Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników.

Zadanie 1

Przekreśl liczby, które nie są poprawnymi zaokrągleniami liczb zapisanych na pomarańczowo.

Instrukcja dla ucznia:
Kliknij bezpośrednio na liczby w kolumnach b), c) oraz d), aby je wykreślić (kliknięcie przekreśli liczbę czerwoną linią). Kliknij ponownie, aby cofnąć wykreślenie. Kolumna pierwsza została uzupełniona jako przykład z podręcznika. Po zakończeniu kliknij „Sprawdź”.

249,54

249

250

249,6

249,5

47,853

48

47

47,8

47,85

5,194

5

5,2

5,1

5,19

11,279

11

11,2

11,3

11,28

Rozwiązanie krok po kroku i reguły zaokrąglania:

Podczas zaokrąglania liczb patrzymy na kolejną cyfrę po prawej stronie od rzędu, do którego zaokrąglamy:

• Jeśli cyfra ta to 0, 1, 2, 3 lub 4 – zaokrąglamy w dół (zaokrąglana cyfra pozostaje bez zmian).
• Jeśli cyfra ta to 5, 6, 7, 8 lub 9 – zaokrąglamy w górę (zwiększamy zaokrąglaną cyfrę o 1).

Analiza poszczególnych kolumn:

• Kolumna b) dla liczby \(47,853\):
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(8\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę: \(\mathbf{48}\) (liczba \(47\) jest błędna \(\implies\) wykreślić).
  - Do części dziesiętnych: Kolejna cyfra to \(5\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę: \(47,9\) (liczba \(47,8\) jest błędna \(\implies\) wykreślić).
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(3\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół: \(\mathbf{47,85}\).
• Kolumna c) dla liczby \(5,194\):
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(1\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół: \(\mathbf{5}\).
  - Do części dziesiętnych: Kolejna cyfra to \(9\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę: \(\mathbf{5,2}\) (liczba \(5,1\) jest błędna \(\implies\) wykreślić).
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(4\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół: \(\mathbf{5,19}\).
• Kolumna d) dla liczby \(11,279\):
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(2\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół: \(\mathbf{11}\).
  - Do części dziesiętnych: Kolejna cyfra to \(7\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę: \(\mathbf{11,3}\) (liczba \(11,2\) jest błędna \(\implies\) wykreślić).
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(9\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę: \(\mathbf{11,28}\).

Zadanie 2

Wpisz w każdej kratce taką cyfrę, by otrzymać zaokrąglenie podanej liczby.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj podane zaokrąglenie i określ, jaka cyfra (od 0 do 9) musi znaleźć się w miejscu szarej kratki, aby przybliżenie było poprawne. Wpisz cyfrę w kratkę i kliknij „Sprawdź”.

a)

14,4349 \(\approx\) 14,4

b)

204,7062 \(\approx\) 204,7

c)

0,38512 \(\approx\) 0,3

d)

1023,99 \(\approx\) 102

e)

106,4052 \(\approx\) 106,4

f)

0,2459 \(\approx\) 0,24

Rozwiązanie krok po kroku:

Zasady zaokrąglania ułamków dziesiętnych:

• a) \(14,4349 \approx 14,4\mathbf{3}\): Do części setnych. Części tysięczne to \(4\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies 3\).
• b) \(204,7062 \approx 204,7\mathbf{1}\): Do części setnych. Części tysięczne to \(6\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies 1\).
• c) \(0,38512 \approx 0,3\mathbf{9}\): Do części setnych. Części tysięczne to \(5\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies 9\).
• d) \(1023,99 \approx 102\mathbf{4}\): Do jedności. Części dziesiętne to \(9\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies 4\).
• e) \(106,4052 \approx 106,4\mathbf{1}\): Do części setnych. Części tysięczne to \(5\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies 1\).
• f) \(0,2459 \approx 0,24\mathbf{6}\): Do części tysięcznych. Części dziesięciotysięczne to \(9\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies 6\).

Zadanie 3

W ramce znajdują się wyniki podanych działań. Nie wykonując dokładnych rachunków, ustal, które to liczby, i połącz je z działaniami.

Instrukcja dla ucznia:
Oszacuj rząd wielkości wyniku każdego działania (np. zaokrąglając liczby do jedności) lub przeanalizuj ostatnią cyfrę wyniku. Wybierz właściwą liczbę z listy rozwijanej na każdym pomarańczowym kafelku. Po uzupełnieniu kliknij „Sprawdź”.

\(4,518 + 0,528\) → 5,046

\(2,337 + 3,719\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(1,926 + 5,907\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(4,92 \cdot 3,15\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(15,642 - 1,602\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(15,678 : 3,9\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(12,169 - 4,966\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(6,25 \cdot 2,04\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

\(31,779 : 1,98\) → wybierz 4,02 6,056 7,203 7,833 12,75 14,04 15,498 16,05

Rozwiązanie krok po kroku (metoda szacowania):

Aby dopasować działania do wyników bez dokładnego liczenia, zaokrąglamy liczby do wartości łatwych do obliczenia w pamięci oraz analizujemy ostatnią cyfrę wyniku:

• \(2,337 + 3,719\): Szacujemy: \(2,3 + 3,7 = \mathbf{6}\). Ostatnie cyfry \(7 + 9 = 16\) (wynik kończy się na \(6\)) \(\implies\) \(\mathbf{6,056}\).
• \(1,926 + 5,907\): Szacujemy: \(2 + 6 = \mathbf{8}\). Ostatnie cyfry \(6 + 7 = 13\) (wynik kończy się na \(3\)) \(\implies\) \(\mathbf{7,833}\).
• \(4,92 \cdot 3,15\): Szacujemy: \(5 \cdot 3 = \mathbf{15}\). Jedyny wynik bliski piętnastu to \(\mathbf{15,498}\).
• \(15,642 - 1,602\): Szacujemy: \(15,6 - 1,6 = \mathbf{14}\). Wynik to \(\mathbf{14,04}\).
• \(15,678 : 3,9\): Szacujemy: \(16 : 4 = \mathbf{4}\). Jedyny wynik bliski czterem to \(\mathbf{4,02}\).
• \(12,169 - 4,966\): Szacujemy: \(12,1 - 5,0 = \mathbf{7,1}\). Wynik kończy się na cyfrę \(3\) (\(9 - 6 = 3\)) \(\implies\) \(\mathbf{7,203}\).
• \(6,25 \cdot 2,04\): Szacujemy: \(6 \cdot 2 = \mathbf{12}\). Wynik musi być nieco większy od 12 \(\implies\) \(\mathbf{12,75}\).
• \(31,779 : 1,98\): Szacujemy: \(32 : 2 = \mathbf{16}\). Wynik to \(\mathbf{16,05}\).

Zadanie 4

Za które z podanych zestawów produktów należy zapłacić mniej niż 20 zł? Zaznacz odpowiednie okienka.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj cennik produktów pod spodem. Oblicz koszt poszczególnych zestawów i zaznacz okienka przy tych, których łączna wartość wynosi mniej niż 20 zł. Po zaznaczeniu kliknij „Sprawdź”.

Batonik 1,99 zł

Guma do żucia 0,99 zł

Cukierki 8,88 zł

Pudełko pralin 12,49 zł

Orzeszki ziemne 2,49 zł

Czekolada 5,49 zł

dwie torebki cukierków jedenaście batoników dwadzieścia gum do żucia torebka cukierków i pudełko pralin sześć batoników i pięć gum do żucia cztery puszki orzeszków i dwie czekolady

Rozwiązanie krok po kroku i analiza kosztów:

Aby określić, które zestawy produktów kosztują mniej niż \(20\) zł, obliczamy wartość każdego z nich za pomocą prostego mnożenia i dodawania:

• 1. dwie torebki cukierków: \[2 \cdot 8,88\text{ zł} = 17,76\text{ zł} \quad (< 20\text{ zł}) \implies \mathbf{TAK}\]
• 2. jedenaście batoników: \[11 \cdot 1,99\text{ zł} = 21,89\text{ zł} \quad (\ge 20\text{ zł}) \implies \text{NIE}\]
• 3. dwadzieścia gum do żucia: \[20 \cdot 0,99\text{ zł} = 19,80\text{ zł} \quad (< 20\text{ zł}) \implies \mathbf{TAK}\]
• 4. torebka cukierków i pudełko pralin: \[8,88\text{ zł} + 12,49\text{ zł} = 21,37\text{ zł} \quad (\ge 20\text{ zł}) \implies \text{NIE}\]
• 5. sześć batoników i pięć gum do żucia: \[6 \cdot 1,99\text{ zł} + 5 \cdot 0,99\text{ zł} = 11,94\text{ zł} + 4,95\text{ zł} = 16,89\text{ zł} \quad (< 20\text{ zł}) \implies \mathbf{TAK}\]
• 6. cztery puszki orzeszków i dwie czekolady: \[4 \cdot 2,49\text{ zł} + 2 \cdot 5,49\text{ zł} = 9,96\text{ zł} + 10,98\text{ zł} = 20,94\text{ zł} \quad (\ge 20\text{ zł}) \implies \text{NIE}\]

Zadanie 5

Oszacuj, nie wykonując dokładnych obliczeń, czy podana kwota wystarczy na podane zakupy. Wpisz TAK lub NIE.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj cennik produktów pod spodem. Oszacuj wartość każdego zestawu (np. zaokrąglając ceny do pełnych złotych) i wybierz z listy rozwijanej odpowiedź TAK (jeśli kwota wystarczy) lub NIE (jeśli nie wystarczy). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Ciastka 6,05 zł

Orzeszki 4,90 zł

Lizak 1,55 zł

Czekolada 3,89 zł

Cukierki 5,99 zł

Batonik 2,29 zł

Chipsy 5,10 zł

a) opakowanie ciastek i lizak; 8 zł wybierz TAK NIE

b) torebka cukierków i chipsy; 11 zł wybierz TAK NIE

c) torebka cukierków i czekolada; 10 zł wybierz TAK NIE

d) torebka chipsów i baton; 7 zł wybierz TAK NIE

e) dwa opakowania ciastek; 11 zł wybierz TAK NIE

f) trzy puszki orzeszków; 15 zł wybierz TAK NIE

g) pięć czekolad; 15 zł wybierz TAK NIE

h) cztery batony; 10 zł wybierz TAK NIE

Rozwiązanie krok po kroku i analiza szacowania kwot:

Do wykonania szacunku kwot zaokrąglamy ceny produktów (najlepiej w górę, aby mieć pewność, że kwota wystarczy, lub analizujemy dokładne przybliżenia ułamkowe):

• a) opakowanie ciastek i lizak; 8 zł: Szacujemy: \(6\text{ zł} + 1,50\text{ zł} = 7,50\text{ zł}\). Dokładna kwota to \(6,05 + 1,55 = 7,60\text{ zł}\). Kwota \(8\) zł zdecydowanie wystarczy \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• b) torebka cukierków i chipsy; 11 zł: Szacujemy: \(6\text{ zł} + 5,10\text{ zł} = 11,10\text{ zł}\). Dokładna kwota przekracza budżet: \(5,99 + 5,10 = 11,09\text{ zł} > 11\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• c) torebka cukierków i czekolada; 10 zł: Szacujemy: \(6\text{ zł} + 3,90\text{ zł} = 9,90\text{ zł}\). Dokładna kwota to \(5,99 + 3,89 = 9,88\text{ zł} \le 10\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• d) torebka chipsów i baton; 7 zł: Szacujemy: \(5,10\text{ zł} + 2,30\text{ zł} = 7,40\text{ zł}\). Dokładna kwota przekracza budżet: \(5,10 + 2,29 = 7,39\text{ zł} > 7\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• e) dwa opakowania ciastek; 11 zł: Szacujemy: \(2 \cdot 6\text{ zł} = 12\text{ zł}\). Dokładna kwota przekracza budżet: \(2 \cdot 6,05 = 12,10\text{ zł} > 11\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• f) trzy puszki orzeszków; 15 zł: Szacujemy: orzeszki kosztują trochę mniej niż 5 zł (\(4,90 < 5\)), więc trzy puszki będą kosztować mniej niż \(15\) zł: \(3 \cdot 4,90 = 14,70\text{ zł} \le 15\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• g) pięć czekolad; 15 zł: Szacujemy: czekolada kosztuje prawie 4 zł, więc pięć czekolad to prawie \(20\) zł. Dokładna cena zdecydowanie przekracza budżet: \(5 \cdot 3,89 = 19,45\text{ zł} > 15\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• h) cztery batony; 10 zł: Szacujemy: batonik to ok. \(2,30\) zł, więc cztery batony to ok. \(9,20\) zł. Dokładna kwota: \(4 \cdot 2,29 = 9,16\text{ zł} \le 10\text{ zł}\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).

Zadanie 6

Oszacuj, które sumy są mniejsze od 2500. Zaznacz odpowiednie okienka.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj podane działania. Oszacuj wartości sum (np. zaokrąglając składniki do łatwych do dodania liczb) i zaznacz okienka przy tych sumach, których łączna wartość wynosi mniej niż 2500. Po zaznaczeniu kliknij „Sprawdź”.

\(a = 982 + 1470\) \(b = 312 + 2222\) \(c = 498 + 1999\) \(d = 210,2 + 2305\) \(e = 1289 + 1209,76\) \(f = 603 + 1900,4\) \(g = 1701,8 + 812,28\) \(h = 689,6 + 1879,65\) \(i = 777,77 + 1732,32\)

Rozwiązanie krok po kroku i analiza szacowania sum:

Aby ocenić, które sumy są mniejsze od \(2500\), zamiast dokładnych obliczeń stosujemy techniki szacowania i przybliżania składników:

• \(a = 982 + 1470\): Szacujemy: składnik \(982\) jest mniejszy od \(1000\). Zatem cała suma jest mniejsza niż \(1000 + 1470 = 2470 < 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\) (dokładny wynik to \(2452\)).
• \(b = 312 + 2222\): Szacujemy: składniki \(312 > 300\) oraz \(2222 > 2200\), co daje sumę większą od \(2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2534\)).
• \(c = 498 + 1999\): Szacujemy: składniki \(498 < 500\) oraz \(1999 < 2000\), zatem ich suma jest mniejsza od \(500 + 2000 = 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\) (dokładny wynik to \(2497\)).
• \(d = 210,2 + 2305\): Szacujemy: składniki \(210 + 2305 = 2515 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2515,2\)).
• \(e = 1289 + 1209,76\): Szacujemy: składniki \(1289 < 1290\) oraz \(1209,76 < 1210\), co w sumie daje mniej niż \(1290 + 1210 = 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\) (dokładny wynik to \(2498,76\)).
• \(f = 603 + 1900,4\): Szacujemy: składniki \(603 > 600\) oraz \(1900,4 > 1900\), co daje sumę większą od \(600 + 1900 = 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2503,4\)).
• \(g = 1701,8 + 812,28\): Szacujemy: \(1700 + 810 = 2510 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2514,08\)).
• \(h = 689,6 + 1879,65\): Szacujemy: \(690 + 1880 = 2570 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2569,25\)).
• \(i = 777,77 + 1732,32\): Szacujemy: \(777 + 1732 = 2509 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2510,09\)).

Zadanie 7

Oszacuj, które różnice są mniejsze od 2500. Zaznacz odpowiednie okienka.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj podane działania. Oszacuj wartości różnic (np. zaokrąglając składniki do łatwych do odejmowania liczb) i zaznacz okienka przy tych różnicach, których łączna wartość wynosi mniej niż 2500. Po zaznaczeniu kliknij „Sprawdź”.

\(a = 3456 - 950\) \(b = 3441 - 950\) \(c = 3169 - 612\) \(d = 4456 - 2234\) \(e = 4656 - 2134\) \(f = 5667 - 3151\) \(g = 5496 - 2799\) \(h = 5456 - 2999\) \(i = 5555 - 3050\)

Rozwiązanie krok po kroku i analiza szacowania różnic:

Aby ocenić, które różnice są mniejsze od \(2500\), zamiast dokładnych obliczeń pisemnych stosujemy techniki szacowania i przybliżania liczb:

• \(a = 3456 - 950\): Szacujemy: \(3450 - 950 = 2500\). Ponieważ odjemna \(3456 > 3450\), to dokładna różnica przekroczy budżet \(2500\) (\(2506 > 2500\)) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• \(b = 3441 - 950\): Szacujemy: \(3450 - 950 = 2500\). Ponieważ odjemna \(3441 < 3450\), dokładny wynik musi być mniejszy niż \(2500\) (\(2491 < 2500\)) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• \(c = 3169 - 612\): Szacujemy: \(3170 - 610 = 2560 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2557\)).
• \(d = 4456 - 2234\): Szacujemy: \(4450 - 2230 = 2220 < 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\) (dokładny wynik to \(2222\)).
• \(e = 4656 - 2134\): Szacujemy: \(4650 - 2130 = 2520 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2522\)).
• \(f = 5667 - 3151\): Szacujemy: \(5660 - 3150 = 2510 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2516\)).
• \(g = 5496 - 2799\): Szacujemy: \(5500 - 2800 = 2700 > 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\) (dokładny wynik to \(2697\)).
• \(h = 5456 - 2999\): Szacujemy: zaokrąglamy odjemnik w górę do pełnych tysięcy (\(2999 \approx 3000\)). Otrzymujemy: \(5456 - 3000 = 2456\). Odejmując o \(1\) mniej (czyli \(2999\)), wynik będzie o 1 większy: \(2457 < 2500\) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• \(i = 5555 - 3050\): Szacujemy: \(5550 - 3050 = 2500\). Ponieważ odjemna \(5555 > 5550\), to dokładny wynik przekroczy \(2500\) (\(2505 > 2500\)) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).

Zadanie 8

Oszacuj, które iloczyny są większe od 200. Zaznacz odpowiednie okienka.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj podane działania. Oszacuj wartości iloczynów (np. zaokrąglając czynniki do łatwych do mnożenia liczb) i zaznacz okienka przy tych iloczynach, których łączna wartość wynosi więcej niż 200. Po zaznaczeniu kliknij „Sprawdź”.

\(a = 2 \cdot 98\) \(b = 13 \cdot 21\) \(c = 19 \cdot 9\) \(d = 9,8 \cdot 20\) \(e = 35,2 \cdot 6\) \(f = 25 \cdot 7,9\) \(g = 199,4 \cdot 1,9\) \(h = 15,042 \cdot 14,21\)

Rozwiązanie krok po kroku i analiza szacowania iloczynów:

Aby ocenić, które iloczyny są większe od \(200\), zamiast trudnych i pracochłonnych obliczeń stosujemy techniki szacowania i przybliżania czynników:

• \(a = 2 \cdot 98\): Szacujemy: \(2 \cdot 100 = 200\). Ponieważ czynnik \(98 < 100\), to dokładna wartość iloczynu musi być mniejsza od \(200\) (\(196 < 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• \(b = 13 \cdot 21\): Szacujemy: zaokrąglamy czynniki w dół do łatwych wartości \(10 \cdot 21 = 210\). Ponieważ \(210 > 200\), a oryginalne czynniki są jeszcze większe, dokładny wynik tym bardziej przekroczy \(200\) (\(273 > 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• \(c = 19 \cdot 9\): Szacujemy: zaokrąglamy czynnik w górę \(20 \cdot 9 = 180\). Ponieważ \(180 < 200\), to dokładny wynik również nie przekroczy \(200\) (\(171 < 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• \(d = 9,8 \cdot 20\): Szacujemy: zaokrąglamy czynnik w górę \(10 \cdot 20 = 200\). Ponieważ \(9,8 < 10\), to dokładna wartość musi być mniejsza od \(200\) (\(196 < 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• \(e = 35,2 \cdot 6\): Szacujemy: zaokrąglamy czynnik w dół \(35 \cdot 6 = 210\). Ponieważ \(210 > 200\), to dokładna wartość tym bardziej przekroczy \(200\) (\(211,2 > 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• \(f = 25 \cdot 7,9\): Szacujemy: zaokrąglamy czynnik w górę \(25 \cdot 8 = 200\). Ponieważ \(7,9 < 8\), dokładny wynik jest mniejszy od \(200\) (\(197,5 < 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{NIE}\).
• \(g = 199,4 \cdot 1,9\): Szacujemy: zaokrąglamy pierwszy czynnik do \(200\) i mnożymy przez \(1,9\), co daje \(200 \cdot 1,9 = 380\). Wynik jest zdecydowanie większy od \(200\) (\(378,86 > 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).
• \(h = 15,042 \cdot 14,21\): Szacujemy: zaokrąglamy czynniki w dół do liczb całkowitych \(15 \cdot 14 = 210\). Ponieważ \(210 > 200\), to dokładna wartość również przekroczy \(200\) (\(213,75 > 200\)) \(\implies\) \(\mathbf{TAK}\).

Zadanie 9

Wiadomo, że \(24 \cdot 108 = 2592\). Bez wykonywania dokładnych obliczeń wskaż poprawny wynik działania, wybierając spośród liczb I lub II.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj każde działanie i porównaj je z równaniem bazowym. Określ, jak przesunięcie przecinka dziesiętnego lub zmiana czynników wpływa na wynik. Kliknij na kafelek z poprawnym wynikiem (zostanie podświetlony na żółto), a następnie kliknij „Sprawdź”.

a) \(2,4 \cdot 108\)

b) \(0,24 \cdot 10,8\)

c) \(25 \cdot 108\)

d) \(24 \cdot 107\)

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Wszystkie podpunkty rozwiązujemy, opierając się na wyjściowej równości: \[24 \cdot 108 = 2592\]

• a) \(2,4 \cdot 108\): Liczba \(2,4\) jest 10 razy mniejsza od \(24\). Z tego wynika, że końcowy iloczyn również musi być 10 razy mniejszy: \[2,4 \cdot 108 = (24 : 10) \cdot 108 = 2592 : 10 = \mathbf{259,2} \quad \implies \mathbf{II}\]
• b) \(0,24 \cdot 10,8\): Liczba \(0,24\) jest 100 razy mniejsza od \(24\), a liczba \(10,8\) jest 10 razy mniejsza od \(108\). Łącznie wynik musi być \(100 \cdot 10 = 1000\) razy mniejszy: \[0,24 \cdot 10,8 = (24 : 100) \cdot (108 : 10) = 2592 : 1000 = \mathbf{2,592} \quad \implies \mathbf{I}\]
• c) \(25 \cdot 108\): W tym podpunkcie mnożymy o jedną całą grupę \(108\) więcej niż w założeniu wyjściowym (mamy 25 grup zamiast 24): \[25 \cdot 108 = 24 \cdot 108 + 1 \cdot 108 = 2592 + 108 = \mathbf{2700} \quad \implies \mathbf{II}\]
• d) \(24 \cdot 107\): W tym podpunkcie mnożymy o jedną całą grupę \(24\) mniej niż w założeniu wyjściowym (mamy 107 grup zamiast 108): \[24 \cdot 107 = 24 \cdot 108 - 24 \cdot 1 = 2592 - 24 = \mathbf{2568} \quad \implies \mathbf{I}\]

Zadanie 10

Wiadomo, że \(4806 : 89 = 54\). Bez wykonywania dokładnych obliczeń wskaż poprawny wynik działania, wybierając spośród liczb I lub II.

Instrukcja dla ucznia:
Przeanalizuj każde działanie i porównaj je z dzieleniem bazowym. Określ, jak przesunięcie przecinka dziesiętnego w dzielnej lub dzielniku wpływa na wynik. Kliknij na kafelek z poprawnym wynikiem (zostanie podświetlonany na żółto), a następnie kliknij „Sprawdź”.

a) \(480,6 : 8,9\)

b) \(4806 : 8,9\)

c) \(48,06 : 89\)

d) \(4,806 : 89\)

Rozwiązanie krok po kroku i analiza matematyczna:

Wszystkie podpunkty rozwiązujemy, opierając się na wyjściowej równości dzielenia: \[4806 : 89 = 54\]

• a) \(480,6 : 8,9\): W dzieleniu ułamków dziesiętnych możemy przesunąć przecinek w dzielnej i dzielniku o tyle samo miejsc w prawo (co jest równoważne pomnożeniu obu liczb przez 10). Wynik dzielenia się nie zmieni: \[480,6 : 8,9 = 4806 : 89 = \mathbf{54} \quad \implies \mathbf{I}\]
• b) \(4806 : 8,9\): Dzielnik (\(8,9\)) jest 10 razy mniejszy od wyjściowego (\(89\)). Oznacza to, że dzielimy tę samą kwotę na 10 razy mniejsze części, więc wynik (iloraz) musi być 10 razy większy: \[4806 : 8,9 = 4806 : (89 : 10) = (4806 : 89) \cdot 10 = 54 \cdot 10 = \mathbf{540} \quad \implies \mathbf{II}\]
• c) \(48,06 : 89\): Dzielna (\(48,06\)) jest 100 razy mniejsza od wyjściowej (\(4806\)). Oznacza to, że wynik również musi być 100 razy mniejszy: \[48,06 : 89 = (4806 : 100) : 89 = 54 : 100 = \mathbf{0,54} \quad \implies \mathbf{I}\]
• d) \(4,806 : 89\): Dzielna (\(4,806\)) jest 1000 razy mniejsza od wyjściowej (\(4806\)). Oznacza to, że wynik również musi być 1000 razy mniejszy: \[4,806 : 89 = (4806 : 1000) : 89 = 54 : 1000 = \mathbf{0,054} \quad \implies \mathbf{I}\]

Zadanie 11

Światło pokonuje odległość między Słońcem a Ziemią średnio w ciągu 8,3 minuty. W tabeli podano, ile razy dalej niż Ziemia znajdują się od Słońca niektóre inne planety. Oszacuj, ile minut zajmie światłu słonecznemu dotarcie do tych planet.

Instrukcja dla ucznia:
Zaokrąglij czas przelotu światła do Ziemi (np. do 8 minut) oraz odległości planet do wygodnych wartości całkowitych lub ułamków z połówką (np. 1,5 lub 10). Oblicz szacunkowy czas w pamięci, wpisz wyniki w pola tekstowe i kliknij „Sprawdź”.

Mars (\(1{,}5236\) AU)

min

Saturn (\(9{,}55475\) AU)

min

Uran (\(19{,}2181\) AU)

min

Neptun (\(30{,}1096\) AU)

min

Rozwiązanie krok po kroku i przykładowe szacowanie:

Średnia odległość między Słońcem a Ziemią nazywana jest jednostką astronomiczną (AU). Światło pokonuje tę odległość (\(1\) AU) w czasie \(8,3\) minuty. Do szybkich szacunków przyjmijmy zaokrąglenie czasu: \[t \approx 8\text{ minut}\]

Szacowanie czasu dla poszczególnych planet:

• Mars (\(1{,}5236\) AU): Zaokrąglamy odległość do wygodnego ułamka \(1,5\) AU. \[t_{Mars} \approx 1,5 \cdot 8 = \mathbf{12}\text{ minut}\] (lub przy dokładniejszym szacowaniu: \(1,5 \cdot 8,3 \approx \mathbf{12,5}\) minuty).
• Saturn (\(9{,}55475\) AU): Zaokrąglamy odległość w górę do \(10\) AU (lub dokładniej do \(9,5\) AU). \[t_{Saturn} \approx 10 \cdot 8 = \mathbf{80}\text{ minut}\] (przy dokładniejszym szacowaniu części połówkowej: \(9,5 \cdot 8 = \mathbf{76}\) minut lub \(9,5 \cdot 8,3 \approx \mathbf{79}\) minut).
• Uran (\(19{,}2181\) AU): Zaokrąglamy odległość do \(20\) AU (lub do \(19\) AU). \[t_{Uran} \approx 20 \cdot 8 = \mathbf{160}\text{ minut}\] (lub przy dokładniejszym szacowaniu: \(19 \cdot 8 = \mathbf{152}\) minuty lub \(19 \cdot 8,3 \approx \mathbf{158}\) minut).
• Neptun (\(30{,}1096\) AU): Zaokrąglamy odległość w dół do równego \(30\) AU. \[t_{Neptun} \approx 30 \cdot 8 = \mathbf{240}\text{ minut}\] (lub przy dokładniejszym szacowaniu czasu: \(30 \cdot 8,3 \approx \mathbf{249}\) minut / ok. \(\mathbf{250}\) minut).

Zadanie 12

Podaj zaokrąglenia liczb oznaczonych na osi liczbowej literami: a) do części setnych, b) do części dziesiątych, c) do jedności.

Instrukcja dla ucznia:
1. Określ wartość podziałki na osi liczbowej (odcinek między \(5,47\) a \(5,5\) został podzielony na 3 równe części, co oznacza, że każda kreska to \(0,01\)).
2. Odczytaj przybliżone położenie punktów \(a, b, c, d\).
3. Wpisz odpowiednie zaokrąglenia w pola tabeli pod osiami i kliknij „Sprawdź”.

Litera	a) Do części setnych	b) Do części dziesiątych	c) Do jedności
a
b
c
d

Rozwiązanie krok po kroku i analiza osi:

Odcinek między etykietami \(5,47\) a \(5,5\) (\(5,50\)) został podzielony na 3 równe części. Oznacza to, że każda kreska na osi odpowiada dokładnie wartości \(0,01\) (części setne). Odczytujemy przybliżone położenie punktów na osi:

• Punkt \(a\) leży między \(5,43\) a \(5,44\), nieco bliżej lewej strony: \(a \approx \mathbf{5,433}\)
• Punkt \(b\) leży między \(5,45\) a \(5,46\), bliżej prawej strony: \(b \approx \mathbf{5,458}\)
• Punkt \(c\) leży między \(5,47\) a \(5,48\), bliżej prawej strony: \(c \approx \mathbf{5,476}\)
• Punkt \(d\) leży tuż za kreską \(5,50\): \(d \approx \mathbf{5,503}\)

Zaokrąglanie wartości (zgodnie z regułami matematycznymi):

• Punkt \(a \approx 5,433\):
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(3\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5,43}\).
  - Do części dziesiątych: Kolejna cyfra to \(3\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5,4}\).
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(4\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5}\).
• Punkt \(b \approx 5,458\):
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(8\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies \mathbf{5,46}\).
  - Do części dziesiątych: Kolejna cyfra to \(5\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies \mathbf{5,5}\).
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(4\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5}\).
• Punkt \(c \approx 5,476\):
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(6\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies \mathbf{5,48}\).
  - Do części dziesiątych: Kolejna cyfra to \(7\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies \mathbf{5,5}\).
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(4\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5}\).
• Punkt \(d \approx 5,503\):
  - Do części setnych: Kolejna cyfra to \(3\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5,50}\) (lub \(5,5\)).
  - Do części dziesiątych: Kolejna cyfra to \(0\) (\(< 5\)), zaokrąglenie w dół \(\implies \mathbf{5,5}\).
  - Do jedności: Kolejna cyfra to \(5\) (\(\ge 5\)), zaokrąglenie w górę \(\implies \mathbf{6}\).

Zadanie 18

Instrukcja:
Przeanalizuj poniższe podpunkty, wykonaj odpowiednie szacowanie w pamięci lub na brudnopisie, a następnie wpisz w pola tekstowe słowo tak lub nie i kliknij przycisk „Sprawdź”.

• a) Litr cukru waży \(1,59\text{ kg}\). Oszacuj, czy \(19,8\text{ l}\) cukru waży więcej niż \(32\text{ kg}\).
  Odpowiedź:
• b) Tona złota ma objętość \(0,052\text{ m}^3\). Oszacuj, czy \(4,12\text{ t}\) złota zmieści się w skrzynce o wymiarach \(1\text{ m} \times 0,5\text{ m} \times 0,4\text{ m}\).
  Odpowiedź:
• c) Przeciętna cegła ma objętość \(1,95\text{ dm}^3\). Oszacuj, czy \(250\) cegieł wystarczy na zbudowanie słupka o wymiarach \(20\text{ dm} \times 5\text{ dm} \times 4\text{ dm}\).
  Odpowiedź:

Rozwiązanie krok po kroku i metody szacowania:

Podpunkt a)

Chcemy oszacować, czy masa \(19,8\text{ l}\) cukru jest większa niż \(32\text{ kg}\), wiedząc, że \(1\text{ l}\) waży \(1,59\text{ kg}\).

• Zaokrąglamy obie wartości w górę (nadmiar):
  \(19,8\text{ l} < 20\text{ l}\) oraz \(1,59\text{ kg/l} < 1,6\text{ kg/l}\).
• Mnożymy zaokrąglone wartości:
  \(20 \times 1,6 = 32\text{ kg}\).
• Ponieważ obie wyjściowe liczby są mniejsze od swoich przybliżeń w górę, ich rzeczywisty iloczyn musi być mniejszy niż obliczona granica:
  \(19,8 \times 1,59 < 20 \times 1,6 = 32\text{ kg}\).
• Wniosek: Rzeczywista masa jest mniejsza niż \(32\text{ kg}\). Odpowiedź brzmi: nie.

Podpunkt b)

Sprawdzamy, czy złoto o masie \(4,12\text{ t}\) zmieści się w skrzynce o wymiarach \(1\text{ m} \times 0,5\text{ m} \times 0,4\text{ m}\).

• Obliczamy objętość skrzynki:
  \(V_{\text{skrzynki}} = 1\text{ m} \times 0,5\text{ m} \times 0,4\text{ m} = 0,2\text{ m}^3\).
• Szacujemy objętość złota (wiemy, że \(1\text{ t}\) ma objętość \(0,052\text{ m}^3\)). Zaokrąglamy wartości w dół (niedomiar):
  \(4,12\text{ t} > 4\text{ t}\) oraz \(0,052\text{ m}^3 > 0,05\text{ m}^3\).
• Iloczyn tych wartości wynosi:
  \(4 \times 0,05 = 0,2\text{ m}^3\).
• Ponieważ obie rzeczywiste wartości są większe od przyjętych przybliżeń, łączna objętość złota jest na pewno większa niż \(0,2\text{ m}^3\):
  \(4,12 \times 0,052 > 4 \times 0,05 = 0,2\text{ m}^3\).
• Wniosek: Objętość złota przekracza pojemność skrzynki, więc złoto się w niej nie zmieści. Odpowiedź brzmi: nie.

Podpunkt c)

Oceniamy, czy \(250\) cegieł o objętości \(1,95\text{ dm}^3\) każda wystarczy do zbudowania słupka o wymiarach \(20\text{ dm} \times 5\text{ dm} \times 4\text{ dm}\).

• Obliczamy objętość słupka:
  \(V_{\text{słupka}} = 20\text{ dm} \times 5\text{ dm} \times 4\text{ dm} = 400\text{ dm}^3\).
• Szacujemy łączną objętość dostępnych cegieł. Zaokrąglamy objętość jednej cegły w dół, np. do bezpiecznej wartości \(1,6\text{ dm}^3\) (lub \(1,8\text{ dm}^3\)):
  Wiemy, że \(1,95 > 1,6\).
• Obliczamy objętość dla mniejszej wartości:
  \(250 \times 1,6 = 400\text{ dm}^3\).
• Skoro nawet przy zaniżonej objętości pojedynczej cegły otrzymujemy dokładnie wymagane \(400\text{ dm}^3\), to rzeczywista objętość \(250\) cegieł będzie znacznie większa:
  \(250 \times 1,95 > 250 \times 1,6 = 400\text{ dm}^3\) (dokładnie wynosi ona \(487,5\text{ dm}^3\)).
• Wniosek: Cegieł bez problemu wystarczy na wybudowanie słupka. Odpowiedź brzmi: tak.