Działania na potęgach i pierwiastkach.

Zadanie 1

Instrukcja Zadania 1:
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci jednej potęgi. Wpisz wartości liczbowe w odpowiednie kratki. W przypadku ułamków uzupełnij licznik i mianownik, a w przypadku liczb mieszanych dodatkowo wpisz całość w pole przed ułamkiem.

Prawa działań na potęgach

Podczas rozwiązywania zadań skorzystaj z podstawowych wzorów:

• Mnożenie potęg o tych samych podstawach: \( a^r \cdot a^s = a^{r+s} \)
• Dzielenie potęg o tych samych podstawach: \( a^r : a^s = a^{r-s} \)
• Potęgowanie potęgi: \( (a^r)^s = a^{r \cdot s} \)
• Mnożenie potęg o tym samym wykładniku: \( a^r \cdot b^r = (a \cdot b)^r \)
• Dzielenie potęg o tym samym wykładniku: \( a^r : b^r = (a : b)^r \)

a) Mnożenie potęg o tych samych podstawach:

\( 7^2 \cdot 7^6 = \)

Wynik:

\( 0{,}2^5 \cdot 0{,}2^9 = \)

Wynik:

\( (\frac{4}{7})^3 \cdot (\frac{4}{7})^{10} = \)

Wynik: (

)

\( (-\frac{2}{3})^8 \cdot (-\frac{2}{3})^4 = \)

Wynik: ( -

)

\( (-3{,}1)^4 \cdot (-3{,}1)^5 = \)

Wynik: ( - )

b) Dzielenie potęg o tych samych podstawach:

\( 5^8 : 5^6 = \)

Wynik:

\( 1{,}2^{10} : 1{,}2^7 = \)

Wynik:

\( (\frac{5}{6})^{13} : (\frac{5}{6})^{10} = \)

Wynik: (

)

\( (-2{,}3)^5 : (-2{,}3)^3 = \)

Wynik: ( - )

\( (-\frac{4}{9})^{10} : (-\frac{4}{9})^3 = \)

Wynik: ( -

)

c) Potęgowanie potęgi:

\( (6^3)^5 = \)

Wynik:

\( (0{,}7^2)^6 = \)

Wynik:

\( ((\frac{3}{5})^3)^8 = \)

Wynik: (

)

\( ((-5)^3)^3 = \)

Wynik: ( - )

\( ((-3\frac{1}{4})^3)^2 = \)

Wynik: ( -

)

d) Mnożenie potęg o tym samym wykładniku:

\( 2^9 \cdot 7^9 = \)

Wynik:

\( 0{,}23^5 \cdot 10^5 = \)

Wynik:

\( (\frac{12}{25})^7 \cdot (\frac{5}{18})^7 = \)

Wynik: (

)

\( (-0{,}3)^6 \cdot 5^6 = \)

Wynik: ( - )

\( (-1{,}2)^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 = \)

Wynik: ( -

)

e) Dzielenie potęg o tym samym wykładniku:

\( 12^7 : 6^7 = \)

Wynik:

\( 4{,}7^3 : 10^3 = \)

Wynik:

\( (\frac{20}{21})^5 : (\frac{15}{14})^5 = \)

Wynik: (

)

\( (-8)^9 : (-2)^9 = \)

Wynik:

\( (\frac{2}{3})^7 : (-1{,}5)^7 = \)

Wynik: ( -

)

f) Wielokrotne potęgowanie potęgi:

\( ((3^2)^5)^2 = \)

Wynik:

\( ((0{,}4^2)^4)^5 = \)

Wynik:

\( (((\frac{7}{8})^3)^4)^2 = \)

Wynik: (

)

\( (((-2)^3)^2)^3 = \)

Wynik: ( - )

\( (((-1\frac{1}{3})^2)^3)^4 = \)

Wynik: ( -

)

Rozwiązanie krok po kroku:

a) Mnożenie potęg o tych samych podstawach (dodajemy wykładniki):

• \( 7^2 \cdot 7^6 = 7^{2+6} = 7^8 \)
• \( 0{,}2^5 \cdot 0{,}2^9 = 0{,}2^{5+9} = 0{,}2^{14} \)
• \( (\frac{4}{7})^3 \cdot (\frac{4}{7})^{10} = (\frac{4}{7})^{3+10} = (\frac{4}{7})^{13} \)
• \( (-\frac{2}{3})^8 \cdot (-\frac{2}{3})^4 = (-\frac{2}{3})^{8+4} = (-\frac{2}{3})^{12} \)
• \( (-3{,}1)^4 \cdot (-3{,}1)^5 = (-3{,}1)^{4+5} = (-3{,}1)^9 \)

b) Dzielenie potęg o tych samych podstawach (odejmujemy wykładniki):

• \( 5^8 : 5^6 = 5^{8-6} = 5^2 \)
• \( 1{,}2^{10} : 1{,}2^7 = 1{,}2^{10-7} = 1{,}2^3 \)
• \( (\frac{5}{6})^{13} : (\frac{5}{6})^{10} = (\frac{5}{6})^{13-10} = (\frac{5}{6})^3 \)
• \( (-2{,}3)^5 : (-2{,}3)^3 = (-2{,}3)^{5-3} = (-2{,}3)^2 \)
• \( (-\frac{4}{9})^{10} : (-\frac{4}{9})^3 = (-\frac{4}{9})^{10-3} = (-\frac{4}{9})^7 \)

c) Potęgowanie potęgi (mnożymy wykładniki):

• \( (6^3)^5 = 6^{3 \cdot 5} = 6^{15} \)
• \( (0{,}7^2)^6 = 0{,}7^{2 \cdot 6} = 0{,}7^{12} \)
• \( ((\frac{3}{5})^3)^8 = (\frac{3}{5})^{3 \cdot 8} = (\frac{3}{5})^{24} \)
• \( ((-5)^3)^3 = (-5)^{3 \cdot 3} = (-5)^9 \)
• \( ((-3\frac{1}{4})^3)^2 = (-3\frac{1}{4})^{3 \cdot 2} = (-3\frac{1}{4})^6 \) (co po zamianie na ułamek niewłaściwy daje \( (-\frac{13}{4})^6 \))

d) Mnożenie potęg o tym samym wykładniku (mnożymy podstawy):

• \( 2^9 \cdot 7^9 = (2 \cdot 7)^9 = 14^9 \)
• \( 0{,}23^5 \cdot 10^5 = (0{,}23 \cdot 10)^5 = 2{,}3^5 \)
• \( (\frac{12}{25})^7 \cdot (\frac{5}{18})^7 = (\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{18})^7 = (\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3})^7 = (\frac{2}{15})^7 \)
• \( (-0{,}3)^6 \cdot 5^6 = (-0{,}3 \cdot 5)^6 = (-1{,}5)^6 \)
• \( (-1{,}2)^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 = (-1{,}2 \cdot \frac{2}{3})^5 = (-\frac{6}{5} \cdot \frac{2}{3})^5 = (-\frac{4}{5})^5 \)

e) Dzielenie potęg o tym samym wykładniku (dzielimy podstawy):

• \( 12^7 : 6^7 = (12 : 6)^7 = 2^7 \)
• \( 4{,}7^3 : 10^3 = (4{,}7 : 10)^3 = 0{,}47^3 \)
• \( (\frac{20}{21})^5 : (\frac{15}{14})^5 = (\frac{20}{21} \cdot \frac{14}{15})^5 = (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3})^5 = (\frac{8}{9})^5 \)
• \( (-8)^9 : (-2)^9 = (-8 : (-2))^9 = 4^9 \)
• \( (\frac{2}{3})^7 : (-1{,}5)^7 = (\frac{2}{3} : (-\frac{3}{2}))^7 = (\frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{3}))^7 = (-\frac{4}{9})^7 \)

f) Wielokrotne potęgowanie potęgi (mnożymy wszystkie wykładniki):

• \( ((3^2)^5)^2 = 3^{2 \cdot 5 \cdot 2} = 3^{20} \)
• \( ((0{,}4^2)^4)^5 = 0{,}4^{2 \cdot 4 \cdot 5} = 0{,}4^{40} \)
• \( (((\frac{7}{8})^3)^4)^2 = (\frac{7}{8})^{3 \cdot 4 \cdot 2} = (\frac{7}{8})^{24} \)
• \( (((-2)^3)^2)^3 = (-2)^{3 \cdot 2 \cdot 3} = (-2)^{18} \)
• \( (((-1\frac{1}{3})^2)^3)^4 = (-1\frac{1}{3})^{2 \cdot 3 \cdot 4} = (-1\frac{1}{3})^{24} \)

Zadanie 2

Instrukcja Zadania 2:
Przedstaw poniższe wyrażenia w postaci potęgi liczby 3. Wpisz podstawę potęgi w większe pole dolne, a jej wykładnik w mniejsze pole górne.

Przykład analizy wyrażenia:

\( \frac{(27 \cdot 3^4)^5}{9^4} = \frac{(3^3 \cdot 3^4)^5}{(3^2)^4} = \frac{(3^7)^5}{3^8} = \frac{3^{35}}{3^8} = 3^{27} \)

Wskazówka: Sprowadź wszystkie podstawy potęg występujące w działaniu (np. 9, 27, 81) do wspólnej podstawy równej 3, a następnie zastosuj odpowiednie działania na wykładnikach.

Wyrażenia: Zapisz w postaci \( 3^n \):

\( a) \ \ 27^5 = \)

Wynik:

\( b) \ \ 81 \cdot 3^5 = \)

Wynik:

\( c) \ \ \frac{9^5}{3^8} = \)

Wynik:

\( d) \ \ (3^7 \cdot 9)^2 = \)

Wynik:

\( e) \ \ 27^8 : 9^6 = \)

Wynik:

\( f) \ \ \frac{3^{10} \cdot 27}{9^5} = \)

Wynik:

\( g) \ \ (27^2)^5 \cdot 9 = \)

Wynik:

\( h) \ \ (\frac{9^4}{27})^2 = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt a): \( 27^5 \)
  Liczbę 27 zapisujemy jako potęgę trójki: \( 27 = 3^3 \). Otrzymujemy:
  \( 27^5 = (3^3)^5 \)
  Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi (mnożymy wykładniki):
  \( 3^{3 \cdot 5} = 3^{15} \).
• Podpunkt b): \( 81 \cdot 3^5 \)
  Liczbę 81 zapisujemy jako potęgę trójki: \( 81 = 3^4 \). Otrzymujemy:
  \( 3^4 \cdot 3^5 \)
  Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:
  \( 3^{4+5} = 3^9 \).
• Podpunkt c): \( \frac{9^5}{3^8} \)
  Sprowadzamy licznik do podstawy 3: \( 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10} \). Otrzymujemy:
  \( \frac{3^{10}}{3^8} \)
  Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładnik mianownika od wykładnika licznika:
  \( 3^{10-8} = 3^2 \).
• Podpunkt d): \( (3^7 \cdot 9)^2 \)
  Zamieniamy 9 wewnątrz nawiasu na \( 3^2 \):
  \( (3^7 \cdot 3^2)^2 = (3^{7+2})^2 = (3^9)^2 \)
  Mnożymy wykładniki (potęgowanie potęgi):
  \( 3^{9 \cdot 2} = 3^{18} \).
• Podpunkt e): \( 27^8 : 9^6 \)
  Zapisujemy obie podstawy jako potęgi liczby 3:
  \( 27^8 = (3^3)^8 = 3^{24} \) oraz \( 9^6 = (3^2)^6 = 3^{12} \)
  Dzielimy otrzymane wyrażenia (odejmując wykładniki):
  \( 3^{24} : 3^{12} = 3^{24-12} = 3^{12} \).
• Podpunkt f): \( \frac{3^{10} \cdot 27}{9^5} \)
  Zamieniamy 27 na \( 3^3 \) oraz 9 na \( 3^2 \):
  \( \frac{3^{10} \cdot 3^3}{(3^2)^5} = \frac{3^{10+3}}{3^{10}} = \frac{3^{13}}{3^{10}} \)
  Odejmujemy wykładniki:
  \( 3^{13-10} = 3^3 \).
• Podpunkt g): \( (27^2)^5 \cdot 9 \)
  Zamieniamy podstawy na potęgi liczby 3:
  \( 27^2 = (3^3)^2 = 3^6 \), stąd otrzymujemy \( (3^6)^5 = 3^{30} \).
  Mnożymy przez \( 9 = 3^2 \):
  \( 3^{30} \cdot 3^2 = 3^{30+2} = 3^{32} \).
• Podpunkt h): \( (\frac{9^4}{27})^2 \)
  Upraszczamy wnętrze nawiasu:
  \( 9^4 = (3^2)^4 = 3^8 \), stąd otrzymujemy \( \frac{3^8}{3^3} = 3^{8-3} = 3^5 \).
  Podnosimy wynik do kwadratu:
  \( (3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10} \).

Zadanie 3

Instrukcja Zadania 3:
Zapisz podane wielkości w notacji wykładniczej. Wpisz odpowiednią mantysę w pierwsze pole tekstowe, a wykładnik potęgi dziesięciu w małe górne pole.

Przykłady analizy (Notacja Wykładnicza):

\( \bullet \ \ 3450 \cdot 10^{-12} = 3{,}45 \cdot 10^3 \cdot 10^{-12} = 3{,}45 \cdot 10^{-9} \)
\( \bullet \ \ 0{,}00047 \cdot 10^9 = 4{,}7 \cdot 10^{-4} \cdot 10^9 = 4{,}7 \cdot 10^5 \)

Wskazówka: Pamiętaj, że w notacji wykładniczej \( a \cdot 10^n \) liczba \( a \) (mantysa) musi spełniać warunek: \( 1 \le a < 10 \).

Wyrażenia: Przedstaw w postaci \( a \cdot 10^n \):

\( a) \ \ 230 \cdot 10^8 = \)

Wynik: · 10

\( b) \ \ 79{,}5 \cdot 10^5 = \)

Wynik: · 10

\( c) \ \ 54000 \cdot 10^{-9} = \)

Wynik: · 10

\( d) \ \ 120{,}4 \cdot 10^{-6} = \)

Wynik: · 10

\( e) \ \ 0{,}57 \cdot 10^6 = \)

Wynik: · 10

\( f) \ \ 0{,}000532 \cdot 10^{12} = \)

Wynik: · 10

\( g) \ \ 0{,}876 \cdot 10^{-4} = \)

Wynik: · 10

\( h) \ \ 0{,}0000012 \cdot 10^{-5} = \)

Wynik: · 10

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt a): \( 230 \cdot 10^8 \)
  Przekształcamy liczbę 230: \( 230 = 2{,}3 \cdot 10^2 \). Otrzymujemy:
  \( 2{,}3 \cdot 10^2 \cdot 10^8 = 2{,}3 \cdot 10^{2+8} = 2{,}3 \cdot 10^{10} \).
• Podpunkt b): \( 79{,}5 \cdot 10^5 \)
  Przekształcamy liczbę 79,5: \( 79{,}5 = 7{,}95 \cdot 10^1 \). Otrzymujemy:
  \( 7{,}95 \cdot 10^1 \cdot 10^5 = 7{,}95 \cdot 10^{1+5} = 7{,}95 \cdot 10^6 \).
• Podpunkt c): \( 54000 \cdot 10^{-9} \)
  Przekształcamy liczbę 54000: \( 54000 = 5{,}4 \cdot 10^4 \). Otrzymujemy:
  \( 5{,}4 \cdot 10^4 \cdot 10^{-9} = 5{,}4 \cdot 10^{4+(-9)} = 5{,}4 \cdot 10^{-5} \).
• Podpunkt d): \( 120{,}4 \cdot 10^{-6} \)
  Przekształcamy liczbę 120,4: \( 120{,}4 = 1{,}204 \cdot 10^2 \). Otrzymujemy:
  \( 1{,}204 \cdot 10^2 \cdot 10^{-6} = 1{,}204 \cdot 10^{2+(-6)} = 1{,}204 \cdot 10^{-4} \).
• Podpunkt e): \( 0{,}57 \cdot 10^6 \)
  Przekształcamy liczbę 0,57: \( 0{,}57 = 5{,}7 \cdot 10^{-1} \). Otrzymujemy:
  \( 5{,}7 \cdot 10^{-1} \cdot 10^6 = 5{,}7 \cdot 10^{-1+6} = 5{,}7 \cdot 10^5 \).
• Podpunkt f): \( 0{,}000532 \cdot 10^{12} \)
  Przekształcamy liczbę 0,000532: \( 0{,}000532 = 5{,}32 \cdot 10^{-4} \). Otrzymujemy:
  \( 5{,}32 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{12} = 5{,}32 \cdot 10^{-4+12} = 5{,}32 \cdot 10^8 \).
• Podpunkt g): \( 0{,}876 \cdot 10^{-4} \)
  Przekształcamy liczbę 0,876: \( 0{,}876 = 8{,}76 \cdot 10^{-1} \). Otrzymujemy:
  \( 8{,}76 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = 8{,}76 \cdot 10^{-1+(-4)} = 8{,}76 \cdot 10^{-5} \).
• Podpunkt h): \( 0{,}0000012 \cdot 10^{-5} \)
  Przekształcamy liczbę 0,0000012: \( 0{,}0000012 = 1{,}2 \cdot 10^{-6} \). Otrzymujemy:
  \( 1{,}2 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-5} = 1{,}2 \cdot 10^{-6+(-5)} = 1{,}2 \cdot 10^{-11} \).

Zadanie 4

Instrukcja Zadania 4:
Oblicz wyniki poniższych działań i zapisz je w notacji wykładniczej. Wpisz mantysę w pierwsze pole, a wykładnik potęgi w małe górne pole.

Przykłady analizy działań:

\( \bullet \ \ 9 \cdot (7 \cdot 10^{-5}) = 63 \cdot 10^{-5} = 6{,}3 \cdot 10^{-4} \)
\( \bullet \ \ (7 \cdot 10^{-3}) \cdot (6 \cdot 10^9) = 42 \cdot 10^{-3+9} = 42 \cdot 10^6 = 4{,}2 \cdot 10^7 \)
\( \bullet \ \ 3{,}2 \cdot 10^{10} + 2 \cdot 10^{12} = 3{,}2 \cdot 10^{10} + 200 \cdot 10^{10} = 203{,}2 \cdot 10^{10} = 2{,}032 \cdot 10^{12} \)

Wyrażenia: Wykonaj działania i zapisz w postaci \( a \cdot 10^n \):

\( a) \ \ 5 \cdot (9 \cdot 10^7) = \)

Wynik: · 10

\( b) \ \ 4 \cdot 10^3 \cdot 7 = \)

Wynik: · 10

\( c) \ \ 8 \cdot (3 \cdot 10^{-7}) = \)

Wynik: · 10

\( d) \ \ (8 \cdot 10^6) \cdot (4 \cdot 10^9) = \)

Wynik: · 10

\( e) \ \ (7 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^7) = \)

Wynik: · 10

\( f) \ \ (16 \cdot 10^2) : (8 \cdot 10^{-5}) = \)

Wynik: · 10

\( g) \ \ 5{,}4 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^{11} = \)

Wynik: · 10

\( h) \ \ 1{,}8 \cdot 10^{12} - 20 \cdot 10^9 = \)

Wynik: · 10

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt a): \( 5 \cdot (9 \cdot 10^7) \)
  Mnożymy najpierw czynniki liczbowe:
  \( 5 \cdot 9 = 45 \), co daje \( 45 \cdot 10^7 \).
  Zapisujemy liczbę 45 w notacji wykładniczej: \( 45 = 4{,}5 \cdot 10^1 \). Otrzymujemy:
  \( 4{,}5 \cdot 10^1 \cdot 10^7 = 4{,}5 \cdot 10^{1+7} = 4{,}5 \cdot 10^8 \).
• Podpunkt b): \( 4 \cdot 10^3 \cdot 7 \)
  Mnożymy czynniki liczbowe: \( 4 \cdot 7 = 28 \). Otrzymujemy:
  \( 28 \cdot 10^3 \).
  Zamieniamy 28 na notację wykładniczą: \( 28 = 2{,}8 \cdot 10^1 \):
  \( 2{,}8 \cdot 10^1 \cdot 10^3 = 2{,}8 \cdot 10^{1+3} = 2{,}8 \cdot 10^4 \).
• Podpunkt c): \( 8 \cdot (3 \cdot 10^{-7}) \)
  Wykonujemy mnożenie: \( 8 \cdot 3 = 24 \), co daje wyrażenie \( 24 \cdot 10^{-7} \).
  Zapisujemy 24 w notacji wykładniczej: \( 24 = 2{,}4 \cdot 10^1 \):
  \( 2{,}4 \cdot 10^1 \cdot 10^{-7} = 2{,}4 \cdot 10^{1+(-7)} = 2{,}4 \cdot 10^{-6} \).
• Podpunkt d): \( (8 \cdot 10^6) \cdot (4 \cdot 10^9) \)
  Grupujemy odpowiednie czynniki liczbowe oraz potęgi dziesiątki:
  \( (8 \cdot 4) \cdot (10^6 \cdot 10^9) = 32 \cdot 10^{6+9} = 32 \cdot 10^{15} \).
  Zapisujemy 32 w notacji wykładniczej: \( 32 = 3{,}2 \cdot 10^1 \). Otrzymujemy:
  \( 3{,}2 \cdot 10^1 \cdot 10^{15} = 3{,}2 \cdot 10^{1+15} = 3{,}2 \cdot 10^{16} \).
• Podpunkt e): \( (7 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^7) \)
  Mnożymy czynniki liczbowe oraz wykładniki dziesiątki:
  \( (7 \cdot 2) \cdot (10^{-3} \cdot 10^7) = 14 \cdot 10^{-3+7} = 14 \cdot 10^4 \).
  Zapisujemy 14 jako \( 1{,}4 \cdot 10^1 \), co ostatecznie daje:
  \( 1{,}4 \cdot 10^1 \cdot 10^4 = 1{,}4 \cdot 10^5 \).
• Podpunkt f): \( (16 \cdot 10^2) : (8 \cdot 10^{-5}) \)
  Dzielimy czynniki liczbowe oraz potęgi dziesiątki (pamiętając, że odejmujemy ujemny wykładnik):
  \( (16 : 8) \cdot (10^2 : 10^{-5}) = 2 \cdot 10^{2 - (-5)} = 2 \cdot 10^{2+5} = 2 \cdot 10^7 \).
  Ponieważ \( 2 \) spełnia warunek \( 1 \le 2 < 10 \), zapis \( 2 \cdot 10^7 \) jest gotową notacją wykładniczą.
• Podpunkt g): \( 5{,}4 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^{11} \)
  Sprowadzamy potęgi dziesięciu do tego samego wykładnika (np. do 8):
  \( 3 \cdot 10^{11} = 3000 \cdot 10^8 \). Otrzymujemy sumę:
  \( 5{,}4 \cdot 10^8 + 3000 \cdot 10^8 = 3005{,}4 \cdot 10^8 \).
  Przekształcamy wynik do notacji wykładniczej:
  \( 3{,}0054 \cdot 10^3 \cdot 10^8 = 3{,}0054 \cdot 10^{11} \).
• Podpunkt h): \( 1{,}8 \cdot 10^{12} - 20 \cdot 10^9 \)
  Sprowadzamy potęgi dziesięciu do wspólnego wykładnika (np. do 9):
  \( 1{,}8 \cdot 10^{12} = 1800 \cdot 10^9 \). Wykonujemy odejmowanie:
  \( 1800 \cdot 10^9 - 20 \cdot 10^9 = 1780 \cdot 10^9 \).
  Przekształcamy wynik do notacji wykładniczej:
  \( 1{,}78 \cdot 10^3 \cdot 10^9 = 1{,}78 \cdot 10^{12} \).

Zadanie 5

Instrukcja Zadania 5:
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci jednego pierwiastka. Wpisz odpowiednią liczbę podpierwiastkową pod kreskę pierwiastka. Stopień pierwiastka jest już narzucony.

Wzory i prawa działań na pierwiastkach

Podczas przekształcania działań na pierwiastkach o tym samym stopniu skorzystaj z następujących praw (przy założeniu \( a, b \ge 0 \) oraz \( b > 0 \) w mianowniku):

• Mnożenie pierwiastków o tym samym stopniu: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) Dla pierwiastków kwadratowych (\( n=2 \)): \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
• Dzielenie pierwiastków o tym samym stopniu: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)  lub  \( \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b} \) Dla pierwiastków kwadratowych (\( n=2 \)): \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)  lub  \( \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} \)

a) Mnożenie pierwiastków:

\( 1. \ \ \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = \)

Wynik: √

\( 2. \ \ \sqrt{3} \cdot \sqrt{10} = \)

Wynik: √

\( 3. \ \ \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{11} = \)

Wynik: 3 √

b) Dzielenie pierwiastków:

\( 1. \ \ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \)

Wynik: √

\( 2. \ \ \sqrt{15} : \sqrt{5} = \)

Wynik: √

\( 3. \ \ \sqrt[3]{30} : \sqrt[3]{3} = \)

Wynik: 3 √

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt a) - Mnożenie pierwiastków:
  Zgodnie ze wzorem \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \), mnożymy wartości pod pierwiastkami:
  • \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{2 \cdot 7} = \sqrt{14} \)
  • \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{3 \cdot 10} = \sqrt{30} \)
  • \( \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{11} = \sqrt[3]{5 \cdot 11} = \sqrt[3]{55} \)
• Podpunkt b) - Dzielenie pierwiastków:
  Zgodnie ze wzorem \( \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b} \), dzielimy wartości pod pierwiastkami:
  • \( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5} \)
  • \( \sqrt{15} : \sqrt{5} = \sqrt{15 : 5} = \sqrt{3} \)
  • \( \sqrt[3]{30} : \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{30 : 3} = \sqrt[3]{10} \)

Zadanie 6

Instrukcja Zadania 6:
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka. Wpisz odpowiedni czynnik przed symbolem pierwiastka, a liczbę podpierwiastkową pod kreską. W podpunkcie a) najpierw uzupełnij krok pomocniczy.

Przykład analizy (Wyłączanie czynnika):

\( \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \)

Wyrażenia: Wyłącz czynnik przed pierwiastek:

\( a) \ \ \sqrt{75} = \)

√

25 · 

= √

\( b) \ \ \sqrt{125} = \)

Wynik: √

\( c) \ \ \sqrt{18} = \)

Wynik: √

\( d) \ \ \sqrt{45} = \)

Wynik: √

\( e) \ \ \sqrt{700} = \)

Wynik: √

\( f) \ \ \sqrt{28} = \)

Wynik: √

\( g) \ \ \sqrt{72} = \)

Wynik: √

\( h) \ \ \sqrt{40} = \)

Wynik: √

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt a): \( \sqrt{75} \)
  Liczbę 75 rozkładamy na iloczyn, w którym jeden z czynników jest kwadratem liczby naturalnej: \( 75 = 25 \cdot 3 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \).
• Podpunkt b): \( \sqrt{125} \)
  Rozkładamy liczbę 125: \( 125 = 25 \cdot 5 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \).
• Podpunkt c): \( \sqrt{18} \)
  Rozkładamy liczbę 18: \( 18 = 9 \cdot 2 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
• Podpunkt d): \( \sqrt{45} \)
  Rozkładamy liczbę 45: \( 45 = 9 \cdot 5 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \).
• Podpunkt e): \( \sqrt{700} \)
  Rozkładamy liczbę 700: \( 700 = 100 \cdot 7 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7} \).
• Podpunkt f): \( \sqrt{28} \)
  Rozkładamy liczbę 28: \( 28 = 4 \cdot 7 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \).
• Podpunkt g): \( \sqrt{72} \)
  Rozkładamy liczbę 72 (szukamy największego kwadratu): \( 72 = 36 \cdot 2 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
• Podpunkt h): \( \sqrt{40} \)
  Rozkładamy liczbę 40: \( 40 = 4 \cdot 10 \). Otrzymujemy:
  \( \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10} \).

Zadanie 7

Instrukcja Zadania 7:
Oblicz wyniki poniższych działań, a następnie upewnij się, że Twój wynik znajduje się na Liście kontrolnej. Wpisz odpowiedni czynnik przed pierwiastkiem oraz liczbę podpierwiastkową pod kreską.

Przykład obliczeń:

\( 3\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{8} = 6\sqrt{48} = 6\sqrt{16 \cdot 3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \)

Lista kontrolna wyników (w losowej kolejności):

40√3 10√3 24√3 (przykład) 29√3 9√3 11√3

Działania: Oblicz i uprość wyrażenia:

\( 1) \ \ 4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} = \)

Wynik: √

\( 2) \ \ \frac{1}{2}\sqrt{8} \cdot 5\sqrt{6} = \)

Wynik: √

\( 3) \ \ 5\sqrt{3} + 3\sqrt{12} = \)

Wynik: √

\( 4) \ \ 5\sqrt{27} + 7\sqrt{12} = \)

Wynik: √

\( 5) \ \ 2\sqrt{48} + \frac{1}{3}\sqrt{27} = \)

Wynik: √

Rozwiązanie krok po kroku:

• Wyrażenie 1): \( 4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} \)
  Mnożymy odpowiednio współczynniki przed pierwiastkiem oraz liczby podpierwiastkowe:
  \( (4 \cdot 2)\sqrt{15 \cdot 5} = 8\sqrt{75} \)
  Rozkładamy liczbę 75, aby wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka: \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \). Otrzymujemy:
  \( 8 \cdot 5\sqrt{3} = 40\sqrt{3} \) (wynik znajduje się na liście).
• Wyrażenie 2): \( \frac{1}{2}\sqrt{8} \cdot 5\sqrt{6} \)
  Wykonujemy mnożenie:
  \( (\frac{1}{2} \cdot 5)\sqrt{8 \cdot 6} = 2{,}5\sqrt{48} \) (lub \( \frac{5}{2}\sqrt{48} \))
  Rozkładamy liczbę 48: \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \). Otrzymujemy:
  \( \frac{5}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \) (wynik znajduje się na liście).
• Wyrażenie 3): \( 5\sqrt{3} + 3\sqrt{12} \)
  Upraszczamy drugi składnik sumy wyłączając czynnik przed pierwiastek: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), stąd \( 3\sqrt{12} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \).
  Dodajemy otrzymane pierwiastki podobne:
  \( 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 11\sqrt{3} \) (wynik znajduje się na liście).
• Wyrażenie 4): \( 5\sqrt{27} + 7\sqrt{12} \)
  Przekształcamy oba składniki do postaci z pierwiastkiem z 3:
  \( 5\sqrt{27} = 5\sqrt{9 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \)
  \( 7\sqrt{12} = 7\sqrt{4 \cdot 3} = 7 \cdot 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3} \)
  Dodajemy oba wyrażenia:
  \( 15\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = 29\sqrt{3} \) (wynik znajduje się na liście).
• Wyrażenie 5): \( 2\sqrt{48} + \frac{1}{3}\sqrt{27} \)
  Upraszczamy składniki sumy:
  \( 2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)
  \( \frac{1}{3}\sqrt{27} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 3} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 1\sqrt{3} \)
  Dodajemy pierwiastki:
  \( 8\sqrt{3} + 1\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \) (wynik znajduje się na liście).

Zadanie 7

Instrukcja Zadania 7:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń pierwiastkowych. Wpisz ostateczną wartość liczbową w puste pole obok każdego wyrażenia, a następnie kliknij „Sprawdź”.

Przykład analizy obliczeń:

\( a) \ \ (5\sqrt[3]{4})^3 - (6\sqrt{5})^2 = 5^3 \cdot (\sqrt[3]{4})^3 - 6^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 125 \cdot 4 - 36 \cdot 5 = 500 - 180 = 320 \)

Wyrażenia: Oblicz i wpisz ostateczne wyniki:

\( b) \ \ (\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt{3})^2 = \)

Wynik:

\( c) \ \ (\sqrt{12})^2 + \sqrt[3]{13^3} = \)

Wynik:

\( d) \ \ (2\sqrt[3]{4})^3 + (3\sqrt{2})^2 = \)

Wynik:

\( e) \ \ (10\sqrt[3]{5})^3 - (5\sqrt{2})^2 = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt b): \( (\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt{3})^2 \)
  Potęgowanie o wykładniku równym stopniowi pierwiastka znosi pierwiastek:
  \( (\sqrt[3]{7})^3 = 7 \)
  \( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
  Odejmujemy otrzymane wartości:
  \( 7 - 3 = 4 \).
• Podpunkt c): \( (\sqrt{12})^2 + \sqrt[3]{13^3} \)
  Podobnie jak wyżej, potęga i stopień pierwiastka redukują się nawzajem:
  \( (\sqrt{12})^2 = 12 \)
  \( \sqrt[3]{13^3} = 13 \)
  Dodajemy obie wartości:
  \( 12 + 13 = 25 \).
• Podpunkt d): \( (2\sqrt[3]{4})^3 + (3\sqrt{2})^2 \)
  Podnosimy do potęgi każdy czynnik z osobna:
  \( (2\sqrt[3]{4})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{4})^3 = 8 \cdot 4 = 32 \)
  \( (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \)
  Dodajemy otrzymane wyniki:
  \( 32 + 18 = 50 \).
• Podpunkt e): \( (10\sqrt[3]{5})^3 - (5\sqrt{2})^2 \)
  Podnosimy do potęgi każdy czynnik z osobna:
  \( (10\sqrt[3]{5})^3 = 10^3 \cdot (\sqrt[3]{5})^3 = 1000 \cdot 5 = 5000 \)
  \( (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \)
  Wykonujemy odejmowanie:
  \( 5000 - 50 = 4950 \).

Zadanie 9

Instrukcja Zadania 9:
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci jednej potęgi. Wpisz odpowiednią podstawę potęgi w dolne pola, a jej wykładnik w małe górne pole.

Wyrażenia: Zapisz w postaci pojedynczej potęgi:

\( a) \ \ (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 = \)

Wynik: (

)

\( b) \ \ (-6)^{15} : (-6)^3 = \)

Wynik: ( - )

\( c) \ \ (1{,}2)^{14} : (1{,}2)^{10} = \)

Wynik: ( )

\( d) \ \ (5^3)^2 = \)

Wynik:

\( e) \ \ \frac{(\sqrt{3})^6 \cdot 3^7}{3^{13} : 3^3} = \)

Wynik:

\( f) \ \ \frac{(\sqrt{5})^{16} \cdot (\sqrt[3]{5})^9}{(5^5)^2} = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

• Podpunkt a): \( (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 \)
  Mnożenie potęg o tych samych podstawach polega na dodaniu ich wykładników:
  \( (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^5 = (\frac{2}{3})^{5+5} = (\frac{2}{3})^{10} \).
• Podpunkt b): \( (-6)^{15} : (-6)^3 \)
  Dzielenie potęg o tych samych podstawach polega na odjęciu ich wykładników:
  \( (-6)^{15} : (-6)^3 = (-6)^{15-3} = (-6)^{12} \).
• Podpunkt c): \( (1{,}2)^{14} : (1{,}2)^{10} \)
  Analogicznie jak w b), odejmujemy wykładniki potęg:
  \( (1{,}2)^{14} : (1{,}2)^{10} = (1{,}2)^{14-10} = (1{,}2)^4 \).
• Podpunkt d): \( (5^3)^2 \)
  Przy potęgowaniu potęgi mnożymy ich wykładniki:
  \( (5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6 \).
• Podpunkt e): \( \frac{(\sqrt{3})^6 \cdot 3^7}{3^{13} : 3^3} \)
  Najpierw przekształcamy licznik:
  \( (\sqrt{3})^6 = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 3^3 \)
  Zatem licznik przyjmuje postać: \( 3^3 \cdot 3^7 = 3^{3+7} = 3^{10} \).
  Następnie upraszczamy mianownik:
  \( 3^{13} : 3^3 = 3^{13-3} = 3^{10} \).
  Dzielimy licznik przez mianownik:
  \( \frac{3^{10}}{3^{10}} = 3^{10-10} = 3^0 \) (co jest równe 1).
• Podpunkt f): \( \frac{(\sqrt{5})^{16} \cdot (\sqrt[3]{5})^9}{(5^5)^2} \)
  Upraszczamy czynniki w liczniku:
  \( (\sqrt{5})^{16} = (5^{\frac{1}{2}})^{16} = 5^{16 \cdot \frac{1}{2}} = 5^8 \)
  \( (\sqrt[3]{5})^9 = (5^{\frac{1}{3}})^9 = 5^{9 \cdot \frac{1}{3}} = 5^3 \)
  Stąd licznik wynosi: \( 5^8 \cdot 5^3 = 5^{8+3} = 5^{11} \).
  Przekształcamy mianownik:
  \( (5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10} \).
  Wykonujemy dzielenie:
  \( \frac{5^{11}}{5^{10}} = 5^{11-10} = 5^1 \).

Zadanie 10

Instrukcja Zadania 10:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń arytmetycznych. Wpisz wartości liczbowe w odpowiednie kratki. W przypadku ułamków zwykłych uzupełnij licznik i mianownik, a w przypadku liczb mieszanych dodatkowo wpisz całość w pole przed ułamkiem. Ułamki dziesiętne wpisuj z użyciem przecinka lub kropki.

Wskazówki do obliczeń

Podczas rozwiązywania zadań pamiętaj o kolejności wykonywania działań oraz podstawowych regułach:

• Zawsze zamieniaj liczby mieszane na ułamki niewłaściwe przed potęgowaniem lub pierwiastkowaniem, np. \( 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \).
• Ułamek dziesiętny podnosimy do potęgi, wykonując mnożenie lub zamieniając go na ułamek zwykły, np. \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \).
• Pierwiastkowanie ułamka polega na obliczeniu pierwiastka z licznika i mianownika osobno: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).

a) \( \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(1\frac{3}{4}\right)^2 = \)

Wynik:

b) \( 0{,}5^2 - 0{,}1^3 = \)

Wynik:

c) \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot (2{,}25)^2 = \)

Wynik:

d) \( \sqrt[3]{\frac{1}{27}} + \sqrt{1\frac{13}{36}} = \)

Wynik:

e) \( \sqrt{0{,}64} : \sqrt[3]{0{,}001} = \)

Wynik:

f) \( \sqrt{2 - \frac{1}{25}} - \sqrt{1 - 0{,}99} = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

a) \( \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(1\frac{3}{4}\right)^2 \)

• Obliczamy pierwszy składnik: \( \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} \)
• Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \( 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \)
• Obliczamy drugi składnik: \( \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16} \)
• Dodajemy oba wyniki: \( \frac{1}{16} + \frac{49}{16} = \frac{50}{16} \)
• Skracamy ułamek przez \( 2 \): \( \frac{50}{16} = \frac{25}{8} \)
• Wyłączamy całości: \( \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} \)

b) \( 0{,}5^2 - 0{,}1^3 \)

• Obliczamy kwadrat liczby \( 0{,}5 \): \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \)
• Obliczamy sześcian liczby \( 0{,}1 \): \( 0{,}1^3 = 0{,}001 \)
• Wykonujemy odejmowanie: \( 0{,}25 - 0{,}001 = 0{,}249 \)

c) \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot (2{,}25)^2 \)

• Obliczamy potęgę ułamka zwykłego: \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \)
• Zamieniamy ułamek dziesiętny \( 2{,}25 \) na zwykły niewłaściwy: \( 2{,}25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)
• Obliczamy kwadrat: \( \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{81}{16} \)
• Mnożymy ułamki i skracamy na krzyż:
  \( \frac{8}{27} \cdot \frac{81}{16} = \frac{8 \cdot 81}{27 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \) (lub w postaci dziesiętnej \( 1{,}5 \))

d) \( \sqrt[3]{\frac{1}{27}} + \sqrt{1\frac{13}{36}} \)

• Obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia: \( \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} \)
• Zamieniamy liczbę mieszaną pod drugim pierwiastkiem na ułamek niewłaściwy: \( 1\frac{13}{36} = \frac{49}{36} \)
• Obliczamy pierwiastek kwadratowy: \( \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6} \)
• Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika \( 6 \) i dodajemy:
  \( \frac{1}{3} + \frac{7}{6} = \frac{2}{6} + \frac{7}{6} = \frac{9}{6} \)
• Skracamy i wyłączamy całości: \( \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \)

e) \( \sqrt{0{,}64} : \sqrt[3]{0{,}001} \)

• Obliczamy pierwiastek kwadratowy: \( \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \) (ponieważ \( 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64 \))
• Obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia: \( \sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1 \) (ponieważ \( 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001 \))
• Dzielimy wartości: \( 0{,}8 : 0{,}1 = 8 \)

f) \( \sqrt{2 - \frac{1}{25}} - \sqrt{1 - 0{,}99} \)

• Odejmujemy wartości pod pierwszym pierwiastkiem: \( 2 - \frac{1}{25} = 1\frac{24}{25} = \frac{49}{25} \)
• Obliczamy pierwszy pierwiastek: \( \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1{,}4 \)
• Odejmujemy wartości pod drugim pierwiastkiem: \( 1 - 0{,}99 = 0{,}01 \)
• Obliczamy drugi pierwiastek: \( \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \)
• Odejmujemy uzyskane wyniki: \( 1{,}4 - 0{,}1 = 1{,}3 \) (lub jako ułamek zwykły: \( 1\frac{3}{10} \))

Zadanie 11

Instrukcja Zadania 11:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń bez korzystania z kalkulatora. Wynik zapisz w notacji wykładniczej (w postaci \( a \cdot 10^k \), gdzie \( 1 \le a < 10 \) oraz \( k \) jest liczbą całkowitą). Wpisz odpowiednie liczby w kratki.

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci \( a \cdot 10^k \), gdzie:

• \( a \) (mantysa) to liczba spełniająca warunek \( 1 \le a < 10 \),
• \( k \) (wykładnik) to liczba całkowita.

Przykład dodawania i odejmowania:
Jeśli składniki mają różne wykładniki potęg liczby \( 10 \), przed wykonaniem działania sprowadź je do wspólnego wykładnika:
\( 4 \cdot 10^9 + 9 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^9 + 0{,}9 \cdot 10^9 = (4 + 0{,}9) \cdot 10^9 = 4{,}9 \cdot 10^9 \)

a) \( 2 \cdot 10^6 + 7 \cdot 10^6 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

b) \( 5{,}4 \cdot 10^{-5} + 3{,}2 \cdot 10^{-5} = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

c) \( 4{,}3 \cdot 10^9 + 7{,}8 \cdot 10^9 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

d) \( 8 \cdot 10^8 - 5 \cdot 10^8 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

e) \( 9{,}4 \cdot 10^{-4} - 6{,}6 \cdot 10^{-4} = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

f) \( 2{,}9 \cdot 10^7 - 2{,}7 \cdot 10^7 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

g) \( 4 \cdot 10^9 + 9 \cdot 10^8 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

h) \( 1{,}7 \cdot 10^4 + 5{,}3 \cdot 10^5 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

i) \( 7{,}45 \cdot 10^7 + 5 \cdot 10^5 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

j) \( 2 \cdot 10^{10} - 6 \cdot 10^9 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

k) \( 3{,}6 \cdot 10^8 - 6 \cdot 10^7 = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

l) \( 1{,}38 \cdot 10^{11} - 2{,}1 \cdot 10^{10} = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

m) \( 6 \cdot 10^{-8} - 4 \cdot 10^{-9} = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

n) \( 1{,}6 \cdot 10^{-4} - 5 \cdot 10^{-5} = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

o) \( 7{,}39 \cdot 10^{-7} - 1{,}7 \cdot 10^{-8} = \)

Wynik: \( \cdot \ 10 \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Dla podpunktów o tych samych wykładnikach (a, b, d, e):

• a) \( 2 \cdot 10^6 + 7 \cdot 10^6 = (2 + 7) \cdot 10^6 = 9 \cdot 10^6 \)
• b) \( 5{,}4 \cdot 10^{-5} + 3{,}2 \cdot 10^{-5} = (5{,}4 + 3{,}2) \cdot 10^{-5} = 8{,}6 \cdot 10^{-5} \)
• d) \( 8 \cdot 10^8 - 5 \cdot 10^8 = (8 - 5) \cdot 10^8 = 3 \cdot 10^8 \)
• e) \( 9{,}4 \cdot 10^{-4} - 6{,}6 \cdot 10^{-4} = (9{,}4 - 6{,}6) \cdot 10^{-4} = 2{,}8 \cdot 10^{-4} \)

Dla podpunktów wymagających przesunięcia przecinka w wyniku (c, f):

• c) \( 4{,}3 \cdot 10^9 + 7{,}8 \cdot 10^9 = (4{,}3 + 7{,}8) \cdot 10^9 = 12{,}1 \cdot 10^9 \)
  Ponieważ liczba \( 12{,}1 \) jest większa od \( 10 \), przesuwamy przecinek w lewo i zwiększamy wykładnik o jeden:
  \( 12{,}1 \cdot 10^9 = 1{,}21 \cdot 10^{10} \)
• f) \( 2{,}9 \cdot 10^7 - 2{,}7 \cdot 10^7 = (2{,}9 - 2{,}7) \cdot 10^7 = 0{,}2 \cdot 10^7 \)
  Ponieważ liczba \( 0{,}2 \) jest mniejsza od \( 1 \), przesuwamy przecinek w prawo i zmniejszamy wykładnik o jeden:
  \( 0{,}2 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^6 \)

Dla podpunktów o różnych wykładnikach (g – o):
Sprowadzamy składniki do wspólnego (zazwyczaj większego) wykładnika:

• g) \( 4 \cdot 10^9 + 9 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^9 + 0{,}9 \cdot 10^9 = 4{,}9 \cdot 10^9 \)
• h) \( 1{,}7 \cdot 10^4 + 5{,}3 \cdot 10^5 = 0{,}17 \cdot 10^5 + 5{,}3 \cdot 10^5 = 5{,}47 \cdot 10^5 \)
• i) \( 7{,}45 \cdot 10^7 + 5 \cdot 10^5 = 7{,}45 \cdot 10^7 + 0{,}05 \cdot 10^7 = 7{,}5 \cdot 10^7 \)
• j) \( 2 \cdot 10^{10} - 6 \cdot 10^9 = 20 \cdot 10^9 - 6 \cdot 10^9 = 14 \cdot 10^9 = 1{,}4 \cdot 10^{10} \)
• k) \( 3{,}6 \cdot 10^8 - 6 \cdot 10^7 = 36 \cdot 10^7 - 6 \cdot 10^7 = 30 \cdot 10^7 = 3 \cdot 10^8 \)
• l) \( 1{,}38 \cdot 10^{11} - 2{,}1 \cdot 10^{10} = 13{,}8 \cdot 10^{10} - 2{,}1 \cdot 10^{10} = 11{,}7 \cdot 10^{10} = 1{,}17 \cdot 10^{11} \)
• m) \( 6 \cdot 10^{-8} - 4 \cdot 10^{-9} = 6 \cdot 10^{-8} - 0{,}4 \cdot 10^{-8} = 5{,}6 \cdot 10^{-8} \)
• n) \( 1{,}6 \cdot 10^{-4} - 5 \cdot 10^{-5} = 16 \cdot 10^{-5} - 5 \cdot 10^{-5} = 11 \cdot 10^{-5} = 1{,}1 \cdot 10^{-4} \)
• o) \( 7{,}39 \cdot 10^{-7} - 1{,}7 \cdot 10^{-8} = 73{,}9 \cdot 10^{-8} - 1{,}7 \cdot 10^{-8} = 72{,}2 \cdot 10^{-8} = 7{,}22 \cdot 10^{-7} \)

Zadanie 12

Instrukcja Zadania 12:
Rozwiąż poniższe zadania tekstowe wykorzystując działania na potęgach i notację wykładniczą. Wpisz wyniki w odpowiednie pola (używaj przecinka lub kropki w przypadku ułamków dziesiętnych).

Zastosowanie notacji wykładniczej

Notacja wykładnicza ułatwia operowanie na bardzo dużych lub bardzo małych liczbach:

• Milion (\(\text{mln}\)): \( 10^6 \), zatem \( 300\text{ mln} = 300 \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^8 \).
• Działania na wykładnikach: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy (\( 10^r \cdot 10^s = 10^{r+s} \)).
• Jednostki objętości: Pamiętaj, że \( 1\text{ dm}^3 \) to objętość sześcianu o krawędzi \( 1\text{ dm} = 10\text{ cm} = 0{,}1\text{ m} \).

a) Powierzchnia jednego pęcherzyka płucnego wynosi \( 1{,}7 \cdot 10^{-7}\text{ m}^2 \), a w płucach człowieka jest ich od \( 300\text{ mln} \) do \( 500\text{ mln} \). Jaka jest łączna powierzchnia pęcherzyków w płucach człowieka?

Odpowiedź: od \( \text{m}^2 \) do \( \text{m}^2 \)

b) Termosfera to warstwa atmosfery ziemskiej sięgająca od wysokości \( 8{,}5 \cdot 10^4\text{ m} \) do \( 5{,}5 \cdot 10^5\text{ m} \) nad powierzchnią Ziemi. Jaka jest grubość tej warstwy?

Odpowiedź (notacja wykładnicza): \( \cdot\ 10 \) \( \text{m} \)

c) Na rolce nawinięte jest \( 200\text{ m} \) folii o szerokości \( 50\text{ cm} \) i grubości \( 2{,}3 \cdot 10^{-5}\text{ m} \). Jaka jest objętość tej folii? Odpowiedź wyraź w decymetrach sześciennych.

Odpowiedź: \( \text{dm}^3 \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Zadanie a)

• Przeliczamy miliony na potęgę liczby 10:
  \( 300\text{ mln} = 300 \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^8 \)
  \( 500\text{ mln} = 500 \cdot 10^6 = 5 \cdot 10^8 \)
• Obliczamy minimalną łączną powierzchnię:
  \( S_{\text{min}} = (1{,}7 \cdot 10^{-7}\text{ m}^2) \cdot (3 \cdot 10^8) = 1{,}7 \cdot 3 \cdot 10^{-7+8} = 5{,}1 \cdot 10^1 = 51\text{ m}^2 \)
• Obliczamy maksymalną łączną powierzchnię:
  \( S_{\text{max}} = (1{,}7 \cdot 10^{-7}\text{ m}^2) \cdot (5 \cdot 10^8) = 1{,}7 \cdot 5 \cdot 10^{-7+8} = 8{,}5 \cdot 10^1 = 85\text{ m}^2 \)

Zadanie b)

• Grubość warstwy to różnica między wysokością maksymalną a minimalną:
  \( d = 5{,}5 \cdot 10^5\text{ m} - 8{,}5 \cdot 10^4\text{ m} \)
• Sprowadzamy potęgi do wspólnego wykładnika (\( 10^5 \)):
  \( 8{,}5 \cdot 10^4\text{ m} = 0{,}85 \cdot 10^5\text{ m} \)
• Wykonujemy odejmowanie:
  \( d = 5{,}5 \cdot 10^5 - 0{,}85 \cdot 10^5 = (5{,}5 - 0{,}85) \cdot 10^5 = 4{,}65 \cdot 10^5\text{ m} \)

Zadanie c)

• Objętość prostopadłościanu liczymy ze wzoru: \( V = \text{długość} \cdot \text{szerokość} \cdot \text{grubość} \).
• Ponieważ odpowiedź ma być podana w decymetrach sześciennych (\( \text{dm}^3 \)), najwygodniej jest zamienić wszystkie wymiary na decymetry (\( \text{dm} \)) na samym początku:
  • Długość: \( 200\text{ m} = 2000\text{ dm} = 2 \cdot 10^3\text{ dm} \)
  • Szerokość: \( 50\text{ cm} = 5\text{ dm} \)
  • Grubość: \( 2{,}3 \cdot 10^{-5}\text{ m} = 2{,}3 \cdot 10^{-4}\text{ dm} \)
• Mnożymy wszystkie trzy wymiary:
  \( V = 2000\text{ dm} \cdot 5\text{ dm} \cdot (2{,}3 \cdot 10^{-4}\text{ dm}) = 10\ 000 \cdot 2{,}3 \cdot 10^{-4}\text{ dm}^3 \)
  \( V = 10^4 \cdot 2{,}3 \cdot 10^{-4} = 2{,}3 \cdot 10^0 = 2{,}3\text{ dm}^3 \)

Zadanie 13

Instrukcja Zadania 13:
Zapisz poniższe wyrażenia w jak najprostszej postaci. Uzupełnij puste pola. W przypadku ułamków uzupełnij licznik i mianownik, a w przypadku liczb mieszanych wpisz również całość.

Działania na pierwiastkach

Podczas redukcji i upraszczania wyrażeń pierwiastkowych pamiętaj o podstawowych regułach:

• Dodawanie/Odejmowanie pierwiastków: Możemy dodawać i odejmować tylko pierwiastki tego samego stopnia o tej samej liczbie podpierwiastkowej, np. \( a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} \).
• Mnożenie: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \) (dla \( a \ge 0 \)).
• Potęgowanie: \( (a\sqrt{b})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a^2 \cdot b \).

a) \( \frac{1}{3}\sqrt{6} + 1\frac{2}{3}\sqrt{6} = \)

Wynik:

√

b) \( \sqrt{7} - 3\frac{2}{3}\sqrt{7} = \)

Wynik: –

√

c) \( 3\sqrt{11} - \frac{\sqrt{11}}{3} = \)

Wynik:

√

d) \( \frac{\sqrt{2}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{10} = \)

Wynik:

√

e) \( -6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \)

Wynik: –

√

f) \( 5\sqrt{13} \cdot (-0{,}4) = \)

Wynik: –

√

g) \( 0{,}1\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \)

Wynik:

h) \( 1{,}2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} = \)

Wynik:

i) \( \frac{5}{6}\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \)

Wynik:

j) \( \frac{5\sqrt{7} + 10\sqrt{3}}{5} = \)

Wynik:

√

+

√

k) \( (4\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = \)

Wynik:

l) \( \frac{(3\sqrt{5})^2}{(5\sqrt{3})^2} = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

• a) \( \frac{1}{3}\sqrt{6} + 1\frac{2}{3}\sqrt{6} = \left(\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3}\right)\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \)
• b) \( \sqrt{7} - 3\frac{2}{3}\sqrt{7} = \left(1 - 3\frac{2}{3}\right)\sqrt{7} = -2\frac{2}{3}\sqrt{7} \)
• c) \( 3\sqrt{11} - \frac{\sqrt{11}}{3} = 3\sqrt{11} - \frac{1}{3}\sqrt{11} = 2\frac{2}{3}\sqrt{11} \)
• d) Sprowadzamy do wspólnego mianownika \( 10 \):
  \( \frac{\sqrt{2}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{10} + \frac{\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{10} \)
• e) \( -6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \left(-6 \cdot \frac{1}{2}\right)\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \)
• f) \( 5\sqrt{13} \cdot (-0{,}4) = \left(5 \cdot (-0{,}4)\right)\sqrt{13} = -2\sqrt{13} \)
• g) \( 0{,}1\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2 \)
• h) \( 1{,}2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} = (1{,}2 \cdot 2) \cdot 10 = 2{,}4 \cdot 10 = 24 \)
• i) \( \frac{5}{6}\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{5}{12} \cdot 3 = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \)
• j) Dzielimy każdy wyraz w liczniku osobno przez mianownik:
  \( \frac{5\sqrt{7} + 10\sqrt{3}}{5} = \frac{5\sqrt{7}}{5} + \frac{10\sqrt{3}}{5} = \sqrt{7} + 2\sqrt{3} \)
• k) \( (4\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = (16 \cdot 3) + 2 = 48 + 2 = 50 \)
• l) \( \frac{(3\sqrt{5})^2}{(5\sqrt{3})^2} = \frac{9 \cdot 5}{25 \cdot 3} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} \)

Zadanie 14

Instrukcja Zadania 14:
Oblicz wartości poniższych wyrażeń pierwiastkowych. Wpisz wyniki w odpowiednie kratki. W przypadku ułamków uzupełnij licznik oraz mianownik.

Właściwości pierwiastków

Podczas obliczeń pamiętaj o regułach łączenia pierwiastków pod jednym znakiem:

• Mnożenie pierwiastków: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) oraz \( \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b} \).
• Dzielenie pierwiastków: \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) oraz \( \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \).
• Pierwiastek z potęgi: \( \sqrt{a^{2n}} = a^n \) (dla \( a \ge 0 \)).

a) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \)

Wynik:

b) \( \sqrt{0{,}4} \cdot \sqrt{10} = \)

Wynik:

c) \( \sqrt{1\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{0{,}3} = \)

Wynik:

d) \( \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \)

Wynik:

e) \( \sqrt[3]{0{,}08} \cdot \sqrt[3]{100} = \)

Wynik:

f) \( \sqrt[3]{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt[3]{1\frac{1}{3}} = \)

Wynik:

g) \( \frac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{10}} = \)

Wynik:

h) \( \frac{\sqrt[3]{10\ 000}}{\sqrt[3]{10}} = \)

Wynik:

i) \( \sqrt{3^6} = \)

Wynik:

j) \( \sqrt{7^4} = \)

Wynik:

k) \( \sqrt{5^2 \cdot 11^2} = \)

Wynik:

l) \( \sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \)

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku:

• a) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{6 \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{1} = 1 \)
• b) \( \sqrt{0{,}4} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{0{,}4 \cdot 10} = \sqrt{4} = 2 \)
• c) \( \sqrt{1\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{0{,}3} = \sqrt{\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (lub dziesiętnie \( 0{,}6 \))
• d) \( \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
• e) \( \sqrt[3]{0{,}08} \cdot \sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{0{,}08 \cdot 100} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
• f) \( \sqrt[3]{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt[3]{1\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \)
• g) \( \frac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{0{,}9}{10}} = \sqrt{0{,}09} = 0{,}3 \)
• h) \( \frac{\sqrt[3]{10\ 000}}{\sqrt[3]{10}} = \sqrt[3]{\frac{10\ 000}{10}} = \sqrt[3]{1000} = 10 \)
• i) \( \sqrt{3^6} = 3^{\frac{6}{2}} = 3^3 = 27 \)
• j) \( \sqrt{7^4} = 7^{\frac{4}{2}} = 7^2 = 49 \)
• k) \( \sqrt{5^2 \cdot 11^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{11^2} = 5 \cdot 11 = 55 \)
• l) \( \sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(2^2)^2} = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \)

Zadanie 15

Instrukcja Zadania 15:
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka i zapisz poniższe wyrażenia w jak najprostszej postaci. Wpisz odpowiednie liczby w puste pola.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Aby wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:

• Przedstaw liczbę podpierwiastkową w postaci iloczynu dwóch liczb, z których jedna jest pełnym kwadratem (lub sześcianem), np. \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \).
• Wykonaj redukcję wyrazów podobnych poprzez dodanie lub odjęcie współczynników stojących przed tymi samymi pierwiastkami.

a) \( \sqrt{20} + \sqrt{45} = \)

Wynik:

√

b) \( \sqrt{8} - \sqrt{200} = \)

Wynik: –

√

c) \( -\sqrt{75} + \sqrt{27} = \)

Wynik: –

√

d) \( \sqrt[3]{40} + \sqrt[3]{5000} = \)

Wynik:

3 √

e) \( \sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{54} = \)

Wynik:

3 √

f) \( -\sqrt[3]{0{,}004} + \sqrt[3]{32} = \)

Wynik:

3 √

Rozwiązanie krok po kroku:

• a) \( \sqrt{20} + \sqrt{45} = \sqrt{4 \cdot 5} + \sqrt{9 \cdot 5} = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
• b) \( \sqrt{8} - \sqrt{200} = \sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{100 \cdot 2} = 2\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = -8\sqrt{2} \)
• c) \( -\sqrt{75} + \sqrt{27} = -\sqrt{25 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = -5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3} \)
• d) \( \sqrt[3]{40} + \sqrt[3]{5000} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} + \sqrt[3]{1000 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5} + 10\sqrt[3]{5} = 12\sqrt[3]{5} \)
• e) \( \sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} - \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2} = 1\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2} \) (współczynnik \( 1 \) można zapisać lub pominąć)
• f) Zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły pod pierwiastkiem:
  \( -\sqrt[3]{0{,}004} + \sqrt[3]{32} = -\sqrt[3]{\frac{4}{1000}} + \sqrt[3]{8 \cdot 4} = -\frac{\sqrt[3]{4}}{10} + 2\sqrt[3]{4} = -0{,}1\sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{4} = 1{,}9\sqrt[3]{4} \)

Zadanie 16

Instrukcja Zadania 16:
Wykonaj mnożenie podanych wyrażeń pierwiastkowych. Pamiętaj o wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka w wyniku i zapisaniu go w jak najprostszej postaci. Wpisz odpowiednie liczby w puste pola.

Mnożenie pierwiastków z wyłączaniem czynnika

Podczas wykonywania mnożenia pierwiastków tego samego stopnia skorzystaj ze wzorów:

• Mnożenie pierwiastków: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).
• Upraszczanie wyniku: Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn kwadratu liczby naturalnej i pozostałego czynnika, a następnie wyciągnij ten kwadrat przed znak pierwiastka, np. \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \).

a) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \)

Wynik:

√

b) \( \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} = \)

Wynik:

√

c) \( \sqrt{30} \cdot \sqrt{15} = \)

Wynik:

√

d) \( 3\sqrt{21} \cdot \sqrt{7} = \)

Wynik:

√

e) \( 6\sqrt{50} \cdot (-3\sqrt{12}) = \)

Wynik: –

√

f) \( 2\sqrt{15} \cdot 0{,}6\sqrt{10} = \)

Wynik:

√

Rozwiązanie krok po kroku:

• a) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 15} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \)
• b) \( \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{10 \cdot 6} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \)
• c) \( \sqrt{30} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{30 \cdot 15} = \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2} \)
• d) Wyciągamy czynniki przed mnożeniem dla ułatwienia rachunków:
  \( 3\sqrt{21} \cdot \sqrt{7} = 3 \cdot \sqrt{3 \cdot 7} \cdot \sqrt{7} = 3 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = 21\sqrt{3} \)
• e) \( 6\sqrt{50} \cdot (-3\sqrt{12}) = 6 \cdot (-3) \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{12} = -18 \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}) = -18 \cdot 10\sqrt{6} = -180\sqrt{6} \)
• f) \( 2\sqrt{15} \cdot 0{,}6\sqrt{10} = 2 \cdot 0{,}6 \cdot \sqrt{15 \cdot 10} = 1{,}2 \cdot \sqrt{150} = 1{,}2 \cdot 5\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \)

Zadanie 14

Instrukcja Zadania 14:
Przekształć poniższe wyrażenia tak, aby pozbyć się pierwiastków z mianownika. Wynik zapisz w jak najprostszej (skróconej) postaci. Wpisz odpowiednie liczby w puste pola.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Aby usunąć pierwiastek kwadratowy z mianownika ułamka, należy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez ten sam pierwiastek:

Wzorzec: \( \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7} \)

a) \( \frac{-7}{\sqrt{3}} = \)

Wynik: –

√

b) \( \frac{-2}{3\sqrt{6}} = \)

Wynik: –

√

c) \( \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \)

Wynik:

√

d) \( \frac{-4\sqrt{10} + 2}{\sqrt{10}} = \)

Wynik:

+

√

e) \( \frac{2 - 4\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \)

Wynik:

√

–

√

Rozwiązanie krok po kroku:

• a) \( \frac{-7}{\sqrt{3}} = \frac{-7 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-7\sqrt{3}}{3} \)
• b) Mnożymy licznik i mianownik przez \( \sqrt{6} \), a następnie skracamy ułamek:
  \( \frac{-2}{3\sqrt{6}} = \frac{-2 \cdot \sqrt{6}}{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-2\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{-2\sqrt{6}}{18} = \frac{-\sqrt{6}}{9} \) (współczynnik \( 1 \) przed pierwiastkiem w liczniku pomijamy)
• c) Możemy uprościć ułamek dzieląc pierwiastki na samym początku:
  \( \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{\frac{2}{6}} = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \)
• d) Mnożymy licznik przez \( \sqrt{10} \) za pomocą rozdzielności mnożenia, a następnie dzielimy każdy czynnik przez mianownik:
  \( \frac{-4\sqrt{10} + 2}{\sqrt{10}} = \frac{(-4\sqrt{10} + 2) \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-4 \cdot 10 + 2\sqrt{10}}{10} = \frac{-40 + 2\sqrt{10}}{10} = \frac{-20 + \sqrt{10}}{5} \)
• e) Mnożymy licznik przez \( \sqrt{5} \) i upraszczamy powstały pierwiastek \( \sqrt{75} \):
  \( \frac{2 - 4\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \frac{(2 - 4\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5} - 4\sqrt{75}}{3 \cdot 5} = \frac{2\sqrt{5} - 4 \cdot 5\sqrt{3}}{15} = \frac{2\sqrt{5} - 20\sqrt{3}}{15} \)

Zadanie 18

Instrukcja Zadania 18:
Wyznacz wartości liczb \( a \), \( b \) i \( c \), doprowadzając potęgi do wspólnej podstawy. Wpisz uzyskane liczby całkowite w odpowiednie pola.

Równania potęgowe

Aby porównać potęgi o różnych podstawach, najwygodniej jest zapisać je w postaci potęgi o tej samej podstawie, korzystając z prawa działań na potęgach:
\( (x^r)^s = x^{r \cdot s} \)
Gdy podstawy po obu stronach równości są równe, możemy porównać ich wykładniki, np. jeśli \( 2^{2a} = 2^{12} \), to \( 2a = 12 \), co daje \( a = 6 \).

a) \( 2^{12} = 4^a = 8^b = 64^c \)

\( a = \)

\( b = \)

\( c = \)

b) \( 10^{20} = 100^a = 10\ 000^b = 100\ 000^c \)

\( a = \)

\( b = \)

\( c = \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) \( 2^{12} = 4^a = 8^b = 64^c \)

Sprowadzamy wszystkie podstawy do potęgi liczby \( 2 \):

• Wyjściowa liczba to: \( 2^{12} \)
• \( 4^a = (2^2)^a = 2^{2a} \)
  Porównując wykładniki: \( 2a = 12 \implies a = 6 \)
• \( 8^b = (2^3)^b = 2^{3b} \)
  Porównując wykładniki: \( 3b = 12 \implies b = 4 \)
• \( 64^c = (2^6)^c = 2^{6c} \)
  Porównując wykładniki: \( 6c = 12 \implies c = 2 \)

Stąd: \( a = 6 \), \( b = 4 \), \( c = 2 \).

Podpunkt b) \( 10^{20} = 100^a = 10\ 000^b = 100\ 000^c \)

Sprowadzamy wszystkie podstawy do potęgi liczby \( 10 \):

• Wyjściowa liczba to: \( 10^{20} \)
• \( 100^a = (10^2)^a = 10^{2a} \)
  Porównując wykładniki: \( 2a = 20 \implies a = 10 \)
• \( 10\ 000^b = (10^4)^b = 10^{4b} \)
  Porównujemy wykładniki: \( 4b = 20 \implies b = 5 \)
• \( 100\ 000^c = (10^5)^c = 10^{5c} \)
  Porównujemy wykładniki: \( 5c = 20 \implies c = 4 \)

Stąd: \( a = 10 \), \( b = 5 \), \( c = 4 \).

Zadanie 19

Instrukcja Zadania 19:
Znajdź liczbę \( a \), sprowadzając wszystkie czynniki do potęgi o tej samej podstawie. Wpisz wartość liczbową w odpowiednią kratkę.

Wzory na działania na potęgach

Podczas rozwiązywania równań sprowadź wszystkie podstawy do tej samej liczby pierwszej, a następnie skorzystaj z praw działań na potęgach:
\( a^r \cdot a^s = a^{r+s} \) oraz \( \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \)

a) \( 4 \cdot 2 \cdot 16 = 2^a \)

\( a = \)

b) \( 9 \cdot 27 \cdot 81 = 3^a \)

\( a = \)

c) \( 125 \cdot 25 \cdot 125 = 5^a \)

\( a = \)

d) \( \frac{8 \cdot 64}{2^7} = 2^a \)

\( a = \)

e) \( \frac{10^7 \cdot 100}{100\ 000} = 10^a \)

\( a = \)

f) \( \frac{3^{14} \cdot 27}{81 \cdot 3^5} = 3^a \)

\( a = \)

Rozwiązanie krok po kroku:

• a) Sprowadzamy czynniki do podstawy \( 2 \):
  \( 4 \cdot 2 \cdot 16 = 2^2 \cdot 2^1 \cdot 2^4 = 2^{2+1+4} = 2^7 \implies a = 7 \)
• b) Sprowadzamy czynniki do podstawy \( 3 \):
  \( 9 \cdot 27 \cdot 81 = 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9 \implies a = 9 \)
• c) Sprowadzamy czynniki do podstawy \( 5 \):
  \( 125 \cdot 25 \cdot 125 = 5^3 \cdot 5^2 \cdot 5^3 = 5^{3+2+3} = 5^8 \implies a = 8 \)
• d) Sprowadzamy czynniki do podstawy \( 2 \) i odejmujemy wykładnik mianownika:
  \( \frac{8 \cdot 64}{2^7} = \frac{2^3 \cdot 2^6}{2^7} = \frac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} = 2^2 \implies a = 2 \)
• e) Sprowadzamy czynniki do podstawy \( 10 \):
  \( \frac{10^7 \cdot 100}{100\ 000} = \frac{10^7 \cdot 10^2}{10^5} = \frac{10^9}{10^5} = 10^{9-5} = 10^4 \implies a = 4 \)
• f) Sprowadzamy czynniki do podstawy \( 3 \) i porządkujemy licznik oraz mianownik:
  \( \frac{3^{14} \cdot 27}{81 \cdot 3^5} = \frac{3^{14} \cdot 3^3}{3^4 \cdot 3^5} = \frac{3^{17}}{3^9} = 3^{17-9} = 3^8 \implies a = 8 \)

Zadanie 20

Instrukcja Zadania 20:
Rozwiąż poniższe zadania tekstowe. Wyniki zapisz w notacji wykładniczej (używaj przecinka lub kropki w przypadku ułamków dziesiętnych).

Notacja wykładnicza w zadaniach tekstowych

Podczas rozwiązywania zadań pamiętaj o podstawowych regułach:

• Dodawanie/Odejmowanie: Przed wykonaniem działania sprowadź potęgi do tego samego wykładnika, np. \( 5{,}1 \cdot 10^{14} = 51 \cdot 10^{13} \).
• Mnożenie: Pomnóż przez siebie mantysy, a wykładniki potęg dodaj, np. \( 10^{13} \cdot 10^{-10} = 10^{13 + (-10)} = 10^3 \).

a) Powierzchnia Ziemi jest równa \( 5{,}1 \cdot 10^{14}\text{ m}^2 \), a Księżyca — \( 3{,}8 \cdot 10^{13}\text{ m}^2 \). O ile powierzchnia Ziemi jest większa od powierzchni Księżyca?

Odpowiedź: \( \cdot\ 10 \) \( \text{m}^2 \)

b) Krew człowieka zawiera \( 2{,}5 \cdot 10^{13} \) krwinek czerwonych, z których każda ma powierzchnię \( 1{,}2 \cdot 10^{-10}\text{ m}^2 \). Oblicz powierzchnię wszystkich krwinek czerwonych we krwi człowieka.

Odpowiedź: \( \cdot\ 10 \) \( \text{m}^2 \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Zadanie a)

• Obliczamy różnicę powierzchni Ziemi i Księżyca:
  \( S_{\text{różnica}} = 5{,}1 \cdot 10^{14}\text{ m}^2 - 3{,}8 \cdot 10^{13}\text{ m}^2 \)
• Sprowadzamy potęgi do wspólnego wykładnika (w tym przypadku \( 10^{13} \)):
  \( 5{,}1 \cdot 10^{14}\text{ m}^2 = 51 \cdot 10^{13}\text{ m}^2 \)
• Wykonujemy odejmowanie:
  \( S_{\text{różnica}} = (51 - 3{,}8) \cdot 10^{13} = 47{,}2 \cdot 10^{13}\text{ m}^2 \)
• Zapisujemy wynik w poprawnej notacji wykładniczej (przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo i zwiększamy wykładnik o 1):
  \( 47{,}2 \cdot 10^{13} = 4{,}72 \cdot 10^{14}\text{ m}^2 \)

Zadanie b)

• Łączna powierzchnia krwinek czerwonych to iloczyn ich liczby oraz powierzchni pojedynczej krwinki:
  \( S_{\text{łączna}} = (2{,}5 \cdot 10^{13}) \cdot (1{,}2 \cdot 10^{-10})\text{ m}^2 \)
• Mnożymy mantysy i dodajemy wykładniki potęg liczby 10:
  \( S_{\text{łączna}} = (2{,}5 \cdot 1{,}2) \cdot 10^{13 + (-10)}\text{ m}^2 \)
• Wykonujemy obliczenia:
  \( S_{\text{łączna}} = 3 \cdot 10^3\text{ m}^2 \) (czyli \( 3000\text{ m}^2 \))

Zadanie 21

Instrukcja Zadania 21:
Wykonaj poniższe działania i zapisz wynik w jak najprostszej postaci za pomocą zmiennych \( a \) i \( b \) (wpisz odpowiednie litery w pola tekstowe).

a) Pierwiastek kwadratowy z iloczynu liczb dodatnich \( a \) i \( b \) pomnożono przez pierwiastek z ilorazu liczby \( a \) przez liczbę \( b \). Jaki wynik otrzymano?

Wynik:

b) Pierwiastek kwadratowy z iloczynu liczb dodatnich \( a \) i \( b \) podzielono przez pierwiastek z ilorazu liczby \( a \) przez liczbę \( b \). Jaki wynik otrzymano?

Wynik:

Rozwiązanie Zadania 21:

• a) Zapisujemy treść zadania w postaci wyrażenia algebraicznego:
  \( \sqrt{ab} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a \cdot b \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot b}{b}} = \sqrt{a^2} = a \) (ponieważ \( a > 0 \))
• b) Zapisujemy treść zadania w postaci wyrażenia algebraicznego:
  \( \sqrt{ab} : \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{ab}{\frac{a}{b}}} = \sqrt{ab \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a \cdot b^2}{a}} = \sqrt{b^2} = b \) (ponieważ \( b > 0 \))

Zadanie 22

Instrukcja Zadania 22:
Niech \( a \) i \( b \) będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz niewiadomą \( x \) i wyraź ją za pomocą zmiennych \( a \) i \( b \) (wpisz odpowiednie litery w pola tekstowe).

a) \( \sqrt[3]{a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot x} = ab \)

\( x = \)

b) \( \sqrt[3]{a^2 \cdot b^2 \cdot b \cdot x} = ab \)

\( x = \)

c) \( \sqrt[3]{a^6 : a^3 \cdot (b : x)} = a \)

\( x = \)

Rozwiązanie Zadania 22:

• a) Podnosimy obie strony równania do potęgi trzeciej, aby pozbyć się pierwiastka:
  \( a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot x = (ab)^3 \)
  \( a^3 \cdot b^2 \cdot x = a^3 \cdot b^3 \)
  Dzielimy obie strony równania przez \( a^3 \cdot b^2 \) (gdyż \( a, b > 0 \)):
  \( x = \frac{a^3 \cdot b^3}{a^3 \cdot b^2} = b \)
• b) Podnosimy obie strony równania do potęgi trzeciej:
  \( a^2 \cdot b^2 \cdot b \cdot x = (ab)^3 \)
  \( a^2 \cdot b^3 \cdot x = a^3 \cdot b^3 \)
  Dzielimy obie strony równania przez \( a^2 \cdot b^3 \):
  \( x = \frac{a^3 \cdot b^3}{a^2 \cdot b^3} = a \)
• c) Podnosimy obie strony równania do potęgi trzeciej:
  \( a^6 : a^3 \cdot (b : x) = a^3 \)
  \( a^3 \cdot \frac{b}{x} = a^3 \)
  Dzielimy obie strony przez \( a^3 \):
  \( \frac{b}{x} = 1 \implies x = b \)