownik to 4.
$\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$ $\implies$ poszukiwany mianownik to 5.
$\frac{1}{8} = \frac{125}{1000} = 0,125$ $\implies$ poszukiwany mianownik to 8.

b) Zapis z użyciem przecinka:

Możemy rozszerzyć ułamek tak, aby w mianowniku otrzymać potęgę liczby 10 (10, 100, 1000...) lub wykorzystać wartości zapamiętane w podpunkcie a):

$3\frac{1}{2}$: Całość przepiszemy przed przecinek. Wiemy, że $\frac{1}{2} = 0,5$, zatem: \[3\frac{1}{2} = 3\frac{5}{10} = 3,5\]
$1\frac{2}{5}$: Całość (1) przepiszemy przed przecinek. Rozszerzamy ułamek przez 2: \[1\frac{2}{5} = 1\frac{4}{10} = 1,4\]
$\frac{3}{4}$: Rozszerzamy ułamek przez 25 (aby w mianowniku uzyskać 100): \[\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75\]
$\frac{3}{8}$: Rozszerzamy ułamek przez 125 (aby w mianowniku uzyskać 1000): \[\frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0,375\]

Zadanie 9

Przedstaw każdą z poniższych liczb w postaci ułamka dziesiętnego.

Instrukcja dla ucznia:
Zamień każdy ułamek zwykły lub liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny (rozszerzając mianownik do 100), a następnie wpisz odpowiedź z użyciem przecinka (np. 0,25). Kliknij „Sprawdź”, aby dowiedzieć się, czy zadanie jest wykonane poprawnie.

a) $\frac{9}{50} =$

b) $\frac{21}{25} =$

c) $\frac{13}{20} =$

d) $5\frac{9}{50} =$

e) $2\frac{4}{25} =$

f) $3\frac{2}{50} =$

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie metod:

Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci dziesiętnej, musimy rozszerzyć mianownik ułamka do liczby równej 100 (lub innej potęgi liczby 10: 10, 1000...). Mnożymy w tym celu licznik i mianownik przez tę samą, odpowiednio dobraną liczbę:

Dla mianownika 50 mnożymy ułamek przez $2$ (ponieważ $50 \cdot 2 = 100$).
Dla mianownika 25 mnożymy ułamek przez $4$ (ponieważ $25 \cdot 4 = 100$).
Dla mianownika 20 mnożymy ułamek przez $5$ (ponieważ $20 \cdot 5 = 100$).

Wykonajmy rozszerzenia ułamków dla każdego z podpunktów:

Podpunkt a): Rozszerzamy ułamek przez $2$: \[\frac{9}{50} = \frac{9 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{18}{100} = 0,18\]
Podpunkt b): Rozszerzamy ułamek przez $4$: \[\frac{21}{25} = \frac{21 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{84}{100} = 0,84\]
Podpunkt c): Rozszerzamy ułamek przez $5$: \[\frac{13}{20} = \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65\]
Podpunkt d): Rozszerzamy część ułamkową przez $2$ (całość przed przecinkiem nie ulega zmianie): \[5\frac{9}{50} = 5\frac{9 \cdot 2}{50 \cdot 2} = 5\frac{18}{100} = 5,18\]
Podpunkt e): Rozszerzamy część ułamkową przez $4$: \[2\frac{4}{25} = 2\frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 2\frac{16}{100} = 2,16\]
Podpunkt f): Rozszerzamy część ułamkową przez $2$: \[3\frac{2}{50} = 3\frac{2 \cdot 2}{50 \cdot 2} = 3\frac{4}{100} = 3,04\] Uwaga: Ponieważ mianownik to 100, po przecinku muszą znajdować się dokładnie dwa miejsca dziesiętne. Zapisujemy zatem 3,04 (a nie 3,4).

Zadanie 10

Każdą liczbę można przedstawić na wiele sposobów. Uzupełnij puste pola.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj ciągi równości. Wpisz brakujące liczniki, mianowniki lub części ułamkowe w szare pola, a następnie kliknij „Sprawdź”, aby zweryfikować swoje odpowiedzi.

100

0,45

2,8

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie metod:

Każdą wartość liczbową można zapisać na nieskończenie wiele sposobów. Kluczem do rozwiązania tego zadania jest poprawne stosowanie skracania i rozszerzania ułamków, zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe oraz przechodzenia na ułamki dziesiętne.

Poniżej znajduje się szczegółowa analiza każdego z podpunktów:

Podpunkt a): Dany jest ułamek $\frac{8}{12}$.
- $\frac{8}{12} = \frac{?}{6}$ $\implies$ dzielimy licznik i mianownik przez $2$ (skracamy ułamek): \[\frac{8 \div 2}{12 \div 2} = \frac{\mathbf{4}}{6}\]
- $\frac{8}{12} = \frac{?}{3}$ $\implies$ dzielimy licznik i mianownik wyjściowy przez $4$ (skracamy ułamek): \[\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{\mathbf{2}}{3}\]
- $\frac{2}{3} = \frac{?}{15}$ $\implies$ mnożymy licznik i mianownik ułamka $\frac{2}{3}$ przez $5$ (rozszerzamy ułamek): \[\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{\mathbf{10}}{15}\]
Podpunkt b): Dany jest ułamek niewłaściwy $\frac{40}{15}$.
- $\frac{40}{15} = \frac{?}{3}$ $\implies$ skracamy ułamek dzieląc przez $5$: \[\frac{40 \div 5}{15 \div 5} = \frac{\mathbf{8}}{3}\]
- $\frac{8}{3} = 2\frac{?}{3}$ $\implies$ wyłączamy całości z ułamka niewłaściwego: \[8 = 2 \cdot 3 + 2 \implies \frac{8}{3} = 2\frac{\mathbf{2}}{3}\]
- $2\frac{2}{3} = 2\frac{?}{9}$ $\implies$ rozszerzamy część ułamkową przez $3$ (mnożymy licznik i mianownik): \[2\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 2\frac{\mathbf{6}}{9}\]
Podpunkt c): Dana jest liczba mieszana $1\frac{4}{25}$.
- $1\frac{4}{25} = 1\frac{?}{100}$ $\implies$ rozszerzamy część ułamkową przez $4$ (mnożymy przez $4$): \[1\frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 1\frac{\mathbf{16}}{100}\]
- $1\frac{16}{100} = 1,?$ $\implies$ zapisujemy liczbę mieszaną w postaci dziesiętnej: \[1\frac{16}{100} = 1,\mathbf{16}\]
- $1\frac{16}{100} = \frac{?}{100}$ $\implies$ zamieniamy na ułamek niewłaściwy: \[1\frac{16}{100} = \frac{1 \cdot 100 + 16}{100} = \frac{\mathbf{116}}{100}\]
Podpunkt d): Dana jest liczba mieszana $3\frac{16}{20}$.
- $3\frac{16}{20} = 3\frac{4}{?}$ $\implies$ skracamy część ułamkową dzieląc licznik i mianownik przez $4$: \[3\frac{16 \div 4}{20 \div 4} = 3\frac{4}{\mathbf{5}}\]
- $3\frac{4}{5} = 3\frac{?}{10}$ $\implies$ rozszerzamy część ułamkową mnożąc ją przez $2$: \[3\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 3\frac{\mathbf{8}}{10}\]
- $3\frac{8}{10} = 3,?$ $\implies$ zapisujemy w postaci ułamka dziesiętnego: \[3\frac{8}{10} = 3,\mathbf{8}\]
Podpunkt e): Dany jest ułamek dziesiętny $0,45$.
- $0,45 = \frac{45}{?}$ $\implies$ zapisujemy ułamek dziesiętny w postaci zwykłej (dwa miejsca po przecinku dają mianownik 100): \[0,45 = \frac{45}{\mathbf{100}}\]
- $\frac{45}{100} = \frac{9}{?}$ $\implies$ skracamy ułamek dzieląc licznik i mianownik przez $5$: \[\frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{\mathbf{20}}\]
- $\frac{9}{20} = \frac{?}{40}$ $\implies$ rozszerzamy otrzymany ułamek mnożąc licznik i mianownik przez $2$: \[\frac{9 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{\mathbf{18}}{40}\]
Podpunkt f): Dany jest ułamek dziesiętny $2,8$.
- $2,8 = 2\frac{?}{10}$ $\implies$ zapisujemy w postaci liczby mieszanej: \[2,8 = 2\frac{\mathbf{8}}{10}\]
- $2\frac{8}{10} = 2\frac{?}{5}$ $\implies$ skracamy część ułamkową dzieląc przez $2$: \[2\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = 2\frac{\mathbf{4}}{5}\]
- $2\frac{4}{5} = \frac{?}{5}$ $\implies$ zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \[2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{\mathbf{14}}{5}\]

Zadanie 11

Zaznacz podane liczby na osiach liczbowych.

Instrukcja dla ucznia:
1. Kliknij na kafelek z liczbą nad wybraną osią (kafelek podświetli się na żółto).
2. Kliknij na odpowiednią kreskę (podziałkę) na osi liczbowej poniżej – w tym miejscu pojawi się niebieska kropka z wartością.
3. Aby poprawić położenie punktu, po prostu kliknij go bezpośrednio na osi, a wróci on do puli. Możesz również użyć przycisku „RESET OSI”.

a) Podziałka co $0{,}5$

$4$

$-2{,}5$

$1\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$-0{,}5$

$3\frac{1}{2}$

b) Podziałka co $0{,}25$

$3$

$-1{,}25$

$2\frac{3}{4}$

$-\frac{1}{2}$

$1{,}75$

$-1{,}5$

c) Podziałka co $0{,}1$

$-1$

$1{,}7$

$2\frac{1}{2}$

$\frac{2}{5}$

$-0{,}6$

$-\frac{4}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku i analiza podziałek:

Identyfikacja punktów na osi liczbowej zależy bezpośrednio od ustalenia tzw. jednostki osi oraz liczby mniejszych części, na które została podzielona.

a) Oś liczby o podziałce co $0{,}5$:

Między punktem $0$ a $1$ znajduje się dokładnie jedna mniejsza kreska podziału, co oznacza, że odległość między każdymi sąsiednimi kreskami wynosi $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Liczymy kreski od punktu odniesienia ($0$):

$-2{,}5$: Odliczamy $5$ działek w lewo od $0$.
$-0{,}5$: Dokładnie $1$ działka w lewo od $0$.
$\frac{1}{2} = 0{,}5$: Dokładnie $1$ działka w prawo od $0$.
$1\frac{1}{2} = 1{,}5$: Odliczamy $3$ działki w prawo od $0$ (lub $1$ działkę na prawo za punktem $1$).
$3\frac{1}{2} = 3{,}5$: Odliczamy $7$ działek w prawo od $0$.
$4$: Odliczamy $8$ działek w prawo od $0$.

b) Oś liczby o podziałce co $0{,}25$:

Między punktem $0$ a $1$ znajdują się cztery równe części, co oznacza, że każda kreska odpowiada ułamkowi $\frac{1}{4} = 0{,}25$:

$-1{,}5$: Odliczamy $6$ działek w lewo od $0$ (ponieważ $-1{,}5 = -6 \cdot 0{,}25$).
$-1{,}25$: Odliczamy $5$ działek w lewo od $0$.
$-\frac{1}{2} = -0{,}50$: Odliczamy $2$ działki w lewo od $0$.
$1{,}75$: Odliczamy $7$ działek w prawo od $0$ (czyli $3$ kreski za jedynką).
$2\frac{3}{4} = 2{,}75$: Odliczamy $11$ działek w prawo od $0$ (czyli $3$ kreski za dwójką).
$3$: Odliczamy $12$ działek w prawo od $0$.

c) Oś liczby o podziałce co $0{,}1$:

Między punktem $0$ a $1$ znajduje się dziesięć równych części, co oznacza, że odległość między każdą sąsiednią kreską to $\frac{1}{10} = 0{,}1$:

$-1$: Odliczamy dokładnie $10$ działek w lewo od $0$.
$-\frac{4}{5} = -0{,}8$: Odliczamy $8$ działek w lewo od $0$.
$-0{,}6$: Odliczamy $6$ działek w lewo od $0$.
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$: Odliczamy $4$ działki w prawo od $0$.
$1{,}7$: Odliczamy $17$ działek w prawo od $0$ (czyli $7$ kresek za jedynką).
$2\frac{1}{2} = 2{,}5$: Odliczamy $25$ działek w prawo od $0$ (czyli dokładnie w połowie między cyfrą $2$ a $3$).

Zadanie 12

Która liczba jest większa? Wstaw odpowiedni znak: $<$ lub $>$.

Instrukcja dla ucznia:
Klikaj w żółte kółka porównania i wybieraj z listy odpowiedni znak relacji: mniejszości (<) lub większości (>). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

$4{,}7$ $4{,}2$

$-4{,}7$ $-4{,}2$

$0{,}6$ $0{,}56$

$-0{,}6$ $-0{,}56$

$\frac{2}{7}$ $\frac{5}{7}$

$-\frac{2}{7}$ $-\frac{5}{7}$

$\frac{3}{5}$ $\frac{3}{8}$

$-\frac{3}{5}$ $-\frac{3}{8}$

$\frac{3}{4}$ $\frac{5}{8}$

$-\frac{3}{4}$ $-\frac{5}{8}$

$\frac{3}{7}$ $\frac{1}{2}$

$-\frac{3}{7}$ $-\frac{1}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Do porównywania liczb wymiernych (zarówno ułamków dziesiętnych, jak i zwykłych) stosuje się następujące ogólne zasady:

Porównywanie liczb dodatnich: Większa jest ta liczba, która na osi liczbowej leży dalej od zera (ma większą wartość bezwzględną).
Porównywanie liczb ujemnych: Większa jest ta liczba, która na osi liczbowej leży bliżej zera (ma mniejszą wartość bezwzględną, czyli „mniej na minusie”). Zatem dla każdych liczb dodatnich rzędu $a > b$ zachodzi relacja ujemna: $-a < -b$.

Analiza poszczególnych podpunktów:

Podpunkt a):
- $4{,}7 > 4{,}2$ $\implies$ obie liczby są dodatnie, $4{,}7$ leży dalej od zera.
- $-4{,}7 < -4{,}2$ $\implies$ obie liczby są ujemne, $-4{,}2$ leży bliżej zera.
Podpunkt b): Dla ułatwienia dopisujemy zero na końcu ułamka $0{,}6 = 0{,}60$.
- $0{,}60 > 0{,}56$ $\implies$ ułamek dodatni.
- $-0{,}60 < -0{,}56$ $\implies$ ułamek ujemny.
Podpunkt c): W przypadku równych mianowników porównujemy wyłącznie liczniki:
- $\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$ $\implies$ ponieważ $2 < 5$.
- $-\frac{2}{7} > -\frac{5}{7}$ $\implies$ ponieważ relacja ujemna odwraca kierunek nierówności.
Podpunkt d): W przypadku równych liczników większy jest ten ułamek, który ma mniejszy mianownik (dzielenie na mniej części daje większe kawałki):
- $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$ $\implies$ bo piąta część całości jest większa niż ósma część.
- $-\frac{3}{5} < -\frac{3}{8}$ $\implies$ relacja ujemna odwraca kierunek nierówności.
Podpunkt e): Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (którym jest 8): \[\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}\]
- $\frac{3}{4} > \frac{5}{8}$ $\implies$ ponieważ $\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$.
- $-\frac{3}{4} < -\frac{5}{8}$ $\implies$ wersja ujemna odwraca relację.
Podpunkt f): Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (którym jest 14) lub porównujemy z połówką ($0{,}5$): \[\frac{3}{7} = \frac{6}{14} \quad \text{oraz} \quad \frac{1}{2} = \frac{7}{14}\]
- $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$ $\implies$ ponieważ $\frac{6}{14} < \frac{7}{14}$.
- $-\frac{3}{7} > -\frac{1}{2}$ $\implies$ wersja ujemna odwraca relację.

Zadanie 13

Rozszerz ułamki do wspólnego mianownika, a następnie porównaj je, wstawiając znak $<$ lub $>$.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz odpowiednie liczby w szare pola ułamków, a w żółtych kółkach wybierz odpowiedni znak relacji. Po zakończeniu kliknij „Sprawdź”.

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie metod:

Gdy porównujemy ułamki o różnych licznikach i mianownikach, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Najprostszym wspólnym mianownikiem jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) mianowników porównywanych ułamków. Po rozszerzeniu ułamków porównujemy tylko ich liczniki.

Analiza poszczególnych podpunktów:

Podpunkt a) - porównujemy $\frac{3}{8}$ oraz $\frac{1}{3}$: Wspólnym mianownikiem dla 8 i 3 jest ich iloczyn: $8 \cdot 3 = 24$.
- Pierwszy ułamek rozszerzamy przez $3$: \[\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{\mathbf{9}}{24}\]
- Drugi ułamek rozszerzamy przez $8$: \[\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{\mathbf{8}}{24}\]
- Porównujemy liczniki rozszerzonych ułamków: ponieważ $9 > 8$, zachodzi relacja: \[\frac{9}{24} > \frac{8}{24} \implies \frac{3}{8} > \frac{1}{3}\]
Podpunkt b) - porównujemy $\frac{4}{5}$ oraz $\frac{7}{9}$: Wspólnym mianownikiem dla 5 i 9 jest ich iloczyn: $5 \cdot 9 = 45$.
- Pierwszy ułamek rozszerzamy przez $9$: \[\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{\mathbf{36}}{45}\]
- Drugi ułamek rozszerzamy przez $5$: \[\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{\mathbf{35}}{45}\]
- Porównujemy liczniki: ponieważ $36 > 35$, zachodzi relacja: \[\frac{36}{45} > \frac{35}{45} \implies \frac{4}{5} > \frac{7}{9}\]
Podpunkt c) - porównujemy $\frac{2}{7}$ oraz $\frac{3}{8}$: Najmniejszym wspólnym mianownikiem dla 7 i 8 jest ich iloczyn: $7 \cdot 8 = 56$. Obaj mianownicy i liczniki były puste do uzupełnienia:
- Pierwszy ułamek rozszerzamy przez $8$: \[\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{\mathbf{77}}{\mathbf{100}}\] (pardon, mnożymy $2 \cdot 8$, co daje: \[\frac{16}{40}\], a dla $\frac{2}{5}$ równe... chwila!). Policzmy dokładnie dla mianownika $56$: \[\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{\mathbf{16}}{\mathbf{56}}\]
- Drugi ułamek rozszerzamy przez $7$: \[\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{\mathbf{21}}{\mathbf{56}}\]
- Porównujemy liczniki: ponieważ $16 < 21$, zachodzi relacja: \[\frac{16}{56} < \frac{21}{56} \implies \frac{2}{7} < \frac{3}{8}\]

Zadanie 14

Dopasuj podane liczby do odpowiednich punktów na osi liczbowej.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj podziałkę na każdej osi oraz położenie liter. Następnie pod osią dopasuj każdą liczbę do właściwej litery, wybierając ją z rozwijanej listy. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

a) Liczby: $4{,}2$; $4{,}6$; $2\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{5}$; $3{,}3$

4,2 →

4,6 →

$2\frac{1}{2}$ →

$2\frac{1}{5}$ →

3,3 →

b) Liczby: $\frac{13}{10}$; $1\frac{1}{4}$; $\frac{7}{5}$; $1,32$; $\frac{6}{5}$

$\frac{13}{10}$ →

$1\frac{1}{4}$ →

$\frac{7}{5}$ →

1,32 →

$\frac{6}{5}$ →

c) Liczby: $2{,}346$; $2\frac{17}{50}$; $2{,}357$; $\frac{47}{20}$

2,346 →

$2\frac{17}{50}$ →

2,357 →

$\frac{47}{20}$ →

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Aby dopasować podane liczby do odpowiednich punktów (liter) na osi liczbowej, najlepiej jest sprowadzić wszystkie liczby do wspólnej postaci dziesiętnej oraz określić krok podziałki osi.

Podpunkt a) - podziałka osi wynosi $0{,}1$:

Odcinek jednostkowy od $2$ do $3$ ma dziesięć części, czyli każda kreska to $0{,}1$. Przekształćmy liczby mieszane:

$2\frac{1}{2} = 2{,}5$ $\implies$ punkt leżący dokładnie w połowie między 2 a 3: R
$2\frac{1}{5} = 2\frac{2}{10} = 2{,}2$ $\implies$ punkt leżący dwie kreski na prawo od 2: T

Pozostałe dopasowania na podstawie ułamków dziesiętnych:

$3{,}3$ $\implies$ trzy kreski na prawo od 3: A
$4{,}2$ $\implies$ dwie kreski na prawo od 4: W
$4{,}6$ $\implies$ sześć kresek na prawo od 4: Y

Podpunkt b) - podziałka osi wynosi $0{,}01$ (części setne):

Odcinek między $1{,}2$ a $1{,}3$ ma 10 podziałek, więc każda kreska to $0{,}01$. Zamieńmy ułamki zwykłe:

$\frac{13}{10} = 1{,}3$ $\implies$ punkt dokładnie na kresce $1{,}3$: B
$1\frac{1}{4} = 1{,}25$ $\implies$ punkt w połowie między $1{,}2$ a $1{,}3$: A
$\frac{7}{5} = \frac{14}{10} = 1{,}4$ $\implies$ punkt na kresce $1{,}4$: R
$\frac{6}{5} = \frac{12}{10} = 1{,}2$ $\implies$ punkt na kresce $1{,}2$: N
$1{,}32$ $\implies$ dwie kreski na prawo od $1{,}3$: Ó

Podpunkt c) - podziałka osi wynosi $0{,}001$ (części tysięczne):

Odcinek między $2{,}34$ a $2{,}35$ ma 10 podziałek, czyli każda kreska to $0{,}001$. Zamieńmy ułamki zwykłe:

$2\frac{17}{50} = 2\frac{34}{100} = 2{,}34$ $\implies$ punkt bezpośrednio na kresce $2{,}34$: C
$\frac{47}{20} = \frac{235}{100} = 2{,}35$ $\implies$ punkt bezpośrednio na kresce $2{,}35$: E

Pozostałe ułamki dziesiętne:

$2{,}346$ $\implies$ sześć kresek na prawo od $2{,}34$: N
$2{,}357$ $\implies$ siedem kresek na prawo od $2{,}35$: Y

Zadanie 15

Podaj przykład takiej liczby $a$, żeby ułamek $\frac{a}{13}$ był:

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz w puste pola odpowiednią liczbę (całkowitą lub dziesiętną – z kropką bądź przecinkiem), która spełnia warunek podany w tytule karty. Po wpisaniu wszystkich przykładów kliknij „Sprawdź”.

a) większy od 2

$a =$

b) większy od 13

$a =$

c) mniejszy od 1

$a =$

d) mniejszy od -4

$a =$

Rozwiązanie krok po kroku i analiza nierówności:

Kreska ułamkowa odpowiada dzieleniu. Aby zbadać, jakie liczby $a$ spełniają warunki zadania, możemy przekształcić każdą z nierówności, mnożąc obustronnie przez mianownik ułamka, czyli przez liczbę dodatnią $13$:

\[\frac{a}{13} \gtrless k \iff a \gtrless k \cdot 13\]

Analizujemy poszczególne przypadki:

Podpunkt a) - ułamek większy od 2: \[\frac{a}{13} > 2 \iff a > 2 \cdot 13 \iff a > 26\] *Rozwiązanie:* Prawidłowa jest **dowolna liczba większa od 26** (np. $27$, $30$, $100$, $35{,}5$).
Podpunkt b) - ułamek większy od 13: \[\frac{a}{13} > 13 \iff a > 13 \cdot 13 \iff a > 169\] *Rozwiązanie:* Prawidłowa jest **dowolna liczba większa od 169** (np. $170$, $200$, $1000$).
Podpunkt c) - ułamek mniejszy od 1: \[\frac{a}{13} < 1 \iff a < 1 \cdot 13 \iff a < 13\] *Rozwiązanie:* Prawidłowa jest **dowolna liczba mniejsza od 13** (np. $12$, $5$, $0$, $-10$).
Podpunkt d) - ułamek mniejszy od -4: \[\frac{a}{13} < -4 \iff a < -4 \cdot 13 \iff a < -52\] *Rozwiązanie:* Prawidłowa jest **dowolna liczba mniejsza od -52** (np. $-53$, $-60$, $-100$).

Zadanie 16

Podaj odpowiednie ułamki spełniające poniższe warunki.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz odpowiednie liczby w puste pola ułamków. Możesz wpisywać je w dowolnej kolejności. Po uzupełnieniu wszystkich pól kliknij „Sprawdź”.

a) Wszystkie dodatnie ułamki mniejsze od 1, których mianownik jest równy 5:

b) Wszystkie ułamki większe od 1, których licznik wynosi 7:

c) Wszystkie ułamki większe od -2 i mniejsze od 1/2, których mianownik jest równy 4:

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Aby poprawnie wyznaczyć zbiory ułamków, przeanalizujmy podane warunki merytoryczne i zapiszmy je w formie nierówności:

Podpunkt a) - dodatnie ułamki mniejsze od 1 o mianowniku 5: Szukamy ułamków postaci $\frac{x}{5}$.
- Ułamek ma być dodatni, czyli licznik musi być większy od zera: $x > 0$.
- Ułamek ma być mniejszy od 1, czyli licznik musi być mniejszy od mianownika: $x < 5$.
- Warunki te spełniają liczby naturalne: $1, 2, 3, 4$.
*Odpowiedź:* $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$.
Podpunkt b) - ułamki większe od 1 o liczniku 7: Szukamy ułamków postaci $\frac{7}{y}$, gdzie mianownik $y$ jest dodatnią liczbą całkowitą ($y > 0$).
- Ułamek ma być większy od 1, więc licznik musi być większy od mianownika: $7 > y \implies y < 7$.
- Warunek ten spełniają liczby naturalne: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
*Odpowiedź:* $\frac{7}{1}, \frac{7}{2}, \frac{7}{3}, \frac{7}{4}, \frac{7}{5}, \frac{7}{6}$.
Podpunkt c) - ułamki większe od -2 i mniejsze od 1/2 o mianowniku 4: Szukamy ułamków postaci $\frac{z}{4}$, gdzie $z$ jest liczbą całkowitą.
- Ułamek ma być większy od $-2$: \[\frac{z}{4} > -2 \iff z > -2 \cdot 4 \iff z > -8\]
- Ułamek ma być mniejszy od $\frac{1}{2}$: \[\frac{z}{4} < \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \iff z < 2\]
- Licznik $z$ musi być liczbą całkowitą spełniającą warunek $-8 < z < 2$, czyli należy do zbioru: \[\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}\]
*Odpowiedź:* $-\frac{7}{4}, -\frac{6}{4}, -\frac{5}{4}, -\frac{4}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{2}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{0}{4}, \frac{1}{4}$.

Zadanie 17

Znajdź największą liczbę całkowitą, która jest mniejsza od podanej liczby.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz w puste pola odpowiednią liczbę całkowitą (dodatnią, ujemną lub zero), która spełnia warunek zadania. Pamiętaj, że poszukiwana liczba musi być ściśle mniejsza od podanej. Po uzupełnieniu kliknij „Sprawdź”.

a) $0$

b) $-3$

c) $5\frac{3}{5}$

d) $3{,}24$

e) $-\frac{32}{3}$

f) $-6{,}7$

Rozwiązanie krok po kroku i analiza nierówności:

Szukamy największej liczby całkowitej $k$ spełniającej nierówność $k < x$ (gdzie $x$ to podana liczba).

Jeśli liczba $x$ **nie jest** liczbą całkowitą, to poszukiwaną wartością jest po prostu część całkowita liczby $x$ (czyli zaokrąglenie w dół na osi liczbowej: $\lfloor x \rfloor$).
Jeśli liczba $x$ **jest** liczbą całkowitą, to poszukiwaną wartością musi być liczba o jeden mniejsza: $x - 1$ (ponieważ liczba całkowita nie może być ściśle mniejsza od samej siebie).

Przeanalizujmy każdy przypadek:

Podpunkt a) - dla liczby $0$: Liczba $0$ jest liczbą całkowitą. Największą liczbą całkowitą ściśle mniejszą od $0$ jest: \[0 - 1 = \mathbf{-1}\]
Podpunkt b) - dla liczby $-3$: Liczba $-3$ jest liczbą całkowitą. Największą liczbą całkowitą ściśle mniejszą od $-3$ jest: \[-3 - 1 = \mathbf{-4}\]
Podpunkt c) - dla liczby $5\frac{3}{5}$: Ułamek $5\frac{3}{5} = 5{,}6$ nie jest liczbą całkowitą. Szukamy największej liczby całkowitej mniejszej od $5{,}6$: \[k < 5{,}6 \implies k = \mathbf{5}\]
Podpunkt d) - dla liczby $3{,}24$: Liczba $3{,}24$ nie jest liczbą całkowitą. Szukamy największej liczby całkowitej mniejszej od $3{,}24$: \[k < 3{,}24 \implies k = \mathbf{3}\]
Podpunkt e) - dla liczby $-\frac{32}{3}$: Przekształcamy ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: \[-\frac{32}{3} = -10\frac{2}{3} \approx -10{,}67\] Szukamy największej liczby całkowitej mniejszej od $-10{,}67$ (idąc w lewo na osi liczbowej, w stronę liczb ujemnych o większej wartości bezwzględnej): \[k < -10{,}67 \implies k = \mathbf{-11}\]
Podpunkt f) - dla liczby $-6{,}7$: Liczba $-6{,}7$ nie jest liczbą całkowitą. Największą liczbą całkowitą mniejszą od $-6{,}7$ (idąc w lewo na osi) jest: \[k < -6{,}7 \implies k = \mathbf{-7}\]

Zadanie 18

Oblicz i przedstaw w postaci ułamka zwykłego:

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj opisy matematyczne, wykonaj obliczenia w brudnopisie, a następnie wpisz ułamek zwykły: w górne szare pole wpisz licznik (ze znakiem minus, jeśli ułamek jest ujemny), a w dolne pole wpisz mianownik. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

a) liczbę przeciwną do odwrotności liczby $-13\frac{1}{4}$

b) odwrotność liczby przeciwnej do liczby $-13\frac{1}{4}$

c) liczbę przeciwną do odwrotności liczby $25\frac{2}{3}$

d) odwrotność liczby przeciwnej do liczby $25\frac{2}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie pojęć:

Do wykonania tego zadania potrzebna jest znajomość dwóch podstawowych pojęć algebraicznych:

Liczba przeciwna do liczby $x$ to liczba o zmienionym znaku na przeciwny, czyli $-x$.
Odwrotność liczby $x$ (gdzie $x \neq 0$) to liczba $\frac{1}{x}$. Dla ułamka zwykłego $\frac{a}{b}$ jej odwrotnością jest $\frac{b}{a}$.

Analiza poszczególnych podpunktów:

Podpunkt a) - liczba przeciwna do odwrotności liczby $-13\frac{1}{4}$:
1. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \[-13\frac{1}{4} = -\frac{13 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{53}{4}\] 2. Wyznaczamy odwrotność tej liczby (odwracamy licznik z mianownikiem): \[\text{odwrotność} = -\frac{4}{53}\] 3. Wyznaczamy liczbę przeciwną do otrzymanej (zmieniamy znak na przeciwny): \[-\left(-\frac{4}{53}\right) = \mathbf{\frac{4}{53}}\]
Podpunkt b) - odwrotność liczby przeciwnej do liczby $-13\frac{1}{4}$:
Liczba wyjściowa to $-13\frac{1}{4} = -\frac{53}{4}$.
- Wyznaczamy liczbę przeciwną (zmieniamy znak na plus): \[-\left(-\frac{53}{4}\right) = \frac{53}{4}\]
- Wyznaczamy odwrotność tej liczby (zamieniamy licznik z mianownikiem): \[\mathbf{\frac{4}{53}}\]
*(Wyniki podpunktów a i b są identyczne!)*.
Podpunkt c) - liczba przeciwna do odwrotności liczby $25\frac{2}{3}$:
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \[25\frac{2}{3} = \frac{25 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{75 + 2}{3} = \frac{77}{3}\]
- Wyznaczamy odwrotność liczby $\frac{77}{3}$: \[\frac{3}{77}\]
- Wyznaczamy liczbę przeciwną do tej wartości: \[\mathbf{-\frac{3}{77}}\]
Podpunkt d) - odwrotność liczby przeciwnej do liczby $25\frac{2}{3}$:
Liczba wyjściowa to $25\frac{2}{3} = \frac{77}{3}$.
- Wyznaczamy liczbę przeciwną (zmieniamy znak): \[-\frac{77}{3}\]
- Wyznaczamy odwrotność tej liczby (odwracamy ułamek): \[\mathbf{-\frac{3}{77}}\]

Zadanie 19

Znajdź trzy liczby, które są większe od $\frac{3}{5}$ i jednocześnie mniejsze od $\frac{5}{7}$.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz w puste pola trzy różne liczby spełniające warunek zadania. Możesz wpisywać ułamki dziesiętne z przecinkiem (np. 0,65) lub ułamki zwykłe z ukośnikiem (np. 22/35). Po uzupełnieniu pól kliknij „Sprawdź”.

Rozwiązanie krok po kroku i objaśnienie metod:

Szukamy trzech różnych liczb $x_1, x_2, x_3$, które spełniają warunek ostrej nierówności:

\[\frac{3}{5} < x < \frac{5}{7}\]

Wyszukanie takich liczb jest bardzo proste, jeśli zastosujemy jedną z dwóch poniższych metod:

Metoda 1: Zamiana na ułamki dziesiętne

Przekształcamy oba ułamki na ułamki dziesiętne (z przybliżeniem):

$\frac{3}{5} = 0,6 = 0,600$
$\frac{5}{7} \approx 0,714$

Zatem poprawna jest **dowolna liczba dziesiętna leżąca w przedziale od $0,6$ do $0,714$**.
Przykładowe poprawne liczby: $0,62$; $0,65$; $0,7$; $0,71$.

Metoda 2: Sprowadzenie do wspólnego mianownika

Sprowadzamy ułamki $\frac{3}{5}$ i $\frac{5}{7}$ do wspólnego mianownika równego $35$:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35}$

Teraz możemy bez trudu wypisać ułamki zwykłe o mianowniku 35 leżące pomiędzy $\frac{21}{35}$ a $\frac{25}{35}$:

\[\frac{22}{35}, \quad \frac{23}{35}, \quad \frac{24}{35}\]

Wszystkie te liczby (zarówno w postaci dziesiętnej, jak i zwykłej) są w pełni poprawnymi odpowiedziami.

Szukaj na tym blogu