• Odgadnij liczbę \( x \) spełniającą dane równanie.
• Wpisz wynik w pole tekstowe pod każdym równaniem.
• Pomoc: Jeśli chcesz wpisać bardziej skomplikowane symbole matematyczne, kliknij niebieski przycisk "Pokaż Menu" po lewej stronie ekranu.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować wszystkie odpowiedzi naraz.
Wzór - jak rozwiązać takie równanie?
Rozwiążmy przykładowe równanie: \(\frac{3}{x} = \frac{15}{20}\)
- Skracamy ułamek: Zauważamy, że ułamek po prawej stronie możemy skrócić przez \(5\):
\(\frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}\). - Zapisujemy prostsze równanie: \(\frac{3}{x} = \frac{3}{4}\).
- Odczytujemy wynik: Ponieważ liczniki są równe, to mianowniki również: \(x = 4\).
Rozwiązanie zadania 1 i analiza krok po kroku:
Aby odgadnąć liczbę \( x \), możemy posłużyć się zasadą rozszerzania i skracania ułamków:
a) \(\frac{1}{x} = \frac{2}{10} \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{5} \implies x = 5\)
b) \(\frac{1}{x} = \frac{3}{12} \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{4} \implies x = 4\)
c) \(\frac{5}{15} = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{x} \implies x = 3\)
d) \(\frac{2}{x} = \frac{4}{18} \implies \frac{2}{x} = \frac{2}{9} \implies x = 9\)
e) \(\frac{5}{x} = \frac{15}{21} \implies \frac{5}{x} = \frac{5}{7} \implies x = 7\)
f) \(\frac{14}{30} = \frac{7}{x} \implies \frac{7}{15} = \frac{7}{x} \implies x = 15\)
g) \(\frac{2}{3} = \frac{x}{9} \implies \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} \implies x = 6\)
h) \(\frac{3}{5} = \frac{x}{15} \implies \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} \implies x = 9\)
i) \(\frac{x}{28} = \frac{5}{7} \implies \frac{x}{28} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28} \implies x = 20\)
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż równania, wyznaczając niewiadomą \( x \).
• Ułamki zwykłe wpisuj za pomocą ukośnika (np.
5/6) lub korzystając z menu pomocniczego.• Ułamki dziesiętne wpisuj z kropką lub przecinkiem (np.
3.5 lub 3,5).• W przypadku równania tożsamościowego wpisz: nieskończenie wiele (lub R). W przypadku sprzeczności wpisz: brak.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować wszystkie odpowiedzi z zadania 2.
Wzór - jak rozwiązać takie równanie (proporcję)?
Rozwiążmy przykładowe równanie: \(\frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{3}{4}\)
- Określamy dziedzinę: Mianownik nie może być zerem: \(x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1\).
- Mnożymy "na krzyż": Mnożymy licznik jednego ułamka przez mianownik drugiego:
\(4 \cdot (2x - 3) = 3 \cdot (x + 1)\). - Wyliczamy zmienną:
\(8x - 12 = 3x + 3 \implies 5x = 15 \implies x = 3\). - Weryfikujemy z dziedziną: \(3 \neq -1\), stąd wynik to \(x = 3\).
Rozwiązanie zadania 2 i analiza krok po kroku:
Wszystkie podpunkty rozwiązujemy poprzez pomnożenie wyrazów "na krzyż":
a) \(\frac{x+1}{x} = \frac{3}{2}\) (Założenie: \(x \neq 0\))
\(2(x+1) = 3x \implies 2x + 2 = 3x \implies \mathbf{x = 2}\)
b) \(\frac{3}{5} = \frac{x}{x-4}\) (Założenie: \(x \neq 4\))
\(3(x-4) = 5x \implies 3x - 12 = 5x \implies 2x = -12 \implies \mathbf{x = -6}\)
c) \(\frac{2x}{3+x} = \frac{5}{6}\) (Założenie: \(x \neq -3\))
\(6(2x) = 5(3+x) \implies 12x = 15 + 5x \implies 7x = 15 \implies \mathbf{x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}}\)
d) \(\frac{1}{3} = \frac{2x+1}{7x-2}\) (Założenie: \(x \neq \frac{2}{7}\))
\(1(7x-2) = 3(2x+1) \implies 7x - 2 = 6x + 3 \implies \mathbf{x = 5}\)
e) \(\frac{2x-6}{x-2} = \frac{2}{3}\) (Założenie: \(x \neq 2\))
\(3(2x-6) = 2(x-2) \implies 6x - 18 = 2x - 4 \implies 4x = 14 \implies \mathbf{x = 3{,}5 = \frac{7}{2}}\)
f) \(\frac{2-x}{0{,}2x+1} = \frac{5}{3}\) (Założenie: \(x \neq -5\))
\(3(2-x) = 5(0{,}2x+1) \implies 6 - 3x = x + 5 \implies 4x = 1 \implies \mathbf{x = 0{,}25 = \frac{1}{4}}\)
g) \(\frac{2}{3x+1} = \frac{1}{x+5}\) (Założenie: \(x \neq -\frac{1}{3}\) oraz \(x \neq -5\))
\(2(x+5) = 1(3x+1) \implies 2x + 10 = 3x + 1 \implies \mathbf{x = 9}\)
h) \(\frac{x+5}{2} = \frac{10+2x}{4}\) (Brak założeń - mianowniki stałe)
\(4(x+5) = 2(10+2x) \implies 4x + 20 = 20 + 4x \implies 0 = 0\).
Tożsamość – równanie ma **nieskończenie wiele rozwiązań** (\(x \in \mathbb{R}\)).
i) \(\frac{6}{9x+2} = \frac{4}{6x+1}\) (Założenie: \(x \neq -\frac{2}{9}\) oraz \(x \neq -\frac{1}{6}\))
\(6(6x+1) = 4(9x+2) \implies 36x + 6 = 36x + 8 \implies 6 = 8\) (sprzeczność).
Równanie sprzeczne – **brak rozwiązań** (\(x \in \emptyset\)).
j) \(\frac{0{,}2}{0{,}5x+0{,}1} = \frac{8}{3x-1}\) (Założenie: \(x \neq -0{,}2\) oraz \(x \neq \frac{1}{3}\))
\(0{,}2(3x-1) = 8(0{,}5x+0{,}1) \implies 0{,}6x - 0{,}2 = 4x + 0{,}8 \implies 3{,}4x = -1 \implies \mathbf{x = -\frac{5}{17}}\)
k) \(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}} = \frac{3-2x}{\frac{1}{3}}\) (Brak założeń)
\(\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{12}(3-2x)\). Mnożymy obie strony przez \(12\):
\(4\left(x-\frac{1}{2}\right) = 1(3-2x) \implies 4x - 2 = 3 - 2x \implies 6x = 5 \implies \mathbf{x = \frac{5}{6}}\)
l) \(\frac{0{,}5x-3}{0{,}2} = \frac{0{,}7x-2}{0{,}5}\) (Brak założeń)
\(0{,}5(0{,}5x-3) = 0{,}2(0{,}7x-2) \implies 0{,}25x - 1{,}5 = 0{,}14x - 0{,}4 \implies 0{,}11x = 1{,}1 \implies \mathbf{x = 10}\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż równania stopnia drugiego.
• Zwróć uwagę, że po wymnożeniu proporcji najwyższe potęgi powinny ulec redukcji.
• Ułamki zwykłe wpisuj za pomocą ukośnika (np.
2/3) lub korzystając z menu pomocniczego.• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedzi z zadania 3.
Wzór - jak rozwiązać równanie, w którym redukują się kwadraty?
Rozwiążmy przykładowe równanie: \(\frac{x^2 + 3}{x} = \frac{2x^2 - 1}{2x}\)
- Określamy dziedzinę: Mianownik nie może być zerem: \(x \neq 0\).
- Mnożymy "na krzyż":
\(2x \cdot (x^2 + 3) = x \cdot (2x^2 - 1) \implies 2x^3 + 6x = 2x^3 - x\). - Redukujemy wyższe potęgi i rozwiązujemy: Odejmując \(2x^3\) obustronnie:
\(6x = -x \implies 7x = 0 \implies x = 0\). - Weryfikujemy z dziedziną: Wynik \(x = 0\) jest odrzucony ze względu na założenie \(x \neq 0\). Równanie nie ma rozwiązań (jest sprzeczne).
Rozwiązanie zadania 3 i analiza krok po kroku:
Wszystkie podpunkty rozwiązujemy poprzez mnożenie "na krzyż", po czym redukujemy najwyższe potęgi:
a) \(\frac{2x+1}{x^2+5} = \frac{2}{x}\) (Założenie: \(x \neq 0\))
\(x(2x+1) = 2(x^2+5) \implies 2x^2 + x = 2x^2 + 10 \implies \mathbf{x = 10}\)
b) \(\frac{3x}{6x-1} = \frac{x}{2x+5}\) (Założenia: \(x \neq \frac{1}{6}\) oraz \(x \neq -2{,}5\))
\(3x(2x+5) = x(6x-1) \implies 6x^2 + 15x = 6x^2 - x \implies 16x = 0 \implies \mathbf{x = 0}\)
c) \(\frac{x^2-1}{2x} = \frac{2x-3}{4}\) (Założenie: \(x \neq 0\))
\(4(x^2-1) = 2x(2x-3) \implies 4x^2 - 4 = 4x^2 - 6x \implies 6x = 4 \implies \mathbf{x = \frac{2}{3}}\)
d) \(\frac{-6x-5}{-2} = \frac{3x^2+1}{x}\) (Założenie: \(x \neq 0\))
\(x(-6x-5) = -2(3x^2+1) \implies -6x^2 - 5x = -6x^2 - 2 \implies -5x = -2 \implies \mathbf{x = 0{,}4 = \frac{2}{5}}\)
e) \(\frac{4x}{4x^2+1} = \frac{1}{x+1}\) (Założenie: \(x \neq -1\))
\(4x(x+1) = 1(4x^2+1) \implies 4x^2 + 4x = 4x^2 + 1 \implies 4x = 1 \implies \mathbf{x = 0{,}25 = \frac{1}{4}}\)
f) \(\frac{3}{-2x} = \frac{-3x+2}{2x^2+8}\) (Założenie: \(x \neq 0\))
\(3(2x^2+8) = -2x(-3x+2) \implies 6x^2 + 24 = 6x^2 - 4x \implies 24 = -4x \implies \mathbf{x = -6}\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż równania, wyznaczając niewiadomą \( x \).
• Jeżeli równanie ma dwa rozwiązania, wpisz je oddzielając przecinkiem (np.
2, -2 lub pisząc słownie 2 lub -2).• W przypadku sprzeczności (braku rozwiązań) wpisz: brak.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedzi z zadania 4.
Wzór - jak rozwiązać równanie prowadzące do postaci \(x^2 = a\)?
Rozwiążmy przykładowe równanie: \(\frac{x^2 - 2}{x^2 + 3} = \frac{1}{2}\)
- Mnożymy "na krzyż":
\(2 \cdot (x^2 - 2) = 1 \cdot (x^2 + 3) \implies 2x^2 - 4 = x^2 + 3\). - Porządkujemy niewiadome:
\(2x^2 - x^2 = 3 + 4 \implies x^2 = 7\). - Wyznaczamy pierwiastki:
Obie liczby dodatnia i ujemna podniesione do kwadratu dają 7: \(x = \sqrt{7}\) lub \(x = -\sqrt{7}\).
Rozwiązanie zadania 4 i analiza krok po kroku:
Każde równanie doprowadzamy do prostego równania kwadratowego poprzez mnożenie "na krzyż":
a) \(\frac{x^2 - 1}{2x^2 + 1} = \frac{1}{3}\) (Mianownik jest zawsze dodatni, brak zastrzeżeń)
\(3(x^2 - 1) = 1(2x^2 + 1) \implies 3x^2 - 3 = 2x^2 + 1\)
Odejmujemy \(2x^2\) i dodajemy \(3\) obustronnie:
\(x^2 = 4 \implies \mathbf{x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2}\)
b) \(\frac{2}{x^2 + 5} = \frac{5}{3x^2 + 8}\) (Mianowniki są zawsze dodatnie, brak zastrzeżeń)
\(2(3x^2 + 8) = 5(x^2 + 5) \implies 6x^2 + 16 = 5x^2 + 25\)
Odejmujemy \(5x^2\) i \(16\) obustronnie:
\(x^2 = 9 \implies \mathbf{x = 3 \quad \text{lub} \quad x = -3}\)
c) \(\frac{2x^2 + 1}{4x^2 + 2} = \frac{3}{5}\) (Mianownik jest zawsze dodatni, brak zastrzeżeń)
\(5(2x^2 + 1) = 3(4x^2 + 2) \implies 10x^2 + 5 = 12x^2 + 6\)
Odejmujemy \(10x^2\) i \(5\) od stron:
\(2x^2 = -1 \implies x^2 = -0{,}5\).
Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, zatem równanie jest sprzeczne – **brak rozwiązań rzeczywistych**.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeczytaj uważnie treść zadań, ułóż odpowiednie równania wymierne i wyznacz szukaną liczbę.
• Wpisz wynik w pole tekstowe pod każdym zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedzi z zadania 5.
Wzór - jak zapisać ułamek/iloraz w zadaniu tekstowym?
Rozwiążmy przykładowe zadanie: "Iloraz pewnej liczby i liczby o 4 od niej mniejszej jest równy 2. Jaka to liczba?"
- Oznaczamy niewiadomą: Szukana liczba to \(x\). Liczba o 4 mniejsza to \(x - 4\).
- Układamy iloraz (równanie):
\(\frac{x}{x-4} = 2\) (Założenie: \(x \neq 4\)). - Rozwiązujemy: Mnożymy przez mianownik:
\(x = 2(x - 4) \implies x = 2x - 8 \implies x = 8\). - Wynik \(8\) spełnia założenie. Szukaną liczbą jest 8.
Rozwiązanie zadania 5 i analiza krok po kroku:
Układamy równania wymierne na podstawie treści zadań:
a) "Iloraz pewnej liczby i liczby od niej mniejszej o 6 jest równy 3."
Niech szukana liczba to \(x\). Liczba o 6 mniejsza to \(x-6\) (Założenie: \(x \neq 6\)).
Układamy równanie:
\(\frac{x}{x-6} = 3 \implies x = 3(x-6) \implies x = 3x - 18 \implies 2x = 18 \implies \mathbf{x = 9}\).
Szukaną liczbą jest 9.
b) "Iloraz pewnej liczby i liczby od niej większej o 2 jest równy \(\frac{2}{3}\)."
Niech szukana liczba to \(x\). Liczba o 2 większa to \(x+2\) (Założenie: \(x \neq -2\)).
Układamy równanie:
\(\frac{x}{x+2} = \frac{2}{3} \implies 3x = 2(x+2) \implies 3x = 2x + 4 \implies \mathbf{x = 4}\).
Szukaną liczbą jest 4.
c) "Iloraz liczby o dwa większej od liczby \(a\) i liczby o 2 mniejszej od \(a\) jest równy \(\frac{3}{4}\)."
Liczba o 2 większa to \(a+2\). Liczba o 2 mniejsza to \(a-2\) (Założenie: \(a \neq 2\)).
Układamy równanie:
\(\frac{a+2}{a-2} = \frac{3}{4} \implies 4(a+2) = 3(a-2) \implies 4a + 8 = 3a - 6 \implies \mathbf{a = -14}\).
Szukaną liczbą \(a\) jest -14.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Wyznacz szukany ułamek na podstawie warunków zadania.
• Wpisz odpowiedź w postaci ułamka, np.
15/45, bądź użyj menu pomocniczego po lewej stronie ekranu (\frac{15}{45}).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedzi z zadania 6.
Wzór - jak ułożyć układ równań do takiego zadania?
Rozwiążmy przykładowe zadanie: "Przedstaw ułamek \(\frac{1}{2}\) w postaci ułamka, którego mianownik jest o 5 większy od licznika."
- Oznaczamy niewiadome: Szukany ułamek ma postać \(\frac{x}{y}\).
- Zapisujemy warunki:
• Ułamek musi być równy pierwotnemu: \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x\).
• Mianownik ma być o 5 większy od licznika: \(y = x + 5\). - Rozwiązujemy układ:
\(2x = x + 5 \implies x = 5\). Wtedy \(y = 5 + 5 = 10\). - Szukanym ułamkiem jest \(\frac{5}{10}\).
Rozwiązanie zadania 6 i analiza krok po kroku:
Szukamy ułamka postaci \(\frac{x}{y}\), który spełnia warunki proporcji:
a) "Przedstaw ułamek \(\frac{1}{3}\) w postaci ułamka, którego mianownik jest o 30 większy od licznika."
Zapisujemy proporcję: \(\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x\).
Wiemy, że mianownik ma być o 30 większy od licznika: \(y = x + 30\).
Podstawiamy: \(3x = x + 30 \implies 2x = 30 \implies \mathbf{x = 15}\).
Wtedy mianownik wynosi: \(y = 15 + 30 = 45\).
Szukanym ułamkiem jest \(\frac{15}{45}\).
b) "Przedstaw ułamek \(\frac{2}{7}\) w postaci ułamka, którego mianownik jest o 15 większy od licznika."
Zapisujemy proporcję: \(\frac{x}{y} = \frac{2}{7} \implies 7x = 2y\).
Wiemy, że mianownik ma być o 15 większy od licznika: \(y = x + 15\).
Podstawiamy: \(7x = 2(x + 15) \implies 7x = 2x + 30 \implies 5x = 30 \implies \mathbf{x = 6}\).
Wtedy mianownik wynosi: \(y = 6 + 15 = 21\).
Szukanym ułamkiem jest \(\frac{6}{21}\).
c) "Przedstaw ułamek \(\frac{4}{9}\) w postaci ułamka, którego licznik jest o 15 mniejszy od mianownika."
Zapisujemy proporcję: \(\frac{x}{y} = \frac{4}{9} \implies 9x = 4y\).
Wiemy, że licznik ma być o 15 mniejszy od mianownika: \(x = y - 15\).
Podstawiamy: \(9(y - 15) = 4y \implies 9y - 135 = 4y \implies 5y = 135 \implies \mathbf{y = 27}\).
Wtedy licznik wynosi: \(x = 27 - 15 = 12\).
Szukanym ułamkiem jest \(\frac{12}{27}\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeczytaj zadania, ułóż odpowiednie proporcje i wyznacz poszukiwaną liczbę elementów.
• Możesz podać łączną liczbę elementów (np.
4) lub liczbę elementów jednego rodzaju (np. 2) – system zaliczy obie wersje.• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedzi z zadania 7.
Wzór - jak ułożyć proporcję do zadań o stosunkach?
Rozwiążmy zadanie: "Mamy 5 kulek niebieskich i 3 czerwone. Dorzucono po tyle samo kulek obu kolorów i teraz stosunek niebieskich do czerwonych wynosi 3:2. Ile dorzucono?"
- Oznaczamy niewiadomą: Dorzucono po \(x\) kulek niebieskich i czerwonych (łącznie \(2x\)).
- Zapisujemy nowy stosunek: \(\frac{5+x}{3+x} = \frac{3}{2}\).
- Mnożymy na krzyż:
\(2(5+x) = 3(3+x) \implies 10 + 2x = 9 + 3x \implies x = 1\). - Dorzucono po 1 kulce każdego rodzaju (łącznie 2 kulki).
Rozwiązanie zadania 7 i analiza krok po kroku:
Rozwiązujemy zadania poprzez zapisanie odpowiednich równań wymiernych:
a) "W pudełku jest 6 kulek białych i 4 czarne. Wrzucono po tyle samo..."
Niech \(x\) oznacza liczbę dorzuconych kulek jednego koloru.
Układamy proporcję stosunku kulek białych do czarnych:
\(\frac{6+x}{4+x} = \frac{4}{3} \implies 3(6+x) = 4(4+x) \implies 18 + 3x = 16 + 4x \implies \mathbf{x = 2}\).
Wrzucono po 2 kulki każdego koloru, czyli łącznie wrzucono 4 kulki.
b) "W torebce były 24 cytrynowe i 32 malinowe. Jola wyjęła po tyle samo..."
Niech \(x\) oznacza liczbę wyjętych cukierków jednego rodzaju.
Układamy proporcję:
\(\frac{24-x}{32-x} = \frac{2}{3} \implies 3(24-x) = 2(32-x) \implies 72 - 3x = 64 - 2x \implies \mathbf{x = 8}\).
Zabrano po 8 cukierków każdego rodzaju, czyli Jola łącznie zabrała 16 cukierków.
c) "W misce było 15 laskowych i 20 włoskich. Dorzucono po tyle samo..."
Niech \(x\) oznacza liczbę dorzuconych orzechów jednego rodzaju.
Układamy proporcję:
\(\frac{15+x}{20+x} = \frac{9}{10} \implies 10(15+x) = 9(20+x) \implies 150 + 10x = 180 + 9x \implies \mathbf{x = 30}\).
Dorzucono po 30 orzechów każdego rodzaju, czyli łącznie dorzucono 60 orzechów.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeczytaj uważnie treść każdego podpunktu i sformułuj odpowiednie równanie.
• Ułamki zwykłe wpisuj za pomocą ukośnika (np.
3/3) lub korzystając z bocznego menu symboli.• W podpunkcie d) odpowiedz na pytanie, wpisując słowo tak lub nie.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować wszystkie odpowiedzi.
Wskazówka – jak zapisać treść zadania w postaci równania?
Jeśli licznik ułamka wynosi \( L \), a mianownik oznaczymy jako niewiadomą \( y \), to ułamek ma postać: \(\frac{L}{y}\).
Gdy do licznika i mianownika dodamy liczbę \( a \), otrzymamy nowy ułamek: \(\frac{L+a}{y+a}\).
Ponieważ wartość ułamka ma się nie zmienić, zapisujemy równanie (proporcję): \(\frac{L}{y} = \frac{L+a}{y+a}\), które rozwiązujemy metodą mnożenia „na krzyż”.
Rozwiązanie zadania 8 i analiza krok po kroku:
a) Oznaczmy mianownik szukanego ułamka jako \( y \). Ułamek ma postać \(\frac{3}{y}\).
Zgodnie z treścią zadania:
\(\frac{3}{y} = \frac{3+1}{y+1} \implies \frac{3}{y} = \frac{4}{y+1}\)
Mnożymy na krzyż:
\(3(y+1) = 4y \implies 3y + 3 = 4y \implies y = 3\).
Szukany ułamek to \(\frac{3}{3}\) (czyli \(1\)).
b) Oznaczmy mianownik ułamka jako \( y \). Ułamek ma postać \(\frac{5}{y}\).
Zgodnie z treścią zadania:
\(\frac{5}{y} = \frac{5+2}{y+2} \implies \frac{5}{y} = \frac{7}{y+2}\)
Mnożymy na krzyż:
\(5(y+2) = 7y \implies 5y + 10 = 7y \implies 2y = 10 \implies y = 5\).
Szukany ułamek to \(\frac{5}{5}\) (czyli \(1\)).
c) Oznaczmy mianownik ułamka jako \( y \). Ułamek ma postać \(\frac{4}{y}\).
Zgodnie z treścią zadania:
\(\frac{4}{y} = \frac{4-1}{y-1} \implies \frac{4}{y} = \frac{3}{y-1}\)
Mnożymy na krzyż:
\(4(y-1) = 3y \implies 4y - 4 = 3y \implies y = 4\).
Szukany ułamek to \(\frac{4}{4}\) (czyli \(1\)).
d) Dowód sformułowanej hipotezy:
Niech szukany ułamek ma postać \(\frac{x}{y}\) (gdzie \(y \neq 0\)). Załóżmy, że dodajemy do licznika i mianownika tę samą liczbę \(a\) (gdzie \(a \neq 0\) oraz \(y + a \neq 0\)).
Zapisujemy równanie:
\(\frac{x}{y} = \frac{x+a}{y+a}\)
Mnożymy wyrazy na krzyż:
\(x(y+a) = y(x+a)\)
\(xy + xa = yx + ya\)
Odejmujemy obustronnie iloczyn \(xy\) (ponieważ \(xy = yx\)):
\(xa = ya\)
Ponieważ \(a \neq 0\), możemy podzielić obie strony przez \(a\):
\(x = y\)
Skoro licznik \(x\) jest równy mianownikowi \(y\), ułamek ma postać \(\frac{x}{x}\), co dla \(x \neq 0\) zawsze daje wartość \(1\). Hipoteza została udowodniona.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Wyznacz zmienną \( a \) z podanych proporcji.
• Odpowiedź możesz wpisać z początkiem a = lub podać samo wyrażenie (np.
b/2 lub a = b/2).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wzór – jak wyznaczyć zmienną z proporcji?
Wyznaczmy zmienną \( a \) z równania: \(\frac{a - 3b}{2} = \frac{b}{5}\)
- Mnożymy "na krzyż": \(5 \cdot (a - 3b) = 2b\).
- Rozwijamy nawias: \(5a - 15b = 2b\).
- Przenosimy wyrazy z \( b \) na prawą stronę: \(5a = 17b\).
- Dzielimy przez współczynnik przy \( a \): \(a = \frac{17b}{5}\) (lub
17b/5).
Rozwiązanie zadania 9 i analiza krok po kroku:
a) \(\frac{a+2b}{5} = \frac{2}{3}\)
Mnożymy obie strony "na krzyż":
\(3(a + 2b) = 5 \cdot 2 \implies 3a + 6b = 10\)
Przenosimy \( 6b \) na prawą stronę:
\(3a = 10 - 6b\)
Dzielimy obie strony przez \( 3 \):
\(\mathbf{a = \frac{10-6b}{3} = \frac{10}{3} - 2b}\)
b) \(\frac{a+b}{3} = \frac{b}{2}\)
Mnożymy obie strony "na krzyż":
\(2(a + b) = 3b \implies 2a + 2b = 3b\)
Przenosimy \( 2b \) na prawą stronę:
\(2a = 3b - 2b \implies 2a = b\)
Dzielimy obie strony przez \( 2 \):
\(\mathbf{a = \frac{b}{2} = 0{,}5b}\)
c) \(\frac{a+2}{b} = \frac{b}{3}\) (przy założeniu \(b \neq 0\))
Mnożymy obie strony "na krzyż":
\(3(a + 2) = b \cdot b \implies 3a + 6 = b^2\)
Przenosimy \( 6 \) na prawą stronę:
\(3a = b^2 - 6\)
Dzielimy obie strony przez \( 3 \):
\(\mathbf{a = \frac{b^2-6}{3} = \frac{b^2}{3} - 2}\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Na podstawie podanych proporcji wyznacz wartość ułamka \(\frac{a}{b}\).
• Wynik możesz zapisać bezpośrednio (np.
3/11 lub -4) lub podając pełny zapis (np. a/b = -4).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wzór – jak obliczyć wartość \(\frac{a}{b}\)?
Obliczmy wartość stosunku \(\frac{a}{b}\) z proporcji: \(\frac{a + 3b}{2a - b} = \frac{1}{2}\)
- Mnożymy "na krzyż": \(2 \cdot (a + 3b) = 1 \cdot (2a - b) \implies 2a + 6b = 2a - b\).
- Upraszczamy wyrażenie: Odejmujemy stronami \(2a\), co daje \(6b = -b\).
- Wnioskowanie: Taka równość dla \(b \neq 0\) zachodzi tylko, gdy \(b = 0\) (sprzeczność z mianownikiem) lub \(a\) przyjmuje inną zależność. Rozpatrzmy inny klasyczny układ: \(a + 4b = 2a + b \implies a = 3b \implies \frac{a}{b} = 3\).
Rozwiązanie zadania 10 i analiza krok po kroku:
a) \(\frac{a+2b}{a+b} = \frac{2}{3}\)
Mnożymy obie strony "na krzyż":
\(3(a + 2b) = 2(a + b) \implies 3a + 6b = 2a + 2b\)
Przenosimy wyrazy z \( a \) na lewą stronę, a z \( b \) na prawą stronę:
\(3a - 2a = 2b - 6b \implies a = -4b\)
Dzielimy obie strony przez \( b \) (zakładając \(b \neq 0\)):
\(\mathbf{\frac{a}{b} = -4}\)
b) \(\frac{3a-b}{a-b} = \frac{1}{4}\)
Mnożymy obie strony "na krzyż":
\(4(3a - b) = 1(a - b) \implies 12a - 4b = a - b\)
Przenosimy wyrazy z \( a \) na lewą stronę, a z \( b \) na prawą stronę:
\(12a - a = -b + 4b \implies 11a = 3b\)
Dzielimy obie strony przez \( 11b \):
\(\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{3}{11}}\)
c) \(\frac{3}{5} = \frac{5a+2b}{3a-2b}\)
Mnożymy obie strony "na krzyż":
\(3(3a - 2b) = 5(5a + 2b) \implies 9a - 6b = 25a + 10b\)
Przenosimy wyrazy z \( a \) na jedną stronę, a z \( b \) na drugą:
\(9a - 25a = 10b + 6b \implies -16a = 16b\)
Dzielimy obie strony przez \(-16b\):
\(\mathbf{\frac{a}{b} = -1}\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj przekształcenia wykonane przez każdego z czterech uczniów.
• Możesz kliknąć bezpośrednio na kartę ucznia poniżej, aby wybrać jego odpowiedź, lub wpisać ręcznie jego imię bądź literę w pole tekstowe na dole.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić poprawność.
Wskazówka – jak sprawdzić poprawność przekształceń?
Aby ocenić, czy uczeń przekształcił równanie poprawnie, wykonajmy na nim dozwolone operacje algebraiczne:
- Możesz pomnożyć obie strony równania przez tę samą liczbę lub wyrażenie.
- Możesz pomnożyć proporcję "na krzyż" (licznik pierwszej strony przez mianownik drugiej strony).
- Możesz zamienić kolejność stron równania (\(L = P \iff P = L\)).
Rozwiązanie i analiza przekształceń krok po kroku:
Wyjdźmy od równania początkowego: \(\frac{2x - 3}{3x + 5} = \frac{4}{5}\)
1. Analiza przekształcenia Andrzeja (A):
Pomnóżmy obie strony równania przez \( 5 \):
\(5 \cdot \frac{2x - 3}{3x + 5} = 5 \cdot \frac{4}{5} \implies \frac{5(2x - 3)}{3x + 5} = 4 \implies \frac{10x - 15}{3x + 5} = 4\).
Przekształcenie Andrzeja jest poprawne.
2. Analiza przekształcenia Bartka (B):
Mnożąc wyjściową proporcję "na krzyż" (licznik lewej strony przez mianownik prawej strony), powinniśmy otrzymać:
\(5(2x - 3) = 4(3x + 5)\).
Bartek zapisał natomiast:
\(5(3x + 5) = 4(2x - 3)\).
Pomnożył on wartości na odwrót, co doprowadziło do błędnego równania. Przekształcenie Bartka jest błędne.
3. Analiza przekształcenia Czarka (C):
Pomnóżmy obie strony wyjściowego równania przez mianownik \( (3x + 5) \):
\(2x - 3 = \frac{4(3x + 5)}{5} \implies 2x - 3 = \frac{12x + 20}{5}\).
Przekształcenie Czarka jest poprawne.
4. Analiza przekształcenia Damiana (D):
Mnożąc wyjściową proporcję "na krzyż", otrzymujemy prawidłową równość:
\(5(2x - 3) = 4(3x + 5)\).
Korzystając z symetrii relacji równości (\( L = P \iff P = L \)), możemy zamienić strony:
\(4(3x + 5) = 5(2x - 3)\).
Przekształcenie Damiana jest poprawne.
Odp: Błędne przekształcenie wykonał Bartek (B).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż oba równania, a następnie oblicz iloczyn (wynik mnożenia) otrzymanych rozwiązań.
• Wybierz jedną z czterech opcji (klikając na nią) lub wpisz odpowiedź w pole tekstowe poniżej (np.
A lub bezpośrednio 12).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić poprawność.
Wskazówka – co to jest iloczyn rozwiązań?
Iloczyn rozwiązań to wynik pomnożenia rozwiązania pierwszego równania (\( x_1 \)) przez rozwiązanie drugiego równania (\( x_2 \)):
\(\text{Iloczyn} = x_1 \cdot x_2\)
Każde z równań rozwiąż niezależnie, mnożąc wyrazy "na krzyż" i wyznaczając wartość \( x \).
\(\frac{3}{x} = \frac{7}{4}\) oraz \(\frac{x+1}{3x-1} = \frac{2}{5}\)
Rozwiązanie zadania krok po kroku:
Aby wyznaczyć iloczyn rozwiązań, wyliczamy po kolei niewiadomą \(x\) z obu równań:
1. Rozwiązujemy pierwsze równanie:
\(\frac{3}{x} = \frac{7}{4}\) (Założenie: \( x \neq 0 \))
Mnożymy "na krzyż":
\(7 \cdot x = 3 \cdot 4 \implies 7x = 12 \implies \mathbf{x_1 = \frac{12}{7}}\)
2. Rozwiązujemy drugie równanie:
\(\frac{x+1}{3x-1} = \frac{2}{5}\) (Założenie: \( 3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3} \))
Mnożymy "na krzyż":
\(5(x + 1) = 2(3x - 1)\)
\(5x + 5 = 6x - 2\)
Przenosimy niewiadome na prawą stronę, a liczby na lewą:
\(5 + 2 = 6x - 5x \implies \mathbf{x_2 = 7}\)
Otrzymany wynik jest zgodny z założeniem dziedziny (\(7 \neq \frac{1}{3}\)).
3. Obliczamy iloczyn wyznaczonych rozwiązań:
\(\text{Iloczyn} = x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{7} \cdot 7 = \frac{12 \cdot 7}{7} = 12\)
Wynik wynosi \(12\), co odpowiada opcji A.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeczytaj treść zadania i wybierz poprawne odpowiedzi dla obu części.
• Możesz kliknąć bezpośrednio na wybraną kartę odpowiedzi lub wpisać wartości w pola na dole.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić obie części jednocześnie.
Wstęp teoretyczny – stosunek wielkości
Zapis stosunku wielkości w postaci \( A : B = 3 : 2 \) oznacza, że iloraz tych dwóch wartości jest równy ułamkowi:
\(\frac{A}{B} = \frac{3}{2}\)
Pamiętaj o uwzględnieniu w obliczeniach początkowej liczby spinaczy użytych przez Natalię.
Rozwiązanie zadania krok po kroku:
Część 1 – Wybór odpowiedniego równania:
- Początkowo Natalia użyła 2 spinaczy, a w pudełku pozostały 23 spinacze.
- Następnie wyjęła z pudełka \( x \) spinaczy.
- W pudełku zostało: \( 23 - x \) spinaczy.
- Do spięcia wszystkich kartek użyła łącznie: \( 2 + x \) spinaczy (początkowe 2 + dodatkowe \( x \)).
- Stosunek liczby spinaczy pozostałych w pudełku do liczby użytych wynosi \( 3 : 2 \), co zapisujemy jako:
\(\frac{23 - x}{2 + x} = \frac{3}{2}\)
Odpowiada to równaniu B.
Część 2 – Obliczenie liczby użytych spinaczy:
Rozwiązujemy ułożone proporcje, mnożąc na krzyż:
- \( 2 \cdot (23 - x) = 3 \cdot (2 + x) \)
\( 46 - 2x = 6 + 3x \)
\( 46 - 6 = 3x + 2x \)
\( 40 = 5x \implies x = 8 \). - Liczba \( x = 8 \) to spinacze wyjęte w drugim etapie.
- Całkowita liczba spinaczy użytych do spięcia kartek wynosi:
\( 2 + x = 2 + 8 = 10 \) spinaczy.
Prawidłowe odpowiedzi to równanie B oraz 10 (D) spinaczy.
Ładowanie komentarzy...
Ładowanie komentarzy...