Rozwinięcia dziesiętne

Zadanie 1

Wykonaj dzielenie pisemne w arkuszu kratkowanym, a następnie zapisz rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków.

Instrukcja dla ucznia:
1. Uzupełnij kratki dzielenia pisemnego pod spodem.
2. Na koniec wpisz pełny wynik w pole pod zeszytem (ułamki okresowe zapisz w nawiasie, np. 0,(27)). Po uzupełnieniu kliknij „Sprawdź”.

a) \(\frac{5}{8} = 5:8\)

\(\frac{5}{8} =\)

b) \(\frac{3}{11} = 3:11\)

\(\frac{3}{11} =\)

Rozwiązanie krok po kroku:

Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego, należy podzielić licznik przez mianownik:

Podpunkt a): Dzielimy \(5\) przez \(8\): \[5 : 8 = 0,625\]
Podpunkt b): Dzielimy \(3\) przez \(11\) sposobem pisemnym: \[3 : 11 = 0,272727... = 0,(27)\]

Zadanie 2

Korzystając z rozwinięć dziesiętnych otrzymanych w Zadaniu 1., znajdź rozwinięcia dziesiętne podanych liczb mieszanych.

Instrukcja dla ucznia:
Część całkowita liczby mieszanej staje przed przecinkiem ułamka dziesiętnego, a część ułamkową zamieniamy na podstawie poprzednich obliczeń. Wpisz wyniki i kliknij „Sprawdź”.

Przykład a)

\(1\frac{2}{3} = 1,(6)\)

\(4\frac{2}{3} =\)

\(10\frac{5}{8} =\)

\(3\frac{3}{11} =\)

Rozwiązanie krok po kroku:

Ułamki dziesiętne części ułamkowych wyznaczyliśmy w Zadaniu 1:

b): \(4\frac{2}{3} = 4 + 0,(6) = \mathbf{4,(6)}\)
c): \(10\frac{5}{8} = 10 + 0,625 = \mathbf{10,625}\)
d): \(3\frac{3}{11} = 3 + 0,(27) = \mathbf{3,(27)}\)

Zadanie 3

Wykonaj dzielenie pisemne części ułamkowej na arkuszu kratkowanym, a następnie znajdź rozwinięcia dziesiętne podanych liczb mieszanych.

Instrukcja dla ucznia:
Wykonaj dzielenie pisemne w zeszycie w kratkę poniżej, a następnie zapisz pełną liczbę mieszaną w postaci ułamka dziesiętnego okresowego.

a) \(2\frac{7}{11} \implies 7:11\)

\(2\frac{7}{11} =\)

b) \(3\frac{5}{6} \implies 5:6\)

\(3\frac{5}{6} =\)

c) \(1\frac{4}{9} \implies 4:9\)

\(1\frac{4}{9} =\)

Rozwiązanie krok po kroku i analiza ułamków okresowych:

Do zamiany liczb mieszanych na dziesiętne wykorzystujemy dzielenie pisemne licznika przez mianownik w części ułamkowej:

Podpunkt a) - liczba \(2\frac{7}{11}\):
Dzielimy \(7 \div 11 = 0,636363...\) (zapisujemy w okresie jako \(0,(63)\)).
Dodajemy część całkowitą: \[2\frac{7}{11} = \mathbf{2,(63)}\]
Podpunkt b) - liczba \(3\frac{5}{6}\):
Dzielimy \(5 \div 6 = 0,8333...\) (zapisujemy w okresie jako \(0,8(3)\)).
Dodajemy część całkowitą: \[3\frac{5}{6} = \mathbf{3,8(3)}\]
Podpunkt c) - liczba \(1\frac{4}{9}\):
Dzielimy \(4 \div 9 = 0,444...\) (zapisujemy w okresie jako \(0,(4)\)).
Dodajemy część całkowitą: \[1\frac{4}{9} = \mathbf{1,(4)}\]

Zadanie 4

Zapisz sześć pierwszych cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym podanych liczb.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz po jednej cyfrze w każde szare pole, aby odtworzyć początek nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego okresowego. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

a) \(15,(261) = 15,\)

...

b) \(0,2(443) = 0,\)

...

c) \(2,34(78) = 2,\)

...

d) \(40,34(100) = 40,\)

...

Rozwiązanie krok po kroku:

Okres ułamka (zapisany w nawiasie) powtarza się w nieskończoność bezpośrednio po cyfrach stojących poza okresem:

a) \(15,(261)\): Po przecinku cyfry okresu powtarzają się od razu: \(2, 6, 1, 2, 6, 1...\).
Sześć pierwszych cyfr: 2, 6, 1, 2, 6, 1.
b) \(0,2(443)\): Pierwsza cyfra po przecinku to \(2\) (poza okresem). Następnie powtarza się okres \(443\), dając rozwinięcie: \(0,2443443...\).
Sześć pierwszych cyfr: 2, 4, 4, 3, 4, 4.
c) \(2,34(78)\): Dwie pierwsze cyfry to \(3\) i \(4\). Następnie powtarza się okres \(78\), dając rozwinięcie: \(2,347878...\).
Sześć pierwszych cyfr: 3, 4, 7, 8, 7, 8.
d) \(40,34(100)\): Pierwsze dwie cyfry to \(3\) i \(4\). Następnie powtarza się okres \(100\), dając rozwinięcie: \(40,341001...\).
Sześć pierwszych cyfr: 3, 4, 1, 0, 0, 1.

Zadanie 5

Zapisz podane rozwinięcia dziesiętne okresowe w skróconej postaci (używając nawiasu).

Instrukcja dla ucznia:
Zidentyfikuj grupę cyfr, która stale się powtarza (okres), i umieść ją w nawiasie bezpośrednio po części nieokresowej ułamka, np. 12,34(011). Następnie kliknij „Sprawdź”.

a) \(7,22222...\)

b) \(0,14666...\)

c) \(9,343434...\)

d) \(5,100100100...\)

e) \(0,304505050...\)

f) \(83,0344344344...\)

Rozwiązanie krok po kroku:

Aby zapisać rozwinięcie w postaci skróconej, należy wyznaczyć najmniejszy powtarzający się blok cyfr (okres) i zapisać go w nawiasie:

a): Cyfra \(2\) powtarza się w nieskończoność \(\implies\) \(\mathbf{7,(2)}\).
b): Cyfry \(1\) i \(4\) występują raz, a potem powtarza się cyfra \(6\) \(\implies\) \(\mathbf{0,14(6)}\).
c): Blok cyfr \(34\) powtarza się \(\implies\) \(\mathbf{9,(34)}\).
d): Blok cyfr \(100\) powtarza się \(\implies\) \(\mathbf{5,(100)}\).
e): Cyfry \(3, 0, 4\) występują raz, a potem stale powtarza się blok \(50\) \(\implies\) \(\mathbf{0,304(50)}\).
f): Cyfry \(0\) i \(3\) występują raz, a potem powtarza się blok \(443\) (bądź \(344\) z przesunięciem) \(\implies\) \(\mathbf{83,0(344)}\).

Zadanie 6

Wypisz kilka cyfr rozwinięć dziesiętnych podanych liczb, aby można było je porównać, a następnie uporządkuj je rosnąco.

Instrukcja dla ucznia:
1. Wpisz rozwinięcia dziesiętne podanych liczb z dokładnością do 4 miejsc po przecinku (użyj wielokropka, np. 2,1300...).
2. Na dole uporządkuj liczby rosnąco (od najmniejszej do największej), wybierając je z rozwijalnych kółek.

Podpunkt a)

\(2,13 =\)

\(2,31 =\)

\(2,(13) =\)

< <

Podpunkt b)

\(3,4 =\)

\(3,(4) =\)

\(3,(40) =\)

< <

Rozwiązanie krok po kroku:

Porównywanie ułamków dziesiętnych nieskończonych polega na analizie kolejnych cyfr po przecinku (części dziesiętnych, setnych, tysięcznych itd.):

Podpunkt a): Wypisujemy rozwinięcia:
\(2,13 = 2,1300...\)
\(2,(13) = 2,1313...\)
\(2,31 = 2,3100...\)
Porównując cyfry na trzecim miejscu po przecinku (części tysięczne), widzimy, że \(0 < 1 < 3\).
Zatem prawidłowa nierówność to: \(\mathbf{2,13 < 2,(13) < 2,31}\).
Podpunkt b): Wypisujemy rozwinięcia:
\(3,4 = 3,4000...\)
\(3,(40) = 3,4040...\)
\(3,(4) = 3,4444...\)
Porównując cyfry na kolejnych pozycjach, widzimy, że:
Na drugim miejscu (części setne): \(0\) w \(3,4\) oraz \(3,(40)\) jest mniejsze niż \(4\) w \(3,(4)\).
Na trzecim miejscu (części tysięczne): \(0\) w \(3,4\) jest mniejsze niż \(4\) w \(3,(40)\).
Zatem prawidłowa nierówność to: \(\mathbf{3,4 < 3,(40) < 3,(4)}\).

Zadanie 7

Jaka jest setna cyfra po przecinku podanych liczb?

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj okresy ułamków dziesiętnych, wyznacz, jaka cyfra znajdzie się na 100. miejscu po przecinku, i wpisz ją w odpowiednie pole.

a) \(83,237(7)\)

100. cyfra:

b) \(5,(21)\)

100. cyfra:

c) \(6,(314)\)

100. cyfra:

d) \(7,25(3872)\)

100. cyfra:

Rozwiązanie krok po kroku:

Aby wyznaczyć dowolną odległą cyfrę po przecinku, analizujemy powtarzalność okresu:

a) \(83,237(7)\): Po przecinku cyfry \(2\), \(3\) i \(7\) stoją na pierwszych trzech miejscach. Od 4. miejsca stale występuje cyfra \(7\).
Zatem setną cyfrą po przecinku jest również 7.
b) \(5,(21)\): Okres ma długość 2 cyfr (\(2\) na nieparzystych pozycjach, \(1\) na parzystych pozycjach).
Liczba \(100\) jest parzysta, więc setną cyfrą jest druga cyfra okresu: 1.
c) \(6,(314)\): Okres ma długość 3 cyfr. Dzielimy pozycję przez długość okresu: \(100 \div 3 = 33\) i reszty \(1\).
Reszta \(1\) oznacza pierwszą cyfrę okresu: 3.
d) \(7,25(3872)\): Dwie pierwsze cyfry (\(2\) i \(5\)) nie należą do okresu. Odejmujemy je od pozycji: \(100 - 2 = 98\).
Szukamy teraz 98. cyfry okresu \(3872\) (długość okresu wynosi 4 cyfry):
\(98 \div 4 = 24\) i reszty \(2\).
Reszta \(2\) wskazuje na drugą cyfrę okresu: 8.

Zadanie 8

Wiadomo, że \(1 : 9 = 0,(1)\). Wyznacz, nie wykonując dzielenia sposobem pisemnym, rozwinięcie dziesiętne podanych ilorazów.

Instrukcja dla ucznia:
Wykorzystaj własność dzielenia przez cyfrę 9 (każda krotność daje powtórzenie tej samej cyfry w okresie, np. \(2 : 9 = 0,(2)\)). Zapisz ułamki dziesiętne z okresem w nawiasie i kliknij „Sprawdź”.

a) \(4:9 =\)

b) \(6:9 =\)

c) \(11:9 =\)

d) \(89:9 =\)

Rozwiązanie krok po kroku:

Skoro \(\frac{1}{9} = 0,(1)\), to wielokrotności tego ułamka będą powielać odpowiednie cyfry w okresie:

a): \(4 : 9 = \frac{4}{9} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \mathbf{0,(4)}\) (lub \(0,444...\)).
b): \(6 : 9 = \frac{6}{9} = 6 \cdot \frac{1}{9} = \mathbf{0,(6)}\) (lub \(0,666...\)).
c): \(11 : 9 = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{9} = \mathbf{1,(2)}\) (lub \(1,222...\pack\)).
d): \(89 : 9 = \frac{89}{9} = 9\frac{8}{9} = 9 + 8 \cdot \frac{1}{9} = \mathbf{9,(8)}\) (lub \(9,888...\)).

Zadanie 9

Wiadomo, że \(0,(01) = \frac{1}{99}\). Zamień podaną liczbę na ułamek zwykły lub liczbę mieszaną. Zapisz najprostszą postać.

Instrukcja dla ucznia:
Wpisz całości w lewe pole (jeśli występują), a licznik i mianownik w ułamku zwykłym po prawej. Pamiętaj o skróceniu ułamka do najprostszej postaci, jeśli jest to możliwe! Po uzupełnieniu kliknij „Sprawdź”.

a) \(0,(07) =\)

b) \(0,(19) =\)

c) \(2,(49) =\)

d) \(-42,(09) =\)

Rozwiązanie krok po kroku:

Skoro ułamek o okresie dwucyfrowym reprezentowany jest przez mianownik 99 (\(0,(01) = \frac{1}{99}\)), to:

a) \(0,(07)\): Jest to siedmiokrotność podstawowej wartości: \[0,(07) = 7 \cdot 0,(01) = \mathbf{\frac{7}{99}}\] (brak możliwości skrócenia).
b) \(0,(19)\): Jest to dziewiętnastokrotność wartości bazowej: \[0,(19) = 19 \cdot 0,(01) = \mathbf{\frac{19}{99}}\] (brak możliwości skrócenia, ponieważ 19 jest liczbą pierwszą).
c) \(2,(49)\): Cyfra 2 staje się częścią całkowitą liczby mieszanej: \[2,(49) = 2 + 49 \cdot 0,(01) = \mathbf{2\frac{49}{99}}\] (brak możliwości skrócenia).
d) \(-42,(09)\): Wypisujemy najpierw podstawowy ułamek: \[-42,(09) = -42\frac{9}{99}\] Zauważamy, że ułamek \(\frac{9}{99}\) możemy skrócić przez \(9\) (dzieląc licznik i mianownik): \[\frac{9 \div 9}{99 \div 9} = \frac{1}{11}\] Najprostsza postać to: \[\mathbf{-42\frac{1}{11}}\]

Zadanie 10

Odczytaj liczby zaznaczone na osi liczbowej i zapisz ich rozwinięcia dziesiętne.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj podziałkę na każdej osi. Pierwsza oś jest podzielona na **trzecie części** całości, a druga na **szóste części** całości. Zapisz odczytane współrzędne punktów w postaci dziesiętnej okresowej i kliknij „Sprawdź”.

Punkt A

A =

Punkt B

B =

Punkt C

C =

Punkt D

D =

Punkt E

E =

Punkt F

F =

Rozwiązanie krok po kroku:

Aby odczytać współrzędne punktów na osi liczbowej, najpierw ustalamy podziałkę (na ile części podzielono odcinek jednostkowy):

Pierwsza oś (trzecie części całości): Odcinek od \(0\) do \(1\) podzielono na 3 równe części. Każda kreska to \(\frac{1}{3}\).
- Punkt **A** leży na 1. kresce na prawo od \(0\): \[A = \frac{1}{3} = \mathbf{0,(3)}\] - Punkt **B** leży na 1. kresce na prawo od \(1\) (czyli \(1\frac{1}{3}\)): \[B = 1\frac{1}{3} = \mathbf{1,(3)}\] - Punkt **C** leży na 2. kresce na lewo od \(0\) (czyli \(-\frac{2}{3}\)): \[C = -\frac{2}{3} = \mathbf{-0,(6)}\]
Druga oś (szóste części całości): Odcinek od \(0\) do \(1\) podzielono na 6 części. Każda kreska to \(\frac{1}{6}\).
- Punkt **D** leży na 1. kresce na lewo od \(-1\) (czyli \(-1\frac{1}{6}\)): \[D = -1\frac{1}{6} = \mathbf{-1,1(6)}\] - Punkt **E** leży na 3. kresce na lewo od \(0\) (czyli \(-\frac{3}{6} = -0,5\)): \[E = -0,5 = \mathbf{-0,5}\] - Punkt **F** leży na 5. kresce na prawo od \(0\) (czyli \(\frac{5}{6}\)): \[F = \frac{5}{6} = \mathbf{0,8(3)}\]

Szukaj na tym blogu