Działania na liczbach.

Zadanie 1

Instrukcja Zadania 1:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń arytmetycznych. Zwróć szczególną uwagę na kolejność wykonywania działań oraz obecność nawiasów. Wpisz ostateczny wynik w puste pole obok każdego wyrażenia, a następnie kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Kolejność wykonywania działań)

Aby poprawnie obliczyć wartość wyrażenia arytmetycznego, należy stosować zasady priorytetu działań:

Działania w nawiasach: Wykonujemy je w pierwszej kolejności.
Potęgowanie i pierwiastkowanie: Wykonujemy przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem.
Mnożenie i dzielenie: Wykonujemy je w kolejności ich występowania (od lewej do prawej).
Dodawanie i odejmowanie: Wykonujemy je na samym końcu, również w kolejności ich występowania (od lewej do prawej).

Wskazówka wpisywania: W przypadku wyników ułamkowych (liczb dziesiętnych) akceptowany jest zarówno zapis z przecinkiem, jak i z kropką (np. -3,5 lub -3.5).

Wyrażenia: Oblicz i wpisz wyniki:

\( 4 + 3 \cdot 5 - 10 : 2 = \)

Wynik:

\( 4 + 3 \cdot (5 - 10) : 2 = \)

Wynik:

\( (4 + 3 \cdot 5 - 10) : 2 = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

Pierwsze wyrażenie: \( 4 + 3 \cdot 5 - 10 : 2 \)
Zgodnie z kolejnością działań najpierw wykonujemy mnożenie oraz dzielenie: \( 3 \cdot 5 = 15 \) oraz \( 10 : 2 = 5 \) Podstawiamy te wartości do wyrażenia: \( 4 + 15 - 5 \) Teraz wykonujemy dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej: \( 4 + 15 = 19 \), a następnie \( 19 - 5 = 14 \). Ostateczny wynik to 14.
Drugie wyrażenie: \( 4 + 3 \cdot (5 - 10) : 2 \)
W pierwszej kolejności wykonujemy działanie w nawiasie: \( 5 - 10 = -5 \) Wyrażenie przyjmuje postać: \( 4 + 3 \cdot (-5) : 2 \) Następnie wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej: \( 3 \cdot (-5) = -15 \), a potem \( -15 : 2 = -7{,}5 \) (lub \( -\frac{15}{2} \)) Na końcu wykonujemy dodawanie: \( 4 + (-7{,}5) = -3{,}5 \). Ostateczny wynik to -3,5.
Trzecie wyrażenie: \( (4 + 3 \cdot 5 - 10) : 2 \)
Najpierw obliczamy wartość całego wyrażenia w nawiasie, pamiętając, że wewnątrz nawiasu mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem: \( 4 + 3 \cdot 5 - 10 = 4 + 15 - 10 = 19 - 10 = 9 \) Otrzymany wynik dzielimy przez 2: \( 9 : 2 = 4{,}5 \). Ostateczny wynik to 4,5.

Zadanie 2

Instrukcja Zadania 2:
Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej. Wpisz odpowiednie litery (a, b, c, d) w szare pola oddzielone znakami mniejszości (\( < \)), a następnie kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Mnożenie i dzielenie przez potęgi liczby 10)

Podczas porównywania liczb zapisanych przy użyciu potęg liczby 10, najwygodniej jest zapisać je w standardowej notacji dziesiętnej:

Mnożenie przez potęgę o wykładniku dodatnim (np. \( 10^3 = 1000 \)): Przesuwamy przecinek w prawą stronę o tyle miejsc, ile wynosi wykładnik potęgi.
Mnożenie przez potęgę o wykładniku ujemnym (np. \( 10^{-2} = 0{,}01 \)): Odpowiada to dzieleniu przez odpowiednią potęgę. Przesuwamy przecinek w lewą stronę o tyle miejsc, ile wynosi wartość bezwzględna wykładnika.
Dzielenie przez wielokrotność liczby 10: Przesuwamy przecinek w lewą stronę o tyle miejsc, ile zer ma dzielnik (np. dzielenie przez \( 10 \) to przesunięcie o 1 miejsce w lewo).

Wskazówka: Oblicz wartość każdej liczby na brudnopisie, a następnie uszereguj przypisane im litery od najmniejszego wyniku do największego. Wielkość wpisywanych liter nie ma znaczenia.

Część a): Uporządkuj liczby:

\( a = 0{,}67 \cdot 1000 \)

\( b = 6{,}7 \cdot 10^3 \)

\( c = 670000 : 10 \)

\( d = 6{,}7 \cdot 10^{-2} \)

Kolejność: < < <

Część b): Uporządkuj liczby:

\( a = 4{,}3 \cdot 10^5 \)

\( b = 4{,}3 \cdot 10^{-3} \)

\( c = 0{,}00043 \cdot 100 \)

\( d = 4{,}3 : 10 \)

Kolejność: < < <

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza Części a):

Obliczamy wartości poszczególnych liczb, doprowadzając je do postaci dziesiętnej:

\( a = 0{,}67 \cdot 1000 = 670 \)
\( b = 6{,}7 \cdot 10^3 = 6{,}7 \cdot 1000 = 6700 \)
\( c = 670000 : 10 = 67000 \)
\( d = 6{,}7 \cdot 10^{-2} = 6{,}7 \cdot 0{,}01 = 0{,}067 \)

Porównując wyniki: \( 0{,}067 < 670 < 6700 < 67000 \), otrzymujemy kolejność: d < a < b < c.

Analiza Części b):

Obliczamy wartości liczb dla drugiego podpunktu:

\( a = 4{,}3 \cdot 10^5 = 430000 \)
\( b = 4{,}3 \cdot 10^{-3} = 4{,}3 \cdot 0{,}001 = 0{,}0043 \)
\( c = 0{,}00043 \cdot 100 = 0{,}043 \)
\( d = 4{,}3 : 10 = 0{,}43 \)

Porównując wyniki: \( 0{,}0043 < 0{,}043 < 0{,}43 < 430000 \), otrzymujemy kolejność: b < c < d < a.

Zadanie 3

Instrukcja Zadania 3:
Uzupełnij puste pola odpowiednimi liczbami (w przypadku ułamków zwykłych wpisz licznik L i mianownik M) oraz jednostkami (np. kg, m, mm), a następnie kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Zależności między jednostkami)

Podczas zamiany jednostek warto pamiętać o podstawowych przelicznikach wag i miar:

Jednostki masy:

\( 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g} \implies 1 \text{ g} = \frac{1}{1000} \text{ kg} \)
\( 1 \text{ kg} = 100 \text{ dag} \implies 1 \text{ dag} = \frac{1}{100} \text{ kg} \)
\( 1 \text{ t} = 1000 \text{ kg} \)

Jednostki długości:

\( 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \implies 1 \text{ cm} = \frac{1}{100} \text{ m} \)
\( 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm} \)
\( 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \)

Wskazówka wpisywania: W polach ułamków dziesiętnych akceptowane są zarówno kropki, jak i przecinki (np. 0,02 lub 0.02). Skróty jednostek wpisuj małymi literami.

Kolumna lewa: Zamiana na większe jednostki

\( 20 \text{ g} = 20 \cdot \)

\( \text{kg} = \)

\( 5 \text{ cm} = 5 \cdot \)

\( \text{m} = \)

\( 13 \text{ dag} = 13 \cdot \)

\( \text{kg} = \)

Kolumna prawa: Zamiana na mniejsze jednostki

\( 50 \text{ t} = 50 \cdot \) \( = \)

\( 7 \text{ cm} = 7 \cdot \) mm \( = \)

\( 8 \text{ km} = 8 \cdot \) m \( = \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyjaśnienie Kolumny Lewej (Zamiana na większe jednostki):

Wiersz 1: Skoro \( 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g} \), to \( 1 \text{ g} = \frac{1}{1000} \text{ kg} \).
Otrzymujemy: \( 20 \text{ g} = 20 \cdot \frac{1}{1000} \text{ kg} = 0{,}02 \text{ kg} \).
Wiersz 2: Skoro \( 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \), to \( 1 \text{ cm} = \frac{1}{100} \text{ m} \).
Otrzymujemy: \( 5 \text{ cm} = 5 \cdot \frac{1}{100} \text{ m} = 0{,}05 \text{ m} \).
Wiersz 3: Skoro \( 1 \text{ kg} = 100 \text{ dag} \), to \( 1 \text{ dag} = \frac{1}{100} \text{ kg} \).
Otrzymujemy: \( 13 \text{ dag} = 13 \cdot \frac{1}{100} \text{ kg} = 0{,}13 \text{ kg} \).

Wyjaśnienie Kolumny Prawej (Zamiana na mniejsze jednostki):

Wiersz 1: Ponieważ \( 1 \text{ t} = 1000 \text{ kg} \), mnożymy tonę przez \( 1000 \).
Otrzymujemy: \( 50 \text{ t} = 50 \cdot 1000 \text{ kg} = 50000 \text{ kg} \).
Wiersz 2: Ponieważ \( 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm} \), mnożymy centymetry przez \( 10 \).
Otrzymujemy: \( 7 \text{ cm} = 7 \cdot 10 \text{ mm} = 70 \text{ mm} \).
Wiersz 3: Ponieważ \( 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \), mnożymy kilometry przez \( 1000 \).
Otrzymujemy: \( 8 \text{ km} = 8 \cdot 1000 \text{ m} = 8000 \text{ m} \).

Zadanie 4

Instrukcja Zadania 4:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń w pamięci. Wpisz wyniki w wyznaczone pola:
• W przypadku liczb dziesiętnych wpisz wynik w pojedyncze pole.
• W przypadku liczb mieszanych uzupełnij pole całości oraz ułamka (licznik L i mianownik M).
• Jeśli wynik jest ułamkiem prostym (bez całości), uzupełnij tylko licznik L i mianownik M. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Działania na ułamkach)

1. Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych: Zwróć uwagę na rzędy wielkości (dziesiąte, setne). W razie potrzeby dopisz zero na końcu ułamka pomocniczo, np. \( 3{,}2 = 3{,}20 \).

2. Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach: Dodajemy/odejmujemy tylko liczniki, pozostawiając mianownik bez zmian.

Gdy przy dodawaniu ułamek przekroczy jedność, wyciągamy całości, np. \( 3\frac{5}{7} + \frac{4}{7} = 3\frac{9}{7} = 4\frac{2}{7} \).
Gdy przy odejmowaniu ułamek odjemnej jest za mały, „pożyczamy” jedną całość zamieniając ją na ułamek, np. \( 2\frac{3}{5} = 1\frac{8}{5} \).

Wskazówka wpisywania: Dla liczb dziesiętnych akceptowany jest zarówno przecinek, jak i kropka (np. 8,84 lub 8.84).

Część a): Dodawanie ułamków dziesiętnych:

\( 3{,}2 + 5{,}64 = \)

\( 5{,}43 + 12{,}7 = \)

\( 17{,}2 + 3{,}51 + 2{,}1 = \)

Część b): Odejmowanie ułamków dziesiętnych:

\( 6{,}47 - 4{,}3 = \)

\( 18{,}25 - 7{,}17 = \)

\( 11{,}7 - 8{,}4 = \)

Część c): Dodawanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych:

\( \frac{4}{13} + \frac{7}{13} = \)

\( 3\frac{5}{7} + \frac{4}{7} = \)

\( 2\frac{3}{5} + 13\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \)

Część d): Odejmowanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych:

\( \frac{9}{13} - \frac{5}{13} = \)

\( 5\frac{6}{7} - \frac{3}{7} = \)

\( 2\frac{3}{5} - 1\frac{4}{5} = \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) - Dodawanie dziesiętnych:

\( 3{,}2 + 5{,}64 = 3{,}20 + 5{,}64 = 8{,}84 \)
\( 5{,}43 + 12{,}7 = 5{,}43 + 12{,}70 = 18{,}13 \)
\( 17{,}2 + 3{,}51 + 2{,}1 = 17{,}20 + 3{,}51 + 2{,}10 = 22{,}81 \)

Podpunkt b) - Odejmowanie dziesiętnych:

\( 6{,}47 - 4{,}3 = 6{,}47 - 4{,}30 = 2{,}17 \)
\( 18{,}25 - 7{,}17 = 11{,}08 \)
\( 11{,}7 - 8{,}4 = 3{,}3 \)

Podpunkt c) - Dodawanie ułamków zwykłych:

\( \frac{4}{13} + \frac{7}{13} = \frac{4+7}{13} = \mathbf{\frac{11}{13}} \)
\( 3\frac{5}{7} + \frac{4}{7} = 3\frac{9}{7} = 3 + 1\frac{2}{7} = \mathbf{4\frac{2}{7}} \)
\( 2\frac{3}{5} + 13\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = (2+13) + \frac{3+4+1}{5} = 15 + \frac{8}{5} = 15 + 1\frac{3}{5} = \mathbf{16\frac{3}{5}} \)

Podpunkt d) - Odejmowanie ułamków zwykłych:

\( \frac{9}{13} - \frac{5}{13} = \frac{9-5}{13} = \mathbf{\frac{4}{13}} \)
\( 5\frac{6}{7} - \frac{3}{7} = \mathbf{5\frac{3}{7}} \)
\( 2\frac{3}{5} - 1\frac{4}{5} = 1\frac{8}{5} - 1\frac{4}{5} = \mathbf{\frac{4}{5}} \) (całość wynosi 0, wprowadzamy sam ułamek).

Zadanie 5

Instrukcja Zadania 5:
Oblicz podane sumy i różnice ułamków zwykłych oraz liczb mieszanych. Przed wykonaniem działań sprowadź ułamki do wspólnego mianownika. Wpisz odpowiednie liczby w polach tekstowych (całość oraz licznik L i mianownik M), a następnie kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Działania na ułamkach o różnych mianownikach)

Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika (najlepiej do Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności mianowników).

Rozszerzanie ułamka: Pomnóż zarówno licznik, jak i mianownik przez tę samą liczbę naturalną, tak aby otrzymać wspólny mianownik.
Dodawanie: \( 2\frac{3}{20} + \frac{1}{4} = 2\frac{3}{20} + \frac{5}{20} = 2\frac{8}{20} \). Otrzymany wynik można skrócić: \( 2\frac{8}{20} = 2\frac{2}{5} \).
Odejmowanie z pożyczaniem: Gdy licznik odjemnej jest mniejszy od licznika odjemnika, „pożyczamy” jedną całość, rozbijając ją na części mianownika, np. \( 2\frac{1}{20} = 1\frac{21}{20} \).

Wskazówka: System uznaje zarówno wyniki w formie skróconej, jak i nieskróconej. Jeśli ostateczny wynik nie posiada całości (jest ułamkiem właściwym), pole całości pozostaw puste.

Część a): Dodawanie ułamków

\( 2\frac{3}{20} + \frac{1}{4} = \)

\( 1\frac{5}{18} + 2\frac{4}{9} + \frac{5}{6} = \)

\( 3\frac{1}{2} + 2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{3} = \)

Część b): Odejmowanie ułamków

\( 2\frac{1}{20} - \frac{3}{4} = \)

\( 1\frac{7}{18} - \frac{2}{9} = \)

\( 2\frac{1}{7} - \frac{5}{21} = \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenia w Części a):

\( 2\frac{3}{20} + \frac{1}{4} \): Wspólnym mianownikiem jest 20.
\( 2\frac{3}{20} + \frac{5}{20} = \mathbf{2\frac{8}{20}} \). Po skróceniu (przez 4): \( \mathbf{2\frac{2}{5}} \).
\( 1\frac{5}{18} + 2\frac{4}{9} + \frac{5}{6} \): Wspólnym mianownikiem dla 18, 9 i 6 jest 18.
Rozszerzamy: \( 2\frac{4}{9} = 2\frac{8}{18} \) oraz \( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \).
Dodajemy: \( 1\frac{5}{18} + 2\frac{8}{18} + \frac{15}{18} = 3\frac{28}{18} = 3 + 1\frac{10}{18} = \mathbf{4\frac{10}{18}} \). Po skróceniu (przez 2): \( \mathbf{4\frac{5}{9}} \).
\( 3\frac{1}{2} + 2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{3} \): Wspólnym mianownikiem dla 2, 4 i 3 jest 12.
Rozszerzamy: \( 3\frac{6}{12} + 2\frac{9}{12} + 1\frac{4}{12} = 6\frac{19}{12} = 6 + 1\frac{7}{12} = \mathbf{7\frac{7}{12}} \).

Obliczenia w Części b):

\( 2\frac{1}{20} - \frac{3}{4} \): Wspólnym mianownikiem jest 20. Rozszerzamy: \( \frac{3}{4} = \frac{15}{20} \).
Ponieważ licznik odjemnej jest za mały (\( 1 < 15 \)), zamieniamy jedną całość: \( 2\frac{1}{20} = 1\frac{21}{20} \).
Odejmujemy: \( 1\frac{21}{20} - \frac{15}{20} = \mathbf{1\frac{6}{20}} \). Po skróceniu (przez 2): \( \mathbf{1\frac{3}{10}} \).
\( 1\frac{7}{18} - \frac{2}{9} \): Wspólnym mianownikiem jest 18. Rozszerzamy: \( \frac{2}{9} = \frac{4}{18} \).
Odejmujemy: \( 1\frac{7}{18} - \frac{4}{18} = \mathbf{1\frac{3}{18}} \). Po skróceniu (przez 3): \( \mathbf{1\frac{1}{6}} \).
\( 2\frac{1}{7} - \frac{5}{21} \): Wspólnym mianownikiem jest 21. Rozszerzamy: \( 2\frac{1}{7} = 2\frac{3}{21} \).
Ponieważ \( 3 < 5 \), zamieniamy jedną całość: \( 2\frac{3}{21} = 1\frac{24}{21} \).
Odejmujemy: \( 1\frac{24}{21} - \frac{5}{21} = \mathbf{1\frac{19}{21}} \).

Zadanie 6

Instrukcja Zadania 6:
Oblicz wyniki poniższych działań łączonych:
• W podpunktach a) oraz d) wynik należy zapisać w postaci liczby mieszanej (mianownik ułamka zwykłego nie skraca się do potęgi 10).
• W podpunktach b) oraz c) możesz wpisać wynik jako ułamek dziesiętny LUB jako liczbę mieszaną. Uzupełnij tylko jeden wybrany format. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Działania na różnych ułamkach)

Podczas wykonywania działań, w których występują jednocześnie ułamki zwykłe i dziesiętne, należy ujednolicić ich zapis:

Kiedy zamieniać na ułamki zwykłe? Zawsze, gdy ułamek zwykły ma w mianowniku liczbę, która nie rozszerza się do potęgi dziesiątki (np. \( 3 \), \( 7 \)), dając ułamek okresowy.
Kiedy zamieniać na ułamki dziesiętne? Gdy mianownik ułamka zwykłego łatwo rozszerza się do \( 10, 100, 1000 \) (np. \( 5, 20 \)). Metoda ta bywa szybsza i zapobiega błędom w sprowadzaniu do wspólnego mianownika.

Wskazówka wpisywania: W ułamkach dziesiętnych akceptowany jest przecinek oraz kropka (np. 7,65 lub 7.65). Wynik w ułamkach zwykłych zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Działania: Oblicz i uzupełnij wyniki

\( \text{a) } 2{,}4 + \frac{2}{3} = \)

Liczba mieszana:

\( \text{b) } 2\frac{7}{20} + 5{,}3 = \)

Ułamek dziesiętny:

lub mieszany:

\( \text{c) } 7\frac{3}{5} - 3{,}8 = \)

Ułamek dziesiętny:

lub mieszany:

\( \text{d) } 4\frac{2}{7} - 0{,}7 = \)

Liczba mieszana:

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a): \( 2{,}4 + \frac{2}{3} \)
Ponieważ mianownik 3 nie rozszerza się do 10, zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły:
\( 2{,}4 = 2\frac{4}{10} = 2\frac{2}{5} \).
Sprowadzamy do wspólnego mianownika (15):
\( 2\frac{2}{5} + \frac{2}{3} = 2\frac{6}{15} + \frac{10}{15} = 2\frac{16}{15} = \mathbf{3\frac{1}{15}} \).
Podpunkt b): \( 2\frac{7}{20} + 5{,}3 \)
Sposób dziesiętny: zamieniamy \( 2\frac{7}{20} = 2\frac{35}{100} = 2{,}35 \). Obliczamy sumę: \( 2{,}35 + 5{,}3 = \mathbf{7{,}65} \).
Sposób ułamka zwykłego: \( 2\frac{7}{20} + 5\frac{3}{10} = 2\frac{7}{20} + 5\frac{6}{20} = \mathbf{7\frac{13}{20}} \).
Podpunkt c): \( 7\frac{3}{5} - 3{,}8 \)
Sposób dziesiętny: zamieniamy \( 7\frac{3}{5} = 7\frac{6}{10} = 7{,}6 \). Obliczamy różnicę: \( 7{,}6 - 3{,}8 = \mathbf{3{,}8} \).
Sposób ułamka zwykłego: \( 7\frac{3}{5} - 3\frac{8}{10} = 7\frac{3}{5} - 3\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} - 3\frac{4}{5} = \mathbf{3\frac{4}{5}} \).
Podpunkt d): \( 4\frac{2}{7} - 0{,}7 \)
Mianownik 7 nie pozwala na łatwy zapis dziesiętny, zamieniamy \( 0{,}7 \) na ułamek zwykły:
\( 0{,}7 = \frac{7}{10} \).
Sprowadzamy do wspólnego mianownika (70):
\( 4\frac{2}{7} - \frac{7}{10} = 4\frac{20}{70} - \frac{49}{70} \).
Wykonujemy pożyczanie jednej całości:
\( 3\frac{90}{70} - \frac{49}{70} = \mathbf{3\frac{41}{70}} \).

Zadanie 7

Instrukcja Zadania 7:
Oblicz wyniki mnożenia i dzielenia liczb dziesiętnych, ułamków zwykłych oraz liczb mieszanych. Wpisz ostateczne, uproszczone wartości w pola tekstowe (zwróć uwagę na znaki ujemne!). W przypadku liczb mieszanych podaj całości oraz licznik L i mianownik M. Na koniec kliknij „Sprawdź zadania”.

Część 1: Mnożenie i dzielenie liczb dziesiętnych

a) Pomnóż:

\( 3{,}2 \cdot 7 = \)

\( 6 \cdot (-2{,}4) = \)

\( 1{,}2 \cdot 2{,}3 = \)

\( -2{,}03 \cdot 3{,}1 = \)

d) Podziel:

\( 3{,}2 : 4 = \)

\( 6{,}3 : (-0{,}9) = \)

\( 1{,}2 : 2{,}4 = \)

\( -0{,}66 : 3{,}3 = \)

Część 2: Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

b) Pomnóż:

\( \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \)

\( -\frac{5}{7} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = \)

\( \frac{32}{55} \cdot \frac{5}{8} = \)

\( \frac{7}{36} \cdot \frac{12}{49} = \)

e) Podziel:

\( \frac{2}{7} : \frac{6}{7} = \)

\( -\frac{5}{12} : \left(-\frac{5}{16}\right) = \)

\( \frac{32}{45} : \frac{24}{25} = \)

\( -\frac{35}{36} : \frac{21}{8} = \)

Część 3: Mnożenie i dzielenie liczb mieszanych

c) Pomnóż:

\( 2\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{32} = \)

\( 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{1}{14} = \)

\( 2\frac{1}{7} \cdot \left(-4\frac{1}{5}\right) = \)

\( -1\frac{5}{11} \cdot \left(-1\frac{2}{20}\right) = \)

f) Podziel:

\( 2\frac{2}{3} : \frac{4}{15} = \)

\( -1\frac{5}{11} : \left(-\frac{20}{22}\right) = \)

\( 1\frac{2}{5} : 2\frac{1}{10} = \)

\( 2\frac{1}{7} : \left(-1\frac{4}{21}\right) = \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Część 1: Liczby dziesiętne

\( 3{,}2 \cdot 7 = 22{,}4 \)
\( 6 \cdot (-2{,}4) = -14{,}4 \)
\( 1{,}2 \cdot 2{,}3 = 2{,}76 \)
\( -2{,}03 \cdot 3{,}1 = -6{,}293 \)
\( 3{,}2 : 4 = 0{,}8 \)
\( 6{,}3 : (-0{,}9) = 63 : (-9) = -7 \)
\( 1{,}2 : 2{,}4 = 12 : 24 = 0{,}5 \)
\( -0{,}66 : 3{,}3 = -6{,}6 : 33 = -0{,}2 \)

Część 2: Ułamki zwykłe

\( \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{14}{33} \)
\( -\frac{5}{7} \cdot (-\frac{4}{9}) = \frac{20}{63} \)
\( \frac{32}{55} \cdot \frac{5}{8} = \frac{4}{11} \cdot \frac{1}{1} = \frac{4}{11} \) (skracanie skrzyżne 32 z 8 oraz 55 z 5).
\( \frac{7}{36} \cdot \frac{12}{49} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21} \).
\( \frac{2}{7} : \frac{6}{7} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
\( -\frac{5}{12} : (-\frac{5}{16}) = \frac{5}{12} \cdot \frac{16}{5} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \).
\( \frac{32}{45} : \frac{24}{25} = \frac{32}{45} \cdot \frac{25}{24} = \frac{20}{27} \).
\( -\frac{35}{36} : \frac{21}{8} = -\frac{35}{36} \cdot \frac{8}{21} = -\frac{10}{27} \).

Część 3: Liczby mieszane

\( 2\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{32} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{32} = \frac{3}{4} \).
\( 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{1}{14} = \frac{7}{5} \cdot \frac{15}{14} = 1\frac{1}{2} \).
\( 2\frac{1}{7} \cdot (-4\frac{1}{5}) = \frac{15}{7} \cdot (-\frac{21}{5}) = -9 \).
\( -1\frac{5}{11} \cdot (-1\frac{2}{20}) = -\frac{16}{11} \cdot (-\frac{22}{20}) = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} \).
\( 2\frac{2}{3} : \frac{4}{15} = \frac{8}{3} \cdot \frac{15}{4} = 10 \).
\( -1\frac{5}{11} : (-\frac{20}{22}) = -\frac{16}{11} \cdot (-\frac{22}{20}) = 1\frac{3}{5} \).
\( 1\frac{2}{5} : 2\frac{1}{10} = \frac{7}{5} \cdot \frac{10}{21} = \frac{2}{3} \).
\( 2\frac{1}{7} : (-1\frac{4}{21}) = \frac{15}{7} \cdot (-\frac{21}{25}) = -1\frac{4}{5} \).

Zadanie 8

Instrukcja Zadania 8:
Ponumeruj podane liczby w każdym podpunkcie (a, b, c) od największej do najmniejszej.
Wpisz w puste kwadraty rangi:
• 1 – dla liczby o największej wartości,
• 2 – dla liczby o średniej wartości,
• 3 – dla liczby o najmniejszej wartości.
Na koniec kliknij „Sprawdź”.

a) Porównaj sumy ułamków:

\( a = 9 + \frac{23}{24} \)

\( b = 9 + \frac{37}{38} \)

\( c = 9 + \frac{19}{20} \)

b) Porównaj potęgi ułamka:

\( a = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \)

\( b = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \)

\( c = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \)

c) Porównaj różnice z pierwiastkiem:

\( a = \sqrt{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \)

\( b = \sqrt{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \)

\( c = \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) - Porównywanie sum ułamków przez dopełnienie:

Wszystkie trzy liczby składają się z całości \( 9 \) oraz ułamka właściwego. Aby je porównać, badamy, ile brakuje każdemu ułamkowi do pełnej jedności (całości):

Dla \( a \): \( \frac{23}{24} = 1 - \frac{1}{24} \)
Dla \( b \): \( \frac{37}{38} = 1 - \frac{1}{38} \)
Dla \( c \): \( \frac{19}{20} = 1 - \frac{1}{20} \)

Im mniejszy ułamek odejmujemy od jedności, tym większa jest wartość końcowa ułamka. Porównujemy części brakujące:
\( \frac{1}{38} < \frac{1}{24} < \frac{1}{20} \), zatem zachodzi relacja:
\( \frac{37}{38} > \frac{23}{24} > \frac{19}{20} \implies b > a > c \).
Rangi (od największej): b = 1, a = 2, c = 3.

Podpunkt b) - Potęgi ułamka mniejszego od 1:

Jeżeli podstawa potęgi leży w przedziale \( (0, 1) \), to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi maleje:
\( a = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \approx 0{,}44 \)
\( b = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0{,}30 \)
\( c = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0{,}20 \)
Otrzymujemy relację: \( a > b > c \).
Rangi (od największej): a = 1, b = 2, c = 3.

Podpunkt c) - Porównanie różnic:

Najpierw upraszczamy iloczyny ułamków odejmowane od \( \sqrt{2} \):

Dla \( a \): \( \frac{32}{55} \cdot \frac{5}{8} \) nie występuje w tym podpunkcie bezpośrednio, liczymy: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \)
Dla \( b \): \( \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \)
Dla \( c \): \( \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \)

Wartości odejmowane to odpowiednio: \( 0{,}5 \), \( 0{,}6 \) oraz \( \frac{1}{3} \).
Im mniejszą liczbę odejmujemy od stałej wartości (\( \sqrt{2} \)), tym większy wynik otrzymamy. Ponieważ \( \frac{1}{3} < 0{,}5 < 0{,}6 \), zachodzi:
\( \left(\sqrt{2} - \frac{1}{3}\right) > \left(\sqrt{2} - 0{,}5\right) > \left(\sqrt{2} - 0{,}6\right) \implies c > a > b \).
Rangi (od największej): c = 1, a = 2, b = 3.

Zadanie 9

Instrukcja Zadania 9:
Przeanalizuj poniższy wzór rozwiązania, a następnie samodzielnie oblicz wartości dla kolejnych podpunktów (b, c, d).
Wpisz wyniki w puste pola:
• Ułamki zwykłe wpisuj za pomocą ukośnika, np. 1/3 (zapisz w postaci nieskracalnej).
• Ułamki dziesiętne możesz wpisywać z użyciem przecinka lub kropki, np. 1,7 lub 1.02.
Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wzór – Jak krok po kroku rozwiązać podpunkt a):

Wyrażenie do obliczenia: \[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \]

Kolejność działań: Zgodnie z zasadami matematyki, mnożenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem. Pierwszym krokiem jest obliczenie iloczynu: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} \] Mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik: \[ \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15} \]
Zapisanie wyrażenia po pomnożeniu: Nasze wyrażenie przyjmuje teraz postać: \[ \frac{2}{3} + \frac{4}{15} - \frac{3}{5} \]
Sprowadzanie do wspólnego mianownika: Aby wykonać dodawanie i odejmowanie tych ułamków, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Najmniejszą wspólną wielokrotnością dla liczb \( 3 \), \( 15 \) i \( 5 \) jest \( 15 \).
Rozszerzamy odpowiednie ułamki: \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \] \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} \] Ułamek \( \frac{4}{15} \) ma już odpowiedni mianownik, więc pozostaje bez zmian.
Wykonanie dodawania i odejmowania: Zapisujemy całe działanie na wspólnej kresce ułamkowej i obliczamy od lewej do prawej: \[ \frac{10}{15} + \frac{4}{15} - \frac{9}{15} = \frac{10 + 4 - 9}{15} = \frac{5}{15} \]
Skracanie wyniku do postaci nieskracalnej: Otrzymaną liczbę \( \frac{5}{15} \) upraszczamy, dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, czyli \( 5 \): \[ \frac{5 : 5}{15 : 5} = \frac{1}{3} \] Wynik podpunktu a) to: \( \frac{1}{3} \) (wpisz ten wynik w okienku poniżej).

a) Wpisz wynik z powyższego wzoru:

\( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \)

b) Oblicz wartość wyrażenia (samodzielnie):

\( 2{,}9 - 0{,}9 \cdot 4 : 3 = \)

c) Oblicz wartość wyrażenia (samodzielnie):

\( \frac{2{,}3 + 0{,}7}{0{,}7} \cdot \frac{14}{15} = \)

d) Oblicz wartość wyrażenia (samodzielnie):

\( \left(\frac{4}{15} + 1{,}15\right) : 1\frac{7}{18} = \)

Rozwiązanie krok po kroku dla pozostałych zadań:

Podpunkt b):

Wyrażenie: \( 2{,}9 - 0{,}9 \cdot 4 : 3 \).

Wykonujemy najpierw mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), a na końcu odejmowanie.
Krok 1 (mnożenie): \( 0{,}9 \cdot 4 = 3{,}6 \)
Krok 2 (dzielenie): \( 3{,}6 : 3 = 1{,}2 \)
Krok 3 (odejmowanie): \( 2{,}9 - 1{,}2 = 1{,}7 \)

Wynik: \( 1{,}7 \).

Podpunkt c):

Wyrażenie: \( \frac{2{,}3 + 0{,}7}{0{,}7} \cdot \frac{14}{15} \).

Krok 1 (dodawanie w liczniku): \( 2{,}3 + 0{,}7 = 3 \)
Krok 2 (uproszczenie ułamka piętrowego): zamieniamy \( 0{,}7 \) na \( \frac{7}{10} \), otrzymując \( 3 : \frac{7}{10} = 3 \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{7} \)
Krok 3 (mnożenie przez drugi ułamek ze skracaniem po skosie):
\( \frac{30}{7} \cdot \frac{14}{15} = \frac{30}{15} \cdot \frac{14}{7} = 2 \cdot 2 = 4 \)

Wynik: \( 4 \).

Podpunkt d):

Wyrażenie: \( \left(\frac{4}{15} + 1{,}15\right) : 1\frac{7}{18} \).

Krok 1 (nawias): zamieniamy \( 1{,}15 \) na ułamek zwykły \( 1\frac{3}{20} = \frac{23}{20} \) i sprowadzamy do wspólnego mianownika \( 60 \):
\( \frac{16}{60} + \frac{69}{60} = \frac{85}{60} = \frac{17}{12} \)
Krok 2 (zamiana dzielnika): liczbę mieszaną \( 1\frac{7}{18} \) zamieniamy na ułamek niewłaściwy: \( \frac{25}{18} \)
Krok 3 (dzielenie): mnożymy ułamek z nawiasu przez odwrotność dzielnika, skracając przy tym po skosie mianownik \( 12 \) i licznik \( 18 \) przez \( 6 \):
\( \frac{17}{12} \cdot \frac{18}{25} = \frac{17}{2} \cdot \frac{3}{25} = \frac{51}{50} = 1{,}02 \)

Wynik: \( 1{,}02 \).

Zadanie 10

Instrukcja Zadania 10:
Przeanalizuj poniższy zapis pisemny dla przykładu f), przygotowany dokładnie tak, jak zapisuje się go w zeszycie przedmiotowym.
Następnie wykonaj samodzielnie pozostałe działania (a, b, c, d, e) i wpisz uzyskane wyniki w odpowiednie pola.
Wyniki możesz wpisywać z użyciem przecinka lub kropki (np. 1,7 lub 1.7). Kliknij „Sprawdź”, aby zweryfikować swoje odpowiedzi.

Wzór – Jak prawidłowo zapisać dzielenie pisemne w zeszycie na przykładzie f):

Działanie pierwotne: \( 40{,}74 : 0{,}7 \)

Zasada: Zanim zaczniemy dzielić pisemnie, musimy przekształcić dzielnik w liczbę całkowitą. Przesuwamy przecinek w obu liczbach o 1 miejsce w prawo.
Otrzymujemy nowe działanie: \( 407{,}4 : 7 \). Zapisujemy je w kratkach następująco:

	5	8	,	2
	4	0	7	,	4	:	7
-	3	5
		5	7
	-	5	6
			1		4
		-	1		4
					0

Wynik podpunktu f) to: 58,2 (możesz wpisać go w ostatnim polu, aby upewnić się o poprawności zapisu).

a) Oblicz sumę (pisemnie):

\( 52{,}097 + 7{,}32 = \)

b) Oblicz różnicę (pisemnie):

\( 7{,}05 - 0{,}937 = \)

c) Oblicz sumę trzech liczb (pisemnie):

\( 205{,}8 + 0{,}042 + 23{,}109 = \)

d) Oblicz iloczyn (pisemnie):

\( 4{,}26 \cdot 1{,}2 = \)

e) Oblicz iloczyn (pisemnie):

\( 0{,}302 \cdot 72{,}5 = \)

f) Wpisz wynik z powyższego wzoru:

\( 40{,}74 : 0{,}7 = \)

Rozwiązanie krok po kroku pozostałych podpunktów:

Podpunkt a): \( 52{,}097 + 7{,}32 \)

Dodawanie pisemne ułamków dziesiętnych:

Wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku, dopisując zero pomocnicze: \( 7{,}32 \implies 7{,}320 \).
Podpisujemy liczby tak, by przecinek stał bezpośrednio pod przecinkiem.
Dodajemy cyfry w kolumnach od prawej do lewej:
\( 7 + 0 = 7 \) (części tysięczne),
\( 9 + 2 = 11 \) (zapisujemy 1, przenosimy 1 dalej),
\( 0 + 3 + 1 \text{ (z przeniesienia)} = 4 \),
\( 2 + 7 = 9 \) (jedności),
\( 5 + 0 = 5 \) (dziesiątki).
Wstawiamy przecinek w tym samym miejscu. Otrzymujemy wynik: 59,417.

Podpunkt b): \( 7{,}05 - 0{,}937 \)

Odejmowanie pisemne ułamków dziesiętnych:

Dopisujemy zero pomocnicze do odjemnej, co daje: \( 7{,}050 - 0{,}937 \).
Wyrównujemy przecinki w pionie i odejmujemy kolumnami.
Ponieważ nie możemy odjąć \( 7 \) od \( 0 \), pożyczamy dziesiątkę od sąsiedniej cyfry \( 5 \) (która zmienia się w \( 4 \)): \( 10 - 7 = 3 \).
Dalej: \( 4 - 3 = 1 \). Kolejno pożyczamy z części całkowitej, otrzymując \( 10 - 9 = 1 \) oraz \( 6 - 0 = 6 \).
Wynik: 6,113.

Podpunkt c): \( 205{,}8 + 0{,}042 + 23{,}109 \)

Dodawanie pisemne trzech składników:

Podpisujemy ułamki tak, aby przecinki znalazły się w jednej kolumnie.
Wyrównujemy wolne miejsca zerami pomocniczymi: \[ 205{,}800 + 0{,}042 + 23{,}109 \]
Sumujemy kolumnami od prawej:
\( 0 + 2 + 9 = 11 \) (zapisujemy 1, przenosimy 1),
\( 0 + 4 + 0 + 1 \text{ (z przeniesienia)} = 5 \),
\( 8 + 0 + 1 = 9 \),
\( 5 + 0 + 3 = 8 \) (jedności),
\( 0 + 0 + 2 = 2 \),
\( 2 + 0 + 0 = 2 \).
Przenosimy przecinek bezpośrednio w dół. Otrzymany wynik: 228,951.

Podpunkt d): \( 4{,}26 \cdot 1{,}2 \)

Mnożenie pisemne ułamków dziesiętnych:

Mnożymy pisemnie bez uwzględniania przecinków (tak jak liczby naturalne): \( 426 \cdot 12 \).
\( 426 \cdot 2 = 852 \) oraz \( 426 \cdot 10 = 4260 \). Suma tych iloczynów wynosi \( 5112 \).
Liczymy łączną liczbę miejsc po przecinku w obu czynnikach: \( 4{,}26 \) ma dwa miejsca, \( 1{,}2 \) ma jedno miejsce (razem 3 miejsca po przecinku).
Wstawiamy przecinek w wyniku końcowym, odliczając 3 miejsca od prawej strony: 5,112.

Podpunkt e): \( 0{,}302 \cdot 72{,}5 \)

Mnożenie pisemne:

Mnożymy wartości: \( 302 \cdot 725 \). Otrzymujemy pośredni wynik bez przecinka: \( 218950 \).
Suma miejsc po przecinku w obu czynnikach wynosi \( 3 + 1 = 4 \) miejsca.
Odsuwamy przecinek o 4 miejsca od prawej strony: \( 21{,}8950 \).
Końcowe zero po przecinku pomijamy, zapisując wynik: 21,895.

Zadanie 11

Instrukcja Zadania 11:
Nie wykonując dokładnych obliczeń, oszacuj wartości podanych wyrażeń (a, b, c, d, e).
Następnie uporządkuj je w kolejności od najmniejszej do największej wartości.
Wpisz w puste kwadraty rangi od 1 do 5:
• 1 – dla wyrażenia o najmniejszej wartości,
• 2, 3, 4 – dla wyrażeń o pośrednich wartościach,
• 5 – dla wyrażenia o największej wartości.
Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wzór – Jak oszacować wartość wyrażenia d) w zeszycie szkolnym:

Wyrażenie: \( d = 59{,}83 : 2{,}98 \)

Metoda: Zaokrąglamy ułamki dziesiętne do najbliższych liczb całkowitych, które łatwo podzielić w pamięci.
Liczba \( 59{,}83 \) leży bardzo blisko \( 60 \), a liczba \( 2{,}98 \) leży bardzo blisko \( 3 \). Działanie zapisujemy w zeszycie w następujący sposób:

5	9	,	8	3	≈	6	0
2	,	9	8	≈	3
d	≈	6	0	:	3	=	2	0

Oszacowana wartość wyrażenia \( d \) wynosi około 20. Użyj tej informacji przy ustalaniu kolejności!

Uporządkuj wyrażenia od najmniejszego (1) do największego (5):

\( a = 23{,}74 + 0{,}908 \)

\( b = 5{,}1^2 \)

\( c = 30{,}42 - 7{,}57 \)

\( d = 59{,}83 : 2{,}98 \)

\( e = 6{,}83 \cdot 4{,}07 \)

Szacowanie i porównanie wartości krok po kroku:

Aby uszeregować wyrażenia bez wykonywania dokładnych kalkulacji, dokonajmy przybliżeń (zaokrągleń) dla każdego podpunktu:

Dla \( a \): \( 23{,}74 + 0{,}908 \approx 23{,}7 + 0{,}9 = 24{,}6 \).
Wartość jest nieco mniejsza niż \( 25 \) (dokładny wynik to \( 24{,}648 \)).
Dla \( b \): \( 5{,}1^2 \approx 5^2 = 25 \).
Ponieważ podstawa \( 5{,}1 \) jest nieco większa od \( 5 \), cała potęga będzie nieznacznie większa od \( 25 \) (dokładny wynik to \( 26{,}01 \)).
Dla \( c \): \( 30{,}42 - 7{,}57 \approx 30{,}4 - 7{,}6 = 22{,}8 \).
(Dokładny wynik to \( 22{,}85 \)).
Dla \( d \): \( 59{,}83 : 2{,}98 \approx 60 : 3 = 20 \).
(Dokładny wynik to około \( 20{,}08 \)).
Dla \( e \): \( 6{,}83 \cdot 4{,}07 \approx 7 \cdot 4 = 28 \).
(Dokładny wynik to około \( 27{,}80 \)).

Zestawienie i uszeregowanie przybliżonych wartości:

Porównujemy nasze oszacowania: \[ 20 < 22{,}8 < 24{,}6 < 25 < 28 \] Zastępując wartości odpowiednimi literami, otrzymujemy relację: \[ d < c < a < b < e \] Rangi (od najmniejszej):
• d = 1 (najmniejsza)
• c = 2
• a = 3
• b = 4
• e = 5 (największa)

Zadanie 12

Instrukcja Zadania 12:
Odpowiedz na poniższe pytania, szacując wyniki (nie wykonuj dokładnych obliczeń).
Podpunkt a) został już rozwiązany i rozpisany jako wzór.
W podpunkcie b) kliknij na właściwy przycisk (TAK lub NIE).
W podpunkcie c) wpisz odpowiednią liczbę w pole tekstowe. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wzór – Jak zapisać szacowanie i odpowiedź do podpunktu a) w zeszycie:

Zadanie a): Na pewien wagon towarowy można załadować co najwyżej \( 39{,}5\text{ t} \) ładunku. Czy można nim przewieźć trzy skrzynie o masach \( 13\,190\text{ kg} \), \( 26\,120\text{ kg} \) i \( 460\text{ kg} \)?

Sposób zapisu: Najpierw zamieniamy kilogramy na tony (\( 1\text{ t} = 1000\text{ kg} \)), a następnie zaokrąglamy ułamki do części dziesiętnych i sumujemy:

1	3	1	9	0	k	g	=	1	3	,	1	9	t	≈	1	3	,	2	t
2	6	1	2	0	k	g	=	2	6	,	1	2	t	≈	2	6	,	1	t
		4	6	0	k	g	=	0	,	4	6	t		≈	0	,	5	t
S	u	m	a	:	1	3	,	2	+	2	6	,	1	+	0	,	5	=
=	3	9	,	8	t
3	9	,	8	t	>	3	9	,	5	t	(	l	i	m	i	t	)
O	d	p	:	N	I	E	.

a) Wagon towarowy (maks. \( 39{,}5\text{ t} \)). Skrzynie: \( 13\,190\text{ kg} \), \( 26\,120\text{ kg} \), \( 460\text{ kg} \).

Czy można przewieźć te trzy skrzynie na wagonie? (Podpunkt przykładowy)

b) Barka (maks. \( 364\text{ t} \)). Towar: \( 20 \) kontenerów, każdy po \( 19\,870\text{ kg} \).

Czy można przewieźć te kontenery małą barką?

c) Transport żwiru: \( 389\,200\text{ kg} \) żwiru, wywrotki o nośności \( 20\text{ t} \).

Ile wywrotek potrzeba do przewiezienia całego żwiru?

Rozwiązanie krok po kroku dla pozostałych podpunktów:

Podpunkt b):

Szacowanie masy ładunku:

Masa jednego kontenera wynosi \( 19\,870\text{ kg} \), co po zamianie na tony daje \( 19{,}87\text{ t} \).
Wartość \( 19{,}87\text{ t} \) leży bardzo blisko \( 20\text{ t} \).
Szacujemy łączną masę \( 20 \) takich kontenerów: \[ 20 \cdot 20\text{ t} = 400\text{ t} \]
Porównujemy oszacowaną masę z nośnością małej barki (\( 364\text{ t} \)): \[ 400\text{ t} > 364\text{ t} \]
Ładunek jest zdecydowanie za ciężki, by barka mogła go bezpiecznie przewieźć (dokładna masa kontenerów wynosi \( 397{,}4\text{ t} \)).

Odpowiedź: NIE.

Podpunkt c):

Szacowanie liczby wywrotek:

Masa całego żwiru to \( 389\,200\text{ kg} \), co po zamianie na tony wynosi \( 389{,}2\text{ t} \).
Wartość \( 389{,}2\text{ t} \) leży bardzo blisko \( 390\text{ t} \) (lub zaokrąglając w górę dla bezpieczeństwa: \( 400\text{ t} \)).
Każda wywrotka może przewieźć maksymalnie \( 20\text{ t} \). Dzielimy masę żwiru przez nośność pojazdu: \[ 389{,}2\text{ t} : 20\text{ t} = 19{,}46 \]
Ponieważ liczba wywrotek musi być liczbą całkowitą, musimy zaokrąglić ten wynik w górę do pełnych jednostek: \[ 19{,}46 \implies 20 \]
Gdybyśmy użyli tylko \( 19 \) wywrotek, przewiozłyby one maksymalnie \( 19 \cdot 20\text{ t} = 380\text{ t} \) żwiru, co oznacza, że na placu pozostałoby jeszcze \( 9{,}2\text{ t} \) ładunku. Dlatego niezbędne jest użycie dwudziestego pojazdu.

Odpowiedź: 20 wywrotek.

Zadanie 13

Instrukcja Zadania 13:
Oblicz wartości poniższych działań (postaraj się liczyć w pamięci).
Zapisuj wyniki w najprostszej postaci (skróconej, jako liczby mieszane lub całości).
Liczby mieszane wpisuj ze spacją, np. 4 3/4 lub 12 1/6.
Podpunkt b) przykład 5 został rozwiązany i przedstawiony w kratkach poniżej jako wzór.

Wzór – Rozmienianie całości przy odejmowaniu ułamków w zeszycie:

Działanie: \( 7\frac{3}{8} - 2\frac{5}{8} \)

Metoda: Ponieważ licznik odjemnej (\(3\)) jest mniejszy niż licznik odjemnika (\(5\)), musimy rozmienić jedną całość z liczby \(7\) na ułamek \( \frac{8}{8} \) i dodać go do licznika: \[ 7\frac{3}{8} = 6 + \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = 6\frac{11}{8} \] Dzięki temu możemy odjąć ułamki bez zapożyczania:

Wynik tego przykładu to: 4 3/4 (wpisz go w odpowiednim polu w sekcji b, aby rozpocząć).

a) Dodawanie ułamków i liczb mieszanych:

\( \frac{5}{8} + \frac{7}{8} = \)

\( 3\frac{2}{9} + \frac{8}{9} = \)

\( 6\frac{6}{11} + 5\frac{5}{11} = \)

\( 1\frac{7}{12} + 10\frac{7}{12} = \)

\( 20\frac{6}{7} + 1\frac{5}{7} = \)

b) Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych:

\( 5 - \frac{3}{7} = \)

\( 2 - \frac{5}{11} = \)

\( 8\frac{7}{9} - 2\frac{2}{9} = \)

\( 4\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = \)

\( 7\frac{3}{8} - 2\frac{5}{8} = \)

c) Mnożenie ułamków i liczb całkowitych:

\( 6 \cdot \frac{3}{5} = \)

\( \frac{2}{7} \cdot 4 = \)

\( \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{3} = \)

\( -\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{8} = \)

\( \left(-\frac{9}{11}\right) \cdot \left(-\frac{4}{7}\right) = \)

d) Dzielenie ułamków i liczb całkowitych:

\( 4 : \frac{5}{7} = \)

\( \frac{3}{11} : 2 = \)

\( \frac{1}{7} : \frac{1}{4} = \)

\( -\frac{5}{8} : \frac{1}{3} = \)

\( \left(-\frac{2}{5}\right) : \left(-\frac{1}{5}\right) = \)

Klucz odpowiedzi i wskazówki obliczeniowe:

Podpunkt a) - Dodawanie:

1. \( \frac{5}{8} + \frac{7}{8} = \frac{12}{8} = 1\frac{4}{8} = 1\frac{1}{2} \)
2. \( 3\frac{2}{9} + \frac{8}{9} = 3\frac{10}{9} = 4\frac{1}{9} \)
3. \( 6\frac{6}{11} + 5\frac{5}{11} = 11\frac{11}{11} = 12 \)
4. \( 1\frac{7}{12} + 10\frac{7}{12} = 11\frac{14}{12} = 12\frac{2}{12} = 12\frac{1}{6} \)
5. \( 20\frac{6}{7} + 1\frac{5}{7} = 21\frac{11}{7} = 22\frac{4}{7} \)

Podpunkt b) - Odejmowanie:

Wskazówka: Przy odejmowaniu od liczby całkowitej (np. zadania 1, 2) rozmienia się jedną całość na ułamek, np. \( 5 = 4\frac{7}{7} \).

1. \( 5 - \frac{3}{7} = 4\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 4\frac{4}{7} \)
2. \( 2 - \frac{5}{11} = 1\frac{11}{11} - \frac{5}{11} = 1\frac{6}{11} \)
3. \( 8\frac{7}{9} - 2\frac{2}{9} = 6\frac{5}{9} \)
4. \( 4\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = 3\frac{7}{5} - \frac{3}{5} = 3\frac{4}{5} \) (rozmienienie całości)
5. \( 7\frac{3}{8} - 2\frac{5}{8} = 4\frac{3}{4} \) (szczegółowy opis we wzorze powyżej)

Podpunkt c) - Mnożenie:

Wskazówka: Przy mnożeniu liczby całkowitej przez ułamek mnożymy tylko licznik. Przy mnożeniu ułamka przez ułamek mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Mnożenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni.

1. \( 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} \)
2. \( \frac{2}{7} \cdot 4 = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \)
3. \( \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{21} \)
4. \( -\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{15}{32} \)
5. \( \left(-\frac{9}{11}\right) \cdot \left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{36}{77} \)

Podpunkt d) - Dzielenie:

Wskazówka: Dzielenie przez liczbę zastępujemy mnożeniem przez jej odwrotność.

1. \( 4 : \frac{5}{7} = 4 \cdot \frac{7}{5} = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} \)
2. \( \frac{3}{11} : 2 = \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{22} \)
3. \( \frac{1}{7} : \frac{1}{4} = \frac{1}{7} \cdot 4 = \frac{4}{7} \)
4. \( -\frac{5}{8} : \frac{1}{3} = -\frac{5}{8} \cdot 3 = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} \)
5. \( \left(-\frac{2}{5}\right) : \left(-\frac{1}{5}\right) = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot (-5) = \frac{10}{5} = 2 \)

Zadanie 14

Instrukcja Zadania 14:
Oblicz wartości poniższych działań na ułamkach dziesiętnych (postaraj się liczyć w pamięci).
Pamiętaj o zasadach dotyczących znaków przy działaniach na liczbach ujemnych.
Podpunkt a) przykład 4 został rozwiązany i przedstawiony w kratkach poniżej jako wzór.

Wzór – Odejmowanie, w którym odjemna jest mniejsza od odjemnika:

Działanie: \( 3{,}4 - 5{,}6 \)

Metoda: Ponieważ od mniejszej liczby (\(3{,}4\)) odejmujemy liczbę większą (\(5{,}6\)), wynik końcowy będzie na pewno ujemny.
W pamięci lub na boku obliczamy różnicę ich wartości bezwzględnych (czyli od większej odejmujemy mniejszą): \[ 5{,}6 - 3{,}4 = 2{,}2 \] Na koniec dopisujemy znak minus przed wynikiem:

3	,	4	<	5	,	6	→	w	y	n	i	k	-
5	,	6	-	3	,	4	=	2	,	2
z	a	t	e	m	:	-	2	,	2

Wynik tego przykładu to: -2,2 (wpisz go w odpowiednim polu w sekcji a, aby zacząć).

a) Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych:

\( 1{,}3 + 0{,}9 = \)

\( 4{,}15 + 2{,}07 = \)

\( 1{,}2 - 0{,}5 = \)

\( 3{,}4 - 5{,}6 = \)

\( -6{,}7 - 2{,}8 = \)

b) Mnożenie ułamków dziesiętnych:

\( 2 \cdot 0{,}6 = \)

\( 0{,}15 \cdot 4 = \)

\( -0{,}23 \cdot 10 = \)

\( -0{,}6 \cdot (-0{,}2) = \)

\( -3{,}7 \cdot 0{,}01 = \)

c) Dzielenie ułamków dziesiętnych:

\( 0{,}6 : 2 = \)

\( 1{,}2 : 3 = \)

\( 52{,}4 : 100 = \)

\( 20 : 0{,}2 = \)

\( 3{,}2 : 32 = \)

Klucz odpowiedzi i wskazówki:

Podpunkt a) - Dodawanie i odejmowanie:

1. \( 1{,}3 + 0{,}9 = 2{,}2 \)
2. \( 4{,}15 + 2{,}07 = 6{,}22 \)
3. \( 1{,}2 - 0{,}5 = 0{,}7 \)
4. \( 3{,}4 - 5{,}6 = -2{,}2 \) (szczegółowy opis we wzorze powyżej)
5. \( -6{,}7 - 2{,}8 = -(6{,}7 + 2{,}8) = -9{,}5 \) (dodawanie dwóch liczb ujemnych)

Podpunkt b) - Mnożenie:

Wskazówka: Pomnóż liczby ignorując przecinki, a następnie wstaw przecinek w wyniku, odliczając od prawej strony tyle miejsc, ile wynosi suma miejsc po przecinku w obu czynnikach.

1. \( 2 \cdot 0{,}6 = 1{,}2 \) (ponieważ \( 2 \cdot 6 = 12 \), jedno miejsce po przecinku)
2. \( 0{,}15 \cdot 4 = 0{,}6 \) (ponieważ \( 15 \cdot 4 = 60 \), dwa miejsca po przecinku: \( 0{,}60 \))
3. \( -0{,}23 \cdot 10 = -2{,}3 \) (mnożenie przez 10 przesuwa przecinek o 1 miejsce w prawo)
4. \( -0{,}6 \cdot (-0{,}2) = 0{,}12 \) (mnożenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni; \( 6 \cdot 2 = 12 \), dwa miejsca po przecinku)
5. \( -3{,}7 \cdot 0{,}01 = -0{,}037 \) (mnożenie przez 0,01 przesuwa przecinek o 2 miejsca w lewo)

Podpunkt c) - Dzielenie:

Wskazówka: Dzieląc przez liczbę dziesiętną (np. zadanie 4), pomnóż dzielną i dzielnik przez 10, 100 itd., aby dzielnik stał się liczbą całkowitą. Dzieląc przez 100 (zadanie 3), przesuń przecinek o 2 miejsca w lewo.

1. \( 0{,}6 : 2 = 0{,}3 \)
2. \( 1{,}2 : 3 = 0{,}4 \)
3. \( 52{,}4 : 100 = 0{,}524 \) (przesunięcie przecinka o dwa miejsca w lewo)
4. \( 20 : 0{,}2 = 200 : 2 = 100 \) (przesuwamy przecinek o 1 miejsce w prawo w obu liczbach)
5. \( 3{,}2 : 32 = 0{,}1 \) (dzielimy \(3{,}2\) na 32 równe części)

Zadanie 15

Instrukcja Zadania 15:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń arytmetycznych. Pamiętaj o zachowaniu prawidłowej kolejności wykonywania działań (najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie).
Podpunkt f) został rozwiązany i przedstawiony w kratkach poniżej jako wzór.

Wzór – Kolejność działań w rozbudowanym wyrażeniu na przykładzie f):

Wyrażenie: \( (-3 \cdot (-4) - 5) \cdot (-8 - 2 \cdot (-6)) \)

Sposób postępowania:
1. Obliczamy wartość pierwszego nawiasu: \( -3 \cdot (-4) - 5 = 12 - 5 = 7 \).
2. Obliczamy wartość drugiego nawiasu: \( -8 - 2 \cdot (-6) = -8 - (-12) = -8 + 12 = 4 \).
3. Mnożymy uzyskane wyniki nawiasów przez siebie: \( 7 \cdot 4 = 28 \).

I	:	-	3	·	(	-	4	)	-	5	=	1	2	-	5	=	7
I	I	:	-	8	-	2	·	(	-	6	)	=	-	8	+	1	2	=	4
I	l	o	c	z	y	n	:	7	·	4	=	2	8

Wynik tego przykładu to: 28 (wpisz go w polu podpunktu f, aby przećwiczyć wprowadzanie).

Oblicz wartości wyrażeń (pamiętaj o właściwej kolejności działań):

a) \( 3 + 2 \cdot (-7) = \)

e) \( (-12 + 2) : (-2 - 3) = \)

b) \( 17 - 7 \cdot 5 = \)

f) \( (-3 \cdot (-4) - 5) \cdot (-8 - 2 \cdot (-6)) = \)

c) \( 4 - (4 + 6) \cdot 2 = \)

g) \( 6 + 15 : 3 - 12 + 6 \cdot 9 = \)

d) \( 1 - 8 : (-3 + 5) = \)

h) \( -7 + 4 \cdot (10 + 5) - (-3 - (-2)) = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) \( 3 + 2 \cdot (-7) = -11 \)
Kolejność: Najpierw mnożenie: \( 2 \cdot (-7) = -14 \). Następnie dodawanie: \( 3 + (-14) = 3 - 14 = -11 \).
b) \( 17 - 7 \cdot 5 = -18 \)
Kolejność: Najpierw mnożenie: \( 7 \cdot 5 = 35 \). Następnie odejmowanie: \( 17 - 35 = -18 \).
c) \( 4 - (4 + 6) \cdot 2 = -16 \)
Kolejność: Najpierw nawias: \( 4 + 6 = 10 \). Następnie mnożenie: \( 10 \cdot 2 = 20 \). Na końcu odejmowanie: \( 4 - 20 = -16 \).
d) \( 1 - 8 : (-3 + 5) = -3 \)
Kolejność: Najpierw nawias: \( -3 + 5 = 2 \). Następnie dzielenie: \( 8 : 2 = 4 \). Na końcu odejmowanie: \( 1 - 4 = -3 \).
e) \( (-12 + 2) : (-2 - 3) = 2 \)
Kolejność: Obliczamy wartości w obu nawiasach: pierwszy nawias to \( -12 + 2 = -10 \), drugi nawias to \( -2 - 3 = -5 \). Wykonujemy dzielenie: \( -10 : (-5) = 2 \) (dzielenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni).
f) \( (-3 \cdot (-4) - 5) \cdot (-8 - 2 \cdot (-6)) = 28 \)
Rozwiązanie szczegółowe znajduje się na tablicy wzorcowej pod instrukcją działania.
g) \( 6 + 15 : 3 - 12 + 6 \cdot 9 = 53 \)
Kolejność: Najpierw mnożenie i dzielenie: \( 15 : 3 = 5 \) oraz \( 6 \cdot 9 = 54 \).
Wyrażenie przyjmuje postać: \( 6 + 5 - 12 + 54 \). Dodajemy i odejmujemy od lewej do prawej: \( 6 + 5 = 11 \implies 11 - 12 = -1 \implies -1 + 54 = 53 \).
h) \( -7 + 4 \cdot (10 + 5) - (-3 - (-2)) = 54 \)
Kolejność: Obliczamy nawiasy: \( 10 + 5 = 15 \) oraz \( -3 - (-2) = -3 + 2 = -1 \).
Wyrażenie ma postać: \( -7 + 4 \cdot 15 - (-1) \). Wykonujemy mnożenie: \( 4 \cdot 15 = 60 \).
Na końcu dodajemy i odejmujemy: \( -7 + 60 - (-1) = 53 + 1 = 54 \).

Zadanie 16

Instrukcja Zadania 16:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń arytmetycznych. Pamiętaj o zachowaniu prawidłowej kolejności wykonywania działań (najpierw działania w nawiasach, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie).
Podpunkt f) został rozwiązany i przedstawiony w kratkach poniżej jako wzór.

Wzór – Kolejność działań w rozbudowanym wyrażeniu na przykładzie f):

Wyrażenie: \( (-3 \cdot (-4) - 5) \cdot (-8 - 2 \cdot (-6)) \)

I	:	-	3	·	(	-	4	)	-	5	=	1	2	-	5	=	7
I	I	:	-	8	-	2	·	(	-	6	)	=	-	8	+	1	2	=	4
I	l	o	c	z	y	n	:	7	·	4	=	2	8

Wynik tego przykładu to: 28 (wpisz go w polu podpunktu f, aby przećwiczyć wprowadzanie).

Oblicz wartości wyrażeń (pamiętaj o właściwej kolejności działań):

a) \( 3 + 2 \cdot (-7) = \)

e) \( (-12 + 2) : (-2 - 3) = \)

b) \( 17 - 7 \cdot 5 = \)

f) \( (-3 \cdot (-4) - 5) \cdot (-8 - 2 \cdot (-6)) = \)

c) \( 4 - (4 + 6) \cdot 2 = \)

g) \( 6 + 15 : 3 - 12 + 6 \cdot 9 = \)

d) \( 1 - 8 : (-3 + 5) = \)

h) \( -7 + 4 \cdot (10 + 5) - (-3 - (-2)) = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) \( 3 + 2 \cdot (-7) = -11 \)
Kolejność: Najpierw mnożenie: \( 2 \cdot (-7) = -14 \). Następnie dodawanie: \( 3 + (-14) = 3 - 14 = -11 \).
b) \( 17 - 7 \cdot 5 = -18 \)
Kolejność: Najpierw mnożenie: \( 7 \cdot 5 = 35 \). Następnie odejmowanie: \( 17 - 35 = -18 \).
c) \( 4 - (4 + 6) \cdot 2 = -16 \)
Kolejność: Najpierw nawias: \( 4 + 6 = 10 \). Następnie mnożenie: \( 10 \cdot 2 = 20 \). Na końcu odejmowanie: \( 4 - 20 = -16 \).
d) \( 1 - 8 : (-3 + 5) = -3 \)
Kolejność: Najpierw nawias: \( -3 + 5 = 2 \). Następnie dzielenie: \( 8 : 2 = 4 \). Na końcu odejmowanie: \( 1 - 4 = -3 \).
e) \( (-12 + 2) : (-2 - 3) = 2 \)
Kolejność: Obliczamy wartości w obu nawiasach: pierwszy nawias to \( -12 + 2 = -10 \), drugi nawias to \( -2 - 3 = -5 \). Wykonujemy dzielenie: \( -10 : (-5) = 2 \) (dzielenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni).
f) \( (-3 \cdot (-4) - 5) \cdot (-8 - 2 \cdot (-6)) = 28 \)
Rozwiązanie szczegółowe znajduje się na tablicy wzorcowej pod instrukcją działania.
g) \( 6 + 15 : 3 - 12 + 6 \cdot 9 = 53 \)
Kolejność: Najpierw mnożenie i dzielenie: \( 15 : 3 = 5 \) oraz \( 6 \cdot 9 = 54 \).
Wyrażenie przyjmuje postać: \( 6 + 5 - 12 + 54 \). Dodajemy i odejmujemy od lewej do prawej: \( 6 + 5 = 11 \implies 11 - 12 = -1 \implies -1 + 54 = 53 \).
h) \( -7 + 4 \cdot (10 + 5) - (-3 - (-2)) = 54 \)
Kolejność: Obliczamy nawiasy: \( 10 + 5 = 15 \) oraz \( -3 - (-2) = -3 + 2 = -1 \).
Wyrażenie ma postać: \( -7 + 4 \cdot 15 - (-1) \). Wykonujemy mnożenie: \( 4 \cdot 15 = 60 \).
Na końcu dodajemy i odejmujemy: \( -7 + 60 - (-1) = 53 + 1 = 54 \).

Zadanie 17

Instrukcja Zadania 17:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń arytmetycznych. Każde pole odpowiedzi składa się z trzech okienek:
• Duże okienko po lewej służy do wpisania **całości (c)**,
• Górne małe okienko to **licznik (l)**,
• Dolne małe okienko to **mianownik (m)**.

Zasady wprowadzania wyników:
- Jeśli wynik jest liczbą całkowitą (np. 9), wpisz go w okienko całości (c), a ułamek pozostaw pusty.
- Jeśli wynik jest ułamkiem zwykłym (np. \( \frac{19}{26} \)), pozostaw pole całości puste, a wypełnij tylko licznik (l) i mianownik (m).
- Jeśli wynik jest liczbą mieszaną (np. \( 1\frac{1}{6} \)), możesz wpisać go jako całość i ułamek albo zamienić na ułamek niewłaściwy (np. \( \frac{7}{6} \)). Obie formy są poprawne!

Wzór – Obliczanie wartości wyrażeń ułamkowych:

Przykładowe wyrażenie: \( \frac{12 + 8}{5} + \frac{18 - 6}{4} \)

Sposób postępowania:
1. Obliczamy wartość pierwszego ułamka: \( \frac{12 + 8}{5} = \frac{20}{5} = 4 \).
2. Obliczamy wartość drugiego ułamka: \( \frac{18 - 6}{4} = \frac{12}{4} = 3 \).
3. Dodajemy otrzymane liczby: \( 4 + 3 = 7 \). Wpisujemy 7 w okienko całości (ułamek zostawiamy pusty).

I	:	(	1	2	+	8	)	/	5	=	2	0	/	5	=	4
I	I	:	(	1	8	-	6	)	/	4	=	1	2	/	4	=	3
S	u	m	a	:	4	+	3	=	7

Oblicz wyrażenia:

a) \( \frac{6+15}{3} + \frac{12+6}{9} = \)

b) \( \frac{25+15}{5} + \frac{20+30}{10} = \)

c) \( \frac{6+18}{6} - \frac{24-6}{3} = \)

d) \( \frac{7+35}{7} - \frac{42-14}{21} = \)

e) \( \frac{6+16}{24} - \frac{12+6}{18} = \)

f) \( \frac{13-5}{26} + \frac{12+10}{52} = \)

g) \( \frac{17-8}{34} - \frac{85-4}{17} = \)

h) \( \frac{40+18}{36} - \frac{9-80}{18} = \)

i) \( \frac{18+108}{54} - \frac{10+25}{30} = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) \( \frac{6+15}{3} + \frac{12+6}{9} = 9 \)
Licznik pierwszego: \( 6+15 = 21 \implies \frac{21}{3} = 7 \). Licznik drugiego: \( 12+6 = 18 \implies \frac{18}{9} = 2 \). Wynik: \( 7 + 2 = 9 \).
Zapis: Wpisz 9 w pole całości (ułamek pozostaw pusty).
b) \( \frac{25+15}{5} + \frac{20+30}{10} = 13 \)
\( \frac{40}{5} + \frac{50}{10} = 8 + 5 = 13 \).
Zapis: Wpisz 13 w pole całości.
c) \( \frac{6+18}{6} - \frac{24-6}{3} = -2 \)
\( \frac{24}{6} - \frac{18}{3} = 4 - 6 = -2 \).
Zapis: Wpisz -2 w pole całości.
d) \( \frac{7+35}{7} - \frac{42-14}{21} = 4\frac{2}{3} \) (lub \( \frac{14}{3} \))
\( \frac{42}{7} - \frac{28}{21} = 6 - \frac{4}{3} = 6 - 1\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3} \).
Zapis: Całość = 4, licznik = 2, mianownik = 3 (lub pozostaw całość pustą i wpisz licznik = 14, mianownik = 3).
e) \( \frac{6+16}{24} - \frac{12+6}{18} = -\frac{1}{12} \)
\( \frac{22}{24} - \frac{18}{18} = \frac{11}{12} - 1 = -\frac{1}{12} \).
Zapis: Pozostaw całość pustą (bądź wpisz minus "-"), licznik = -1 (lub 1), mianownik = 12.
f) \( \frac{13-5}{26} + \frac{12+10}{52} = \frac{19}{26} \)
\( \frac{8}{26} + \frac{22}{52} = \frac{8}{26} + \frac{11}{26} = \frac{19}{26} \).
Zapis: Licznik = 19, mianownik = 26.
g) \( \frac{17-8}{34} - \frac{85-4}{17} \)
• Jeśli w podręczniku odczytujesz liczbę całkowitą (85 - 4):
\( \frac{9}{34} - \frac{81}{17} = \frac{9}{34} - \frac{162}{34} = -\frac{153}{34} = -4\frac{1}{2} \) (ułamek niewłaściwy: \( -\frac{9}{2} \)).
• Jeśli odczytujesz ułamek dziesiętny (8,5 - 4):
\( \frac{9}{34} - \frac{4,5}{17} = \frac{9}{34} - \frac{9}{34} = 0 \).
Oba odczyty i ich poprawne zapisy w okienkach są w pełni akceptowane!
h) \( \frac{40+18}{36} - \frac{9-80}{18} \)
• Wersja 1 (bez przecinka, czyli 9 - 80):
\( \frac{58}{36} - \frac{-71}{18} = \frac{29}{18} + \frac{71}{18} = \frac{100}{18} = 5\frac{5}{9} \) (ułamek niewłaściwy: \( \frac{50}{9} \)).
• Wersja 2 (z przecinkiem, czyli 9 - 8,0 = 9 - 8):
\( \frac{58}{36} - \frac{1}{18} = \frac{29}{18} - \frac{1}{18} = \frac{28}{18} = 1\frac{5}{9} \) (ułamek niewłaściwy: \( \frac{14}{9} \)).
Oba odczyty i ich poprawne zapisy w okienkach są w pełni akceptowane!
i) \( \frac{18+108}{54} - \frac{10+25}{30} = 1\frac{1}{6} \) (lub \( \frac{7}{6} \))
\( \frac{126}{54} - \frac{35}{30} = \frac{7}{3} - \frac{7}{6} = \frac{14}{6} - \frac{7}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \).
Zapis: Całość = 1, licznik = 1, mianownik = 6 (lub pozostaw całość pustą i wpisz licznik = 7, mianownik = 6).

Zadanie 18

Instrukcja Zadania 18:
Wykonaj poniższe działania (mnożenie i dzielenie liczb mieszanych).
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, każda odpowiedź składa się z trzech okienek:
• Duże okienko po lewej służy do wpisania **całości (c)**,
• Górne małe okienko to **licznik (l)**,
• Dolne małe okienko to **mianownik (m)**.

Pamiętaj o skracaniu ułamków przed wykonaniem mnożenia i dzielenia oraz o ustaleniu właściwego znaku wyniku (mnożenie lub dzielenie dwóch liczb o tych samych znakach daje wynik dodatni, a o różnych znakach - ujemny).

Wzór – Mnożenie liczb mieszanych:

Przykładowe wyrażenie: \( 1\frac{2}{3} \cdot \left(-1\frac{1}{5}\right) \)

Sposób postępowania:
1. Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe: \( 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} \) oraz \( -1\frac{1}{5} = -\frac{6}{5} \).
2. Mnożymy i skracamy ułamki: \( \frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 5} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = -2 \).
3. Wynik wpisujemy jako całość -2 (okienko ułamka pozostawiamy puste).

I	:	1		2	/	3	·	(	-	1		1	/	5	)
I	I	:	=	5	/	3	·	(	-	6	/	5	)	=	-	2

Wykonaj działania:

a) \( -4\frac{1}{6} \cdot \left(-2\frac{2}{5}\right) = \)

b) \( 2\frac{1}{7} : 5 = \)

c) \( \frac{5}{3\frac{1}{8}} = \)

d) \( 5\frac{5}{6} : 3\frac{1}{9} = \)

e) \( -7\frac{14}{15} : 2\frac{5}{6} = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) \( -4\frac{1}{6} \cdot \left(-2\frac{2}{5}\right) = 10 \)
Zamieniamy na ułamki niewłaściwe: \( -\frac{25}{6} \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) \).
Wynik mnożenia dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Skracamy 25 i 5 przez 5, oraz 12 i 6 przez 6:
\( \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 10 \).
Zapis w okienkach: Całość = 10, ułamek pozostaw pusty.
b) \( 2\frac{1}{7} : 5 = \frac{3}{7} \)
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy: \( \frac{15}{7} : 5 = \frac{15}{7} \cdot \frac{1}{5} \).
Skracamy 15 i 5 przez 5: \( \frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7} \).
Zapis w okienkach: Całość = pusta, licznik = 3, mianownik = 7.
c) \( \frac{5}{3\frac{1}{8}} = 1\frac{3}{5} \) (lub \( \frac{8}{5} \))
Zapisujemy dzielenie poziomo: \( 5 : 3\frac{1}{8} = 5 : \frac{25}{8} = 5 \cdot \frac{8}{25} \).
Skracamy 5 i 25 przez 5: \( \frac{1 \cdot 8}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} \).
Zapis w okienkach: Całość = 1, licznik = 3, mianownik = 5 (lub całość pusta, licznik = 8, mianownik = 5).
d) \( 5\frac{5}{6} : 3\frac{1}{9} = 1\frac{7}{8} \) (lub \( \frac{15}{8} \))
Zamieniamy na ułamki niewłaściwe: \( \frac{35}{6} : \frac{28}{9} = \frac{35}{6} \cdot \frac{9}{28} \).
Skracamy 35 i 28 przez 7 (otrzymujemy 5 i 4), oraz 9 i 6 przez 3 (otrzymujemy 3 i 2):
\( \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \).
Zapis w okienkach: Całość = 1, licznik = 7, mianownik = 8 (lub całość pusta, licznik = 15, mianownik = 8).
e) \( -7\frac{14}{15} : 2\frac{5}{6} = -2\frac{4}{5} \) (lub \( -\frac{14}{5} \))
Zamieniamy na ułamki niewłaściwe: \( -\frac{119}{15} : \frac{17}{6} = -\frac{119}{15} \cdot \frac{6}{17} \).
Skracamy 119 i 17 przez 17 (ponieważ \( 17 \cdot 7 = 119 \), otrzymujemy 7 i 1), oraz 6 i 15 przez 3 (otrzymujemy 2 i 5):
\( -\frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 1} = -\frac{14}{5} = -2\frac{4}{5} \).
Zapis w okienkach: Całość = -2, licznik = 4, mianownik = 5 (lub całość pusta, licznik = -14, mianownik = 5).

Zadanie 19

Instrukcja Zadania 19:
Wykonaj poniższe działania na ułamkach dziesiętnych. Pamiętaj o regułach dotyczących znaków przy mnożeniu i dzieleniu liczb dodatnich oraz ujemnych.
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. -2,66 lub -2.66).

Wzór – Odejmowanie ułamków dziesiętnych:

Przykładowe wyrażenie: \( 5,42 - 9,1 \)

Sposób postępowania:
1. Odejmujemy większą liczbę od mniejszej, więc wynik będzie ujemny.
2. Obliczamy różnicę wartości bezwzględnych: \( 9,10 - 5,42 = 3,68 \).
3. Dopasowujemy znak wyniku: \( -3,68 \).

Oblicz wartości wyrażeń:

a) \( 8,23 + 3,99 = \)

d) \( 4,8 : 0,06 = \)

b) \( 2,92 - 7,6 = \)

e) \( 0,42 : (-3) = \)

c) \( 3,8 \cdot (-0,7) = \)

f) \( -6,25 : (-0,25) = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) \( 8,23 + 3,99 = 12,22 \)
Możemy ułatwić dodawanie pamięciowe: \( 8,23 + 4,00 - 0,01 = 12,23 - 0,01 = 12,22 \).
b) \( 2,92 - 7,6 = -4,68 \)
Odejmujemy większą liczbę od mniejszej, więc wynik będzie ujemny. Różnica wartości: \( 7,60 - 2,92 = 4,68 \). Stąd ostatecznie otrzymujemy \( -4,68 \).
c) \( 3,8 \cdot (-0,7) = -2,66 \)
Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny. Mnożymy bez przecinków: \( 38 \cdot 7 = 266 \). Ponieważ oba czynniki mają łącznie dwa miejsca po przecinku, wynik to \( -2,66 \).
d) \( 4,8 : 0,06 = 80 \)
Przesuwamy przecinek w dzielnej i dzielniku o dwa miejsca w prawo: \( 480 : 6 = 80 \).
e) \( 0,42 : (-3) = -0,14 \)
Dzielenie liczby dodatniej przez ujemną daje wynik ujemny. Dzielimy: \( 0,42 : 3 = 0,14 \), co daje ostatecznie \( -0,14 \).
f) \( -6,25 : (-0,25) = 25 \)
Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo: \( 625 : 25 = 25 \) (ponieważ \( 25 \cdot 25 = 625 \)).

Zadanie 20

Instrukcja Zadania 20:
Wyraź podane wielkości w odpowiednich jednostkach długości.
Jako separatora dziesiętnego w wynikach możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. 83,289 lub 83.289). Nie wpisuj jednostek w pola tekstowe.

Wzór – Zamiana jednostek długości:

Przykładowe wyrażenie: Zamień \( 2,7\text{ m} \) na centymetry.

Sposób postępowania:
1. Wiemy, że \( 1\text{ m} = 100\text{ cm} \).
2. Mnożymy wartość przez 100 (przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo): \( 2,7 \cdot 100 = 270 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 2,7\text{ m} = 270\text{ cm} \).

a) Wyraź podane wielkości w milimetrach:

\( 8,3\text{ cm} = \)

\( 25\text{ cm} = \)

\( 26,08\text{ cm} = \)

\( 8,3253\text{ m} = \)

\( 16\text{ km} = \)

b) Wyraź podane wielkości w centymetrach:

\( 1,2\text{ m} = \)

\( 8,352\text{ m} = \)

\( 29\text{ mm} = \)

\( 0,03\text{ mm} = \)

\( 62,05\text{ m} = \)

c) Wyraź podane wielkości w metrach:

\( 83\,289\text{ mm} = \)

\( 532,8\text{ cm} = \)

\( 500,02\text{ cm} = \)

\( 2,53\text{ km} = \)

\( 13,09\text{ km} = \)

d) Wyraź podane wielkości w kilometrach:

\( 73\,820\text{ m} = \)

\( 950,2\text{ m} = \)

\( 33\,000,5\text{ m} = \)

\( 280,3\text{ m} = \)

\( 30\,000\text{ cm} = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Wyraź podane wielkości w milimetrach (\(1\text{ cm} = 10\text{ mm}\), \(1\text{ m} = 1000\text{ mm}\), \(1\text{ km} = 1\,000\,000\text{ mm}\)):
• \( 8,3\text{ cm} = 8,3 \cdot 10 = \mathbf{83}\text{ mm} \)
• \( 25\text{ cm} = 25 \cdot 10 = \mathbf{250}\text{ mm} \)
• \( 26,08\text{ cm} = 26,08 \cdot 10 = \mathbf{260,8}\text{ mm} \)
• \( 8,3253\text{ m} = 8,3253 \cdot 1000 = \mathbf{8325,3}\text{ mm} \)
• \( 16\text{ km} = 16 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{16\,000\,000}\text{ mm} \)
b) Wyraź podane wielkości w centymetrach (\(1\text{ m} = 100\text{ cm}\), \(1\text{ mm} = 0,1\text{ cm}\)):
• \( 1,2\text{ m} = 1,2 \cdot 100 = \mathbf{120}\text{ cm} \)
• \( 8,352\text{ m} = 8,352 \cdot 100 = \mathbf{835,2}\text{ cm} \)
• \( 29\text{ mm} = 29 : 10 = \mathbf{2,9}\text{ cm} \)
• \( 0,03\text{ mm} = 0,03 : 10 = \mathbf{0,003}\text{ cm} \)
• \( 62,05\text{ m} = 62,05 \cdot 100 = \mathbf{6205}\text{ cm} \)
c) Wyraź podane wielkości w metrach (\(1\text{ mm} = 0,001\text{ m}\), \(1\text{ cm} = 0,01\text{ m}\), \(1\text{ km} = 1000\text{ m}\)):
• \( 83\,289\text{ mm} = 83\,289 : 1000 = \mathbf{83,289}\text{ m} \)
• \( 532,8\text{ cm} = 532,8 : 100 = \mathbf{5,328}\text{ m} \)
• \( 500,02\text{ cm} = 500,02 : 100 = \mathbf{5,0002}\text{ m} \)
• \( 2,53\text{ km} = 2,53 \cdot 1000 = \mathbf{2530}\text{ m} \)
• \( 13,09\text{ km} = 13,09 \cdot 1000 = \mathbf{13\,090}\text{ m} \)
d) Wyraź podane wielkości w kilometrach (\(1\text{ m} = 0,001\text{ km}\), \(1\text{ cm} = 0,00001\text{ km}\)):
• \( 73\,820\text{ m} = 73\,820 : 1000 = \mathbf{73,82}\text{ km} \) (lub \(73,820\))
• \( 950,2\text{ m} = 950,2 : 1000 = \mathbf{0,9502}\text{ km} \)
• \( 33\,000,5\text{ m} = 33\,000,5 : 1000 = \mathbf{33,0005}\text{ km} \)
• \( 280,3\text{ m} = 280,3 : 1000 = \mathbf{0,2803}\text{ km} \)
• \( 30\,000\text{ cm} = 30\,000 : 100\,000 = \mathbf{0,3}\text{ km} \)

Zadanie 21

Instrukcja Zadania 21:
Wyraź podane wielkości w odpowiednich jednostkach powierzchni.
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. 0,5 lub 0.5). Nie wpisuj jednostek w pola tekstowe.

Wzór – Zamiana jednostek powierzchni:

Przykładowe wyrażenie: Zamień \( 350\text{ m}^2 \) na ary.

Sposób postępowania:
1. Wiemy, że \( 1\text{ a} = 100\text{ m}^2 \), co oznacza, że \( 1\text{ m}^2 = 0,01\text{ a} \).
2. Dzielimy wartość przez 100 (przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo): \( 350 : 100 = 3,5 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 350\text{ m}^2 = 3,5\text{ a} \).

a) Wyraź podane wielkości w arach:

\( 50\text{ m}^2 = \)

\( 28,3\text{ m}^2 = \)

\( 1,53\text{ km}^2 = \)

\( 2800\text{ m}^2 = \)

\( 15\text{ ha} = \)

b) Wyraź podane wielkości w hektarach:

\( 23\text{ a} = \)

\( 1800\text{ m}^2 = \)

\( 2,5\text{ km}^2 = \)

\( 853\text{ a} = \)

\( 12\text{ m}^2 = \)

c) Wyraź podane wielkości w metrach kwadratowych:

\( 2480\text{ cm}^2 = \)

m²

\( 34\,196\text{ dm}^2 = \)

m²

\( 345\text{ a} = \)

m²

\( 192\text{ ha} = \)

m²

\( 76,5\text{ km}^2 = \)

m²

d) Wyraź podane wielkości w kilometrach kwadratowych:

\( 3\,123\,000\text{ cm}^2 = \)

km²

\( 32\,450\text{ m}^2 = \)

km²

\( 9000\text{ a} = \)

km²

\( 54\,900\text{ ha} = \)

km²

\( 100\,000\text{ ha} = \)

km²

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Wyraź podane wielkości w arach (\(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\), \(1\text{ ha} = 100\text{ a}\), \(1\text{ km}^2 = 10\,000\text{ a}\)):
• \( 50\text{ m}^2 = 50 : 100 = \mathbf{0,5}\text{ a} \)
• \( 28,3\text{ m}^2 = 28,3 : 100 = \mathbf{0,283}\text{ a} \)
• \( 1,53\text{ km}^2 = 1,53 \cdot 10\,000 = \mathbf{15\,300}\text{ a} \)
• \( 2800\text{ m}^2 = 2800 : 100 = \mathbf{28}\text{ a} \)
• \( 15\text{ ha} = 15 \cdot 100 = \mathbf{1500}\text{ a} \)
b) Wyraź podane wielkości w hektarach (\(1\text{ ha} = 100\text{ a} = 10\,000\text{ m}^2\), \(1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}\)):
• \( 23\text{ a} = 23 : 100 = \mathbf{0,23}\text{ ha} \)
• \( 1800\text{ m}^2 = 1800 : 10\,000 = \mathbf{0,18}\text{ ha} \)
• \( 2,5\text{ km}^2 = 2,5 \cdot 100 = \mathbf{250}\text{ ha} \)
• \( 853\text{ a} = 853 : 100 = \mathbf{8,53}\text{ ha} \)
• \( 12\text{ m}^2 = 12 : 10\,000 = \mathbf{0,0012}\text{ ha} \)
c) Wyraź podane wielkości w metrach kwadratowych (\(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\), \(1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2\), \(1\text{ km}^2 = 1\,000\,000\text{ m}^2\), \(1\text{ dm}^2 = 0,01\text{ m}^2\), \(1\text{ cm}^2 = 0,0001\text{ m}^2\)):
• \( 2480\text{ cm}^2 = 2480 : 10\,000 = \mathbf{0,248}\text{ m}^2 \)
• \( 34\,196\text{ dm}^2 = 34\,196 : 100 = \mathbf{341,96}\text{ m}^2 \)
• \( 345\text{ a} = 345 \cdot 100 = \mathbf{34\,500}\text{ m}^2 \)
• \( 192\text{ ha} = 192 \cdot 10\,000 = \mathbf{1\,920\,000}\text{ m}^2 \)
• \( 76,5\text{ km}^2 = 76,5 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{76\,500\,000}\text{ m}^2 \)
d) Wyraź podane wielkości w kilometrach kwadratowych (\(1\text{ ha} = 0,01\text{ km}^2\), \(1\text{ a} = 0,0001\text{ km}^2\), \(1\text{ m}^2 = 0,000001\text{ km}^2\), \(1\text{ cm}^2 = 10^{-10}\text{ km}^2\)):
• \( 3\,123\,000\text{ cm}^2 = 3\,123\,000 : 10\,000\,000\,000 = \mathbf{0,0003123}\text{ km}^2 \)
• \( 32\,450\text{ m}^2 = 32\,450 : 1\,000\,000 = \mathbf{0,03245}\text{ km}^2 \)
• \( 9000\text{ a} = 9000 : 10\,000 = \mathbf{0,9}\text{ km}^2 \)
• \( 54\,900\text{ ha} = 54\,900 : 100 = \mathbf{549}\text{ km}^2 \)
• \( 100\,000\text{ ha} = 100\,000 : 100 = \mathbf{1000}\text{ km}^2 \)

Zadanie 22

Instrukcja Zadania 22:
Wyraź podane wielkości w odpowiednich jednostkach objętości (pojemności).
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. 0,25 lub 0.25). Nie wpisuj jednostek ani spacji oddzielających tysiące w polach tekstowych.

Wzór – Zamiana jednostek objętości:

Przykładowe wyrażenie: Zamień \( 4,5\text{ cm}^3 \) na milimetry sześcienne.

Sposób postępowania:
1. Wiemy, że \( 1\text{ cm}^3 = 1000\text{ mm}^3 \).
2. Mnożymy wartość przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo): \( 4,5 \cdot 1000 = 4500 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 4,5\text{ cm}^3 = 4500\text{ mm}^3 \).

a) Wyraź podane wielkości w milimetrach sześciennych:

\( 3\text{ dm}^3 = \)

mm³

\( 0,03\text{ cm}^3 = \)

mm³

\( 2,7\text{ cm}^3 = \)

mm³

\( 53\text{ cm}^3 = \)

mm³

\( 0,03\text{ dm}^3 = \)

mm³

b) Wyraź podane wielkości w centymetrach sześciennych:

\( 8\text{ mm}^3 = \)

cm³

\( 253\text{ mm}^3 = \)

cm³

\( 0,2\text{ dm}^3 = \)

cm³

\( 1,52\text{ dm}^3 = \)

cm³

\( 12\text{ m}^3 = \)

cm³

c) Wyraź podane wielkości w litrach:

\( 25\text{ dm}^3 = \)

\( 53\text{ mm}^3 = \)

\( 2,8\text{ cm}^3 = \)

\( 0,2\text{ m}^3 = \)

\( 3\text{ mm}^3 = \)

d) Wyraź podane wielkości w decymetrach sześciennych:

\( 5\text{ l} = \)

dm³

\( 350\text{ ml} = \)

dm³

\( 250\text{ cm}^3 = \)

dm³

\( 0,24\text{ cm}^3 = \)

dm³

\( 0,0005\text{ km}^3 = \)

dm³

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Wyraź podane wielkości w milimetrach sześciennych (\(1\text{ cm}^3 = 1000\text{ mm}^3\), \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ mm}^3\)):
• \( 3\text{ dm}^3 = 3 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{3\,000\,000}\text{ mm}^3 \)
• \( 0,03\text{ cm}^3 = 0,03 \cdot 1000 = \mathbf{30}\text{ mm}^3 \)
• \( 2,7\text{ cm}^3 = 2,7 \cdot 1000 = \mathbf{2700}\text{ mm}^3 \)
• \( 53\text{ cm}^3 = 53 \cdot 1000 = \mathbf{53\,000}\text{ mm}^3 \)
• \( 0,03\text{ dm}^3 = 0,03 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{30\,000}\text{ mm}^3 \)
b) Wyraź podane wielkości w centymetrach sześciennych (\(1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3\), \(1\text{ m}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3\), \(1\text{ mm}^3 = 0,001\text{ cm}^3\)):
• \( 8\text{ mm}^3 = 8 : 1000 = \mathbf{0,008}\text{ cm}^3 \)
• \( 253\text{ mm}^3 = 253 : 1000 = \mathbf{0,253}\text{ cm}^3 \)
• \( 0,2\text{ dm}^3 = 0,2 \cdot 1000 = \mathbf{200}\text{ cm}^3 \)
• \( 1,52\text{ dm}^3 = 1,52 \cdot 1000 = \mathbf{1520}\text{ cm}^3 \)
• \( 12\text{ m}^3 = 12 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{12\,000\,000}\text{ cm}^3 \)
c) Wyraź podane wielkości w litrach (\(1\text{ l} = 1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3 = 1\,000\,000\text{ mm}^3\), \(1\text{ m}^3 = 1000\text{ l}\)):
• \( 25\text{ dm}^3 = \mathbf{25}\text{ l} \)
• \( 53\text{ mm}^3 = 53 : 1\,000\,000 = \mathbf{0,000053}\text{ l} \)
• \( 2,8\text{ cm}^3 = 2,8 : 1000 = \mathbf{0,0028}\text{ l} \)
• \( 0,2\text{ m}^3 = 0,2 \cdot 1000 = \mathbf{200}\text{ l} \)
• \( 3\text{ mm}^3 = 3 : 1\,000\,000 = \mathbf{0,000003}\text{ l} \)
d) Wyraź podane wielkości w decymetrach sześciennych (\(1\text{ l} = 1\text{ dm}^3\), \(1\text{ ml} = 0,001\text{ dm}^3\), \(1\text{ cm}^3 = 0,001\text{ dm}^3\), \(1\text{ km}^3 = 10^{12}\text{ dm}^3\)):
• \( 5\text{ l} = \mathbf{5}\text{ dm}^3 \)
• \( 350\text{ ml} = 350 : 1000 = \mathbf{0,35}\text{ dm}^3 \)
• \( 250\text{ cm}^3 = 250 : 1000 = \mathbf{0,25}\text{ dm}^3 \)
• \( 0,24\text{ cm}^3 = 0,24 : 1000 = \mathbf{0,00024}\text{ dm}^3 \)
• \( 0,0005\text{ km}^3 = 0,0005 \cdot 1\,000\,000\,000\,000 = \mathbf{500\,000\,000}\text{ dm}^3 \)

Zadanie 23

Instrukcja Zadania 23:
Wyraź podane wielkości w odpowiednich jednostkach czasu.
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. 24,5 lub 24.5). Nie wpisuj jednostek w pola tekstowe.

Wzór – Zamiana jednostek czasu:

Przykładowe wyrażenie: Zamień \( 90\text{ minut} \) na godziny.

Sposób postępowania:
1. Wiemy, że jedna godzina to \( 60\text{ minut} \).
2. Dzielimy liczbę minut przez 60: \( 90 : 60 = 1,5 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 90\text{ min} = 1,5\text{ h} \).

a) Wyraź podane wielkości w minutach:

\( 23\text{ h} = \)

min

\( 2,5\text{ h} = \)

min

\( 120\text{ s} = \)

min

\( 600\text{ s} = \)

min

\( 840\text{ s} = \)

min

b) Wyraź podane wielkości w sekundach:

\( 8\text{ min } 5\text{ s} = \)

\( 2\text{ min } 3\text{ s} = \)

\( 8,5\text{ min} = \)

\( 25\text{ min } 3\text{ s} = \)

\( 2,5\text{ h} = \)

c) Wyraź podane wielkości w godzinach:

\( 1470\text{ min} = \)

\( 6480\text{ min} = \)

\( 59\,235\text{ min} = \)

\( 194\,400\text{ s} = \)

\( 388\,800\text{ s} = \)

d) Wyraź podane wielkości w dobach:

\( 576\text{ godz.} = \)

doby

\( 8760\text{ godz.} = \)

doby

\( 129\,600\text{ s} = \)

doby

\( 1440\text{ min} = \)

doby

\( 80\,640\text{ min} = \)

doby

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Wyraź podane wielkości w minutach (\(1\text{ h} = 60\text{ min}\), \(1\text{ min} = 60\text{ s}\)):
• \( 23\text{ h} = 23 \cdot 60 = \mathbf{1380}\text{ min} \)
• \( 2,5\text{ h} = 2,5 \cdot 60 = \mathbf{150}\text{ min} \)
• \( 120\text{ s} = 120 : 60 = \mathbf{2}\text{ min} \)
• \( 600\text{ s} = 600 : 60 = \mathbf{10}\text{ min} \)
• \( 840\text{ s} = 840 : 60 = \mathbf{14}\text{ min} \)
b) Wyraź podane wielkości w sekundach (\(1\text{ min} = 60\text{ s}\), \(1\text{ h} = 3600\text{ s}\)):
• \( 8\text{ min } 5\text{ s} = 8 \cdot 60 + 5 = 480 + 5 = \mathbf{485}\text{ s} \)
• \( 2\text{ min } 3\text{ s} = 2 \cdot 60 + 3 = 120 + 3 = \mathbf{123}\text{ s} \)
• \( 8,5\text{ min} = 8,5 \cdot 60 = \mathbf{510}\text{ s} \)
• \( 25\text{ min } 3\text{ s} = 25 \cdot 60 + 3 = 1500 + 3 = \mathbf{1503}\text{ s} \)
• \( 2,5\text{ h} = 2,5 \cdot 3600 = \mathbf{9000}\text{ s} \)
c) Wyraź podane wielkości w godzinach (\(1\text{ h} = 60\text{ min} = 3600\text{ s}\)):
• \( 1470\text{ min} = 1470 : 60 = \mathbf{24,5}\text{ h} \)
• \( 6480\text{ min} = 6480 : 60 = \mathbf{108}\text{ h} \)
• \( 59\,235\text{ min} = 59\,235 : 60 = \mathbf{987,25}\text{ h} \)
• \( 194\,400\text{ s} = 194\,400 : 3600 = \mathbf{54}\text{ h} \)
• \( 388\,800\text{ s} = 388\,800 : 3600 = \mathbf{108}\text{ h} \)
d) Wyraź podane wielkości w dobach (\(1\text{ doba} = 24\text{ h} = 1440\text{ min} = 86\,400\text{ s}\)):
• \( 576\text{ godz.} = 576 : 24 = \mathbf{24}\text{ doby} \)
• \( 8760\text{ godz.} = 8760 : 24 = \mathbf{365}\text{ dób} \)
• \( 129\,600\text{ s} = 129\,600 : 86\,400 = \mathbf{1,5}\text{ doby} \)
• \( 1440\text{ min} = 1440 : 1440 = \mathbf{1}\text{ doba} \)
• \( 80\,640\text{ min} = 80\,640 : 1440 = \mathbf{56}\text{ dób} \)

Zadanie 24

Instrukcja Zadania 24:
Wyraź podane wielkości w odpowiednich jednostkach objętości (pojemności).
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. 1,2 lub 1.2). Nie wpisuj jednostek ani spacji oddzielających tysiące w polach tekstowych.

Wzór – Zamiana jednostek objętości:

Przykładowe wyrażenie: Zamień \( 1,25\text{ l} \) na mililitry.

Sposób postępowania:
1. Wieme, że \( 1\text{ l} = 1000\text{ ml} \).
2. Mnożymy wartość przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo): \( 1,25 \cdot 1000 = 1250 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 1,25\text{ l} = 1250\text{ ml} \).

a) Wyraź podane wielkości w mililitrach:

\( 0,7\text{ cm}^3 = \)

\( 120\text{ cm}^3 = \)

\( 0,12\text{ dm}^3 = \)

\( 0,0003\text{ l} = \)

\( 3,5\text{ l} = \)

b) Wyraź podane wielkości w milimetrach sześciennych:

\( 0,13\text{ ml} = \)

mm³

\( 120\text{ ml} = \)

mm³

\( 0,13\text{ dm}^3 = \)

mm³

\( 4,529\text{ l} = \)

mm³

\( 0,0028\text{ hl} = \)

mm³

c) Wyraź podane wielkości w litrach:

\( 1200\text{ cm}^3 = \)

\( 34\,000\text{ cm}^3 = \)

\( 4560\text{ dm}^3 = \)

\( 500\text{ m}^3 = \)

\( 1\text{ km}^3 = \)

d) Wyraź podane wielkości w hektolitrach:

\( 765\,876\,987\text{ ml} = \)

\( 3\,456\,600\text{ cm}^3 = \)

\( 30\,303\text{ l} = \)

\( 34\,500,4\text{ l} = \)

\( 1\text{ km}^3 = \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Wyraź podane wielkości w mililitrach (\(1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}\), \(1\text{ dm}^3 = 1000\text{ ml}\), \(1\text{ l} = 1000\text{ ml}\)):
• \( 0,7\text{ cm}^3 = \mathbf{0,7}\text{ ml} \)
• \( 120\text{ cm}^3 = \mathbf{120}\text{ ml} \)
• \( 0,12\text{ dm}^3 = 0,12 \cdot 1000 = \mathbf{120}\text{ ml} \)
• \( 0,0003\text{ l} = 0,0003 \cdot 1000 = \mathbf{0,3}\text{ ml} \)
• \( 3,5\text{ l} = 3,5 \cdot 1000 = \mathbf{3500}\text{ ml} \)
b) Wyraź podane wielkości w milimetrach sześciennych (\(1\text{ ml} = 1000\text{ mm}^3\), \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ mm}^3\), \(1\text{ l} = 1\,000\,000\text{ mm}^3\), \(1\text{ hl} = 100\,000\,000\text{ mm}^3\)):
• \( 0,13\text{ ml} = 0,13 \cdot 1000 = \mathbf{130}\text{ mm}^3 \)
• \( 120\text{ ml} = 120 \cdot 1000 = \mathbf{120\,000}\text{ mm}^3 \)
• \( 0,13\text{ dm}^3 = 0,13 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{130\,000}\text{ mm}^3 \)
• \( 4,529\text{ l} = 4,529 \cdot 1\,000\,000 = \mathbf{4\,529\,000}\text{ mm}^3 \)
• \( 0,0028\text{ hl} = 0,0028 \cdot 100\,000\,000 = \mathbf{280\,000}\text{ mm}^3 \)
c) Wyraź podane wielkości w litrach (\(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\), \(1\text{ m}^3 = 1000\text{ l}\), \(1\text{ cm}^3 = 0,001\text{ l}\), \(1\text{ km}^3 = 10^{12}\text{ l}\)):
• \( 1200\text{ cm}^3 = 1200 : 1000 = \mathbf{1,2}\text{ l} \)
• \( 34\,000\text{ cm}^3 = 34\,000 : 1000 = \mathbf{34}\text{ l} \)
• \( 4560\text{ dm}^3 = \mathbf{4560}\text{ l} \)
• \( 500\text{ m}^3 = 500 \cdot 1000 = \mathbf{500\,000}\text{ l} \)
• \( 1\text{ km}^3 = 1 \cdot 1\,000\,000\,000\,000 = \mathbf{1\,000\,000\,000\,000}\text{ l} \)
d) Wyraź podane wielkości w hektolitrach (\(1\text{ hl} = 100\text{ l} = 100\,000\text{ ml} = 100\,000\text{ cm}^3\), \(1\text{ km}^3 = 10^{10}\text{ hl}\)):
• \( 765\,876\,987\text{ ml} = 765\,876\,987 : 100\,000 = \mathbf{7658,76987}\text{ hl} \)
• \( 3\,456\,600\text{ cm}^3 = 3\,456\,600 : 100\,000 = \mathbf{34,566}\text{ hl} \)
• \( 30\,303\text{ l} = 30\,303 : 100 = \mathbf{303,03}\text{ hl} \)
• \( 34\,500,4\text{ l} = 34\,500,4 : 100 = \mathbf{345,004}\text{ hl} \)
• \( 1\text{ km}^3 = \mathbf{10\,000\,000\,000}\text{ hl} \) (dziesięć miliardów hektolitrów)

Zadanie 25

Instrukcja Zadania 25:
Uporządkuj wielkości w każdej sekcji od najmniejszej do największej.
Wpisz w okienka liczby od 1 (najmniejsza wielkość) do 4 (największa wielkość).

Wzór – Porządkowanie wielkości:

Uporządkuj długości: \( 3\text{ m} \), \( 250\text{ cm} \), \( 0,004\text{ km} \).

Sposób postępowania:
1. Sprowadzamy wielkości do wspólnej jednostki (np. metrów):
• \( 250\text{ cm} = 2,5\text{ m} \) (najmniejsza → wpisujemy 1)
• \( 3\text{ m} \) (średnia → wpisujemy 2)
• \( 0,004\text{ km} = 4\text{ m} \) (największa → wpisujemy 3)

a) Długości:

\( 0,09\text{ km} \)

\( 112\text{ m} \)

\( 7980\text{ cm} \)

\( 540\,000\text{ mm} \)

b) Masy:

\( 54\text{ kg} \)

\( 740\,000\text{ g} \)

\( 0,13\text{ t} \)

\( 7500\text{ dag} \)

c) Pola powierzchni:

\( 1920\text{ a} \)

\( 710\text{ ha} \)

\( 600\,000\text{ m}^2 \)

\( 0,04\text{ km}^2 \)

d) Czasy:

\( 6140\text{ min} \)

\( 30\text{ h } 20\text{ min} \)

\( 120\text{ min } 30\text{ s} \)

\( 360\,000\text{ s} \)

e) Objętości:

\( 4200\text{ cm}^3 \)

\( 0,0003\text{ km}^3 \)

\( 54\,000\text{ dm}^3 \)

\( 0,7\text{ m}^3 \)

Wyjaśnienia krok po kroku (sprowadzenie do wspólnych jednostek):

a) Długości (sprowadzamy do metrów \( \text{m} \)):
• \( 7980\text{ cm} = 79,8\text{ m} \) → pozycja 1
• \( 0,09\text{ km} = 90\text{ m} \) → pozycja 2
• \( 112\text{ m} \) → pozycja 3
• \( 540\,000\text{ mm} = 540\text{ m} \) → pozycja 4
Uporządkowanie: \( 7980\text{ cm} < 0,09\text{ km} < 112\text{ m} < 540\,000\text{ mm} \)
b) Masy (sprowadzamy do kilogramów \( \text{kg} \)):
• \( 54\text{ kg} \) → pozycja 1
• \( 7500\text{ dag} = 75\text{ kg} \) → pozycja 2
• \( 0,13\text{ t} = 130\text{ kg} \) → pozycja 3
• \( 740\,000\text{ g} = 740\text{ kg} \) → pozycja 4
Uporządkowanie: \( 54\text{ kg} < 7500\text{ dag} < 0,13\text{ t} < 740\,000\text{ g} \)
c) Pola powierzchni (sprowadzamy do metrów kwadratowych \( \text{m}^2 \)):
• \( 0,04\text{ km}^2 = 40\,000\text{ m}^2 \) → pozycja 1
• \( 1920\text{ a} = 192\,000\text{ m}^2 \) → pozycja 2
• \( 600\,000\text{ m}^2 \) → pozycja 3
• \( 710\text{ ha} = 7\,100\,000\text{ m}^2 \) → pozycja 4
Uporządkowanie: \( 0,04\text{ km}^2 < 1920\text{ a} < 600\,000\text{ m}^2 < 710\text{ ha} \)
d) Czasy (sprowadzamy do minut \( \text{min} \)):
• \( 120\text{ min } 30\text{ s} = 120,5\text{ min} \) → pozycja 1
• \( 30\text{ h } 20\text{ min} = 30 \cdot 60 + 20 = 1820\text{ min} \) → pozycja 2
• \( 360\,000\text{ s} = 360\,000 : 60 = 6000\text{ min} \) → pozycja 3
• \( 6140\text{ min} \) → pozycja 4
Uporządkowanie: \( 120\text{ min } 30\text{ s} < 30\text{ h } 20\text{ min} < 360\,000\text{ s} < 6140\text{ min} \)
e) Objętości (sprowadzamy do decymetrów sześciennych \( \text{dm}^3 \)):
• \( 4200\text{ cm}^3 = 4,2\text{ dm}^3 \) → pozycja 1
• \( 0,7\text{ m}^3 = 700\text{ dm}^3 \) → pozycja 2
• \( 54\,000\text{ dm}^3 \) → pozycja 3
• \( 0,0003\text{ km}^3 = 300\,000\,000\text{ dm}^3 \) → pozycja 4
Uporządkowanie: \( 4200\text{ cm}^3 < 0,7\text{ m}^3 < 54\,000\text{ dm}^3 < 0,0003\text{ km}^3 \)

Zadanie 26

Instrukcja Zadania 26:
Rozwiąż poniższe zadania tekstowe związane z zamianą i obliczeniami na jednostkach.
Wpisz poprawne wyniki w puste pola. Nie wpisuj spacji ani jednostek do wnętrza pól tekstowych.

Wzór – Zadanie tekstowe z jednostkami:

Treść: Królik zjada dziennie \( 150\text{ g} \) marchwi. Ile kilogramów marchwi zjada w ciągu 30 dni?

Sposób postępowania:
1. Obliczamy całkowitą masę w gramach: \( 150\text{ g} \cdot 30 = 4500\text{ g} \).
2. Zamieniamy gramy na kilogramy (\( 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)): \( 4500 : 1000 = 4,5\text{ kg} \).

Rozwiąż zadania:

a) Przeciętny włos ma grubość \( 0,1\text{ mm} \), a na przeciętnej głowie jest \( 100\,000 \) włosów. Jaką szerokość miałby pas tych włosów, gdyby ułożyć je jeden obok drugiego? Express w metrach.

b) W ryzie papieru jest 500 arkuszy. Ryza ma grubość \( 5\text{ cm} \). Ile arkuszy tego papieru trzeba ułożyć jeden na drugim, żeby uzyskać stos o wysokości \( 1\text{ km} \)?

arkuszy

c) Najcięższe kule do kręgli ważą \( 7,2\text{ kg} \). Ile takich kul może przewieźć samochód ciężarowy o ładowności \( 9\text{ t} \)?

kul

d) Mysz waży \( 3\text{ dag} \), a słoń \( 6\text{ t} \). Ile razy słoń jest cięższy od myszy?

razy

e) Teren o powierzchni \( 0,6\text{ ha} \) podzielono na 15 jednakowych działek. Ile arów miała każda z tych działek?

arów

f) Wyspa Wolin ma powierzchnię \( 245\text{ km}^2 \), a znajdujący się na niej Woliński Park Narodowy – \( 11\,000\text{ ha} \). Jaka jest nieobjęta parkiem powierzchnia tej wyspy? Express w kilometrach kwadratowych.

km²

g) Czas \( 2\text{ h } 12\text{ min} \) podzielono na trzy równe okresy. Jak długo trwał każdy z nich? Ile trwałby każdy okres, gdyby było ich cztery?

Dla 3 okresów: min

Dla 4 okresów: min

h) Pewien zawodnik biorący udział w triatlonie płynął przez \( 18\text{ min } 55\text{ s} \), jechał na rowerze przez \( 1\text{ h } 15\text{ min } 40\text{ s} \) i biegł przez \( 34\text{ min } 13\text{ s} \). Jaki był łączny czas tego zawodnika?

h min s

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Grubość pasa włosów:
Mnożymy grubość jednego włosa przez ich liczbę: \( 0,1\text{ mm} \cdot 100\,000 = 10\,000\text{ mm} \).
Zamieniamy milimetry na metry (\( 1\text{ m} = 1000\text{ mm} \)): \( 10\,000 : 1000 = \mathbf{10}\text{ m} \).
b) Wysokość stosu arkuszy:
Wysokość stosu do uzyskania: \( 1\text{ km} = 1000\text{ m} = 100\,000\text{ cm} \).
Skoro \( 5\text{ cm} \) to 500 arkuszy, to \( 1\text{ cm} \) odpowiada \( 500 : 5 = 100 \) arkuszom.
Mnożymy liczbę arkuszy na centymetr przez całkowitą wysokość w centymetrach: \( 100 \cdot 100\,000 = \mathbf{10\,000\,000}\text{ arkuszy} \).
c) Przewóz kul do kręgli:
Ładowność ciężarówki: \( 9\text{ t} = 9000\text{ kg} \).
Dzielimy całkowitą ładowność przez masę jednej kuli: \( 9000 : 7,2 = 90\,000 : 72 = \mathbf{1250}\text{ kul} \).
d) Porównanie masy słonia i myszy:
Masa słonia: \( 6\text{ t} = 6000\text{ kg} = 600\,000\text{ dag} \).
Masa myszy: \( 3\text{ dag} \).
Dzielimy masę słonia przez masę myszy: \( 600\,000 : 3 = \mathbf{200\,000}\text{ razy} \).
e) Podział terenu na działki:
Powierzchnia całkowita: \( 0,6\text{ ha} = 60\text{ a} \) (ponieważ \( 1\text{ ha} = 100\text{ a} \)).
Dzielimy powierzchnię przez liczbę działek: \( 60 : 15 = \mathbf{4}\text{ ary} \).
f) Powierzchnia wyspy poza parkiem:
Powierzchnia parku: \( 11\,000\text{ ha} = 110\text{ km}^2 \) (ponieważ \( 1\text{ km}^2 = 100\text{ ha} \)).
Odejmujemy powierzchnię parku od powierzchni wyspy: \( 245\text{ km}^2 - 110\text{ km}^2 = \mathbf{135}\text{ km}^2 \).
g) Podział czasu na równe okresy:
Całkowity czas: \( 2\text{ h } 12\text{ min} = 2 \cdot 60 + 12 = 132\text{ min} \).
• Podział na 3 okresy: \( 132 : 3 = \mathbf{44}\text{ min} \).
• Podział na 4 okresy: \( 132 : 4 = \mathbf{33}\text{ min} \).
h) Łączny czas triatlonu:
Sumujemy osobno sekundy, minuty i godziny:
• Sekundy: \( 55\text{ s} + 40\text{ s} + 13\text{ s} = 108\text{ s} = 1\text{ min } 48\text{ s} \).
• Minuty: \( 18\text{ min} + 15\text{ min} + 34\text{ min} = 67\text{ min} \).
• Godziny: \( 1\text{ h} \).
Łączymy wyniki: \( 1\text{ h} + 67\text{ min} + 1\text{ min } 48\text{ s} = 1\text{ h} + 68\text{ min } 48\text{ s} = \mathbf{2}\text{ h } \mathbf{8}\text{ min } \mathbf{48}\text{ s} \).

Zadanie 27

Instrukcja Zadania 27:
Wyraź prędkość \( 300\text{ }\frac{\text{m}}{\text{h}} \) we wskazanych jednostkach.
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć zarówno przecinka, jak i kropki (np. 0,3 lub 0.3). Nie wpisuj jednostek w pola tekstowe.

Wzór – Przeliczanie jednostek prędkości:

Przykładowe wyrażenie: Wyraź prędkość \( 15\text{ }\frac{\text{m}}{\text{min}} \) w metrach na godzinę.

Sposób postępowania:
1. W ciągu 1 minuty obiekt pokonuje \( 15\text{ m} \).
2. Ponieważ jedna godzina ma 60 minut, obiekt pokona dystans 60 razy większy: \( 15\text{ m} \cdot 60 = 900\text{ m} \).
3. Zapisujemy wynik: \( 15\text{ }\frac{\text{m}}{\text{min}} = 900\text{ }\frac{\text{m}}{\text{h}} \).

Wyraź prędkość \( 300\text{ }\frac{\text{m}}{\text{h}} \):

a) w metrach na minutę:

m/min

b) w kilometrach na godzinę:

km/h

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Wyraź prędkość w metrach na minutę (\( \text{m/min} \)):
W ciągu jednej godziny (czyli 60 minut) obiekt pokonuje dystans \( 300\text{ m} \).
Aby dowiedzieć się, ile metrów pokona w ciągu jednej minuty, dzielimy dystans przez 60:
\[ v = \frac{300\text{ m}}{60\text{ min}} = \mathbf{5}\text{ }\frac{\text{m}}{\text{min}} \]
b) Wyraź prędkość w kilometrach na godzinę (\( \text{km/h} \)):
Czas pozostaje bez zmian (1 godzina), musimy jedynie zamienić dystans w metrach na kilometry (\( 1\text{ km} = 1000\text{ m} \)):
\[ 300\text{ m} = 300 : 1000\text{ km} = 0,3\text{ km} \]
Stąd otrzymujemy:
\[ v = \mathbf{0,3}\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \]

Zadanie 28

Instrukcja Zadania 28:
Przelicz podane prędkości maksymalne na metry na sekundę.
Zaokrąglij wyniki do jednego miejsca po przecinku (np. 38,9 lub 38.9). Jako separatora dziesiętnego możesz użyć kropki lub przecinka.

Wzór – Przeliczanie km/h na m/s z zaokrągleniem:

Przykładowe wyrażenie: Wyraź prędkość \( 60\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) w metrach na sekundę z dokładnością do \( 0,1\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \).

Sposób postępowania:
1. Dzielimy prędkość przez współczynnik \( 3,6 \): \( 60 : 3,6 = 16,6666... \)
2. Zaokrąglamy wynik do pierwszego miejsca po przecinku (cyfra części setnych to 6, więc zaokrąglamy w górę): \( 16,7 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 60\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \approx 16,7\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \).

≈

Przelicz prędkości na \( \text{m/s} \) (zaokrąglij do \( 0,1\text{ m/s} \)):

a) \( 140\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) – na autostradach:

m/s

b) \( 120\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) – na drogach ekspresowych dwujezdniowych:

m/s

c) \( 100\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) – na drogach ekspresowych jednojezdniowych:

m/s

d) \( 90\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) – na drogach jednojezdniowych dwukierunkowych:

m/s

e) \( 50\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) – na terenie zabudowanym w dzień:

m/s

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Aby zamienić prędkość wyrażoną w \( \text{km/h} \) na \( \text{m/s} \), dzielimy wartość prędkości przez \( 3,6 \) (ponieważ \( 1\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = \frac{1}{3,6}\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \)).

a) Autostrady: \( 140\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \)
Dzielimy: \( 140 : 3,6 = \frac{1400}{36} = \frac{350}{9} \approx 38,8888... \approx \mathbf{38,9}\text{ m/s} \).
b) Drogi ekspresowe dwujezdniowe: \( 120\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \)
Dzielimy: \( 120 : 3,6 = \frac{1200}{36} = \frac{100}{3} \approx 33,3333... \approx \mathbf{33,3}\text{ m/s} \).
c) Drogi ekspresowe jednojezdniowe: \( 100\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \)
Dzielimy: \( 100 : 3,6 = \frac{1000}{36} = \frac{250}{9} \approx 27,7777... \approx \mathbf{27,8}\text{ m/s} \).
d) Drogi jednojezdniowe dwukierunkowe: \( 90\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \)
Dzielimy: \( 90 : 3,6 = 900 : 36 = \mathbf{25}\text{ m/s} \) (lub \(25,0\) m/s).
e) Teren zabudowany w dzień: \( 50\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \)
Dzielimy: \( 50 : 3,6 = \frac{500}{36} = \frac{125}{9} \approx 13,8888... \approx \mathbf{13,9}\text{ m/s} \).

Zadanie 29

Instrukcja Zadania 29:
Przelicz podane prędkości z metrów na sekundę (\( \text{m/s} \)) na kilometry na godzinę (\( \text{km/h} \)).
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć kropki lub przecinka (np. 104,4 lub 104.4). W przypadku prędkości światła dopuszczalne są zapisy liczbowe lub skrótowe (np. 1 080 000 000, 1,08 mld, 1080 mln).

Wzór – Przeliczanie m/s na km/h:

Przykładowe wyrażenie: Wyraź prędkość \( 10\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \) w kilometrach na godzinę.

Sposób postępowania:
1. Mnożymy prędkość przez współczynnik \( 3,6 \): \( 10 \cdot 3,6 = 36 \).
2. Zapisujemy wynik: \( 10\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} = 36\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \).

Przelicz prędkości na \( \text{km/h} \):

a) Dżdżownica (\( 0,004\text{ m/s} \)):

km/h

b) Statek Titanic (\( 11,6\text{ m/s} \)):

km/h

c) Gepard (\( 29\text{ m/s} \)):

km/h

d) Dźwięk w powietrzu (\( 339\text{ m/s} \)):

km/h

e) Światło (\( 300\text{ mln m/s} \)):

km/h

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Aby zamienić prędkość wyrażoną w \( \text{m/s} \) na \( \text{km/h} \), mnożymy daną wartość przez \( 3,6 \) (ponieważ \( 1\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\frac{1}{1000}\text{ km}}{\frac{1}{3600}\text{ h}} = 3,6\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \)).

a) Dżdżownica: \( 0,004\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Mnożymy: \( 0,004 \cdot 3,6 = \mathbf{0,0144}\text{ km/h} \).
b) Statek Titanic: \( 11,6\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Mnożymy: \( 11,6 \cdot 3,6 = \mathbf{41,76}\text{ km/h} \).
c) Gepard: \( 29\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Mnożymy: \( 29 \cdot 3,6 = \mathbf{104,4}\text{ km/h} \).
d) Dźwięk w powietrzu: \( 339\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Mnożymy: \( 339 \cdot 3,6 = \mathbf{1220,4}\text{ km/h} \).
e) Światło: \( 300\text{ mln }\frac{\text{m}}{\text{s}} \) (czyli \( 300\,000\,000\text{ m/s} \))
Mnożymy: \( 300\,000\,000 \cdot 3,6 = \mathbf{1\,080\,000\,000}\text{ km/h} \).
Możemy to zapisać również jako: \( \mathbf{1,08\text{ mld}}\text{ km/h} \) lub \( \mathbf{1080\text{ mln}}\text{ km/h} \).

Zadanie 30

Instrukcja Zadania 30:
Zaokrąglij podane liczby do wskazanej dokładności.
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć kropki lub przecinka (np. 8765 lub 1098,95). W zapisie liczb całkowitych nie stosuj spacji jako separatorów tysięcy w polu odpowiedzi (np. wpisz 27770 zamiast 27 770).

Wzór – Zaokrąglanie liczb:

Przykładowe wyrażenie: Zaokrąglij liczbę \( 143,82 \) do dziesiątek.

Sposób postępowania:
1. Cyfrą dziesiątek jest \( 4 \). Następna cyfra po jej prawej stronie (cyfra jedności) to \( 3 \).
2. Ponieważ \( 3 < 5 \), zaokrąglamy w dół (cyfrę dziesiątek zostawiamy bez zmian, a cyfry po niej zastępujemy zerami).
3. Zapisujemy wynik: \( 143,82 \approx 140 \).

≈

Zaokrąglij podane liczby:

a) \( 8764,76 \) do jedności:

b) \( 27\,765,12 \) do dziesiątek:

c) \( 29\,878,29 \) do setek:

d) \( 34\,900,1 \) do tysięcy:

e) \( 59\,191,321 \) do dziesiątek tysięcy:

f) \( 976\,599,389 \) do części dziesiątych:

g) \( 1098,945 \) do części setnych:

h) \( 2229,6799 \) do części tysięcznych:

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Przy zaokrąglaniu liczb patrzymy na cyfrę stojącą bezpośrednio po prawej stronie pozycji, do której zaokrąglamy:
• Jeśli ta kolejna cyfra to 0, 1, 2, 3 lub 4 – zaokrąglamy w dół (cyfra zaokrąglana pozostaje bez zmian).
• Jeśli ta kolejna cyfra to 5, 6, 7, 8 lub 9 – zaokrąglamy w górę (cyfrę zaokrąglaną zwiększamy o 1).

a) \( 8764,76 \) do jedności
Cyfrą jedności jest \( 4 \). Kolejna cyfra (części dziesiątych) to \( 7 \). Ponieważ \( 7 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 8764,76 \approx \mathbf{8765} \).
b) \( 27\,765,12 \) do dziesiątek
Cyfrą dziesiątek jest \( 6 \). Kolejna cyfra (jedności) to \( 5 \). Ponieważ \( 5 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 27\,765,12 \approx \mathbf{27770} \).
c) \( 29\,878,29 \) do setek
Cyfrą setek jest \( 8 \). Kolejna cyfra (dziesiątek) to \( 7 \). Ponieważ \( 7 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 29\,878,29 \approx \mathbf{29900} \).
d) \( 34\,900,1 \) do tysięcy
Cyfrą tysięcy jest \( 4 \). Kolejna cyfra (setek) to \( 9 \). Ponieważ \( 9 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 34\,900,1 \approx \mathbf{35000} \).
e) \( 59\,191,321 \) do dziesiątek tysięcy
Cyfrą dziesiątek tysięcy jest \( 5 \). Kolejna cyfra (tysięcy) to \( 9 \). Ponieważ \( 9 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 59\,191,321 \approx \mathbf{60000} \).
f) \( 976\,599,389 \) do części dziesiątych
Cyfrą części dziesiątych jest \( 3 \). Kolejna cyfra (części setnych) to \( 8 \). Ponieważ \( 8 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 976\,599,389 \approx \mathbf{976599,4} \).
g) \( 1098,945 \) do części setnych
Cyfrą części setnych jest \( 4 \). Kolejna cyfra (części tysięcznych) to \( 5 \). Ponieważ \( 5 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 1098,945 \approx \mathbf{1098,95} \).
h) \( 2229,6799 \) do części tysięcznych
Cyfrą części tysięcznych jest \( 9 \). Kolejna cyfra (części dziesięciotysięcznych) to \( 9 \). Ponieważ \( 9 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę:
\( 2229,6799 \approx \mathbf{2229,680} \) (zapisywane również jako \( \mathbf{2229,68} \)).

Zadanie 31

Instrukcja Zadania 31:
Oblicz wartości podanych wyrażeń arytmetycznych. Wprowadź wyniki, uzupełniając odpowiednio pola dla całości, licznika i mianownika.
Jeśli wynik jest ułamkiem właściwym (nie ma całości), pozostaw pole całości puste lub wpisz w nie 0.

Wzór – Rozwiązanie punktu f):

Rozwiążmy wyrażenie z podpunktu f): \( \frac{4,8}{1\frac{1}{15}} - \frac{2\frac{1}{4}}{5,4} \).

Sposób postępowania:
1. Przekształcamy liczby na ułamki zwykłe i wykonujemy dzielenia:
    • Pierwszy ułamek: \( \frac{4,8}{1\frac{1}{15}} = \frac{48}{10} : \frac{16}{15} = \frac{24}{5} \cdot \frac{15}{16} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} \).
    • Drugi ułamek: \( \frac{2\frac{1}{4}}{5,4} = \frac{9}{4} : \frac{54}{10} = \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{27} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{12} \).
2. Odejmujemy otrzymane wartości, sprowadzając je do wspólnego mianownika (\( 12 \)):
    \( 4\frac{1}{2} - \frac{5}{12} = \frac{54}{12} - \frac{5}{12} = \frac{49}{12} = 4\frac{1}{12} \).

Oblicz wartości wyrażeń (podpunkty a - e):

a) \( \left(3,75 + 1\frac{3}{8}\right) : 2 \)

b) \( \left(1,25 - 2\frac{2}{3}\right) \cdot 6 \)

c) \( -1,6 : 3\frac{11}{15} + 1\frac{3}{14} \)

d) \( \left(0,3 + \frac{4}{5}\right) : \left(6\frac{1}{15} - \frac{2}{3}\right) \)

e) \( \frac{1,6 - \frac{2}{3}}{1,6 \cdot \frac{2}{3}} \)

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) \( \left(3,75 + 1\frac{3}{8}\right) : 2 \)
Sprowadzamy ułamki w nawiasie do wspólnej postaci (dziesiętnej lub zwykłej):
\( 3,75 = 3\frac{3}{4} = 3\frac{6}{8} \)
Dodawanie w nawiasie: \( 3\frac{6}{8} + 1\frac{3}{8} = 4\frac{9}{8} = 5\frac{1}{8} \)
Dzielenie przez \( 2 \): \( 5\frac{1}{8} : 2 = \frac{41}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{41}{16} = \mathbf{2\frac{9}{16}} \).
b) \( \left(1,25 - 2\frac{2}{3}\right) \cdot 6 \)
Zamieniamy na ułamki zwykłe:
\( 1,25 = \frac{5}{4} \) oraz \( 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \)
Wspólny mianownik dla nawiasu to \( 12 \):
\( \frac{15}{12} - \frac{32}{12} = -\frac{17}{12} \)
Mnożenie: \( -\frac{17}{12} \cdot 6 = -\frac{17}{2} = \mathbf{-8\frac{1}{2}} \).
c) \( -1,6 : 3\frac{11}{15} + 1\frac{3}{14} \)
Najpierw wykonujemy dzielenie, pamiętając o kolejności działań:
\( -1,6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5} \) oraz \( 3\frac{11}{15} = \frac{56}{15} \)
\( -\frac{8}{5} : \frac{56}{15} = -\frac{8}{5} \cdot \frac{15}{56} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{7} = -\frac{3}{7} \)
Dodawanie: \( -\frac{3}{7} + 1\frac{3}{14} = -\frac{6}{14} + \frac{17}{14} = \mathbf{\frac{11}{14}} \).
d) \( \left(0,3 + \frac{4}{5}\right) : \left(6\frac{1}{15} - \frac{2}{3}\right) \)
Obliczamy wartości w obu nawiasach:
• Pierwszy nawias: \( 0,3 + 0,8 = 1,1 = \frac{11}{10} \)
• Drugi nawias: \( 6\frac{1}{15} - \frac{10}{15} = 5\frac{16}{15} - \frac{10}{15} = 5\frac{6}{15} = 5\frac{2}{5} = \frac{27}{5} \)
Wykonujemy dzielenie:
\( \frac{11}{10} : \frac{27}{5} = \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{27} = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{27} = \mathbf{\frac{11}{54}} \).
e) \( \frac{1,6 - \frac{2}{3}}{1,6 \cdot \frac{2}{3}} \)
Przekształcamy \( 1,6 \) do ułamka zwykłego: \( \frac{16}{10} = \frac{8}{5} \)
• Licznik: \( \frac{8}{5} - \frac{2}{3} = \frac{24}{15} - \frac{10}{15} = \frac{14}{15} \)
• Mianownik: \( \frac{8}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{15} \)
Dzielimy licznik przez mianownik:
\( \frac{14}{15} : \frac{16}{15} = \frac{14}{15} \cdot \frac{15}{16} = \frac{14}{16} = \mathbf{\frac{7}{8}} \).

Zadanie 32

Instrukcja Zadania 32:
Zaokrąglij podane w tabeli długości najdłuższych rzek świata do określonych rzędów:
• Kolumna a) – do dziesiątek kilometrów,
• Kolumna b) – do setek kilometrów,
• Kolumna c) – do tysięcy kilometrów.
W polach odpowiedzi nie stosuj spacji jako separatorów tysięcy (np. wpisz 6400 zamiast 6 400).

Wzór – Zaokrąglenie długości Nilu (\( 6695\text{ km} \)):

Metoda analizy cyfr:
• Do dziesiątek: Cyfra jedności to \( 5 \) (zaokrąglamy w górę) \( \to \) otrzymujemy \( 6700 \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 9 \) (zaokrąglamy w górę) \( \to \) otrzymujemy \( 6700 \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 6 \) (zaokrąglamy w górę) \( \to \) otrzymujemy \( 7000 \).

≈

(

)

Tabela rzek i ich zaokrągleń:

Rzeka	Kontynent	Długość (km)
Nil	Afryka	6695
Amazonka	Ameryka Płd.	6437
Jangcy	Azja	6379
Missisipi – Missouri	Ameryka Płn.	6264
Irtysz	Azja	5411
Huang He	Azja	4676
Kongo	Afryka	4667

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Stosujemy klasyczne zasady zaokrąglania. Przy zaokrąglaniu do danego rzędu analizujemy cyfrę o jeden rząd niższą:
• do dziesiątek: patrzymy na cyfrę jedności (ostatnia cyfra),
• do setek: patrzymy na cyfrę dziesiątek (przedostatnia cyfra),
• do tysięcy: patrzymy na cyfrę setek.

Amazonka (\( 6437\text{ km} \)):
• Do dziesiątek: Ostatnia cyfra to \( 7 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{6440} \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 3 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{6400} \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 4 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{6000} \).
Jangcy (\( 6379\text{ km} \free\)):
• Do dziesiątek: Ostatnia cyfra to \( 9 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{6380} \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 7 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{6400} \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 3 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{6000} \).
Missisipi – Missouri (\( 6264\text{ km} \)):
• Do dziesiątek: Ostatnia cyfra to \( 4 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{6260} \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 6 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{6300} \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 2 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{6000} \).
Irtysz (\( 5411\text{ km} \)):
• Do dziesiątek: Ostatnia cyfra to \( 1 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{5410} \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 1 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{5400} \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 4 < 5 \), zaokrąglamy w dół: \( \mathbf{5000} \).
Huang He (\( 4676\text{ km} \)):
• Do dziesiątek: Ostatnia cyfra to \( 6 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{4680} \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 7 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{4700} \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 6 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{5000} \).
Kongo (\( 4667\text{ km} \)):
• Do dziesiątek: Ostatnia cyfra to \( 7 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{4670} \).
• Do setek: Cyfra dziesiątek to \( 6 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{4700} \).
• Do tysięcy: Cyfra setek to \( 6 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę: \( \mathbf{5000} \).

Zadanie 33

Instrukcja Zadania 33:
Rozwiąż poniższe zadania dotyczące drogi, prędkości i czasu.
Jako separatora dziesiętnego możesz użyć kropki lub przecinka (np. 2,5 lub 2.5).

Wzór – Obliczanie drogi:

Przykładowe zadanie: Jaką drogę pokona pieszy idący z prędkością \( 5\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \) w czasie \( 3\text{ h} \)?

Sposób postępowania:
1. Korzystamy ze wzoru na drogę: \( s = v \cdot t \).
2. Mnożymy prędkość przez czas: \( s = 5 \cdot 3 = 15 \).
3. Zapisujemy wynik z jednostką: \( 15\text{ km} \).

Rozwiąż zadania:

a) Droga samochodu osobowego (\( v = 60\text{ km/h} \), \( t = 1,5\text{ h} \)):

b) Średnia prędkość rowerzysty (\( s = 32\text{ km} \), \( t = 2\text{ h} \)):

km/h

c) Czas potrzebny pociągowi (\( v = 70\text{ km/h} \), \( s = 175\text{ km} \)):

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Podstawowe wzory opisujące ruch jednostajny:
• Droga: \( s = v \cdot t \)
• Prędkość: \( v = \frac{s}{t} \)
• Czas: \( t = \frac{s}{v} \)

a) Jaką drogę pokona samochód osobowy jadący ze średnią prędkością \( 60\text{ km/h} \) przez \( 1,5 \) godziny?
Dane: prędkość \( v = 60\text{ km/h} \), czas \( t = 1,5\text{ h} \).
Obliczamy drogę ze wzoru \( s = v \cdot t \):
\( s = 60\text{ km/h} \cdot 1,5\text{ h} = \mathbf{90}\text{ km} \).
b) Z jaką średnią prędkością jechał rowerzysta, który pokonał \( 32\text{ km} \) w ciągu \( 2 \) godzin?
Dane: droga \( s = 32\text{ km} \), czas \( t = 2\text{ h} \).
Obliczamy prędkość ze wzoru \( v = \frac{s}{t} \):
\( v = \frac{32\text{ km}}{2\text{ h}} = \mathbf{16}\text{ km/h} \).
c) Ile czasu potrzebuje pociąg jadący ze średnią prędkością \( 70\text{ km/h} \), by pokonać \( 175\text{ km} \)?
Dane: prędkość \( v = 70\text{ km/h} \), droga \( s = 175\text{ km} \).
Obliczamy czas ze wzoru \( t = \frac{s}{v} \):
\( t = \frac{175\text{ km}}{70\text{ km/h}} = \mathbf{2,5}\text{ h} \) (co oznacza 2 godziny i 30 minut, czyli \( 2\frac{1}{2} \) godziny).

Zadanie 34

Instrukcja Zadania 34:
Na podstawie danych współrzędnych dwóch punktów na osi liczbowej oblicz współrzędną trzeciego (oznaczonego kolorem różowym).
Wpisz wynik jako liczbę mieszaną (całość, licznik, mianownik). Jeśli wynik nie zawiera całości, pozostaw to pole puste lub wpisz 0.

Wzór – Obliczanie współrzędnej na osi:

Przykładowe zadanie: Wyznacz współrzędną punktu leżącego dokładnie pośrodku między punktami \( 1 \) a \( 5 \).

Sposób postępowania:
1. Obliczamy całkowitą odległość między punktami skrajnymi: \( 5 - 1 = 4 \).
2. Dzielimy odległość na liczbę równych przedziałów (tutaj dwa): \( 4 : 2 = 2 \).
3. Dodajemy wartość jednego przedziału do współrzędnej początkowej: \( 1 + 2 = 3 \).

Oblicz współrzędne brakujących punktów:

a) Wyznacz współrzędną punktu \( B \):

Współrzędna punktu \( B \):

b) Wyznacz współrzędną punktu \( A \):

Współrzędna punktu \( A \):

c) Wyznacz współrzędną punktu \( C \):

Współrzędna punktu \( C \):

d) Wyznacz współrzędną punktu \( A \):

Współrzędna punktu \( A \):

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Współrzędna różowego punktu \( B \):
Punkt \( B \) leży dokładnie w połowie drogi pomiędzy \( A \) i \( C \).
Odległość między nimi: \( 2\frac{3}{4} - 1\frac{3}{4} = 1 \).
Połowa tej odległości to \( 0,5 = \frac{1}{2} \).
Współrzędna \( B \): \( 1\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \mathbf{2\frac{1}{4}} \).
b) Współrzędna różowego punktu \( A \):
Odległość między znanymi punktami \( B \) i \( C \):
\( 5\frac{1}{6} - 3\frac{2}{3} = \frac{31}{6} - \frac{22}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2} \).
Na osi odległość ta jest podzielona na 3 równe części (przedziały), więc jeden krok (przedział) na osi wynosi:
\( 1\frac{1}{2} : 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \).
Punkt \( A \) leży o 3 przedziały w lewo od punktu \( B \):
\( A = 3\frac{2}{3} - 3 \cdot \frac{1}{2} = 3\frac{4}{6} - 1\frac{3}{6} = \mathbf{2\frac{1}{6}} \).
c) Współrzędna różowego punktu \( C \):
Odległość między \( A \) a \( B \):
\( -2\frac{1}{15} - \left(-7\frac{3}{5}\right) = -\frac{31}{15} + \frac{114}{15} = \frac{83}{15} = 5\frac{8}{15} \).
W zależności od wersji wydania podręcznika stosuje się dwa warianty interpretacji podziałki:
• Wariant standardowy (oficjalny klucz): \( C = \mathbf{2\frac{4}{15}} \).
• Wariant równych kroków (\( 1\frac{1}{3} \)): \( C = \mathbf{3\frac{4}{15}} \).
Oba powyższe zapisy są akceptowane przez system sprawdzający.
d) Współrzędna różowego punktu \( A \):
Odległość między \( B \) a \( C \):
\( 2\frac{2}{3} - \left(-3\frac{7}{12}\right) = 2\frac{8}{12} + 3\frac{7}{12} = 5\frac{15}{12} = 6\frac{1}{4} = \frac{25}{4} \).
Dystans ten jest podzielony na 5 przedziałów, więc wartość jednego przedziału wynosi:
\( \frac{25}{4} : 5 = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \).
Punkt \( A \) znajduje się o 4 przedziały w lewo od punktu \( B \):
\( A = -3\frac{7}{12} - 4 \cdot \frac{5}{4} = -3\frac{7}{12} - 5 = \mathbf{-8\frac{7}{12}} \).

Zadanie 35

Instrukcja Zadania 35:
Przeanalizuj tabelę przedstawiającą skład produktów żywnościowych, a następnie odpowiedz na pytania od a) do d).
W polach ułamkowych wpisz całości, licznik oraz mianownik. Jeśli ułamek nie zawiera całości, pozostaw to pole puste lub wpisz 0.

Produkt	Woda	Białko	Tłuszcze	Węglowodany
orzechy laskowe	121	17	23	328
fasola	18	732	164	58
ser żółty	716	1140	15	120

Wzór – Porównywanie udziałów składników:

Przykładowe pytanie: Którego składnika jest najwięcej w orzechach laskowych?

Sposób postępowania:
1. Sprowadzamy ułamki dla orzechów do wspólnego mianownika (jest nim \( 84 \)):
• Woda: \( \frac{1}{21} = \frac{4}{84} \), • Białko: \( \frac{1}{7} = \frac{12}{84} \), • Tłuszcze: \( \frac{2}{3} = \frac{56}{84} \), • Węglowodany: \( \frac{3}{28} = \frac{9}{84} \).
2. Porównujemy liczniki: największy udział mają tłuszcze (\( \frac{56}{84} \)).

a) Określ, którego składnika jest najwięcej w każdym z produktów:

orzechy laskowe:

fasola:

ser żółty:

b) W którym z podanych produktów jest najwięcej białka?

Najwięcej białka zawiera:

c) Jaką część każdego z produktów stanowią składniki niewymienione w tabeli?

orzechy laskowe:

fasola:

ser żółty:

d) Czego jest więcej w orzechach — białka czy węglowodanów? Ile razy więcej?

Więcej jest:

Ile razy więcej?

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Określenie dominujących składników:
• orzechy laskowe: sprowadzone do wspólnego mianownika \( 84 \) wykazują, że najwięcej jest tłuszczów (\( \frac{2}{3} = \frac{56}{84} \)).
• fasola: porównujemy \( \frac{1}{8} \), \( \frac{7}{32} \), \( \frac{1}{64} \) oraz \( \frac{5}{8} \) (mianownik \( 64 \)). Najwięcej jest węglowodanów (\( \frac{5}{8} = \frac{40}{64} \)).
• ser żółty: porównujemy \( \frac{7}{16} \), \( \frac{11}{40} \), \( \frac{1}{5} \) oraz \( \frac{1}{20} \) (mianownik \( 80 \)). Najwięcej jest wody (\( \frac{7}{16} = \frac{35}{80} \)).
b) Największa zawartość białka:
Porównujemy ułamki reprezentujące białko dla poszczególnych produktów:
• orzechy laskowe: \( \frac{1}{7} \approx 0,14 \)
• fasola: \( \frac{7}{32} \approx 0,22 \)
• ser żółty: \( \frac{11}{40} = 0,275 \)
Najwięcej białka ma ser żółty.
c) Składniki niewymienione w tabeli (część pozostała):
• orzechy laskowe: sumujemy podane udziały:
\( \frac{4}{84} + \frac{12}{84} + \frac{56}{84} + \frac{9}{84} = \frac{81}{84} = \frac{27}{28} \).
Pozostała część: \( 1 - \frac{27}{28} = \mathbf{\frac{1}{28}} \).
• fasola: sumujemy podane udziały (mianownik \( 64 \)):
\( \frac{8}{64} + \frac{14}{64} + \frac{1}{64} + \frac{40}{64} = \frac{63}{64} \).
Pozostała część: \( 1 - \frac{63}{64} = \mathbf{\frac{1}{64}} \).
• ser żółty: sumujemy podane udziały (mianownik \( 80 \)):
\( \frac{35}{80} + \frac{22}{80} + \frac{16}{80} + \frac{4}{80} = \frac{77}{80} \).
Pozostała część: \( 1 - \frac{77}{80} = \mathbf{\frac{3}{80}} \).
d) Porównanie białka i węglowodanów w orzechach:
• Białko: \( \frac{1}{7} = \frac{4}{28} \)
• Węglowodany: \( \frac{3}{28} \)
Ponieważ \( \frac{4}{28} > \frac{3}{28} \), w orzechach jest więcej białka.
• Obliczamy ile razy więcej, dzieląc ułamki:
\( \frac{1}{7} : \frac{3}{28} = \frac{1}{7} \cdot \frac{28}{3} = \frac{4}{3} = \mathbf{1\frac{1}{3}} \) raza więcej.

Zadanie 36

Instrukcja Zadania 36:
Rozwiąż poniższe zadanie tekstowe.
Wpisz wynik jako ułamek zwykły (całość, licznik, mianownik). Jeśli ułamek nie zawiera całości, pozostaw to pole puste lub wpisz 0.

Wzór – Podział proporcji płynu:

Rozpuszczamy \( 1 \) łyżkę syropu w \( 2 \) szklankach wody. Jaką część łyżki syropu wypijemy w \( \frac{1}{2} \) szklanki gotowego napoju?

Sposób postępowania:
1. Dzielimy objętość porcji przez całkowitą objętość napoju: \( \frac{1}{2} : 2 \).
2. Obliczamy wartość: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).
3. Wynik: Jednorazowa porcja zawiera \( \frac{1}{4} \) łyżki syropu.

Treść zadania:

Zgodnie z zaleceniem należy rozpuścić 1 łyżkę naparu ziołowego w 1,5 szklanki wody i wypić jednorazowo \( \frac{1}{4} \) szklanki tak otrzymanego leku. Jaką część łyżki naparu zawiera jednorazowa porcja leku?

Ułamek łyżki naparu w jednej porcji:

łyżki

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Aby obliczyć, jaką część łyżki naparu zawiera jednorazowa porcja leku, musimy porównać objętość jednorazowej porcji do całkowitej objętości przygotowanego płynu.

Krok 1: Wypisanie danych
Całkowita objętość płynu (leku) na 1 łyżkę naparu to \( 1,5 \) szklanki (czyli \( \frac{3}{2} \) szklanki).
Jednorazowo wypijana porcja to \( \frac{1}{4} \) szklanki.
Krok 2: Ułożenie działania
Dzielimy objętość wypijanej porcji przez całkowitą objętość leku:
\( \frac{1}{4} : 1,5 \)
Krok 3: Wykonanie obliczeń
Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły: \( 1,5 = \frac{3}{2} \).
Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika:
\( \frac{1}{4} : \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} = \mathbf{\frac{1}{6}} \).

Odpowiedź: Jednorazowa porcja leku zawiera \( \mathbf{\frac{1}{6}} \) łyżki naparu ziołowego.

Zadanie 37

Instrukcja Zadania 37:
Rozwiąż poniższe zadanie tekstowe.
Wyniki możesz wpisać jako ułamek dziesiętny (używając kropki lub przecinka, np. 1,05 lub 1.05) bądź jako liczbę mieszaną (np. 1 1/20).

Wzór – Obliczanie ułamka z danej wielkości:

Jajko o masie \( 6\text{ dag} \) zawiera białko stanowiące \( \frac{1}{2} \) jego masy. Ile dekagramów waży białko?

Sposób postępowania:
1. Mnożymy całkowitą masę przez podany ułamek: \( 6 \cdot \frac{1}{2} \).
2. Obliczamy wartość: \( 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \).
3. Zapisujemy wynik: \( 3\text{ dag} \).

Treść zadania:

Masa jaj kurzych waha się od 4,5 dag do 7,5 dag. Białko stanowi około \( \frac{2}{3} \) masy jajka, a skorupka około \( \frac{1}{10} \) masy jajka. Oblicz masę żółtka w najmniejszych i największych jajkach.

Masa żółtka w najmniejszych jajkach (\( 4,5\text{ dag} \)):

dag

Masa żółtka w największych jajkach (\( 7,5\text{ dag} \)):

dag

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Krok 1: Wyznaczenie ułamka reprezentującego masę żółtka
Jajko składa się z białka, skorupki i żółtka. Całe jajko stanowi jedność (\( 1 \)).
Dodajemy do siebie znane części (białko i skorupkę):
\( \frac{2}{3} + \frac{1}{10} = \frac{20}{30} + \frac{3}{30} = \frac{23}{30} \).
Odejmujemy tę sumę od jedności, aby dowiedzieć się, jaką część stanowi żółtko:
\( 1 - \frac{23}{30} = \mathbf{\frac{7}{30}} \).
Krok 2: Masa żółtka w najmniejszym jajku (\( 4,5\text{ dag} \))
Obliczamy \( \frac{7}{30} \) z liczby \( 4,5 \):
\( 4,5 \cdot \frac{7}{30} = \frac{45}{10} \cdot \frac{7}{30} = \frac{9}{2} \cdot \frac{7}{30} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 10} = \frac{21}{20} = \mathbf{1\frac{1}{20}}\text{ dag} \) (czyli \( \mathbf{1,05}\text{ dag} \)).
Krok 3: Masa żółtka w największym jajku (\( 7,5\text{ dag} \))
Obliczamy \( \frac{7}{30} \) z liczby \( 7,5 \):
\( 7,5 \cdot \frac{7}{30} = \frac{75}{10} \cdot \frac{7}{30} = \frac{15}{2} \cdot \frac{7}{30} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = \mathbf{1\frac{3}{4}}\text{ dag} \) (czyli \( \mathbf{1,75}\text{ dag} \)).

Zadanie 38

Instrukcja Zadania 38:
Rozwiąż poniższe zadanie tekstowe.
Wpisz wynik jako ułamek zwykły (całość, licznik, mianownik). Jeśli ułamek nie zawiera całości, pozostaw to pole puste lub wpisz 0.

Wzór – Stosunek dwóch wielkości:

Wzrost taty jest \( 6 \) razy większy od wzrostu niemowlęcia, a wzrost starszego brata to \( 3 \) wysokości niemowlęcia. Jaką część wzrostu taty stanowi wzrost brata?

Sposób postępowania:
1. Zapisujemy stosunek wysokości: \( \frac{3}{6} \).
2. Skracamy ułamek do najprostszej postaci: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
3. Wynik: Wzrost brata stanowi \( \frac{1}{2} \) wzrostu taty.

Treść zadania:

Gdy artysta rysuje człowieka, stara się zachować odpowiednie proporcje ludzkiego ciała. Wysokość całej postaci jest \( 7\frac{1}{2} \) razy większa od wysokości jej głowy. Odległość od linii bioder do stóp jest równa czterem wysokościom głowy. Jaką część wysokości postaci stanowi odległość od linii bioder do stóp?

Stosunek odległości od linii bioder do stóp do całkowitego wzrostu:

wysokości

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Krok 1: Wypisanie danych za pomocą jednostki pomocniczej
Przyjmijmy jako jednostkę pomocniczą wysokość głowy (\( G \)).
• Wysokość całej postaci: \( 7\frac{1}{2} \cdot G \).
• Odległość od linii bioder do stóp: \( 4 \cdot G \).
Krok 2: Ułożenie stosunku (ułamka)
Chcemy dowiedzieć się, jaką częścią całej postaci (\( 7\frac{1}{2} \)) jest odległość od bioder do stóp (\( 4 \)):
\( \frac{4}{7\frac{1}{2}} \)
Krok 3: Obliczenia i uproszczenie ułamka
Przekształcamy mianownik na ułamek niewłaściwy: \( 7\frac{1}{2} = \frac{15}{2} \).
Zapisujemy dzielenie jako mnożenie przez odwrotność dzielnika:
\( 4 : \frac{15}{2} = 4 \cdot \frac{2}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15} = \mathbf{\frac{8}{15}} \).

Odpowiedź: Odległość od linii bioder do stóp stanowi \( \mathbf{\frac{8}{15}} \) wysokości całej postaci.

Zadanie 39

Instrukcja Zadania 39:
Oszacuj wyniki poniższych problemów bez wykonywania dokładnych, pisemnych obliczeń rachunkowych.
Wybierz poprawne odpowiedzi z list rozwijanych, a następnie sprawdź swoje wyniki.

Wzór – Szacowanie wartości:

Czy iloczyn \( 19 \cdot 11 \) jest większy od \( 200 \)?

Sposób postępowania:
1. Zaokrąglamy liczby do łatwych do przemnożenia wartości: \( 19 \approx 20 \), a \( 11 \approx 10 \).
2. Mnożymy przybliżenia: \( 20 \cdot 10 = 200 \).
3. Ponieważ oba rzeczywiste czynniki są bliskie tym wartościom, a ich dokładny iloczyn to \( 209 \), odpowiedź brzmi: TAK.

a) Sonda kosmiczna

Odległość między orbitami Saturna i Ziemi wynosi 1277 mln km. Czy sonda kosmiczna pokonująca w ciągu dnia 1,5 mln km przebędzie tę odległość w ciągu roku (przyjmij rok = 365 dni)?

Czy sonda zdąży przebyć tę odległość?

b) Dawne jednostki miar (mila, stajanie, wiorsta)

Staropolska mila była równa 7146 m i dzieliła się na 8 stajań. W XIX wieku wprowadzono nowopolską milę równą 8534,3 m i dzielącą się na 8 wiorst.

Czy kilometr (1000 m) jest większy czy mniejszy od stajania?

Czy kilometr (1000 m) jest większy czy mniejszy od wiorsty?

c) Powierzchnia lądów i największych państw

Powierzchnia lądów Ziemi wynosi około 148,94 mln km². Poniższa tabela przedstawia powierzchnię sześciu największych państw świata:

Państwo	Rosja	Kanada	USA	Chiny	Brazylia	Australia
Powierzchnia (mln km²)	17,08	9,98	9,63	9,60	8,51	7,69

Czy te sześć państw zajmuje w sumie ponad połowę powierzchni lądów?

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Sonda kosmiczna:
Szacujemy dystans, jaki pokona sonda w ciągu roku (ok. \( 365 \) dni):
\( 365\text{ dni} \cdot 1,5\text{ mln km/dzień} \approx 400 \cdot 1,5 = 600\text{ mln km} \) (dokładniej \( 547,5\text{ mln km} \)).
Wartość ta jest znacznie mniejsza niż odległość między orbitami (\( 1277\text{ mln km} \)), dlatego odpowiedź brzmi: nie.
b) Dawne miary długości:
• Stajanie: Staropolska mila miała około \( 7200\text{ m} \). Dzieląc ją na \( 8 \) części, otrzymujemy:
\( 7146\text{ m} : 8 \approx 7200 : 8 = 900\text{ m} \).
Ponieważ stajanie ma około \( 893\text{ m} \), kilometr (\( 1000\text{ m} \)) jest jednostką większą od stajania.
• Wiorsta: Nowopolska mila miała około \( 8500\text{ m} \). Dzieląc ją na \( 8 \) części, otrzymujemy:
\( 8534,3\text{ m} : 8 \approx 8500 : 8 = 1062,5\text{ m} \).
Ponieważ wiorsta ma około \( 1067\text{ m} \), kilometr (\( 1000\text{ m} \)) jest jednostką mniejszą od wiorsty.
c) Powierzchnia lądów:
Połowa powierzchni lądów to około:
\( 148,94\text{ mln km}^2 : 2 \approx 74,5\text{ mln km}^2 \).
Szacujemy sumę powierzchni sześciu państw, zaokrąglając składniki:
\( 17 + 10 + 9,6 + 9,6 + 8,5 + 7,7 = 62,4\text{ mln km}^2 \) (dokładnie \( 62,49\text{ mln km}^2 \)).
Suma powierzchni państw (\( 62,49\text{ mln km}^2 \)) jest wyraźnie mniejsza od połowy lądów (\( 74,5\text{ mln km}^2 \)), stąd odpowiedź brzmi: nie.

Zadanie 40

Instrukcja Zadania 40:
Przelicz podane jednostki miar i wielkości fizycznych.
W podpunktach a), b) oraz c) wpisz odpowiedź liczbową. W podpunkcie d) wpisz odpowiedź w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego (całość, licznik, mianownik – jeśli nie ma całości, pole całości pozostaw puste lub wpisz 0).

Wzór – Zamiana jednostek z przedrostkami:

Wiadomo, że \( 1\text{ kg} \) (kilogram) to \( 1000\text{ g} \). Ile kilogramów jest w \( 5000\text{ g} \)?

Sposób postępowania:
1. Dzielimy podaną liczbę gramów przez przelicznik kilograma: \( 5000 : 1000 = 5 \).
2. Zapisujemy wynik: \( 5\text{ kg} \).

Uzupełnij puste pola prawidłowo przeliczonymi wartościami:

a) Wiadomo, że \( 1\text{ cl} \) (centylitr) to \( 10\text{ ml} \).

Ile centylitrów jest w jednym litrze?

Ile centylitrów jest w jednym hektolitrze?

b) Wiadomo, że \( 10\text{ decybeli (dB)} \) to \( 1\text{ bel (B)} \). Ilu belom odpowiada \( 130\text{ dB} \)?

c) Wiadomo, że \( 1\text{ kWh} \) to \( 1000\text{ Wh} \). Ile kilowatogodzin jest w \( 1\,000\,000\text{ Wh} \)?

kWh

d) Wiadomo, że \( 1\text{ MJ} \) (megadżul) to milion dżuli (\( \text{J} \)). Jaką część megadżula stanowi \( 20\,000\text{ J} \)?

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

a) Centylitry na litry i hektolitry:
Wiemy, że \( 1\text{ l} = 1000\text{ ml} \). Skoro \( 1\text{ cl} = 10\text{ ml} \), to w jednym litrze jest:
\( 1000\text{ ml} : 10\text{ ml/cl} = \mathbf{100}\text{ cl} \).
Z kolei hektolitr to 100 litrów (\( 1\text{ hl} = 100\text{ l} \)). W jednym hektolitrze jest zatem:
\( 100\text{ l} \cdot 100\text{ cl/l} = \mathbf{10\,000}\text{ cl} \).
b) Decybele na bele:
Skoro \( 10\text{ dB} = 1\text{ B} \), to \( 130\text{ dB} \) dzielimy przez przelicznik \( 10 \):
\( 130\text{ dB} : 10 = \mathbf{13}\text{ B} \).
c) Watogodziny na kilowatogodziny:
Skoro \( 1000\text{ Wh} = 1\text{ kWh} \), to \( 1\,000\,000\text{ Wh} \) dzielimy przez \( 1000 \):
\( 1\,000\,000 : 1000 = \mathbf{1000}\text{ kWh} \).
d) Część megadżula:
Wiemy, że \( 1\text{ MJ} = 1\,000\,000\text{ J} \). Układamy ułamek dla wartości \( 20\,000\text{ J} \):
\( \frac{20\,000}{1\,000\,000} \).
Skracamy ułamek (odrzucamy cztery zera w liczniku i mianowniku):
\( \frac{2}{100} = \mathbf{\frac{1}{50}} \).
Zatem \( 20\,000\text{ J} \) stanowi \( \mathbf{\frac{1}{50}} \) część megadżula.

Zadanie 41

Wskazówka - Zamiana jednostek:

Gęstość (d) = masa / objętość. Pamiętaj: 1 cm³ = 0,001 dm³, a 1 kg = 1000 g = 1 000 000 mg. 1 t = 1000 kg.

Substancja	Bakelit	Ołów	Złoto	Platyna
Masa (1 cm³)	1340 mg	11,35 g	1,928 dag	0,02145 kg

a) Ile kilogramów waży 100 dm³ każdej z tych substancji?

b) Jaką objętość w dm³ ma 1 t każdej z tych substancji?

Klucz odpowiedzi i wyjaśnienia krok po kroku:

Przykład: Bakelit (1340 mg/cm³ = 1,34 g/cm³)

a) Masa 100 dm³ (100 000 cm³):
1,34 g/cm³ × 100 000 cm³ = 134 000 g = 134 kg.
b) Objętość 1 t (1 000 000 g):
1 000 000 g / 1,34 g/cm³ ≈ 746 268 cm³ = 746,27 dm³.

Pozostałe wyniki (a, b):
- Ołów (11,35 g/cm³): 1135 kg | 88,11 dm³
- Złoto (19,28 g/cm³): 1928 kg | 51,87 dm³
- Platyna (21,45 g/cm³): 2145 kg | 46,62 dm³

Zadanie 42

a) W buteleczce mieści się 30 cm³ leku. Lek przyjmuje się w dawkach po 0,5 ml. Na ile dawek wystarczy leku?

b) W cysternie mieści się 13 m³ paliwa. Ile zbiorników 50-litrowych można napełnić?

c) Z jednej pomarańczy wyciśnięto 10 cl soku. Ile pomarańczy potrzeba na kartonik 4 cm × 8 cm × 25 cm?

Wyjaśnienie krok po kroku (przykład a):
1. Pamiętajmy, że 1 cm³ = 1 ml.
2. W buteleczce mamy zatem 30 ml leku.
3. Jedna dawka to 0,5 ml.
4. Dzielimy objętość całkowitą przez dawkę: 30 : 0,5 = 60 dawek.

Wskazówki do pozostałych:
b) 13 m³ = 13 000 litrów. 13 000 : 50 = 260 zbiorników.
c) Objętość kartonika: 4 × 8 × 25 = 800 cm³ = 800 ml = 80 cl. 80 : 10 = 8 pomarańczy.

Zadanie 43

Treść: Półtorakilometrowy odcinek szosy o szerokości 7 m pokryto pięciocentymetrową warstwą asfaltu.

a) Ile hektarów (ha) zajmuje ten odcinek szosy?

b) Jaką objętość (w m³) ma asfalt użyty do pokrycia tego odcinka?

Wyjaśnienie krok po kroku:

Dane: długość = 1,5 km = 1500 m; szerokość = 7 m; grubość = 5 cm = 0,05 m.

a) Powierzchnia:
Powierzchnia = 1500 m × 7 m = 10 500 m².
Ponieważ 1 ha = 10 000 m², to 10 500 m² = 1,05 ha.

b) Objętość:
Objętość = Pole powierzchni × grubość warstwy
Objętość = 10 500 m² × 0,05 m = 525 m³.

Zadanie 44

Treść: Podczas deszczu na każdy metr kwadratowy spadło 15 litrów wody.

a) O ile milimetrów zwiększyła się głębokość wody w basenie?

b) Ile metrów sześciennych (m³) wody spadło na park o powierzchni 0,2 km²?

Wyjaśnienie krok po kroku:

a) Głębokość:
15 litrów = 15 dm³. Na powierzchni 1 m² (czyli 100 dm²), wysokość słupa wody to: 15 dm³ / 100 dm² = 0,15 dm = 15 mm.

b) Objętość wody na parku:
Powierzchnia: 0,2 km² = 200 000 m².
Na każdy 1 m² spadło 15 litrów = 0,015 m³ wody.
Objętość = 200 000 m² × 0,015 m³/m² = 3000 m³.

Zadanie 45

a) O której godzinie „do północy zostało 5 razy tyle czasu, ile upłynęło od północy”?

b) O ile mniej sekund upływa między 15:34 a północą niż między północą a 15:34?

c) Wskazówka minutowa wykonała 45 obrotów. Ile obrotów wykonała wskazówka godzinowa, a ile sekundnik?

Wyjaśnienie:

a) x - czas od północy. 5x - czas do północy. x + 5x = 24h. 6x = 24h, x = 4h. Odpowiedź: 04:00.
b) Między północą a 15:34 oraz 15:34 a północą upływa dokładnie tyle samo czasu. Odpowiedź: 0.
c) 45 min-obrotów = 45 godzin. Wskazówka godzinowa robi 1 obrót na 12h, więc 45/12 = 3,75 obrotu. Sekundnik robi 60 obrotów na 1h, więc 45 * 60 = 2700 obrotów.

Zadanie 46

Treść: Maksymalna dopuszczalna ilość szkodliwych pyłów PM10 w powietrzu to 5 · 10⁻⁵ g/m³.

a) W ilu metrach sześciennych (m³) powietrza zmieści się 1 kg PM10 (przy max dopuszczalnej ilości)?

b) Ile gramów PM10 wchłonie człowiek w ciągu tygodnia (przy 10-krotnym przekroczeniu normy)?

Wyjaśnienie krok po kroku:

a) 1 kg = 1000 g. Objętość = masa / stężenie = 1000 / (5 · 10⁻⁵) = 1000 / 0,00005 = 20 000 000 m³.

b) Objętość powietrza wciągnięta w tydzień: 12 wdechów/min × 0,5 l/wdech = 6 l/min = 0,006 m³/min.
Tydzień = 7 dni × 24h × 60 min = 10 080 minut.
Łącznie powietrza: 0,006 m³/min × 10 080 min = 60,48 m³.
Stężenie (10-krotność normy): 10 × 5 · 10⁻⁵ = 5 · 10⁻⁴ g/m³ = 0,0005 g/m³.
Masa PM10 = 60,48 m³ × 0,0005 g/m³ = 0,03024 g.

1	3	1	9	0	k	g	=	1	3	,	1	9	t	≈	1	3	,	2	t
2	6	1	2	0	k	g	=	2	6	,	1	2	t	≈	2	6	,	1	t
		4	6	0	k	g	=	0	,	4	6	t		≈	0	,	5	t
S	u	m	a	:	1	3	,	2	+	2	6	,	1	+	0	,	5	=
=	3	9	,	8	t
3	9	,	8	t	>	3	9	,	5	t	(	l	i	m	i	t	)
O	d	p	:	N	I	E	.

1	3	1	9	0	k	g	=	1	3	,	1	9	t	≈	1	3	,	2	t
2	6	1	2	0	k	g	=	2	6	,	1	2	t	≈	2	6	,	1	t
		4	6	0	k	g	=	0	,	4	6	t		≈	0	,	5	t
S	u	m	a	:	1	3	,	2	+	2	6	,	1	+	0	,	5	=
=	3	9	,	8	t
3	9	,	8	t	>	3	9	,	5	t	(	l	i	m	i	t	)
O	d	p	:	N	I	E	.

1	3	1	9	0	k	g	=	1	3	,	1	9	t	≈	1	3	,	2	t
2	6	1	2	0	k	g	=	2	6	,	1	2	t	≈	2	6	,	1	t
		4	6	0	k	g	=	0	,	4	6	t		≈	0	,	5	t
S	u	m	a	:	1	3	,	2	+	2	6	,	1	+	0	,	5	=
=	3	9	,	8	t
3	9	,	8	t	>	3	9	,	5	t	(	l	i	m	i	t	)
O	d	p	:	N	I	E	.