Witaj na próbnej sesji egzaminacyjnej dla siódmoklasistów!
Przed Tobą zestaw zadań powtórzeniowych przygotowujących do egzaminu ósmoklasisty z matematyki. Przeczytaj uważnie poniższe wskazówki przed rozpoczęciem pracy:
- Zacznij od wpisania swojego Imienia i Nazwiska w karcie odpowiedzi poniżej. Bez podpisu przesłanie wyników do nauczyciela nie będzie możliwe.
- Rozwiązuj zadania po kolei. Przy każdym zadaniu kliknij przycisk „SPRAWDŹ ODPOWIEDŹ” – Twój wynik zapisze się wtedy w systemie, a Ty otrzymasz natychmiastowe wyjaśnienie krok po kroku.
- Po rozwiązaniu wszystkich zadań przejdź na sam dół strony i kliknij niebieski przycisk „WYŚLIJ WYNIKI DO NAUCZYCIELA”, aby przekazać raport swojemu nauczycielowi.
Karta odpowiedzi ucznia
Zadanie 1. (0–1)
Na rysunkach poniżej przedstawiono cztery kwadraty. Każdy z nich podzielono na jednakowe części i niektóre z nich zamalowano na szaro. Pod każdym kwadratem Asia napisała, jaki procent każdej figury został zamalowany. W jednym przypadku popełniła jednak błąd.
Na którym rysunku Asia błędnie ustaliła, jaki procent kwadratu zamalowano na szaro? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Aby określić, który podpis zawiera błąd, należy obliczyć ułamek, jaki stanowi pole zamalowanej figury szarej w stosunku do pola całej figury, a następnie zamienić go na procenty.
- Rysunek 1: Kwadrat podzielono za pomocą osi i przekątnych na 8 trójkątów. Szary kolor pokrywa dokładnie 2 z nich: $\frac{2}{8} = 25\%$. Podpis jest poprawny.
- Rysunek 2: Kwadrat podzielono na 10 prostokątów. Zamalowano dokładnie 5: $\frac{5}{10} = 50\%$. Podpis jest poprawny.
- Rysunek 3: Kwadrat podzielono na 16 kwadracików. Zamalowano 4: $\frac{4}{16} = 25\%$. Podpis jest poprawny.
- Rysunek 4 (BŁĄD): Kwadrat podzielono na 36 kwadracików. Zamalowano wewnętrzny kwadrat o rozmiarach 4x4, czyli 16 części: $\frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 44,4\%$. Podpis głosi 50%. Asia popełniła błąd na Rysunku 4 (Odpowiedź D).
Zadanie 2. (0–1)
Dana jest liczba \(s = 222 + 333 + 444\).
Wskaż zdanie fałszywe. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Najpierw obliczmy wartość liczby \(s\): \[s = 222 + 333 + 444 = 999\] Teraz przeanalizujmy kolejno każde ze zdań, aby znaleźć zdanie fałszywe:
-
Zdanie A: "Liczba \(s\) jest równa sumie \(9 + 90 + 900\)".
Obliczmy sumę: \(9 + 90 + 900 = 999\).
Wartość jest równa \(s\), więc to zdanie jest prawdziwe. -
Zdanie B: "Liczba \(s\) jest równa iloczynowi \(3 \cdot 333\)".
Obliczmy iloczyn: \(3 \cdot 333 = 999\).
Wartość jest równa \(s\), więc to zdanie jest prawdziwe. -
Zdanie C (FAŁSZ): "Liczba \(s\) jest o 1 większa od tysiąca".
Liczba o 1 większa od tysiąca to \(1000 + 1 = 1001\).
Nasza liczba \(s = 999\) jest o 1 mniejsza od tysiąca (\(1000 - 1 = 999\)), a nie większa. To zdanie jest fałszywe. -
Zdanie D: "Liczba \(s\) jest 9 razy większa od 111".
Obliczmy: \(9 \cdot 111 = 999\).
Wartość jest równa \(s\), więc to zdanie jest prawdziwe.
Zadanie 3. (0–1)
Cukiernica kosztuje 120 zł, a wazon 80 zł.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Gdyby cenę wazonu zwiększono o A / B, to kosztowałby on tyle samo, co cukiernica.
Gdyby cenę cukiernicy obniżono o 20%, to kosztowałaby ona C / D niż 100 zł.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Część 1 (Weryfikacja zdań A i B):
Cena wazonu wynosi \(80\text{ zł}\), a cena cukiernicy to \(120\text{ zł}\). Różnica w cenie wynosi:
\[120\text{ zł} - 80\text{ zł} = 40\text{ zł}\]
Aby dowiedzieć się, o jaki procent należy podwyższyć cenę wazonu, obliczamy, jakim procentem początkowej ceny wazonu (\(80\text{ zł}\)) jest ta różnica (\(40\text{ zł}\)):
\[\frac{40\text{ zł}}{80\text{ zł}} \cdot 100\% = \frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%\]
Prawidłowym uzupełnieniem pierwszego zdania jest odpowiedź B.
Część 2 (Weryfikacja zdań C i D):
Cena początkowa cukiernicy wynosi \(120\text{ zł}\). Obniżamy ją o \(20\%\). Obliczmy wartość obniżki:
\[20\% \text{ z } 120\text{ zł} = 0,2 \cdot 120\text{ zł} = 24\text{ zł}\]
Nowa cena cukiernicy po obniżce wynosi:
\[120\text{ zł} - 24\text{ zł} = 96\text{ zł}\]
Porównujemy otrzymaną kwotę z kwotą \(100\text{ zł}\):
\[96\text{ zł} < 100\text{ zł}\]
Nowa cena jest zatem mniejsza niż \(100\text{ zł}\). Prawidłowym uzupełnieniem drugiego zdania jest odpowiedź D.
Zadanie 4. (0–1)
Wschód słońca w mieście, w którym mieszka Jurek, przypadł pewnego dnia o godzinie 05:45, a zachód — o godzinie 20:07.
O której godzinie tego dnia minęło dokładnie tyle samo czasu od wschodu słońca, ile pozostało do zachodu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Szukamy godziny, która dzieli czas od wschodu słońca (05:45) do zachodu (20:07) na dwie równe części. Jest to dokładnie środek przedziału czasu (moment połowy dnia). Możemy go wyznaczyć dwoma prostymi sposobami.
Sposób 1: Obliczenie długości dnia i podzielenie jej na pół
1. Obliczamy, ile czasu mija od wschodu (05:45) do zachodu słońca (20:07):
- Od 05:45 do 19:45 mija równe 14 godzin.
- Od 19:45 do 20:07 mija kolejne 22 minuty.
- Łączna długość dnia wynosi zatem 14 godzin i 22 minuty.
- Połowa z 14 godzin to 7 godzin.
- Połowa z 22 minut to 11 minut.
- Połowa długości dnia to dokładnie 7 godzin i 11 minut.
Sposób 2: Wykorzystanie średniej arytmetycznej (w minutach)
Przeliczamy oba momenty na liczbę minut od początku doby (od północy):
- Wschód (05:45) = \(5 \cdot 60 + 45 = 345\) minut.
- Zachód (20:07) = \(20 \cdot 60 + 7 = 1207\) minut.
Zadanie 5. (0–1)
Na osi liczbowej zaznaczono kropkami liczby \(-2\) i \(3\).
Wojtek poprawnie zaznaczył na tej osi dwie różne liczby odległe od \(-2\) o \(7\) jednostek, a Kasia — dwie różne liczby odległe od \(3\) o \(7\) jednostek.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Zdanie | P | F |
|---|---|---|
| Odległość między liczbami Wojtka jest większa niż odległość między liczbami Kasi. |
P
|
F
|
| Jedna z liczb Wojtka jest odległa o 9 jednostek od jednej z liczb Kasi. |
P
|
F
|
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Krok 1: Wyznaczamy liczby Wojtka
Wojtek zaznacza liczby odległe od \(-2\) o dokładnie \(7\) jednostek. Są to dwie liczby leżące po obu stronach punktu \(-2\):
- Na lewo: \(-2 - 7 = -9\)
- Na prawo: \(-2 + 7 = 5\)
Krok 2: Wyznaczamy liczby Kasi
Kasia zaznacza liczby odległe od \(3\) o dokładnie \(7\) jednostek. Są to dwie liczby leżące po obu stronach punktu \(3\):
- Na lewo: \(3 - 7 = -4\)
- Na prawo: \(3 + 7 = 10\)
Krok 3: Ocena pierwszego zdania (FAŁSZ)
Zdanie: "Odległość między liczbami Wojtka jest większa niż odległość między liczbami Kasi."
- Odległość między liczbami Wojtka (\(-9\) i \(5\)) wynosi: \(|5 - (-9)| = 14\) jednostek.
- Odległość między liczbami Kasi (\(-4\) i \(10\)) wynosi: \(|10 - (-4)| = 14\) jednostek.
Obie odległości są identyczne i wynoszą \(14\) (ogólna zasada mówi, że odległość między punktami oddalonymi o \(d\) od dowolnego punktu środkowego wynosi zawsze \(2d\), czyli \(2 \cdot 7 = 14\)). Zdanie jest fałszywe (F).
Krok 4: Ocena drugiego zdania (PRAWDA)
Zdanie: "Jedna z liczb Wojtka jest odległa o 9 jednostek od jednej z liczb Kasi."
Zbadajmy odległości między poszczególnymi parami liczb Wojtka \(\{-9, 5\}\) i Kasi \(\{-4, 10\}\):
- Między \(-9\) a \(-4\): \(|-4 - (-9)| = 5\) jednostek.
- Między \(-9\) a \(10\): \(|10 - (-9)| = 19\) jednostek.
- Między \(5\) a \(-4\): \(|-4 - 5| = 9\) jednostek (Są odległe o dokładnie \(9\)).
- Między \(5\) a \(10\): \(|10 - 5| = 5\) jednostek.
Zadanie 6. (0–1)
Klomb obsadzono tulipanami w czterech kolorach. Różowe tulipany zajmują dwukrotnie większą powierzchnię niż żółte. Na diagramie podano, jaki procent powierzchni klombu zajmują białe tulipany, a jaki procent — czerwone.
Jaki procent powierzchni klombu zajmują żółte tulipany? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Aby obliczyć, jaki procent powierzchni klombu zajmują żółte tulipany, przeanalizujmy dane z diagramu:
- Wiemy, że cała powierzchnia klombu (całe koło) stanowi dokładnie \(100\%\).
-
Podane są udziały dwóch grup tulipanów:
- Czerwone: \(28\%\)
- Białe: \(24\%\)
- Suma tych dwóch znanych udziałów wynosi: \[28\% + 24\% = 52\%\]
Pozostała część klombu (czyli tulipany żółte i różowe) stanowi zatem: \[100\% - 52\% = 48\%\]
Z treści zadania wiemy również, że: „różowe tulipany zajmują dwukrotnie większą powierzchnię niż żółte”.
Wprowadźmy oznaczenie niewiadomej \(x\) jako udział żółtych tulipanów:
- Udział żółtych tulipanów = \(x\)
- Udział różowych tulipanów = \(2x\)
Żółte tulipany zajmują więc dokładnie \(16\%\) powierzchni klombu (natomiast różowe zajmują \(2 \cdot 16\% = 32\%\)).
Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B.
Zadanie 7. (0–1)
Dane są ułamki:
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Suma \(u + t\) jest równa A / B.
Ułamki \(u\) i \(t\) zapisane w postaci dziesiętnej mają taką samą cyfrę części C / D.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Część 1 (Weryfikacja pierwszego zdania):
Dodajemy dwa ułamki zwykłe o tym samym mianowniku:
\[u + t = \frac{7}{8} + \frac{5}{8} = \frac{7 + 5}{8} = \frac{12}{8}\]
Skracamy ułamek przez \(4\):
\[\frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5\]
Prawidłowym uzupełnieniem pierwszego zdania jest odpowiedź B (1,5).
Część 2 (Weryfikacja drugiego zdania):
Zamieńmy oba ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne (np. rozszerzając mianownik do 1000):
- Dla ułamka \(u\): \[u = \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{875}{1000} = 0,875\] Cyfry po przecinku: części dziesiąte = 8, części setne = 7, części tysięczne = 5.
- Dla ułamka \(t\): \[t = \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0,625\] Cyfry po przecinku: części dziesiąte = 6, części setne = 2, części tysięczne = 5.
- Cyfry części dziesiątych: \(8 \neq 6\)
- Cyfry części setnych: \(7 \neq 2\)
- Cyfry części tysięcznych: \(5 = 5\) (Są takie same!).
Zadanie 8. (0–1)
Dane są dwa wyrażenia:
Które z tych wyrażeń jest równe \(3x\)? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Aby sprawdzić, które z wyrażeń jest równe \(3x\), uprośćmy każde z nich poprzez pomnożenie czynnika stojącego przed nawiasem przez wyrazy w nawiasie oraz redukcję wyrazów podobnych.
1. Uproszczenie wyrażenia \(U\): \[U = 5(x - 2) - 2(x - 5)\] Wykonujemy mnożenie (pamiętając, że mnożenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni: \(-2 \cdot (-5) = 10\)): \[U = 5x - 10 - 2x + 10\] Grupujemy wyrazy podobne: \[U = (5x - 2x) + (-10 + 10)\] \[U = 3x + 0\] \[U = 3x\] Wyrażenie \(U\) jest równe \(3x\).
2. Uproszczenie wyrażenia \(W\): \[W = 5(x + 2) - 2(x + 5)\] Wykonujemy mnożenie (uwaga na znak minus przy mnożeniu wyrazów w drugim nawiasie przez \(-2\)): \[W = 5x + 10 - 2x - 10\] Grupujemy wyrazy podobne: \[W = (5x - 2x) + (10 - 10)\] \[W = 3x + 0\] \[W = 3x\] Wyrażenie \(W\) jest również równe \(3x\).
Podsumowanie:
Zarówno wyrażenie \(U\), jak i wyrażenie \(W\) są równe \(3x\).
Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź C (\(U\) i \(W\)).
Zadanie 9. (0–1)
Kasia poprawnie przekształciła równanie \(\frac{2}{3}x + 5 = 2x - 4\). Najpierw pomnożyła obie strony tego równania przez 3, a następnie do obu stron dodała liczbę 12.
Wskaż równanie, które otrzyma w wyniku tych przekształceń. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Wykonajmy po kolei oba przekształcenia opisane w treści zadania, aby przekonać się, jakie równanie otrzyma Kasia.
Równanie wyjściowe: \[\frac{2}{3}x + 5 = 2x - 4\]
Krok 1: Pomnożenie obu stron równania przez 3
Mnożąc całe równanie obustronnie przez 3, musimy pomnożyć każdy pojedynczy wyraz lewej oraz prawej strony przez tę liczbę:
\[3 \cdot \left(\frac{2}{3}x + 5\right) = 3 \cdot (2x - 4)\]
\[3 \cdot \frac{2}{3}x + 3 \cdot 5 = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 4\]
\[2x + 15 = 6x - 12\]
Krok 2: Dodanie do obu stron liczby 12
Teraz do obu stron otrzymanego wyżej równania dodajemy liczbę 12:
\[(2x + 15) + 12 = (6x - 12) + 12\]
\[2x + 15 + 12 = 6x - 12 + 12\]
Dodajemy wyrazy wolne (\(15 + 12 = 27\) oraz \(-12 + 12 = 0\)):
\[2x + 27 = 6x\]
Podsumowanie:
Po wykonaniu obu operacji Kasia otrzyma równanie: \(2x + 27 = 6x\).
Właściwym wyborem jest odpowiedź A.
Zadanie 10. (0–1)
W tabeli przedstawiono powierzchnie trzech polskich miast wyrażone w kilometrach kwadratowych.
| Miasto | Powierzchnia (w km²) |
|---|---|
| Kraków | 327 |
| Szczecin | 301 |
| Wrocław | 293 |
Liczby określające te powierzchnie zaokrąglono do dziesiątek kilometrów kwadratowych i przedstawiono na diagramie.
Wskaż ten diagram. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Zadanie wymaga od nas wykonania dwóch kroków: zaokrąglenia powierzchni miast do najbliższych dziesiątek, a następnie wskazania właściwego wykresu kolumnowego.
Krok 1: Zaokrąglanie liczb do dziesiątek
Zgodnie z zasadami zaokrąglania, o kierunku zaokrąglenia decyduje cyfra jedności (ostatnia cyfra liczby):
- Jeśli cyfra jedności to 5, 6, 7, 8 lub 9 – zaokrąglamy w górę.
- Jeśli cyfra jedności to 0, 1, 2, 3 lub 4 – zaokrąglamy w dół.
Wykonajmy zaokrąglenia dla każdego z miast z tabeli:
- Kraków (327): Cyfra jedności to \(7\). Ponieważ \(7 \ge 5\), zaokrąglamy w górę (dodajemy 1 do cyfry dziesiątek): \[327 \approx 330\text{ km}^2\]
- Szczecin (301): Cyfra jedności to \(1\). Ponieważ \(1 < 5\), zaokrąglamy w dół: \[301 \approx 300\text{ km}^2\]
- Wrocław (293): Cyfra jedności to \(3\). Ponieważ \(3 < 5\), zaokrąglamy w dół: \[293 \approx 290\text{ km}^2\]
Krok 2: Weryfikacja diagramów kolumnowych
Poszukujemy diagramu, na którym wysokości słupków dla poszczególnych miast wynoszą odpowiednio:
- Kraków = 330
- Szczecin = 300
- Wrocław = 290
- Wykres A: Szczecin = 310 (błąd)
- Wykres B: Wrocław = 300 (błąd)
- Wykres C: Kraków = 320 (błąd)
- Wykres D: Kraków = 330, Szczecin = 300, Wrocław = 290 (poprawny).
Zadanie 11. (0–1)
Wszystkie liczby trzycyfrowe, w zapisie których jest jedna jedynka, jedna dwójka i jedna trójka, wypisano w kolejności od najmniejszej do największej.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
W trzeciej z kolejno wypisanych liczb cyfrą dziesiątek jest A / B.
Druga z kolejno wypisana liczba jest o C / D mniejsza od piątej z tych liczb.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Zadanie wymaga wypisania wszystkich liczb trzycyfrowych złożonych z cyfr: 1, 2 oraz 3, przy czym każda z tych cyfr występuje w zapisie dokładnie raz.
Krok 1: Wypisanie wszystkich liczb w kolejności rosnącej
Liczba takich liczb wynosi \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) (permutacje zbioru 3-elementowego).
Uporządkujmy je rosnąco (od najmniejszej do największej):
- 123 (pierwsza liczba)
- 132 (druga liczba)
- 213 (trzecia liczba)
- 231 (czwarta liczba)
- 312 (piąta liczba)
- 321 (szósta liczba)
Krok 2: Analiza pierwszego zdania (Weryfikacja odpowiedzi A i B)
Zdanie: „W trzeciej z kolejno wypisanych liczb cyfrą dziesiątek jest...”
- Trzecią liczbą na naszej rosnącej liście jest: 213.
- Rozłóżmy tę liczbę na rzędy wielkości: cyfra setek to 2, cyfra dziesiątek to 1, cyfra jedności to 3.
Prawidłową odpowiedzią jest zatem A (1).
Krok 3: Analiza drugiego zdania (Weryfikacja odpowiedzi C i D)
Zdanie: „Druga z kolei wypisana liczba jest o ... mniejsza od piątej z tych liczb.”
- Druga liczba na liście to: 132.
- Piąta liczba na liście to: 312.
Obliczmy różnicę (o ile 132 jest mniejsza od 312):
\[312 - 132 = 180\]
Prawidłową odpowiedzią jest zatem C (180).
Zadanie 12. (0–1)
Wysokość \(h\) trapezu o polu równym \(P\) i podstawach długości \(a\) i \(b\) można wyliczyć ze wzoru \(h = \frac{2P}{a+b}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Zdanie | P | F |
|---|---|---|
| Wysokość trapezu o polu \(48\text{ cm}^2\) i podstawach długości \(7\text{ cm}\) i \(5\text{ cm}\) jest równa \(8\text{ cm}\). |
P
|
F
|
| Wysokość trapezu o podstawach długości \(5\text{ cm}\) i \(10\text{ cm}\) i polu równym \(60\text{ cm}^2\) jest większa od \(5\text{ cm}\) i mniejsza od \(10\text{ cm}\). |
P
|
F
|
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
W zadaniu wykorzystujemy gotowy, przekształcony wzór na wysokość trapezu \(h\): \[h = \frac{2P}{a+b}\] Sprawdźmy prawdziwość obu zdań poprzez podstawienie podanych danych liczbowych.
1. Analiza pierwszego zdania:
Zdanie: „Wysokość trapezu o polu \(48\text{ cm}^2\) i podstawach długości \(7\text{ cm}\) i \(5\text{ cm}\) jest równa \(8\text{ cm}\).”
Podstawiamy wartości: pole \(P = 48\), podstawy \(a = 7\) oraz \(b = 5\) do wzoru:
\[h = \frac{2 \cdot 48}{7+5} = \frac{96}{12} = 8\text{ cm}\]
Wysokość wynosi dokładnie \(8\text{ cm}\). Zdanie jest zatem prawdziwe (P).
2. Analiza drugiego zdania:
Zdanie: „Wysokość trapezu o podstawach długości \(5\text{ cm}\) i \(10\text{ cm}\) i polu równym \(60\text{ cm}^2\) jest większa od \(5\text{ cm}\) i mniejsza od \(10\text{ cm}\).”
Podstawiamy wartości: podstawy \(a = 5\), \(b = 10\) oraz pole \(P = 60\) do wzoru:
\[h = \frac{2 \cdot 60}{5+10} = \frac{120}{15} = 8\text{ cm}\]
Otrzymana wysokość wynosi \(8\text{ cm}\). Sprawdźmy teraz, czy spełniony jest warunek z opisu zadania (większa od \(5\text{ cm}\) i mniejsza od \(10\text{ cm}\)):
\[5\text{ cm} < 8\text{ cm} < 10\text{ cm}\]
Zapisana nierówność podwójna jest prawdziwa – liczba \(8\) rzeczywiście mieści się w tym przedziale. Zdanie jest zatem prawdziwe (P).
Zadanie 13. (0–1)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Zdanie | P | F |
|---|---|---|
| Trójkąt, w którym dokładnie dwa boki są jednakowej długości, jest równoboczny. |
P
|
F
|
| Trójkąt, w którym dwa kąty mają miarę \(60^\circ\), jest równoboczny. |
P
|
F
|
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Przeanalizujmy własności trójkątów dla każdego zdania z osobna, aby ocenić ich prawdziwość.
1. Analiza pierwszego zdania:
Zdanie: „Trójkąt, w którym dokładnie dwa boki są jednakowej długości, jest równoboczny.”
- Trójkąt, który ma **dokładnie dwa boki równej długości** (oraz trzeci bok o innej długości), nazywamy trójkątem równoramiennym.
- Trójkąt równoboczny z definicji musi mieć wszystkie **trzy boki równej długości**.
- Ponieważ nasz trójkąt ma tylko dokładnie dwa boki równe, nie spełnia definicji trójkąta równobocznego. Zdanie jest zatem fałszywe (F).
2. Analiza drugiego zdania:
Zdanie: „Trójkąt, w którym dwa kąty mają miarę \(60^\circ\), jest równoboczny.”
- Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie płaskim wynosi zawsze \(180^\circ\).
- Jeśli dwa kąty trójkąta mają miary \(60^\circ\) i \(60^\circ\), to miarę trzeciego kąta wyznaczamy z równania:
\[180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]
- Wszystkie trzy kąty tego trójkąta mają miarę \(60^\circ\). Jest to trójkąt równokątny, a każdy trójkąt równokątny jest równocześnie trójkątem równobocznym (wszystkie trzy boki mają tę samą długość). Zdanie jest zatem prawdziwe (P).
Zadanie 14. (0–1)
Każdy z trzech cienkich patyczków o długości \(20\text{ cm}\) rozcięto na dwie części i jedną z nich pomalowano na niebiesko, a drugą — na czerwono. Niebieska część pierwszego patyczka stanowiła \(\frac{2}{5}\) jego długości, drugiego — \(\frac{9}{20}\), a trzeciego \(\frac{9}{10}\). Z otrzymanych patyczków układano trójkąty w taki sposób, że patyczki musiały stykać się końcami i nie mogły być łamane.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.
| Zdanie | P | F |
|---|---|---|
| Z niebieskich patyczków można ułożyć trójkąt równoramienny. |
P
|
F
|
| Z czerwonych patyczków nie można ułożyć trójkąta. |
P
|
F
|
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Aby ocenić prawdziwość zdań, musimy najpierw obliczyć rzeczywiste długości niebieskich i czerwonych części dla każdego z trzech początkowych patyczków o długości \(20\text{ cm}\).
Obliczenie długości części patyczków:
-
Patyczek 1 (podział \(\frac{2}{5}\)):
- Część niebieska: \(\frac{2}{5} \cdot 20\text{ cm} = 8\text{ cm}\)
- Część czerwona: \(20\text{ cm} - 8\text{ cm} = 12\text{ cm}\)
-
Patyczek 2 (podział \(\frac{9}{20}\)):
- Część niebieska: \(\frac{9}{20} \cdot 20\text{ cm} = 9\text{ cm}\)
- Część czerwona: \(20\text{ cm} - 9\text{ cm} = 11\text{ cm}\)
-
Patyczek 3 (podział \(\frac{9}{10}\)):
- Część niebieska: \(\frac{9}{10} \cdot 20\text{ cm} = 18\text{ cm}\)
- Część czerwona: \(20\text{ cm} - 18\text{ cm} = 2\text{ cm}\)
Otrzymujemy zatem dwa zestawy długości patyczków:
- Niebieskie patyczki: \(\{8\text{ cm}, 9\text{ cm}, 18\text{ cm}\}\)
- Czerwone patyczki: \(\{12\text{ cm}, 11\text{ cm}, 2\text{ cm}\}\)
Przypomnienie: Z trzech odcinków o długościach \(x, y, z\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch krótszych odcinków jest ściśle większa od długości najdłuższego odcinka.
1. Analiza pierwszego zdania (FAŁSZ):
Zdanie: „Z niebieskich patyczków można ułożyć trójkąt równoramienny.”
- Krótsze niebieskie patyczki mają długości \(8\text{ cm}\) i \(9\text{ cm}\). Suma ich długości to:
\[8\text{ cm} + 9\text{ cm} = 17\text{ cm}\]
- Najdłuższy patyczek ma długość \(18\text{ cm}\). Ponieważ \(17\text{ cm} < 18\text{ cm}\), warunek trójkąta nie jest spełniony. Z tych patyczków nie można ułożyć żadnego trójkąta (patyczki nie połączą się końcami). Ponadto, żadne dwa boki nie są równej długości, więc trójkąt nie mógłby być równoramienny. Zdanie jest fałszywe (F).
2. Analiza drugiego zdania (FAŁSZ):
Zdanie: „Z czerwonych patyczków nie można ułożyć trójkąta.”
- Krótsze czerwone patyczki mają długości \(11\text{ cm}\) i \(2\text{ cm}\). Suma ich długości to:
\[11\text{ cm} + 2\text{ cm} = 13\text{ cm}\]
- Najdłuższy patyczek ma długość \(12\text{ cm}\). Porównujemy sumę z najdłuższym bokiem:
\[13\text{ cm} > 12\text{ cm}\]
- Ponieważ suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego, z czerwonych patyczków można ułożyć trójkąt. Zdanie twierdzące, że nie można go ułożyć, jest zatem fałszywe (F).
Zadanie 15. (0–1)
Każdy kąt ośmiokąta \(ABCDEFGH\) ma miarę \(135^\circ\). Bok \(AB\) ma długość \(12\text{ cm}\), a obwód tego wielokąta jest równy \(98\text{ cm}\).
Czy ośmiokąt \(ABCDEFGH\) jest foremny? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Aby odpowiedzieć na pytanie, czy ośmiokąt \(ABCDEFGH\) jest wielokątem foremnym, przeanalizujmy jego definicję:
Definicja: Wielokąt jest foremny, jeśli posiada wszystkie kąty wewnętrzne równej miary oraz wszystkie boki równej długości.
1. Sprawdzenie kątów:
W treści zadania podano, że każdy kąt tego ośmiokąta ma miarę \(135^\circ\). Warunek równej miary kątów jest zatem spełniony.
2. Sprawdzenie długości boków:
Bok \(AB\) ma długość \(12\text{ cm}\). Gdyby ten ośmiokąt był foremny, wszystkie jego boki (których jest 8) musiałyby mieć tę samą długość, czyli \(12\text{ cm}\).
Obliczmy, ile wynosiłby wówczas obwód takiego ośmiokąta foremnego:
\[Obw = 8 \cdot a = 8 \cdot 12\text{ cm} = 96\text{ cm}\]
Wniosek:
Rzeczywisty obwód ośmiokąta opisanego w zadaniu wynosi jednak \(98\text{ cm}\) (a nie \(96\text{ cm}\)). Oznacza to, że przynajmniej niektóre boki tego ośmiokąta mają inne długości niż \(12\text{ cm}\).
Skoro boki nie są równej długości, wielokąt **nie jest foremny** (odpowiedź B).
Uzasadnieniem tego faktu jest zdanie 2, które wyjaśnia, że obwód ośmiokąta foremnego o takim boku wynosiłby \(96\text{ cm}\).
Właściwa para wyborów to **B, 2**.
Zadanie 16. (0–2)
Zakład mleczarski produkuje 200-gramowe kostki masła w dwóch rodzajach: CODZIENNE — zawierające \(72\%\) tłuszczu i EXTRA — zawierające \(84\%\) tłuszczu.
Oblicz, ile kostek masła CODZIENNEGO trzeba wziąć, aby łączna ilość tłuszczu w nich zawarta była taka sama, jak w sześciu kostkach masła EXTRA. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: Trzeba wziąć kostek masła CODZIENNEGO.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby: poprzez obliczenie rzeczywistej wagi tłuszczu w gramach lub w prostszy sposób – korzystając z własności proporcji i ułamków.
Sposób 1: Obliczenie masy tłuszczu w gramach (tradycyjny)
1. Obliczamy masę tłuszczu w jednej kostce masła EXTRA (\(84\%\) z \(200\text{ g}\)):
\[0,84 \cdot 200\text{ g} = 168\text{ g}\]
2. Obliczamy łączną masę tłuszczu zawartą w 6 kostkach masła EXTRA:
\[6 \cdot 168\text{ g} = 1008\text{ g}\]
3. Obliczamy masę tłuszczu w jednej kostce masła CODZIENNEGO (\(72\%\) z \(200\text{ g}\)):
\[0,72 \cdot 200\text{ g} = 144\text{ g}\]
4. Dzielimy łączną potrzebną masę tłuszczu (\(1008\text{ g}\)) przez masę tłuszczu w jednej kostce masła CODZIENNEGO (\(144\text{ g}\)), aby wyznaczyć liczbę potrzebnych kostek (\(n\)):
\[n = \frac{1008\text{ g}}{144\text{ g}} = 7\]
Sposób 2: Szybki (bez używania wagi 200 g)
Ponieważ każda kostka masła (zarówno Codziennego, jak i Extra) waży tyle samo (\(200\text{ g}\)), masa pojedynczej kostki redukuje się w obliczeniach. Możemy zapisać bezpośrednie równanie na zawartość procentową tłuszczu, gdzie \(n\) oznacza szukaną liczbę kostek masła CODZIENNEGO:
\[n \cdot 72\% \cdot 200\text{ g} = 6 \cdot 84\% \cdot 200\text{ g}\]
Dzielimy obie strony równania przez \(200\text{ g}\) oraz przez znak procentu (\(\%\)):
\[n \cdot 72 = 6 \cdot 84\]
Stąd wyznaczamy \(n\):
\[n = \frac{6 \cdot 84}{72}\]
Skracamy ułamek przez \(6\) (ponieważ \(72 : 6 = 12\)):
\[n = \frac{84}{12} = 7\]
Odpowiedź: Trzeba wziąć 7 kostek masła CODZIENNEGO.
Zadanie 17. (0–2)
W układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) i \(m\) są prostopadłe do osi \(x\) i przechodzą odpowiednio przez punkty \(A = (-3, 0)\) i \(B = (3, 0)\) (zobacz rysunek). Na każdej z tych prostych zaznaczono dwa różne punkty, których odległość od osi \(x\) i od osi \(y\) jest taka sama. Te punkty są wierzchołkami pewnego czworokąta.
Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: Obwód tego czworokąta jest równy .
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Przeanalizujmy warunki geometryczne zadania krok po kroku:
Krok 1: Wyznaczenie równań prostych \(k\) i \(m\)
- Prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(x\) i przechodzi przez punkt \(A = (-3, 0)\). Jej równanie w układzie współrzędnych to:
\[x = -3\]
Każdy punkt leżący na tej prostej ma zatem współrzędne postaci \((-3, y)\).
- Prosta \(m\) jest prostopadła do osi \(x\) i przechodzi przez punkt \(B = (3, 0)\). Jej równanie w układzie współrzędnych to:
\[x = 3\]
Każdy punkt leżący na tej prostej ma zatem współrzędne postaci \((3, y)\).
Krok 2: Określenie warunku odległości od osi układu
Szukamy punktów, których odległość od osi \(x\) jest równa ich odległości od osi \(y\).
- Odległość dowolnego punktu \((x, y)\) od osi \(x\) to wartość bezwzględna jego rzędnej: \(|y|\).
- Odległość dowolnego punktu \((x, y)\) od osi \(y\) to wartość bezwzględna jego odciętej: \(|x|\).
Zapisujemy warunek równości odległości:
\[|y| = |x|\]
Krok 3: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków czworokąta
Podstawmy równania naszych prostych do powyższego warunku:
- Dla prostej \(k\) (\(x = -3\)): \[|y| = |-3| = 3 \implies y = 3 \quad \text{lub} \quad y = -3\] Otrzymujemy dwa punkty leżące na prostej \(k\): \((-3, 3)\) oraz \((-3, -3)\).
- Dla prostej \(m\) (\(x = 3\)): \[|y| = |3| = 3 \implies y = 3 \quad \text{lub} \quad y = -3\] Otrzymujemy dwa punkty leżące na prostej \(m\): \((3, 3)\) oraz \((3, -3)\).
Krok 4: Analiza figury i obliczenie obwodu
Wierzchołkami naszego czworokąta są punkty: \((-3, 3)\), \((3, 3)\), \((3, -3)\) oraz \((-3, -3)\).
Ponieważ boki tego czworokąta są odpowiednio poziome i pionowe (równoległe do osi układu):
- Długość boku poziomego (szerokość od \(-3\) do \(3\)):
\[a = 3 - (-3) = 6\text{ jednostek}\]
- Długość boku pionowego (wysokość od \(-3\) do \(3\)):
\[b = 3 - (-3) = 6\text{ jednostek}\]
Figura ta jest kwadratem o boku długości \(a = 6\) jednostek.
Obliczamy jego obwód:
\[Obw = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24\]
Odpowiedź: Obwód czworokąta wynosi 24.
Zadanie 18. (0–2)
Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(AC = BC\) oraz podano miarę jednego z jego kątów.
Uzasadnij, że trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny. Zapisz obliczenia.
Aby uzasadnić tezę, oblicz miarę kąta przy wierzchołku \(C\): °
Pełne uzasadnienie geometryczne (dowód):
Przeanalizujmy własności kątów trójkąta \(ABC\) krok po kroku:
Krok 1: Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego
- Z treści zadania wiemy, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, w którym boki \(AC\) i \(BC\) mają równą długość (\(AC = BC\)).
- Z faktu tego wynika, że podstawą tego trójkąta jest bok \(AB\).
- Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary:
\[\angle CAB = \angle CBA\]
- Ponieważ kąt przy wierzchołku \(A\) wynosi \(44^\circ\), kąt przy wierzchołku \(B\) ma również miarę:
\[\angle CBA = 44^\circ\]
Krok 2: Wyznaczenie miary kąta przy wierzchołku \(C\)
- Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi \(180^\circ\).
- Oznaczmy szukany kąt przy wierzchołku \(C\) (\(\angle ACB\)) jako \(\gamma\). Układamy równanie:
\[\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ\]
\[44^\circ + 44^\circ + \gamma = 180^\circ\]
\[88^\circ + \gamma = 180^\circ\]
\[\gamma = 180^\circ - 88^\circ\]
\[\gamma = 92^\circ\]
Krok 3: Wyciągnięcie wniosku końcowego (Uzasadnienie)
Kąt przy wierzchołku \(C\) (\(\angle ACB\)) ma miarę \(92^\circ\).
Ponieważ miara tego kąta jest większa od kąta prostego (\(92^\circ > 90^\circ\)), kąt ten jest kątem rozwartym.
Trójkąt, który posiada jeden kąt rozwarty, nazywany jest trójkątem rozwartokątnym, co należało uzasadnić.
Zadanie 19. (0–3)
W wielokącie \(ABCDEFGH\) przedstawionym na rysunku każde dwa sąsiednie boki są prostopadłe. Na rysunku podane są również długości niektórych boków.
Oblicz pole wielokąta \(ABCDEFGH\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: Pole wielokąta wynosi \(\text{cm}^2\).
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Pole tego wielokąta o nieregularnym kształcie najłatwiej obliczyć, dzieląc go na trzy mniejsze, łatwe do obliczenia prostokąty. Przedstawiamy dwa najpopularniejsze sposoby podziału.
Sposób 1: Podział poziomy (trzy poziome warstwy)
Dzielimy wielokąt poziomymi liniami na wysokości punktów \(C\) oraz \(E\):
-
Dolny prostokąt (\(R_1\)):
- Szerokość boku dolnego to \(AB = 5\text{ cm}\).
- Wysokość to \(BC = 4\text{ cm}\).
- Pole \(R_1 = 5\text{ cm} \cdot 4\text{ cm} = 20\text{ cm}^2\). -
Środkowy prostokąt (\(R_2\)):
- Wysokość to \(DE = 10\text{ cm}\).
- Szerokość wyznaczamy jako różnicę boków dolnych: \(AB - CD = 5\text{ cm} - 3\text{ cm} = 2\text{ cm}\).
- Pole \(R_2 = 2\text{ cm} \cdot 10\text{ cm} = 20\text{ cm}^2\). -
Górny prostokąt (\(R_3\)):
- Wysokość to \(FG = 6\text{ cm}\).
- Szerokość wyznaczamy sumując szerokość środkowego kanału (\(2\text{ cm}\)) oraz boku \(EF = 8\text{ cm}\): \[Szerokość = 2\text{ cm} + 8\text{ cm} = 10\text{ cm}\] - Pole \(R_3 = 10\text{ cm} \cdot 6\text{ cm} = 60\text{ cm}^2\).
Sposób 2: Podział pionowy (trzy pionowe słupki)
Dzielimy wielokąt pionowymi liniami przedłużającymi krawędzie \(DE\) i \(CB\) w dół:
-
Lewy wysoki słupek (\(S_1\)):
- Szerokość wynosi \(2\text{ cm}\) (jak wyżej).
- Całkowita wysokość boku \(AH\) to suma pionowych segmentów: \(BC + DE + FG = 4\text{ cm} + 10\text{ cm} + 6\text{ cm} = 20\text{ cm}\).
- Pole \(S_1 = 2\text{ cm} \cdot 20\text{ cm} = 40\text{ cm}^2\). -
Środkowy niski słupek (\(S_2\)):
- Szerokość to \(CD = 3\text{ cm}\).
- Wysokość to \(BC = 4\text{ cm}\).
- Pole \(S_2 = 3\text{ cm} \cdot 4\text{ cm} = 12\text{ cm}^2\). -
Prawy górny słupek (\(S_3\)):
- Szerokość to \(EF = 8\text{ cm}\).
- Wysokość to \(FG = 6\text{ cm}\).
- Pole \(S_3 = 8\text{ cm} \cdot 6\text{ cm} = 48\text{ cm}^2\).
Odpowiedź: Pole wielokąta wynosi 100 \(\text{cm}^2\).
Zadanie 20. (0–3)
Trzy osoby narysowały plan tego samego odcinka ścieżki rowerowej biegnącej wzdłuż linii prostej. Asia narysowała ten plan w skali \(1:3000\), Wojtek — w skali \(1:4000\), a Jurek — w skali \(1:5000\). Na rysunku Asi ścieżka ma długość \(20\text{ cm}\).
Oblicz, o ile dłuższa jest ta ścieżka na rysunku Wojtka od tej, którą narysował Jurek. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: Ścieżka na rysunku Wojtka jest o \(\text{cm}\) dłuższa od tej, którą narysował Jurek.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Aby obliczyć różnicę długości ścieżki rowerowej na rysunkach Wojtka i Jurka, musimy najpierw poznać jej rzeczywistą długość, a następnie wyliczyć długości w poszczególnych skalach.
Krok 1: Obliczenie rzeczywistej długości ścieżki rowerowej
- Skala planu Asi wynosi \(1:3000\). Oznacza to, że \(1\text{ cm}\) na rysunku odpowiada \(3000\text{ cm}\) na gruncie.
- Na jej planie ścieżka ma długość \(20\text{ cm}\). Rzeczywista długość ścieżki (\(L_{\text{rzecz}}\)) wynosi:
\[L_{\text{rzecz}} = 20\text{ cm} \cdot 3000 = 60\,000\text{ cm}\]
(co po zamianie jednostek daje \(600\text{ metrów}\)).
Krok 2: Obliczenie długości ścieżki na rysunku Wojtka
- Plan Wojtka jest w skali \(1:4000\), co oznacza, że rzeczywisty wymiar został pomniejszony 4000 razy.
\[d_{\text{Wojtek}} = \frac{60\,000\text{ cm}}{4000} = 15\text{ cm}\]
Krok 3: Obliczenie długości ścieżki na rysunku Jurka
- Plan Jurka jest w skali \(1:5000\), czyli wymiar został pomniejszony 5000 razy.
\[d_{\text{Jurek}} = \frac{60\,000\text{ cm}}{5000} = 12\text{ cm}\]
Krok 4: Obliczenie różnicy długości
- Porównujemy długości obu narysowanych ścieżek:
\[Różnica = 15\text{ cm} - 12\text{ cm} = 3\text{ cm}\]
Odpowiedź: Ścieżka na rysunku Wojtka jest o 3 cm dłuższa od tej na rysunku Jurka.
Zadanie 21. (0–3)
W małym i dużym akwarium jest po tyle samo rybek. Gdyby przeniesiono 6 rybek z małego do dużego akwarium, to liczba rybek w małym byłaby 5 razy mniejsza niż liczba rybek w dużym.
Oblicz, ile rybek jest łącznie w obu akwariach. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: W obu akwariach jest łącznie rybek.
Pełne wyjaśnienie matematyczne zadania:
Zadanie rozwiązujemy za pomocą ułożenia prostego równania z jedną niewiadomą:
Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń
Oznaczmy początkową liczbę rybek w każdym akwarium (ponieważ w obu akwariach na początku jest po tyle samo rybek) jako:
\[x\]
Krok 2: Określenie liczby rybek po przeniesieniu
Gdyby z małego akwarium przełożyć 6 rybek do dużego, wówczas:
- W małym akwarium pozostałoby: \(x - 6\) rybek.
- W dużym akwarium byłoby: \(x + 6\) rybek.
Krok 3: Ułożenie i rozwiązanie równania
Z treści zadania wiemy, że po przełożeniu rybek w małym akwarium byłoby 5 razy mniej rybek niż w dużym (czyli w dużym byłoby 5 razy więcej rybek niż w małym):
\[x + 6 = 5 \cdot (x - 6)\]
Wykonujemy mnożenie przez nawias:
\[x + 6 = 5x - 30\]
Grupujemy niewiadome na jednej stronie, a liczby na drugiej:
\[6 + 30 = 5x - x\]
\[36 = 4x\]
Dzielimy obustronnie przez \(4\):
\[x = 9\]
Na początku w każdym z akwariów było zatem po 9 rybek.
Krok 4: Obliczenie łącznej liczby rybek w obu akwariach
Pytanie brzmi: ile rybek jest łącznie w obu akwariach:
\[\text{Suma} = x + x = 9 + 9 = 18\text{ rybek}\]
Odpowiedź: W obu akwariach jest łącznie 18 rybek.
Materiały dodatkowe dla uczniów
Pobierz bezpłatny, próbny arkusz egzaminacyjny dla klas 7 w formacie PDF do samodzielnego wydruku i ćwiczeń.
Zakończ quiz i wyślij wyniki
Przed wysłaniem upewnij się, że wpisałeś swoje imię i nazwisko na samej górze strony.
- Pobierz link
- X
- Inne aplikacje
Etykiety
klasa 7- Pobierz link
- X
- Inne aplikacje
Komentarze
Prześlij komentarz