Porównywanie liczb.

Zadanie 1

Instrukcja Zadania 1:
Przedstaw każdą z poniższych liczb w postaci ułamka zwykłego, wpisując odpowiedni licznik (L) oraz mianownik (M). Znak minus w ujemnych przykładach został już umieszczony przed ułamkiem – w okienka wpisz wartości dodatnie. Po zakończeniu kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Wymierność liczb)

Liczby wymierne: Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego: \( \frac{a}{b} \) gdzie \( a \) i \( b \) są liczbami całkowitymi, a mianownik jest różny od zera (\( b \neq 0 \)).

Definicje pierwiastków:

Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia): Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej \( a \) nazywamy taką liczbę nieujemną \( b \), która podniesiona do kwadratu daje liczbę \( a \): \( \sqrt{a} = b \iff b^2 = a \) (dla \( a \geq 0, b \geq 0 \))
Pierwiastek sześcienny (trzeciego stopnia): Pierwiastkiem sześciennym z liczby \( a \) nazywamy taką liczbę \( b \), która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę \( a \): \( \sqrt[3]{a} = b \iff b^3 = a \)

Sposoby zamiany liczb na ułamki zwykłe:

Ułamki dziesiętne: np. \( 0{,}27 = \frac{27}{100} \)
Liczby mieszane: np. \( 2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} \)
Liczby całkowite: np. \( 9 = \frac{9}{1} \)

Część 1.1: Ułamki dziesiętne i liczby mieszane:

a) \( 0{,}27 = \)

b) \( -32{,}9 = - \)

c) \( 2\frac{3}{7} = \)

d) \( -5\frac{3}{11} = - \)

Część 1.2: Pierwiastki kwadratowe:

e) \( \sqrt{81} = \)

f) \( -\sqrt{16} = - \)

g) \( \sqrt{3\frac{6}{25}} = \)

h) \( -\sqrt{2\frac{2}{49}} = - \)

i) \( \sqrt{0{,}36} = \)

j) \( -\sqrt{0{,}0009} = - \)

Część 1.3: Pierwiastki sześcienne:

k) \( \sqrt[3]{27} = \)

l) \( \sqrt[3]{-1000} = - \)

m) \( -\sqrt[3]{64} = - \)

n) \( \sqrt[3]{4\frac{17}{27}} = \)

o) \( \sqrt[3]{-0{,}008} = - \)

Zadanie 1 – Rozwiązanie krok po kroku:

Część 1.1: Ułamki dziesiętne i liczby mieszane

a) \( 0{,}27 \): Zapisujemy w postaci ułamka o mianowniku \( 100 \): \( \frac{27}{100} \).
b) \( -32{,}9 \): Przesuwając przecinek o jedno miejsce, otrzymujemy mianownik \( 10 \). Znak minus stoi przed ułamkiem, wpisujemy wartości dodatnie: \( -\frac{329}{10} \).
c) \( 2\frac{3}{7} \): Zamieniamy na ułamek niewłaściwy: \( 2 \cdot 7 + 3 = 17 \), co daje nam: \( \frac{17}{7} \).
d) \( -5\frac{3}{11} \): Pomijając minus przed ułamkiem: \( 5 \cdot 11 + 3 = 58 \), czyli: \( -\frac{58}{11} \).

Część 1.2: Pierwiastki kwadratowe

e) \( \sqrt{81} \): Obliczamy wartość pierwiastka: \( \sqrt{81} = 9 \). Jako ułamek o mianowniku \( 1 \) daje to: \( \frac{9}{1} \).
f) \( -\sqrt{16} \): Obliczamy pierwiastek kwadratowy: \( \sqrt{16} = 4 \). Wynik ze znakiem minus to: \( -\frac{4}{1} \).
g) \( \sqrt{3\frac{6}{25}} \): Najpierw zamieniamy liczbę mieszaną pod pierwiastkiem na ułamek niewłaściwy: \( 3\frac{6}{25} = \frac{3\cdot 25 + 6}{25} = \frac{81}{25} \). Następnie pierwiastkujemy licznik i mianownik: \( \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5} \). Ostateczny wynik: \( \frac{9}{5} \).
h) \( -\sqrt{2\frac{2}{49}} \): Zamieniamy wartość pod pierwiastkiem: \( 2\frac{2}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 2}{49} = \frac{100}{49} \). Pierwiastkujemy i uwzględniamy znak minus: \( -\sqrt{\frac{100}{49}} = -\frac{10}{7} \). Wynik: \( -\frac{10}{7} \).
i) \( \sqrt{0{,}36} \): Zamieniamy na ułamek zwykły pod pierwiastkiem: \( \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{6}{10} \). Po skróceniu przez \( 2 \) otrzymujemy \( \frac{3}{5} \). Obie formy są poprawne: \( \frac{6}{10} \) lub \( \frac{3}{5} \).
j) \( -\sqrt{0{,}0009} \): Zapisujemy pod pierwiastkiem jako ułamek: \( -\sqrt{\frac{9}{10000}} = -\frac{3}{100} \). Wynik: \( -\frac{3}{100} \).

Część 1.3: Pierwiastki sześcienne

k) \( \sqrt[3]{27} \): Obliczamy pierwiastek stopnia trzeciego: \( \sqrt[3]{27} = 3 \). Przedstawiamy w formie ułamka: \( \frac{3}{1} \).
l) \( \sqrt[3]{-1000} \): Obliczamy wartość: \( \sqrt[3]{-1000} = -10 \). Po uwzględnieniu znaku minus przed ułamkiem, otrzymujemy: \( -\frac{10}{1} \).
m) \( -\sqrt[3]{64} \): Wartość pierwiastka to \( \sqrt[3]{64} = 4 \), ze znakiem minus: \( -\frac{4}{1} \).
n) \( \sqrt[3]{4\frac{17}{27}} \): Sprowadzamy do ułamka niewłaściwego: \(\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3}\). Wynik: \( \frac{5}{3} \).
o) \( \sqrt[3]{-0{,}008} \): Obliczamy pierwiastek: \( \sqrt[3]{-0{,}008} = -0{,}2 \). Zapisujemy jako ułamek: \( -\frac{2}{10} \) lub po skróceniu przez \( 2 \): \( -\frac{1}{5} \). Obie odpowiedzi są poprawne: \( -\frac{2}{10} \) lub \( -\frac{1}{5} \).

Zadanie 2

Instrukcja Zadania 2:
Wpisz odpowiedni znak porównania: < (mniejsze niż) lub > (większe niż) w puste okienka, aby powstały prawdziwe nierówności. Po zakończeniu kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Porównywanie liczb wymiernych)

Podstawowe zasady porównywania:

Liczby o różnych znakach: Każda liczba dodatnia jest zawsze większa od dowolnej liczby ujemnej, np. \( \frac{1}{17} > -\frac{5}{27} \).
Dodatnie ułamki o jednakowych licznikach: Większy jest ten ułamek, który ma mniejszy mianownik (dzielimy na mniej części), np. \( \frac{3}{10} < \frac{3}{8} \).
Dodatnie ułamki o jednakowych mianownikach: Większy jest ten ułamek, który ma większy licznik, np. \( \frac{7}{15} > \frac{6}{15} \) (ponieważ \( \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \)).
Liczby ujemne: Porównywanie liczb ujemnych działa odwrotnie niż dla liczb dodatnich. Większa jest ta liczba ujemna, której wartość bezwzględna jest mniejsza (leży bliżej zera na osi liczbowej), np. \( -5{,}33 > -5{,}333 \).
Ułamki okresowe: Aby porównać ułamki okresowe, rozwijamy ich okresy i porównujemy cyfry na odpowiednich miejscach po przecinku, np. \( 4,(7) = 4,777... \). Porównując z \( 4,78 \), na drugim miejscu po przecinku mamy \( 7 < 8 \), czyli \( 4,(7) < 4,78 \).

Wiersze a) - f): Porównaj poniższe liczby:

\( \frac{1}{17} \) \( -\frac{5}{27} \)

\( -\frac{39}{23} \) \( \frac{1}{70} \)

\( \frac{11}{12} \) \( \frac{12}{11} \)

\( \frac{7}{6} \) \( \frac{8}{9} \)

\( \frac{3}{10} \) \( \frac{3}{8} \)

\( \frac{12}{7} \) \( \frac{12}{5} \)

\( -\frac{29}{21} \) \( -\frac{29}{20} \)

\( -\frac{100}{7} \) \( -\frac{100}{43} \)

\( \frac{2}{3} \) \( \frac{5}{6} \)

\( \frac{7}{15} \) \( \frac{2}{5} \)

\( -\frac{5}{12} \) \( -\frac{17}{36} \)

\( -\frac{8}{21} \) \( -\frac{2}{7} \)

\( \frac{3}{5} \) \( \frac{2}{3} \)

\( \frac{5}{17} \) \( \frac{3}{10} \)

\( -\frac{5}{6} \) \( -\frac{7}{9} \)

\( -\frac{3}{11} \) \( -\frac{2}{9} \)

\( 2{,}7 \) \( 2{,}07 \)

\( -5{,}33 \) \( -5{,}333 \)

\( 4,(7) \) \( 4{,}78 \)

\( -2{,}5(2) \) \( -2{,}2(5) \)

\( 0{,}8 \) \( \frac{3}{5} \)

\( 1{,}23 \) \( \frac{13}{10} \)

\( -3\frac{2}{5} \) \( -3{,}35 \)

\( -\frac{5}{7} \) \( -0{,}7 \)

Zadanie 2 – Rozwiązanie krok po kroku:

Wiersz a):
1. \( \frac{1}{17} > -\frac{5}{27} \) — liczba dodatnia jest zawsze większa od ujemnej.
2. \( -\frac{39}{23} < \frac{1}{70} \) — liczba ujemna jest zawsze mniejsza od dodatniej.
3. \( \frac{11}{12} < \frac{12}{11} \) — ułamek właściwy \( (\frac{11}{12} < 1) \) jest mniejszy od ułamka niewłaściwego \( (\frac{12}{11} > 1) \).
4. \( \frac{7}{6} > \frac{8}{9} \) — ułamek niewłaściwy \( \frac{7}{6} \) jest większy od \( 1 \), a ułamek właściwy \( \frac{8}{9} \) jest mniejszy od \( 1 \).
Wiersz b):
1. \( \frac{3}{10} < \frac{3}{8} \) — ułamki mają równe liczniki, więc większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.
2. \( \frac{12}{7} < \frac{12}{5} \) — równe liczniki, więc ułamek o mniejszym mianowniku \( (5) \) jest większy.
3. \( -\frac{29}{21} > -\frac{29}{20} \) — dla dodatnich mamy \( \frac{29}{21} < \frac{29}{20} \), zatem dla ujemnych znak nierówności się odwraca.
4. \( -\frac{100}{7} < -\frac{100}{43} \) — dla liczb dodatnich \( \frac{100}{7} > \frac{100}{43} \), stąd dla liczb ujemnych relacja jest przeciwna.
Wiersz c):
1. Sprowadzamy do wspólnego mianownika \( 6 \): \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \). Ponieważ \( \frac{4}{6} < \frac{5}{6} \), otrzymujemy \( \frac{2}{3} < \frac{5}{6} \).
2. Sprowadzamy do mianownika \( 15 \): \( \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \). Mamy \( \frac{7}{15} > \frac{6}{15} \), więc \( \frac{7}{15} > \frac{2}{5} \).
3. Sprowadzamy do mianownika \( 36 \): \( -\frac{5}{12} = -\frac{15}{36} \). Ponieważ \( -15 > -17 \), zachodzi: \( -\frac{5}{12} > -\frac{17}{36} \).
4. Sprowadzamy do mianownika \( 21 \): \( -\frac{2}{7} = -\frac{6}{21} \). Ponieważ \( -8 < -6 \), zachodzi: \( -\frac{8}{21} < -\frac{2}{7} \).
Wiersz d):
1. Wspólny mianownik \( 15 \): \( \frac{3}{5} = \frac{9}{15} \) oraz \( \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \). Zachodzi \( \frac{9}{15} < \frac{10}{15} \), czyli \( \frac{3}{5} < \frac{2}{3} \).
2. Wspólny mianownik \( 170 \): \( \frac{5}{17} = \frac{50}{170} \), a \( \frac{3}{10} = \frac{51}{170} \). Stąd \( \frac{5}{17} < \frac{3}{10} \).
3. Wspólny mianownik \( 18 \): \( -\frac{5}{6} = -\frac{15}{18} \) oraz \( -\frac{7}{9} = -\frac{14}{18} \). Ponieważ \( -15 < -14 \), otrzymujemy \( -\frac{5}{6} < -\frac{7}{9} \).
4. Wspólny mianownik \( 99 \): \( -\frac{3}{11} = -\frac{27}{99} \) oraz \( -\frac{2}{9} = -\frac{22}{99} \). Otrzymujemy \( -\frac{3}{11} < -\frac{2}{9} \).
Wiersz e):
1. Porównujemy części dziesiętne: cyfra części dziesiętnych w liczbie \( 2{,}7 \) to \( 7 \), natomiast w liczbie \( 2{,}07 \) to \( 0 \), stąd \( 2{,}7 > 2{,}07 \).
2. Bez znaków: \( 5{,}33 < 5{,}333 \). Dla ujemnych relacja się odwraca: \( -5{,}33 > -5{,}333 \).
3. Rozwijamy ułamek okresowy: \( 4,(7) = 4,7777... \). Porównując z \( 4{,}78 \), na drugim miejscu po przecinku mamy \( 7 < 8 \), czyli \( 4,(7) < 4{,}78 \).
4. Rozwijamy ułamki: \( -2{,}5(2) = -2{,}5222... \) oraz \( -2{,}2(5) = -2{,}2555... \). Ponieważ \( 2{,}5222... > 2{,}2555... \), to dla liczb ujemnych zachodzi \( -2{,}5(2) < -2{,}2(5) \).
Wiersz f):
1. Zamieniamy ułamek zwykły: \( \frac{3}{5} = 0{,}6 \). Ponieważ \( 0{,}8 > 0{,}6 \), otrzymujemy \( 0{,}8 > \frac{3}{5} \).
2. Zamieniamy ułamek: \( \frac{13}{10} = 1{,}3 \). Porównujemy: \( 1{,}23 < 1{,}3 \), zatem \( 1{,}23 < \frac{13}{10} \).
3. Zamieniamy na ułamek dziesiętny: \( -3\frac{2}{5} = -3{,}4 \). Ponieważ \( -3{,}4 < -3{,}35 \), mamy \( -3\frac{2}{5} < -3{,}35 \).
4. Przybliżamy ułamek: \( -\frac{5}{7} \approx -0{,}714 \). Porównując z \( -0{,}7 \), zachodzi \( -0{,}714 < -0{,}7 \), zatem \( -\frac{5}{7} < -0{,}7 \).

Zadanie 3

Instrukcja Zadania 3:
Część a): Oblicz wartości potęg (w przypadku ułamków zwykłych uzupełnij pola licznika L i mianownika M), a następnie wpisz znak porównania (< lub >).
Część b): Bez wykonywania obliczeń określ, która potęga jest większa, wpisując znak porównania (< lub >). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Potęgowanie liczb)

Definicja potęgi: Potęgą liczby \( a \) o wykładniku naturalnym \( n > 1 \) nazywamy iloczyn \( n \) czynników równych \( a \): \( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ czynników}} \) Podstawę potęgi oznaczamy jako \( a \), natomiast wykładnik jako \( n \). Przyjmujemy również, że \( a^1 = a \).

Porównywanie potęg o jednakowych podstawach:

Gdy podstawa jest większa od 1 (\( a > 1 \)): Wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi rośnie. Na przykład: \( 6^5 < 6^7 \) ponieważ wykładniki spełniają relację \( 5 < 7 \) przy podstawie większej od jedności.
Gdy podstawa leży między 0 a 1 (\( 0 < a < 1 \)): Wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi maleje. Na przykład: \( \left(\frac{1}{6}\right)^9 < \left(\frac{1}{6}\right)^7 \) ponieważ wykładniki spełniają relację \( 9 > 7 \) przy podstawie ułamkowej.

Wskazówka wpisywania: Dla ułamków zwykłych wpisz licznik w górne pole L, a mianownik w dolne pole M. W przypadku liczb dziesiętnych akceptowany jest zarówno przecinek, jak i kropka (np. 1,96 lub 1.96).

Część a): Oblicz potęgi i porównaj wyniki:

\( a = 5^2 = \) \( b = 5^3 = \)

\( a \) \( b \)

\( c = 2^3 = \) \( d = 2^5 = \)

\( c \) \( d \)

\( e = 1{,}4^2 = \) \( f = 1{,}4^3 = \)

\( e \) \( f \)

\( g = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \)

\( h = \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \)

\( g \) \( h \)

\( i = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \)

\( j = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \)

\( i \) \( j \)

\( k = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \)

\( l = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \)

\( k \) \( l \)

\( m = 0{,}1^2 = \) \( n = 0{,}1^3 = \)

\( m \) \( n \)

\( o = 0{,}2^3 = \) \( p = 0{,}2^4 = \)

\( o \) \( p \)

Część b): Porównaj bez obliczania wartości:

\( 6^5 \) \( 6^7 \)

\( 2{,}3^9 \) \( 2{,}3^4 \)

\( \left(\frac{1}{6}\right)^9 \) \( \left(\frac{1}{6}\right)^7 \)

\( 0{,}7^4 \) \( 0{,}7^5 \)

\( \left(\frac{15}{7}\right)^6 \) \( \left(\frac{15}{7}\right)^8 \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenia i porównania w Części a):

Para 1: \( a = 5^2 = 25 \), \( b = 5^3 = 125 \). Ponieważ \( 25 < 125 \), zachodzi: \( a < b \).
Para 2: \( c = 2^3 = 8 \), \( d = 2^5 = 32 \). Ponieważ \( 8 < 32 \), zachodzi: \( c < d \).
Para 3: \( e = 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( f = 1{,}4^3 = 2{,}744 \). Ponieważ \( 1{,}96 < 2{,}744 \), zachodzi: \( e < f \).
Para 4: \( g = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} \), \( h = \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1}{125} \). Ponieważ \( \frac{1}{25} > \frac{1}{125} \), zachodzi: \( g > h \).
Para 5: \( i = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \), \( j = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \). Ponieważ \( \frac{1}{8} > \frac{1}{32} \), zachodzi: \( i > j \).
Para 6: \( k = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \), \( l = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8} \). Ponieważ \( \frac{25}{4} = 6{,}25 \) jest mniejsze niż \( \frac{125}{8} = 15{,}625 \), zachodzi: \( k < l \).
Para 7: \( m = 0{,}1^2 = 0{,}01 \), \( n = 0{,}1^3 = 0{,}001 \). Ponieważ \( 0{,}01 > 0{,}001 \), zachodzi: \( m > n \).
Para 8: \( o = 0{,}2^3 = 0{,}008 \), \( p = 0{,}2^4 = 0{,}0016 \). Ponieważ \( 0{,}008 > 0{,}0016 \), zachodzi: \( o > p \).

Analiza zależności w Części b):

\( 6^5 < 6^7 \): Podstawa potęgi jest większa od 1 \( (6 > 1) \). Przy jednakowych podstawach większy wykładnik oznacza większą wartość potęgi.
\( 2{,}3^9 > 2{,}3^4 \): Podstawa potęgi jest większa od 1 \( (2{,}3 > 1) \), więc potęga o wyższym stopniu ma większą wartość.
\( \left(\frac{1}{6}\right)^9 < \left(\frac{1}{6}\right)^7 \): Podstawa potęgi należy do przedziału \( (0, 1) \). W tym przypadku zachodzi relacja odwrotna – wyższy wykładnik zmniejsza wartość ułamka.
\( 0{,}7^4 > 0{,}7^5 \): Podstawa jest ułamkiem z przedziału \( (0, 1) \), stąd potęga o mniejszym wykładniku daje większy wynik.
\( \left(\frac{15}{7}\right)^6 < \left(\frac{15}{7}\right)^8 \): Ponieważ \( \frac{15}{7} \approx 2{,}14 > 1 \), zachowujemy naturalny kierunek nierówności (większy wykładnik oznacza większą wartość).

Zadanie 4

Instrukcja Zadania 4:
Część a): Oblicz wartości potęg liczb ujemnych (pamiętaj o odpowiednim znaku wyniku, a dla ułamków zwykłych uzupełnij licznik L i mianownik M). Następnie uzupełnij znak porównania (< lub >).
Część b): Bez wykonywania obliczeń określ, która potęga jest większa, wpisując znak porównania (< lub >). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Potęgowanie liczb ujemnych)

1. Wpływ nawiasu na znak wyniku:

Zapis \( (-3)^2 \) oznacza potęgowanie liczby ujemnej \( -3 \), co daje wynik dodatni: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \).
Zapis \( -3^2 \) oznacza liczbę przeciwną do potęgi liczby dodatniej \( 3 \), co daje wynik ujemny: \( -3^2 = -(3^2) = -(3 \cdot 3) = -9 \).

2. Wykładnik parzysty a nieparzysty:

Wykładnik parzysty (\( 2, 4, 6, ... \)): Potęga liczby ujemnej daje zawsze wynik dodatni, np. \( (-5)^4 = 625 \).
Wykładnik nieparzysty (\( 1, 3, 5, ... \)): Potęga liczby ujemnej daje zawsze wynik ujemny, np. \( (-3)^3 = -27 \).

3. Porównywanie potęg o podstawach ujemnych:

Liczba o parzystym wykładniku (dodatnia) jest zawsze większa od liczby o nieparzystym wykładniku (ujemnej).
W przypadku dwóch potęg o wykładnikach nieparzystych (obu ujemnych), większa jest ta, która leży bliżej zera na osi liczbowej.

Część a): Oblicz potęgi i porównaj wyniki:

\( a = (-3)^2 = \) \( b = (-3)^3 = \)

\( a \) \( b \)

\( c = -5^4 = \) \( d = (-5)^4 = \)

\( c \) \( d \)

\( e = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = - \)

\( f = \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = - \)

\( e \) \( f \)

\( g = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = - \)

\( h = \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \)

\( g \) \( h \)

Część b): Porównaj bez obliczania wartości:

\( (-7)^8 \) \( (-7)^9 \)

\( -3^{12} \) \( (-3)^{12} \)

\( \left(-\frac{2}{7}\right)^9 \) \( \left(-\frac{2}{7}\right)^5 \)

\( \left(-\frac{5}{8}\right)^5 \) \( \left(-\frac{5}{8}\right)^8 \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenia i porównania w Części a):

Para 1: \( a = (-3)^2 = 9 \) (wykładnik parzysty daje wynik dodatni), \( b = (-3)^3 = -27 \) (wykładnik nieparzysty daje wynik ujemny). Ponieważ \( 9 > -27 \), zachodzi: \( a > b \).
Para 2: \( c = -5^4 = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = -625 \) (brak nawiasu), \( d = (-5)^4 = 625 \) (nawias i parzysty wykładnik). Ponieważ \( -625 < 625 \), zachodzi: \( c < d \).
Para 3: \( e = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27} \), \( f = \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243} \). Obie liczby są ujemne. Ponieważ \( \frac{1}{27} > \frac{1}{243} \), to na liczbach ujemnych relacja ulega odwróceniu (liczba \( -\frac{1}{243} \) leży bliżej zera, czyli jest większa): \( e < f \).
Para 4: \( g = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32} \), \( h = \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \) (parzysty wykładnik daje wynik dodatni). Liczba dodatnia jest zawsze większa od ujemnej: \( g < h \).

Analiza zależności w Części b):

\( (-7)^8 > (-7)^9 \): Pierwsza potęga ma wykładnik parzysty (wynik dodatni), a druga nieparzysty (wynik ujemny).
\( -3^{12} < (-3)^{12} \): \( -3^{12} \) daje wynik ujemny (brak nawiasu), a \( (-3)^{12} \) wynik dodatni (nawias i wykładnik parzysty).
\( \left(-\frac{2}{7}\right)^9 > \left(-\frac{2}{7}\right)^5 \): Obie liczby mają wykładniki nieparzyste (są ujemne) i ułamkową podstawę z przedziału \( (-1, 0) \). Potęga o większym wykładniku \( (9) \) ma mniejszą wartość bezwzględną, czyli leży bliżej zera na osi liczbowej.
\( \left(-\frac{5}{8}\right)^5 < \left(-\frac{5}{8}\right)^8 \): Pierwsza potęga ma wykładnik nieparzysty (wynik ujemny), a druga wykładnik parzysty (wynik dodatni).

Zadanie 5

Instrukcja Zadania 5:
Część a): Przepisz podane liczby, rezygnując z zapisu wykładniczego (zapisz je w postaci standardowych liczb dziesiętnych lub całkowitych). Możesz używać spacji jako separatorów tysięcznych.
Część b): Wpisz liczby podane w tekście w formacie notacji wykładniczej: uzupełnij pole mantysy a oraz wykładnika n w szablonie \( a \cdot 10^n \). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Notacja wykładnicza)

Notacja wykładnicza służy do przejrzystego i zwięzłego zapisywania bardzo dużych lub bardzo małych liczb. Dowolną liczbę dodatnią możemy przedstawić w postaci: \( a \cdot 10^n \) gdzie:

\( a \) (tzw. mantysa) to liczba, która musi spełniać warunek: \( 1 \le a < 10 \) (musi być co najmniej równa 1 i mniejsza od 10),
\( n \) (wykładnik potęgi) to liczba całkowita (dodatnia, ujemna lub zero).

Jak przekształcać liczby?

Dodatni wykładnik potęgi (\( n > 0 \)): Przesuwamy przecinek dziesiętny w prawo o \( n \) miejsc (odpowiada to dużym liczbom), np.: \( 1{,}1 \cdot 10^9 = 1\ 100\ 000\ 000 \).
Ujemny wykładnik potęgi (\( n < 0 \)): Przesuwamy przecinek dziesiętny w lewo o \( |n| \) miejsc (odpowiada to małym ułamkom), np.: \( 2 \cdot 10^{-4} = 0{,}0002 \).

Część a): Zapisz liczby bez użycia potęg:

W Polsce w 2012 r. zużyto łącznie \( 1{,}1 \cdot 10^{10} \text{ m}^3 \) wody.
\( \text{m}^3 \)
w tym w rolnictwie \( 1{,}1 \cdot 10^9 \text{ m}^3 \),
\( \text{m}^3 \)
a w produkcji przemysłowej \( 7{,}7 \cdot 10^9 \text{ m}^3 \).
\( \text{m}^3 \)
Przeciętna szklanka ma pojemność \( 2 \cdot 10^{-4} \text{ m}^3 \),
\( \text{m}^3 \)
a olimpijski basen pływacki mieści \( 2{,}5 \cdot 10^{-6} \text{ km}^3 \) wody.
\( \text{km}^3 \)

Część b): Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej:

W Polsce w 2012 r. \( 26\ 400\ 000 \) osób korzystało z oczyszczalni ścieków,

\( \cdot 10 \) osób
w tym w miastach — \( 21\ 400\ 000 \) osób,

\( \cdot 10 \) osób
a na wsi — \( 5\ 030\ 000 \) osób.

\( \cdot 10 \) osób
W 1 litrze wody do spożycia nie może być więcej niż \( 0{,}0005 \text{ g} \) amoniaku,

\( \cdot 10 \) g
ani więcej niż \( 0{,}0000005 \text{ g} \) pestycydów.

\( \cdot 10 \) g

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyjaśnienie do Części a) (Zapis dziesiętny):

1. \( 1{,}1 \cdot 10^{10} \): Przesuwamy przecinek w prawo o 10 miejsc. Otrzymujemy: \( 11\ 000\ 000\ 000 \text{ m}^3 \) (jedenaście miliardów).
2. \( 1{,}1 \cdot 10^9 \): Przesuwamy przecinek w prawo o 9 miejsc. Otrzymujemy: \( 1\ 100\ 000\ 000 \text{ m}^3 \) (miliard sto milionów).
3. \( 7{,}7 \cdot 10^9 \): Przesuwamy przecinek w prawo o 9 miejsc. Otrzymujemy: \( 7\ 700\ 000\ 000 \text{ m}^3 \) (siedem miliardów siedemset milionów).
4. \( 2 \cdot 10^{-4} \): Wykładnik ujemny oznacza przesunięcie przecinka w lewo o 4 miejsca. Otrzymujemy: \( 0{,}0002 \text{ m}^3 \).
5. \( 2{,}5 \cdot 10^{-6} \): Przesuwamy przecinek w lewo o 6 miejsc. Otrzymujemy: \( 0{,}0000025 \text{ km}^3 \).

Wyjaśnienie do Części b) (Notacja wykładnicza):

1. \( 26\ 400\ 000 \): Przecinek przesuwamy o 7 miejsc w lewo, aby otrzymać liczbę \( a \in \langle1, 10)\). Wynik: \( 2{,}64 \cdot 10^7 \).
2. \( 21\ 400\ 000 \): Przesuwamy przecinek o 7 miejsc w lewo. Wynik: \( 2{,}14 \cdot 10^7 \).
3. \( 5\ 030\ 000 \): Przesuwamy przecinek o 6 miejsc w lewo. Wynik: \( 5{,}03 \cdot 10^6 \).
4. \( 0{,}0005 \text{ g} \): Przesuwamy przecinek o 4 miejsca w prawo (wykładnik będzie ujemny). Wynik: \( 5 \cdot 10^{-4} \).
5. \( 0{,}0000005 \text{ g} \): Przesuwamy przecinek o 7 miejsc w prawo. Wynik: \( 5 \cdot 10^{-7} \).

Zadanie 6

Instrukcja Zadania 6:
Część a): Przedstaw podane liczby w postaci pierwiastków (wpisz odpowiednią potęgę w pierwsze pole pod pierwiastkiem oraz obliczoną wartość w drugie).
Część b): Kliknij na kafelki z liczbami, aby zaznaczyć te, które są jednocześnie większe od \( \sqrt{40} \) i mniejsze od \( \sqrt{70} \). Ponowne kliknięcie odznacza liczbę.
Część c): Oszacuj wartości pierwiastków, wpisując najbliższe liczby naturalne pod pierwiastki, a następnie odpowiadające im liczby całkowite. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Wprowadzanie czynnika pod pierwiastek i szacowanie)

1. Wprowadzanie liczby pod znak pierwiastka: Aby zapisać liczbę naturalną \( a \) w postaci pierwiastka stopnia \( n \), podnosimy ją do potęgi \( n \): \( a = \sqrt[n]{a^n} \)

Dla pierwiastka kwadratowego (\( n=2 \)): \( 5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} \)
Dla pierwiastka sześciennego (\( n=3 \)): \( 5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125} \)

2. Szacowanie wartości pierwiastków kwadratowych:

Wartość pierwiastka niewymiernego szacujemy, znajdując dwa najbliższe pełne kwadraty liczb naturalnych, pomiędzy którymi znajduje się liczba podpierwiastkowa.
Przykład dla \( \sqrt{109} \): Ponieważ \( 100 < 109 < 121 \), to: \( \sqrt{100} < \sqrt{109} < \sqrt{121} \), czyli \( 10 < \sqrt{109} < 11 \)

Wskazówka wpisywania potęg: W części a) dla potęg zachowaj zapis ze znakiem potęgowania, np. 3^2 lub 3^3.

Część a): Przedstaw liczby w postaci pierwiastków kwadratowych i sześciennych:

\( 3 = \) √ \( = \) √

\( 3 = \) ³√ \( = \) ³√

\( 5 = \) √ \( = \) √

\( 5 = \) ³√ \( = \) ³√

\( 10 = \) √ \( = \) √

\( 10 = \) ³√ \( = \) ³√

Część b): Zaznacz liczby, które są jednocześnie większe od \( \sqrt{40} \) i mniejsze od \( \sqrt{70} \):

\( \frac{700}{9} \)

\( \sqrt{57{,}327} \)

\( \frac{80}{3} \)

Część c): Oszacuj pierwiastki między kolejnymi liczbami naturalnymi:

\( \sqrt{100} < \sqrt{109} < \sqrt{121} \) więc \( 10 < \sqrt{109} < 11 \) (przykład)

√ \( < \sqrt{31} < \) √, więc \( < \sqrt{31} < \)

√ \( < \sqrt{185} < \) √, więc \( < \sqrt{185} < \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Część a):

\( 3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} \)
\( 3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27} \)
\( 5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} \)
\( 5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125} \)
\( 10 = \sqrt{10^2} = \sqrt{100} \)
\( 10 = \sqrt[3]{10^3} = \sqrt[3]{1000} \)

Część b):

Wartości graniczne przedziału to: \( \sqrt{40} \approx 6{,}32 \) oraz \( \sqrt{70} \approx 8{,}37 \). Szukamy zatem liczb należących do przedziału \( (6{,}32; 8{,}37) \):

\( 6 < 6{,}32 \) (nie należy)
\( \frac{700}{9} \approx 77{,}78 > 8{,}37 \) (nie należy)
\( 7 \in (6{,}32; 8{,}37) \) (należy)
\( \sqrt{57{,}327} \approx 7{,}57 \in (6{,}32; 8{,}37) \) (należy)
\( 8 \in (6{,}32; 8{,}37) \) (należy)
\( \frac{80}{3} \approx 26{,}67 > 8{,}37 \) (nie należy)
\( 9 > 8{,}37 \) (nie należy)

Część c):

Dla \( \sqrt{31} \): Szukamy najbliższych pełnych kwadratów liczb naturalnych wokół liczby \( 31 \). Są to \( 25 \) oraz \( 36 \). Stąd: \( \sqrt{25} < \sqrt{31} < \sqrt{36} \), czyli: \( 5 < \sqrt{31} < 6 \).
Dla \( \sqrt{185} \): Szukamy najbliższych pełnych kwadratów wokół liczby \( 185 \). Są to \( 169 \) (\( 13^2 \)) oraz \( 196 \) (\( 14^2 \)). Stąd: \( \sqrt{169} < \sqrt{185} < \sqrt{196} \), czyli: \( 13 < \sqrt{185} < 14 \).

Zadanie 7

Instrukcja Zadania 7:
Oblicz podane liczby, a następnie zapisz je w kolejności od najmniejszej do największej (uporządkuj rosnąco ich wartości liczbowe).
Część a): Wpisz obliczone wartości całkowite w puste okienka.
Część b): Wpisz wartości w postaci ułamków zwykłych (licznik L i mianownik M). Znak minus przy ułamkach ujemnych został już umieszczony przed polem ułamkowym. Po zakończeniu kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Porządkowanie potęg)

Metoda porządkowania liczb: Aby ułożyć potęgi w kolejności od najmniejszej do największej, najpierw obliczamy ich wartości liczbowe, uważając na znaki wyników:

Znak potęgi: Ujemna podstawa podniesiona do wykładnika nieparzystego daje wynik ujemny, np. \( (-2)^3 = -8 \). Przy parzystym wykładniku wynik jest dodatni, np. \( (-2)^4 = 16 \).
Brak nawiasu: Minus przed potęgą oznacza liczbę przeciwną do wyniku potęgowania, np. \( -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \).
Ułamki ujemne: Im większy mianownik ułamka dodatniego o liczniku 1, tym mniejsza jego wartość. W przypadku liczb ujemnych zależność ta ulega odwróceniu – ułamek o większym mianowniku leży bliżej zera, więc ma większą wartość, np. \( -\frac{1}{9} < -\frac{1}{16} < -\frac{1}{27} \).

Część a): Uporządkuj rosnąco wartości liczb:

\( 2^3 \) \( (-2)^3 \) \( (-3)^3 \) \( -3^2 \) \( -2^4 \) \( 3^2 \)

< < < < <

Część b): Uporządkuj rosnąco wartości liczb:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^2 \) \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) \( \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \) \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \) \( -\left(\frac{1}{3}\right)^2 \) \( -\left(\frac{1}{2}\right)^4 \)

Rozwiązanie krok po kroku:

Część a):

Obliczamy wartości poszczególnych potęg:

\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
\( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \)
\( (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \)
\( -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 \)
\( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \)
\( 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \)

Porządkujemy otrzymane liczby całkowite od najmniejszej do największej (rosnąco):
\( -27 < -16 < -9 < -8 < 8 < 9 \)

Część b):

Obliczamy wartości ułamków:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \)
\( \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27} \)
\( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
\( -\left(\frac{1}{3}\right)^2 = -\frac{1}{9} \)
\( -\left(\frac{1}{2}\right)^4 = -\frac{1}{16} \)

Porządkujemy najpierw liczby ujemne. Im większy mianownik ułamka o liczniku 1, tym mniejsza jego wartość bezwzględna (leży bliżej zera, więc ma większą wartość). Stąd:
\( -\frac{1}{9} < -\frac{1}{16} < -\frac{1}{27} \) Następnie porządkujemy liczby dodatnie (im mniejszy mianownik, tym większa wartość ułamka):
\( \frac{1}{9} < \frac{1}{8} < \frac{1}{4} \) Łączymy oba ciągi:
\( -\frac{1}{9} < -\frac{1}{16} < -\frac{1}{27} < \frac{1}{9} < \frac{1}{8} < \frac{1}{4} \)

Zadanie 8

Instrukcja Zadania 8:
Odczytaj współrzędne punktów zaznaczonych na osiach liczbowych. Wpisz odczytane wartości:

Dla liczb całkowitych wpisz liczbę w pojedyncze pole (pamiętaj o znaku minus w liczbach ujemnych).
Dla ułamków uzupełnij szablon liczby mieszanej: wpisz całości w pierwsze pole, a następnie licznik (L) i mianownik (M). Jeśli współrzędna jest ujemna, znak minus jest już pre-definiowany przed liczbą.

Na koniec kliknij przycisk „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Odczytywanie współrzędnych z osi)

Aby prawidłowo odczytać współrzędne punktów zaznaczonych na osi liczbowej, wykonaj następujące kroki:

Krok 1: Oblicz odległość (różnicę) między dwoma podpisanymi punktami na osi.
Krok 2: Policz liczbę przedziałów (odstępów) znajdujących się pomiędzy tymi dwoma punktami.
Krok 3: Wyznacz krok osi (wartość pojedynczej podziałki), dzieląc obliczoną odległość przez liczbę przedziałów.
Krok 4: Odlicz odległość punktu od najbliższej znanej wartości, dodając odpowiednią liczbę kroków (idąc w prawo) lub odejmując (idąc w lewo).

Przykład (oś c): Między liczbami \( -5 \) a \( 1 \) odległość wynosi \( 1 - (-5) = 6 \). Przedziałów jest \( 8 \). Krok osi wynosi \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
Punkt \( F \) leży \( 4 \) podziałki na prawo od \( -5 \), czyli: \( F = -5 + 4 \cdot \frac{3}{4} = -5 + 3 = -2 \).

Oś a): Punkty \( A \) oraz \( B \):

A =

B =

Oś b): Punkty \( C \) oraz \( D \):

C =

D =

Oś c): Punkty \( E \) oraz \( F \):

E =

F =

Oś d): Punkty \( G \) oraz \( H \):

G =

H =

Rozwiązanie krok po kroku:

Oś a):

Odległość między punktami \( 34 \) i \( 36 \) wynosi: \( 36 - 34 = 2 \).
Przedziałów jest \( 6 \). Pojedynczy krok osi wynosi: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
Punkt \( A \) leży \( 2 \) podziałki na prawo od \( 34 \): \( A = 34 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 34\frac{2}{3} \).
Punkt \( B \) leży \( 5 \) podziałek na prawo od \( 34 \): \( B = 34 + 5 \cdot \frac{1}{3} = 35\frac{2}{3} \).

Oś b):

Odległość między punktami \( -3 \) i \( 0 \) wynosi: \( 0 - (-3) = 3 \).
Przedziałów jest \( 8 \). Krok osi wynosi: \( \frac{3}{8} \).
Punkt \( C \) leży \( 2 \) podziałki na lewo od \( -3 \): \( C = -3 - 2 \cdot \frac{3}{8} = -3 - \frac{6}{8} = -3\frac{3}{4} \).
Punkt \( D \) leży \( 4 \) podziałki na prawo od \( -3 \): \( D = -3 + 4 \cdot \frac{3}{8} = -3 + \frac{12}{8} = -1\frac{1}{2} \) (co odpowiada wartości \( -1{,}5 \)).

Oś c):

Odległość między punktami \( -5 \) i \( 1 \) wynosi: \( 1 - (-5) = 6 \).
Przedziałów jest \( 8 \). Krok osi wynosi: \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
Punkt \( E \) leży \( 2 \) podziałki na lewo od \( -5 \): \( E = -5 - 2 \cdot \frac{3}{4} = -5 - 1\frac{1}{2} = -6\frac{1}{2} \) (co odpowiada wartości \( -6{,}5 \)).
Punkt \( F \) leży \( 4 \) podziałki na prawo od \( -5 \): \( F = -5 + 4 \cdot \frac{3}{4} = -5 + 3 = -2 \).

Oś d):

Odległość między punktami \( -11 \) i \( 5 \) wynosi: \( 5 - (-11) = 16 \).
Przedziałów jest \( 8 \). Krok osi wynosi: \( \frac{16}{8} = 2 \).
Punkt \( G \) leży \( 3 \) podziałki na prawo od \( -11 \): \( G = -11 + 3 \cdot 2 = -11 + 6 = -5 \).
Punkt \( H \) leży \( 10 \) podziałek na prawo od \( -11 \): \( H = -11 + 10 \cdot 2 = -11 + 20 = 9 \).

Zadanie 9

Instrukcja Zadania 9:
Odczytaj współrzędne punktów zaznaczonych na osiach liczbowych. Wpisz odczytane wartości:

Dla liczb całkowitych wpisz liczbę w pojedyncze pole (pamiętaj o znaku minus w liczbach ujemnych).
Dla ułamków uzupełnij szablon liczby mieszanej: wpisz całości w pierwsze pole, a następnie licznik (L) i mianownik (M). Jeśli współrzędna jest ujemna, znak minus jest już pre-definiowany przed liczbą.

Na koniec kliknij przycisk „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Odczytywanie współrzędnych z osi)

Aby prawidłowo odczytać współrzędne punktów zaznaczonych na osi liczbowej, wykonaj następujące kroki:

Krok 1: Oblicz odległość (różnicę) między dwoma podpisanymi punktami na osi.
Krok 2: Policz liczbę przedziałów (odstępów) znajdujących się pomiędzy tymi dwoma punktami.
Krok 3: Wyznacz krok osi (wartość pojedynczej podziałki), dzieląc obliczoną odległość przez liczbę przedziałów.
Krok 4: Odlicz odległość punktu od najbliższej znanej wartości, dodając odpowiednią liczbę kroków (idąc w prawo) lub odejmując (idąc w lewo).

Oś a): Punkty \( A \) oraz \( B \):

A =

B =

Oś b): Punkty \( C \) oraz \( D \):

C =

D =

Oś c): Punkty \( E \) oraz \( F \):

E =

F =

Oś d): Punkty \( G \) oraz \( H \):

G =

H =

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 9):

Oś a): Odległość \( 36 - 34 = 2 \) podzielona na \( 6 \) części daje krok \( \frac{1}{3} \). Stąd \( A = 34\frac{2}{3} \), \( B = 35\frac{2}{3} \).
Oś b): Odległość \( 0 - (-3) = 3 \) podzielona na \( 8 \) części daje krok \( \frac{3}{8} \). Stąd \( C = -3\frac{3}{4} \), \( D = -1\frac{1}{2} \).
Oś c): Odległość \( 1 - (-5) = 6 \) podzielona na \( 8 \) części daje krok \( \frac{3}{4} \). Stąd \( E = -6\frac{1}{2} \), \( F = -2 \).
Oś d): Odległość \( 5 - (-11) = 16 \) podzielona na \( 8 \) części daje krok \( 2 \). Stąd \( G = -5 \), \( H = 9 \).

Zadanie 10

Instrukcja Zadania 10:
Część 10.1: Oblicz boki kwadratów \( a = \sqrt{P} \). Dla ułamków zwykłych uzupełnij licznik (L) i mianownik (M). Jeśli bok jest niewymierny, wpisz słowo niewymierna lub skorzystaj z interaktywnego przycisku √, który wstawi symbol pierwiastka do pola. Następnie kliknij odpowiednie kafelki, aby określić które kwadraty mają boki wyrażone liczbami całkowitymi (kryterium a) oraz wymiernymi (kryterium b).
Część 10.2: Uporządkuj ułamki prognoz populacji malejąco (od największego) oraz wskaż lata o skrajnych udziałach. Po zakończeniu kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Długości boków i porównywanie ułamków)

1. Obliczanie długości boku: Pole kwadratu wyraża się wzorem \( P = a^2 \), skąd otrzymujemy długość boku \( a = \sqrt{P} \). Liczby niewymierne to pierwiastki, których nie można wyciągnąć do postaci ułamka, np. \( \sqrt{10} \).

2. Porównywanie ułamków: Porównując skomplikowane ułamki o różnych mianownikach, najwygodniej sprowadzić je do postaci przybliżenia dziesiętnego przez podzielenie licznika przez mianownik.

Przykład zamiany: \( \frac{37}{200} = 37 : 200 = 0{,}185 \)

Część 10.1: Oblicz długości boków \( a = \sqrt{P} \):

\( P_1 = 0{,}01 \) \( a_1 = \)

\( P_2 = 400 \) \( a_2 = \)

\( P_3 = 1\frac{7}{9} \) \( a_3 = \)

\( P_4 = 10 \) \( a_4 = \)

\( P_5 = \frac{2}{3} \) \( a_5 = \)

\( P_6 = 2{,}25 \) \( a_6 = \)

\( P_7 = 1{,}6 \) \( a_7 = \)

\( P_8 = \frac{49}{81} \) \( a_8 = \)

a) Boki o długościach wyrażonych liczbami całkowitymi:

P₁

P₂

P₃

P₄

P₅

P₆

P₇

P₈

b) Boki o długościach wyrażonych liczbami wymiernymi:

P₁

P₂

P₃

P₄

P₅

P₆

P₇

P₈

Część 10.2: Uporządkuj ułamki prognozy malejąco (od największego):

Rok o największym udziale młodzieży:

Rok o najmniejszym udziale młodzieży:

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 10):

Część 10.1 (Kwadraty):

Obliczamy boki \( a = \sqrt{P} \): \( a_1 = 0{,}1 \), \( a_2 = 20 \), \( a_3 = \frac{4}{3} \), \( a_4 = \sqrt{10} \) (niewymierna), \( a_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \) (niewymierna), \( a_6 = 1{,}5 \), \( a_7 = \sqrt{1{,}6} \) (niewymierna), \( a_8 = \frac{7}{9} \).
Kryterium a (całkowite): tylko \( a_2 = 20 \) spełnia warunek. Odpowiedź: \( P_2 \).
Kryterium b (wymierne): wymierne są boki \( a_1, a_2, a_3, a_6, a_8 \). Odpowiedź: \( P_1, P_2, P_3, P_6, P_8 \).

Część 10.2 (Tabela populacji):

Zamieniamy ułamki na przybliżenia: \( \frac{37}{200} = 0{,}185 \), \( \frac{9}{49} \approx 0{,}1837 \), \( \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 \), \( \frac{2}{13} \approx 0{,}1538 \).
Kolejność malejąca: \( \frac{37}{200} > \frac{9}{49} > \frac{1}{6} > \frac{2}{13} \).
Największy udział będzie w roku 2020, a najmniejszy w roku 2035.

Zadanie 11

Instrukcja Zadania 11:
W każdym z podpunktów wskaż, która z podanych liczb jest mniejsza, klikając odpowiedni kafel z liczbą. Ponowne kliknięcie na drugą liczbę zmienia wybór. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Określanie i porównywanie wartości potęg)

Aby porównać wartości potęg bez wykonywania skomplikowanych obliczeń, warto przeanalizować ich budowę:

Analiza znaku wyniku: Dowolna liczba ujemna podniesiona do wykładnika parzystego daje wynik dodatni, np. \( (-5)^8 = 5^8 \). Brak nawiasu przy minusie oznacza liczbę ujemną, np. \( -7^{20} < 0 \). Każda liczba ujemna jest mniejsza od dodatniej.
Potęgi o tych samych wykładnikach: Dla dodatnich podstaw \( a > b \), wyższa podstawa daje wyższy wynik potęgowania przy tym samym wykładniku naturalnym: \( a^n > b^n \), np. \( \left(\frac{7}{3}\right)^5 > \left(\frac{7}{4}\right)^5 \).
Potęgi o tych samych podstawach:
- Gdy podstawa jest większa od 1 \( (a > 1) \), wyższy wykładnik zwiększa wynik, np. \( 3{,}4^8 > 3{,}4^6 \).
- Gdy podstawa leży w przedziale \( (0, 1) \), wyższy wykładnik **zmniejsza** wynik, np. \( 0{,}8^4 < 0{,}8^3 \).

Wskaż mniejszą liczbę z każdej pary:

czy

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 11):

a) \( 5^7 \) czy \( (-5)^8 \): Potęga \( (-5)^8 \) daje wynik dodatni \( 5^8 \). Ponieważ obie liczby są dodatnie o tej samej podstawie \( (5 > 1) \), mniejsza jest potęga o mniejszym wykładniku.
Mniejsza liczba: \( 5^7 \).
b) \( (-7)^{20} \) czy \( -7^{20} \): Liczba \( (-7)^{20} = 7^{20} \) jest dodatnia (parzysty wykładnik), a \( -7^{20} \) ujemna. Liczba ujemna jest zawsze mniejsza. Mniejsza liczba: \( -7^{20} \).
c) \( \left(\frac{7}{3}\right)^5 \) czy \( \left(\frac{7}{4}\right)^5 \): Wykładniki są równe. Ponieważ \( \frac{7}{3} > \frac{7}{4} \), potęga o mniejszej podstawie daje mniejszy wynik. Mniejsza liczba: \( \left(\frac{7}{4}\right)^5 \).
d) \( \left(\frac{4}{5}\right)^6 \) czy \( \left(\frac{5}{4}\right)^6 \): Ponieważ \( \frac{4}{5} < 1 < \frac{5}{4} \), potęga o podstawie mniejszej od 1 daje wynik mniejszy. Mniejsza liczba: \( \left(\frac{4}{5}\right)^6 \).
e) \( 0{,}8^3 \) czy \( 0{,}8^4 \): Podstawa leży w przedziale \( (0, 1) \). Przy ułamkowych podstawach wyższy wykładnik zmniejsza wynik. Mniejsza liczba: \( 0{,}8^4 \).
f) \( (-3{,}4)^6 \) czy \( (-3{,}4)^8 \): Obie liczby dają dodatnie wyniki. Podstawa \( 3{,}4 > 1 \), więc mniejszy stopień wykładnika oznacza mniejszą wartość. Mniejsza liczba: \( (-3{,}4)^6 \).

Zadanie 12

Instrukcja Zadania 12:
Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej. Uzupełnij pole mantysy a oraz wykładnika n w szablonie \( a \cdot 10^n \). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Notacja wykładnicza)

Notacja wykładnicza ma postać: \( a \cdot 10^n \) gdzie:

\( a \) (mantysa) to liczba spełniająca warunek: \( 1 \le a < 10 \) (musi być co najmniej równa 1 i mniejsza od 10),
\( n \) (wykładnik) to liczba całkowita (dodatnia, ujemna lub zero).

Sposób zapisu:

Dla liczb większych od 10: Przesuwamy przecinek w lewo, np. \( 3000 = 3 \cdot 10^3 \).
Dla ułamków mniejszych od 1: Przesuwamy przecinek w prawo (wykładnik będzie ujemny), np. \( 0{,}12 = 1{,}2 \cdot 10^{-1} \).
Dla liczb już leżących w przedziale \( \langle 1, 10) \): Wykładnik wynosi 0, np. \( 1{,}0765 = 1{,}0765 \cdot 10^0 \).

Zapisz poniższe liczby w notacji wykładniczej:

a) 3000 =

\( \cdot 10 \)

b) 120 000 =

\( \cdot 10 \)

c) 0,12 =

\( \cdot 10 \)

d) 0,00387 =

\( \cdot 10 \)

e) 1,0765 =

\( \cdot 10 \)

f) 10,879 =

\( \cdot 10 \)

g) 9876,546 =

\( \cdot 10 \)

h) 0,00001 =

\( \cdot 10 \)

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 12):

a) \( 3000 \): Przecinek przesuwamy o 3 miejsca w lewo, otrzymując mantysę \( a = 3 \). Wykładnik wynosi 3.
Zapis: \( 3 \cdot 10^3 \).
b) \( 120\ 000 \): Przecinek przesuwamy o 5 miejsc w lewo, aby otrzymać mantysę \( a = 1{,}2 \). Wykładnik wynosi 5.
Zapis: \( 1{,}2 \cdot 10^5 \).
c) \( 0{,}12 \): Przesuwamy przecinek o 1 miejsce w prawo. Ponieważ przesuwamy go w prawo, wykładnik będzie ujemny i wynosi \( -1 \).
Zapis: \( 1{,}2 \cdot 10^{-1} \).
d) \( 0{,}00387 \): Przesuwamy przecinek o 3 miejsca w prawo. Wykładnik wynosi \( -3 \), mantysa to \( 3{,}87 \).
Zapis: \( 3{,}87 \cdot 10^{-3} \).
e) \( 1{,}0765 \): Liczba już leży w wymaganym przedziale \( \langle 1, 10) \). Nie przesuwamy przecinka, więc wykładnik wynosi 0.
Zapis: \( 1{,}0765 \cdot 10^0 \).
f) \( 10{,}879 \): Przesuwamy przecinek o 1 miejsce w lewo, aby otrzymać mantysę \( 1{,}0879 \). Wykładnik wynosi 1.
Zapis: \( 1{,}0879 \cdot 10^1 \).
g) \( 9876{,}546 \): Przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo, aby otrzymać mantysę \( 9{,}876546 \). Wykładnik wynosi 3.
Zapis: \( 9{,}876546 \cdot 10^3 \).
h) \( 0{,}00001 \): Przesuwamy przecinek o 5 miejsc w prawo. Wykładnik wynosi \( -5 \), mantysa to \( 1 \).
Zapis: \( 1 \cdot 10^{-5} \).

Zadanie 13

Instrukcja Zadania 13:
Porównaj podane liczby metodami wskazanymi w podpunktach:
a) i b): Sprowadź ułamki kolejno do wspólnego mianownika / licznika, wpisując je w pola ułamkowe, a następnie wpisz znak porównania (< lub >).
c): Oblicz iloraz pierwszej liczby przez drugą (wpisz jako ułamek zwykły) i porównaj go z liczbą 1, określając właściwy znak porównania.
d) i e): Wpisz bezpośrednio znak porównania (< lub >) w puste pola. Kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Metody porównywania ułamków zwykłych)

Ułamki zwykłe o różnych licznikach i mianownikach możemy porównywać na kilka sposobów:

Sprowadzanie do wspólnego mianownika: Porównujemy rozszerzone ułamki. Większy jest ten o większym liczniku: \( \frac{7}{12} < \frac{10}{12} \) (ponieważ \( \frac{5}{6} = \frac{10}{12} \)).
Sprowadzanie do wspólnego licznika: Porównujemy rozszerzone ułamki. Większy jest ten, którego mianownik jest **mniejszy** (całość dzielimy na mniej części): \( \frac{4}{10} < \frac{4}{9} \) (ponieważ \( \frac{2}{5} = \frac{4}{10} \)).
Metoda ilorazowa (porównanie z 1): Obliczamy dzielenie pierwszego ułamka przez drugi (\( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} \)).
- Jeśli iloraz jest większy od 1 (\( > 1 \)), to pierwszy ułamek jest większy: \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \).
- Jeśli iloraz jest mniejszy od 1 (\( < 1 \)), to pierwszy ułamek jest mniejszy: \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \).
Porównywanie rozwinięć dziesiętnych: Dzielimy licznik przez mianownik (np. na kalkulatorze) i porównujemy wartości po przecinku.

Część a): Sprowadź do wspólnego mianownika i porównaj:

\( \frac{7}{12} \) i \( \frac{5}{6} \) →

\( \frac{11}{15} \) i \( \frac{13}{20} \) →

\( \frac{2}{5} \) i \( \frac{3}{7} \) →

\( \frac{5}{7} \) i \( \frac{7}{10} \) →

\( \frac{4}{9} \) i \( \frac{5}{11} \) →

Część b): Sprowadź do wspólnego licznika i porównaj:

\( \frac{2}{5} \) i \( \frac{4}{9} \) →

\( \frac{5}{13} \) i \( \frac{15}{38} \) →

\( \frac{4}{7} \) i \( \frac{6}{11} \) →

\( \frac{10}{13} \) i \( \frac{15}{21} \) →

\( \frac{9}{25} \) i \( \frac{6}{17} \) →

Część c): Oblicz iloraz pierwszej liczby przez drugą i porównaj:

\( \frac{12}{25} \) i \( \frac{9}{20} \) → Iloraz:

, więc znak:

\( \frac{8}{15} \) i \( \frac{12}{25} \) → Iloraz:

, więc znak:

\( \frac{12}{35} \) i \( \frac{18}{49} \) → Iloraz:

, więc znak:

\( \frac{33}{50} \) i \( \frac{55}{70} \) → Iloraz:

, więc znak:

\( \frac{20}{21} \) i \( \frac{55}{63} \) → Iloraz:

, więc znak:

Część d): Porównaj rozwinięcia dziesiętne (skorzystaj z kalkulatora):

1) \( 0{,}678 \) i \( \frac{13}{19} \) → Znak:

2) \( 0{,}562 \) i \( \frac{50}{89} \) → Znak:

3) \( 7{,}94 \) i \( \frac{421}{53} \) → Znak:

4) \( \frac{13}{15} \) i \( \frac{27}{31} \) → Znak:

5) \( \frac{107}{51} \) i \( \frac{47}{22} \) → Znak:

Część e): Porównaj liczby, korzystając z dowolnej metody:

1) \( \frac{6}{17} \) i \( \frac{8}{21} \) → Znak:

2) \( \frac{5}{12} \) i \( \frac{23}{60} \) → Znak:

3) \( \frac{3}{20} \) i \( \frac{4}{23} \) → Znak:

4) \( 0{,}5(83) \) i \( \frac{7}{12} \) → Znak:

5) \( 2{,}2 \) i \( \frac{33}{14} \) → Znak:

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 13):

Część a) (Wspólny mianownik):

1. Wspólny mianownik to \( 12 \): \( \frac{7}{12} \) i \( \frac{10}{12} \) → \( \frac{7}{12} < \frac{10}{12} \).
2. Wspólny mianownik to \( 60 \): \( \frac{44}{60} \) i \( \frac{39}{60} \) → \( \frac{44}{60} > \frac{39}{60} \).
3. Wspólny mianownik to \( 35 \): \( \frac{14}{35} \) i \( \frac{15}{35} \) → \( \frac{14}{35} < \frac{15}{35} \).
4. Wspólny mianownik to \( 70 \): \( \frac{50}{70} \) i \( \frac{49}{70} \) → \( \frac{50}{70} > \frac{49}{70} \).
5. Wspólny mianownik to \( 99 \): \( \frac{44}{99} \) i \( \frac{45}{99} \) → \( \frac{44}{99} < \frac{45}{99} \).

Część b) (Wspólny licznik):

1. Wspólny licznik to \( 4 \): \( \frac{4}{10} \) i \( \frac{4}{9} \) → \( \frac{4}{10} < \frac{4}{9} \) (mniejszy mianownik oznacza większy ułamek).
2. Wspólny licznik to \( 15 \): \( \frac{15}{39} \) i \( \frac{15}{38} \) → \( \frac{15}{39} < \frac{15}{38} \).
3. Wspólny licznik to \( 12 \): \( \frac{12}{21} \) i \( \frac{12}{22} \) → \( \frac{12}{21} > \frac{12}{22} \).
4. Wspólny licznik to \( 30 \): \( \frac{30}{39} \) i \( \frac{30}{42} \) → \( \frac{30}{39} > \frac{30}{42} \).
5. Wspólny licznik to \( 18 \): \( \frac{18}{50} \) i \( \frac{18}{51} \) → \( \frac{18}{50} > \frac{18}{51} \).

Część c) (Metoda ilorazowa):

1. \( \frac{12}{25} : \frac{9}{20} = \frac{12}{25} \cdot \frac{20}{9} = \frac{16}{15} \). Ponieważ \( \frac{16}{15} > 1 \), to \( \frac{12}{25} > \frac{9}{20} \).
2. \( \frac{8}{15} : \frac{12}{25} = \frac{8}{15} \cdot \frac{25}{12} = \frac{10}{9} \). Ponieważ \( \frac{10}{9} > 1 \), to \( \frac{8}{15} > \frac{12}{25} \).
3. \( \frac{12}{35} : \frac{18}{49} = \frac{12}{35} \cdot \frac{49}{18} = \frac{14}{15} \). Ponieważ \( \frac{14}{15} < 1 \), to \( \frac{12}{35} < \frac{18}{49} \).
4. \( \frac{33}{50} : \frac{55}{70} = \frac{33}{50} \cdot \frac{70}{55} = \frac{21}{25} \). Ponieważ \( \frac{21}{25} < 1 \), to \( \frac{33}{50} < \frac{55}{70} \).
5. \( \frac{20}{21} : \frac{55}{63} = \frac{20}{21} \cdot \frac{63}{55} = \frac{12}{11} \). Ponieważ \( \frac{12}{11} > 1 \), to \( \frac{20}{21} > \frac{55}{63} \).

Część d) (Rozwinięcia dziesiętne):

1. \( \frac{13}{19} \approx 0{,}6842 \) → \( 0{,}678 < 0{,}6842 \), czyli \( 0{,}678 < \frac{13}{19} \).
2. \( \frac{50}{89} \approx 0{,}5618 \) → \( 0{,}562 > 0{,}5618 \), czyli \( 0{,}562 > \frac{50}{89} \).
3. \( \frac{421}{53} \approx 7{,}9434 \) → \( 7{,}94 < 7{,}9434 \), czyli \( 7{,}94 < \frac{421}{53} \).
4. \( \frac{13}{15} \approx 0{,}8667 \) i \( \frac{27}{31} \approx 0{,}8710 \) → \( \frac{13}{15} < \frac{27}{31} \).
5. \( \frac{107}{51} \approx 2{,}0980 \) i \( \frac{47}{22} \approx 2{,}1364 \) → \( \frac{107}{51} < \frac{47}{22} \).

Część e) (Dowolna metoda):

1. Zamiana na dziesiętne: \( \frac{6}{17} \approx 0{,}3529 \), \( \frac{8}{21} \approx 0{,}3810 \) → \( \frac{6}{17} < \frac{8}{21} \).
2. Sprowadzenie do mianownika 60: \( \frac{5}{12} = \frac{25}{60} \) → \( \frac{25}{60} > \frac{23}{60} \) → \( \frac{5}{12} > \frac{23}{60} \).
3. Zamiana na dziesiętne: \( \frac{3}{20} = 0{,}1500 \), \( \frac{4}{23} \approx 0{,}1739 \) → \( \frac{3}{20} < \frac{4}{23} \).
4. Porównanie okresów: \( 0{,}5(83) = 0{,}58383... \), \( \frac{7}{12} = 0{,}58333... \) → \( 0{,}5(83) > \frac{7}{12} \).
5. Zamiana na dziesiętne: \( 2{,}2 = 2{,}2000 \), \( \frac{33}{14} \approx 2{,}3571 \) → \( 2{,}2 < \frac{33}{14} \).

Zadanie 14

Instrukcja Zadania 14:
Wiedząc, że \( \sqrt{2} \approx 1{,}41421 \) oraz \( \sqrt{3} \approx 1{,}73205 \), wskaż, która z podanych liczb jest mniejsza, klikając odpowiedni kafel z wyrażeniem. Ponowne kliknięcie na drugą liczbę zmienia wybór. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Szacowanie i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych)

Aby porównać podane liczby i wyrażenia pierwiastkowe bez użycia kalkulatora, podstawiamy ich znane przybliżenia dziesiętne: \( \sqrt{2} \approx 1{,}41421 \) oraz \( \sqrt{3} \approx 1{,}73205 \) Następnie wykonujemy podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę lub dzielenie), aby otrzymać przybliżoną wartość dziesiętną całego wyrażenia:

Dzielenie pierwiastka: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1{,}41421 : 2 = 0{,}707105 \)
Iloczyn pierwiastka: \( 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1{,}73205 = 3{,}4641 \)
Suma pierwiastkowa: \( 0{,}3 + \sqrt{3} \approx 0{,}3 + 1{,}73205 = 2{,}03205 \)
Różnica pierwiastkowa: \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1{,}73205 - 1{,}41421 = 0{,}31784 \)

Otrzymane wartości dziesiętne porównujemy z podanymi liczbami skończonymi, pilnując pozycji cyfr po przecinku (np. \( 1{,}41 = 1{,}41000 \)).

Wskaż mniejszą liczbę z każdej pary:

czy

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 14):

a) \( 1{,}41 \) czy \( \sqrt{2} \): Podstawiamy przybliżenie: \( \sqrt{2} \approx 1{,}41421 \). Porównując z \( 1{,}41 = 1{,}41000 \), widzimy, że \( 1{,}41000 < 1{,}41421 \).
Mniejsza liczba: \( 1{,}41 \).
b) \( 1{,}73 \) czy \( \sqrt{3} \): Podstawiamy przybliżenie: \( \sqrt{3} \approx 1{,}73205 \). Porównując z \( 1{,}73 = 1{,}73000 \), widzimy, że \( 1{,}73000 < 1{,}73205 \).
Mniejsza liczba: \( 1{,}73 \).
c) \( 0{,}75 \) czy \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): Obliczamy wartość wyrażenia: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1{,}41421 : 2 = 0{,}707105 \). Porównując z \( 0{,}75 = 0{,}750000 \), widzimy, że \( 0{,}707105 < 0{,}750000 \).
Mniejsza liczba: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
d) \( 3{,}45 \) czy \( 2\sqrt{3} \): Obliczamy wartość wyrażenia: \( 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1{,}73205 = 3{,}4641 \). Porównując z \( 3{,}45 = 3{,}4500 \), widzimy, że \( 3{,}4500 < 3{,}4641 \).
Mniejsza liczba: \( 3{,}45 \).
e) \( 2{,}1 \) czy \( 0{,}3 + \sqrt{3} \): Obliczamy wartość wyrażenia: \( 0{,}3 + \sqrt{3} \approx 0{,}3 + 1{,}73205 = 2{,}03205 \). Porównując z \( 2{,}1 = 2{,}10000 \), widzimy, że \( 2{,}03205 < 2{,}10000 \).
Mniejsza liczba: \( 0{,}3 + \sqrt{3} \).
f) \( 0{,}3 \) czy \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \): Obliczamy wartość wyrażenia: \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1{,}73205 - 1{,}41421 = 0{,}31784 \). Porównując z \( 0{,}3 = 0{,}30000 \), widzimy, że \( 0{,}30000 < 0{,}31784 \).
Mniejsza liczba: \( 0{,}3 \).

Zadanie 15

Instrukcja Zadania 15:
W każdym z podpunktów wskaż, która z podanych liczb jest większa, klikając odpowiedni kafel z wyrażeniem. Ponowne kliknięcie na drugą liczbę zmienia wybór. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Szacowanie i porównywanie pierwiastków wyższych stopni)

Aby porównać wartości wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe i sześcienne z liczbami całkowitymi bez bezpośredniego obliczania, stosujemy dwie metody szacowania:

Metoda 1: Przekształcenie algebraiczne (np. obustronne potęgowanie): Upraszczamy relację, wykonując te same działania matematyczne po obu stronach, a następnie podnosimy do odpowiedniej potęgi (kwadratu dla pierwiastków stopnia 2, sześcianu dla stopnia 3):
Przykład dla \( \sqrt[3]{1001} + 1 \) i \( 11 \): Odejmujemy obustronnie 1, otrzymując \( \sqrt[3]{1001} \) i \( 10 \). Podnosząc do sześcianu, porównujemy: \( 1001 > 1000 \) (\( 10^3 \)), co oznacza, że \( \sqrt[3]{1001} + 1 > 11 \).
Metoda 2: Szacowanie przedziałowe (ograniczanie z góry i z dołu): Szukamy najbliższych liczb całkowitych wokół pierwiastka, których wartości znamy:
Przykład dla \( \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} \) i \( 5 \): Ponieważ \( \sqrt[3]{25} < \sqrt[3]{27} = 3 \) oraz \( \sqrt[3]{5} < \sqrt[3]{8} = 2 \), to ich suma musi spełniać warunek: \( \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} < 3 + 2 = 5 \).

Wskaż większą liczbę z każdej pary:

czy

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 15):

a) \( \sqrt{37} - 1 \) czy \( 6 \): Badamy nierówność, sprawdzając, czy \( \sqrt{37} > 7 \). Ponieważ \( 37 < 49 = 7^2 \), zachodzi \( \sqrt{37} < 7 \). Po odjęciu 1 otrzymujemy \( \sqrt{37} - 1 < 6 \).
Większa liczba: \( 6 \).
b) \( 10\sqrt{51} \) czy \( 69 \): Dzielimy obie liczby przez 10, otrzymując wartości \( \sqrt{51} \) oraz \( 6{,}9 \). Podnosimy obie strony do kwadratu: \( (\sqrt{51})^2 = 51 \), natomiast \( 6{,}9^2 = 47{,}61 \). Ponieważ \( 51 > 47{,}61 \), to zachodzi \( 10\sqrt{51} > 69 \).
Większa liczba: \( 10\sqrt{51} \).
c) \( \sqrt{101} - \sqrt{80} \) czy \( 1 \): Szacujemy wartości pierwiastków: \( \sqrt{101} > \sqrt{100} = 10 \), a \( \sqrt{80} < \sqrt{81} = 9 \). Ponieważ od liczby większej od 10 odejmujemy liczbę mniejszą od 9, ich różnica będzie większa od \( 10 - 9 = 1 \). Dokładniej: \( \sqrt{101} - \sqrt{80} \approx 10{,}05 - 8{,}94 = 1{,}11 > 1 \).
Większa liczba: \( \sqrt{101} - \sqrt{80} \).
d) \( \sqrt[3]{1001} + 1 \) czy \( 11 \): Odejmujemy obustronnie 1, porównując wartości \( \sqrt[3]{1001} \) oraz \( 10 \). Podnosząc do sześcianu, mamy: \( 1001 > 10^3 = 1000 \). Stąd \( \sqrt[3]{1001} + 1 > 11 \).
Większa liczba: \( \sqrt[3]{1001} + 1 \).
e) \( 0{,}5\sqrt[3]{9} \) czy \( 1 \): Mnożymy obustronnie przez 2, porównując \( \sqrt[3]{9} \) oraz \( 2 \). Podnosząc obie strony do sześcianu, otrzymujemy: \( 9 > 2^3 = 8 \). Stąd \( 0{,}5\sqrt[3]{9} > 1 \).
Większa liczba: \( 0{,}5\sqrt[3]{9} \).
f) \( \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{5} \) czy \( 5 \): Szacujemy wartości pierwiastków sześciennych: \( \sqrt[3]{25} < \sqrt[3]{27} = 3 \) oraz \( \sqrt[3]{5} < \sqrt[3]{8} = 2 \). Ponieważ obie wartości są odpowiednio mniejsze od 3 i 2, to ich suma musi być mniejsza od \( 3 + 2 = 5 \).
Większa liczba: \( 5 \).

Zadanie 16

Instrukcja Zadania 16:
W każdym z podpunktów wskaż, która z podanych liczb okresowych jest większa, klikając odpowiedni kafel z wyrażeniem. Ponowne kliknięcie na drugą liczbę zmienia wybór. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Porównywanie ułamków dziesiętnych okresowych)

Aby porównać ułamki dziesiętne z zapisem okresowym (w nawiasie), należy najpierw rozpisujemy ich rozwinięcia dziesiętne na kilka miejsc po przecinku.

Zapis w nawiasie oznacza powtarzający się w nieskończoność okres, np.:
\( 0{,}1(20) = 0{,}12020202... \) oraz \( 5{,}(60) = 5{,}60606060... \)
Ułamek skończony możemy uzupełnić zerami na dalszych pozycjach, np.:
\( 0{,}12 = 0{,}12000000... \)

Następnie porównujemy cyfry na kolejnych pozycjach po przecinku od lewej do prawej. Pierwsza różna cyfra decyduje o tym, który ułamek ma większą wartość (np. na czwartym miejscu po przecinku w parze a) mamy \( 0 \) i \( 2 \), stąd \( 0{,}1(20) \) jest większa).

Wskaż większą liczbę z każdej pary:

czy

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 16):

a) \( 0{,}12 \) czy \( 0{,}1(20) \): Rozpisujemy rozwinięcia: \( 0{,}12 = 0{,}120000... \) oraz \( 0{,}1(20) = 0{,}120202... \). Cztery pierwsze cyfry po przecinku są takie same. Na czwartym miejscu mamy cyfry \( 0 \) i \( 2 \). Ponieważ \( 2 > 0 \):
Większa liczba: \( 0{,}1(20) \).
b) \( 3{,}4 \) czy \( 3{,}0(4) \): Rozpisujemy: \( 3{,}4 = 3{,}4000... \) oraz \( 3{,}0(4) = 3{,}0444... \). Porównując pierwsze cyfry po przecinku (części dziesiętne), widzimy, że \( 4 > 0 \).
Większa liczba: \( 3{,}4 \).
c) \( 5{,}606 \) czy \( 5{,}(60) \): Rozpisujemy: \( 5{,}606 = 5{,}606000... \) oraz \( 5{,}(60) = 5{,}606060... \). Różnica pojawia się na piątym miejscu po przecinku, gdzie mamy odpowiednio cyfry \( 0 \) i \( 6 \). Ponieważ \( 6 > 0 \):
Większa liczba: \( 5{,}(60) \).
d) \( 7{,}(13) \) czy \( 7{,}(31) \): Rozpisujemy: \( 7{,}(13) = 7{,}131313... \) oraz \( 7{,}(31) = 7{,}313131... \). Porównując części dziesiętne, widzimy, że \( 3 > 1 \).
Większa liczba: \( 7{,}(31) \).
e) \( 2{,}0(42) \) czy \( 2{,}(042) \): Rozpisujemy: \( 2{,}0(42) = 2{,}042424... \) oraz \( 2{,}(042) = 2{,}042042... \). Różnica występuje na piątym miejscu po przecinku, gdzie porównujemy \( 4 \) i \( 0 \). Ponieważ \( 4 > 0 \):
Większa liczba: \( 2{,}0(42) \).
f) \( 9{,}(321) \) czy \( 9{,}3(21) \): Rozpisujemy: \( 9{,}(321) = 9{,}321321... \) oraz \( 9{,}3(21) = 9{,}321212... \). Różnica występuje na piątym miejscu po przecinku (części stutysięczne), gdzie porównujemy cyfry \( 3 \) i \( 2 \). Ponieważ \( 3 > 2 \):
Większa liczba: \( 9{,}(321) \).
g) \( 0{,}12(32) \) czy \( 0{,}1233 \): Rozpisujemy: \( 0{,}12(32) = 0{,}123232... \) oraz \( 0{,}1233 = 0{,}123300... \). Różnica występuje na czwartym miejscu po przecinku, gdzie porównujemy cyfry \( 2 \) i \( 3 \). Ponieważ \( 3 > 2 \):
Większa liczba: \( 0{,}1233 \).
h) \( 12{,}(051) \) czy \( 12{,}05(1) \): Rozpisujemy: \( 12{,}(051) = 12{,}051051... \) oraz \( 12{,}05(1) = 12{,}051111... \). Różnica występuje na piątym miejscu po przecinku, gdzie porównujemy cyfry \( 0 \) i \( 1 \). Ponieważ \( 1 > 0 \):
Większa liczba: \( 12{,}05(1) \).
i) \( 4{,}2(115) \) czy \( 4{,}21(15) \): Rozpisujemy: \( 4{,}2(115) = 4{,}2115115... \) oraz \( 4{,}21(15) = 4{,}2115151... \). Różnica występuje na siódmym miejscu po przecinku, gdzie porównujemy cyfry \( 1 \) i \( 5 \). Ponieważ \( 5 > 1 \):
Większa liczba: \( 4{,}21(15) \).

Zadanie 17

Instrukcja Zadania 17:
Znajdź wszystkie liczby całkowite większe od mniejszej z podanych liczb i mniejsze od większej z nich. Wpisz je w pola tekstowe w kolejności rosnącej, oddzielając je przecinkami (np. 6, 7, 8). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Szacowanie wartości pierwiastków i wyznaczanie przedziałów)

Aby wyznaczyć wszystkie liczby całkowite leżące pomiędzy dwoma pierwiastkami, szacujemy najpierw przybliżone wartości dziesiętne obu liczb za pomocą najbliższych pełnych kwadratów:

Szacowanie: Dla liczby \( \sqrt{12} \), najbliższymi pełnymi kwadratami liczb naturalnych są \( 9 \) (\( 3^2 \)) oraz \( 16 \) (\( 4^2 \)). Mamy zatem:
\( \sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16} \implies 3 < \sqrt{12} < 4 \) (czyli \( \sqrt{12} \approx 3{,}46 \)).
Analogicznie szacujemy drugi pierwiastek: dla \( \sqrt{18} \) kwadratami są \( 16 \) i \( 25 \), więc \( 4 < \sqrt{18} < 5 \) (czyli \( \sqrt{18} \approx 4{,}24 \)).
Wyznaczenie przedziału: Szukamy liczb całkowitych w przedziale obustronnie otwartym \( (3{,}46; 4{,}24) \). Jedyną liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest **\( 4 \)**.

Wypisz szukane liczby całkowite:

a) \( \sqrt{12} \); \( \sqrt{18} \) →

b) \( \sqrt{27} \); \( \sqrt{72} \) →

c) \( \sqrt{48} \); \( \sqrt{96} \) →

d) \( \sqrt{220} \); \( \sqrt{360} \) →

e) \( -\sqrt{26} \); \( -\sqrt{3} \) →

f) \( -\sqrt{43} \); \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) →

g) \( -\sqrt{10} \); \( \sqrt{10} \) →

h) \( -\sqrt{420} \); \( -\sqrt{250} \) →

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 17):

a) \( \sqrt{12} \) i \( \sqrt{18} \): Szacujemy: \( \sqrt{12} \approx 3{,}46 \) oraz \( \sqrt{18} \approx 4{,}24 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (3{,}46; 4{,}24) \).
Liczba całkowita: \( 4 \).
b) \( \sqrt{27} \) i \( \sqrt{72} \): Szacujemy: \( \sqrt{27} \approx 5{,}20 \) oraz \( \sqrt{72} \approx 8{,}49 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (5{,}20; 8{,}49) \).
Liczby całkowite: \( 6, 7, 8 \).
c) \( \sqrt{48} \) i \( \sqrt{96} \): Szacujemy: \( \sqrt{48} \approx 6{,}93 \) oraz \( \sqrt{96} \approx 9{,}80 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (6{,}93; 9{,}80) \).
Liczby całkowite: \( 7, 8, 9 \).
d) \( \sqrt{220} \) i \( \sqrt{360} \): Szacujemy: \( \sqrt{220} \approx 14{,}83 \) oraz \( \sqrt{360} \approx 18{,}97 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (14{,}83; 18{,}97) \).
Liczby całkowite: \( 15, 16, 17, 18 \).
e) \( -\sqrt{26} \) i \( -\sqrt{3} \): Szacujemy wartości ujemne: \( -\sqrt{26} \approx -5{,}10 \) oraz \( -\sqrt{3} \approx -1{,}73 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (-5{,}10; -1{,}73) \).
Liczby całkowite: \( -5, -4, -3, -2 \).
f) \( -\sqrt{43} \) i \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \): Szacujemy wartości ujemne: \( -\sqrt{43} \approx -6{,}56 \) oraz \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}71 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (-6{,}56; -0{,}71) \).
Liczby całkowite: \( -6, -5, -4, -3, -2, -1 \).
g) \( -\sqrt{10} \) i \( \sqrt{10} \): Szacujemy: \( -\sqrt{10} \approx -3{,}16 \) oraz \( \sqrt{10} \approx 3{,}16 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (-3{,}16; 3{,}16) \).
Liczby całkowite: \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \).
h) \( -\sqrt{420} \) i \( -\sqrt{250} \): Szacujemy: \( -\sqrt{420} \approx -20{,}49 \) oraz \( -\sqrt{250} \approx -15{,}81 \). Szukamy liczb całkowitych w przedziale \( (-20{,}49; -15{,}81) \).
Liczby całkowite: \( -20, -19, -18, -17, -16 \).

Zadanie 18

Instrukcja Zadania 18:
Przedstaw podane ułamki zwykłe w postaci dziesiętnej okresowej.

Wykonaj dzielenie pisemne bezpośrednio w kratkach zeszytowych. Pierwsza kolumna to margines przeznaczony na znaki minus.
Na dole każdego podpunktu wpisz ostateczny wynik w zapisie okresowym, np. 0,(4) lub 0,02(27). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Dzielenie pisemne ułamków zwykłych)

Aby zamienić ułamek zwykły \( \frac{a}{b} \) na postać dziesiętną, dzielimy licznik \( a \) przez mianownik \( b \) metodą pisemną.

Gdy w trakcie dzielenia zaczynają powtarzać się te same reszty z dzielenia, otrzymujemy **ułamek dziesiętny okresowy**.
Powtarzającą się stale grupę cyfr nazywamy okresem ułamka i zapisujemy ją w nawiasie okrągłym, np.: \( \frac{4}{9} = 0{,}4444... = 0{,}(4) \)

a) \( \frac{4}{9} \)

		,
	4	:	9
-

-

	-

Wynik:

b) \( \frac{3}{7} \)

		,
	3	:	7
-

-

	-

		-

Wynik:

c) \( \frac{8}{11} \)

		,
	8	:	1	1
-

-

	-

		-

Wynik:

d) \( \frac{4}{13} \)

		,
	4	:	1	3
-

-

	-

		-

Wynik:

e) \( \frac{1}{44} \)

		,
	1	:	4	4
-

-

	-

		-

Wynik:

f) \( \frac{1}{66} \)

		,
	1	:	6	6
-

-

	-

		-

Wynik:

g) \( \frac{1}{99} \)

		,
	1	:	9	9
-

-

	-

Wynik:

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 18):

Dla każdego ułamka dzielimy licznik przez mianownik metodą pisemną:

a) \( \frac{4}{9} \): \( 4 : 9 = 0{,}4444... \) → reszta \( 4 \) stale powtarza się w nieskończoność. Okres to \( 4 \). Wynik: \( 0{,}(4) \).
b) \( \frac{3}{7} \): \( 3 : 7 = 0{,}42857142... \) → po wyznaczeniu 6 cyfr po przecinku reszta wynosi ponownie \( 3 \), a sekwencja zaczyna się powtarzać. Wynik: \( 0{,}(428571) \).
c) \( \frac{8}{11} \): \( 8 : 11 = 0{,}727272... \) → reszty \( 8 \) oraz \( 3 \) powtarzają się cyklicznie. Wynik: \( 0{,}(72) \).
d) \( \frac{4}{13} \): \( 4 : 13 = 0{,}30769230... \) → okres ma długość 6 cyfr, po czym następuje powtórzenie. Wynik: \( 0{,}(307692) \).
e) \( \frac{1}{44} \): \( 1 : 44 = 0{,}02272727... \) → ułamek okresowy mieszany. Cyfra \( 0 \) i pierwsza \( 2 \) nie należą do okresu. Okresem jest sekwencja \( 27 \). Wynik: \( 0{,}02(27) \).
f) \( \frac{1}{66} \): \( 1 : 66 = 0{,}01515151... \) → okres rozpoczyna się od trzeciej cyfry po przecinku. Okres to \( 51 \). Wynik: \( 0{,}01(51) \).
g) \( \frac{1}{99} \): \( 1 : 99 = 0{,}01010101... \) → okres składa się z cyfr \( 01 \). Wynik: \( 0{,}(01) \).

Zadanie 19

Instrukcja Zadania 19:
Skorzystaj z podanej zależności \( \frac{1}{22} = 0{,}0(45) \), aby obliczyć poniższe wyrażenia. Wyniki podaj w postaci ułamków zwykłych (uzupełniając licznik i mianownik) lub liczb całkowitych tam, gdzie to możliwe. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Mnożenie liczb okresowych za pomocą ułamków zwykłych)

Mnożenie ułamków okresowych w postaci dziesiętnej bywa skomplikowane. O wiele prostszą metodą jest zastąpienie zapisu okresowego ułamkiem zwykłym, a następnie wykonanie klasycznego mnożenia ułamków.

W tym zadaniu wykorzystujemy podaną tożsamość: \( 0{,}0(45) = \frac{1}{22} \)

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą: Mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając mianownik bez zmian, np.:
\( 3 \cdot \frac{1}{22} = \frac{3 \cdot 1}{22} = \frac{3}{22} \).
Mnożenie ułamka przez ułamek: Mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik (skracając ułamki w trakcie działań, jeśli to możliwe), np.:
\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{22} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 22} = \frac{1}{44} \).

Oblicz wartości wyrażeń (zapisz w postaci ułamka):

a) \( 3 \cdot 0{,}0(45) = \)

b) \( 7 \cdot 0{,}0(45) = \)

c) \( 11 \cdot 0{,}0(45) = \)

d) \( 22 \cdot 0{,}0(45) = \)

e) \( \frac{1}{2} \cdot 0{,}0(45) = \)

f) \( 0{,}22 \cdot 0{,}0(45) = \)

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 19):

W każdym podpunkcie zastępujemy ułamek okresowy \( 0{,}0(45) \) ułamkiem zwykłym \( \frac{1}{22} \):

a) \( 3 \cdot 0{,}0(45) \): Mnożymy liczbę przez ułamek zwykły: \( 3 \cdot \frac{1}{22} = \frac{3 \cdot 1}{22} = \) \( \frac{3}{22} \).
b) \( (-2)^3 \) lub po prostu podpunkt b: \( (-2)^3 \) nie występuje tutaj, mamy \( 32{,}9 \)... a nie, to inne zadanie. Tu mamy: \( b) \): \( (-2)^3 \)? Ach, na obrazku b) to: \( 7 \cdot 0{,}0(45) = 7 \cdot \frac{1}{22} = \) \( \frac{7}{22} \).
c) \( 11 \cdot 0{,}0(45) \): Mnożymy: \( 11 \cdot \frac{1}{22} = \frac{11}{22} \). Po skróceniu licznika i mianownika przez \( 11 \) otrzymujemy: \( \frac{1}{2} \) (obie formy są poprawne).
d) \( 22 \cdot 0{,}0(45) \): Mnożymy: \( 22 \cdot \frac{1}{22} = \frac{22}{22} = \) \( 1 \).
e) \( \frac{1}{2} \cdot 0{,}0(45) \): Mnożymy ułamki: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{22} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 22} = \) \( \frac{1}{44} \).
f) \( 0{,}22 \cdot 0{,}0(45) \): Zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły: \( 0{,}22 = \frac{22}{100} \). Następnie mnożymy: \( \frac{22}{100} \cdot \frac{1}{22} = \frac{22 \cdot 1}{100 \cdot 22} = \) \( \frac{1}{100} \) (co odpowiada wartości \( 0{,}01 \)).

Zadanie 20

Instrukcja Zadania 20:
Wiedząc, że \( \frac{1}{3} = 0,(3) \) oraz \( \frac{2}{3} = 0,(6) \), oblicz sumę tych liczb na dwa sposoby w poniższych kolumnach, uzupełniając pola tekstowe. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Suma ułamków okresowych i zaskakująca tożsamość)

Zadanie to obrazuje jedno z najbardziej zaskakujących pojęć w matematyce: dowód na to, że ułamek okresowy \( 0,(9) \) jest dokładnie równy jedności: \( 0,(9) = 1 \)

Sposób 1 (Ułamki zwykłe): Dodając ułamki o tych samych mianownikach, sumujemy ich liczniki:
\( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \).
Sposób 2 (Ułamki okresowe): Dodajemy bezpośrednio rozwinięcia dziesiętne okresowe:
\( 0,3333... + 0,6666... = 0,9999... = 0,(9) \).

Ponieważ obie metody matematyczne są poprawne i opisują tę samą sumę, ich wyniki muszą być identyczne. To dowodzi, że \( 0,(9) \) oraz \( 1 \) to dwie różne formy zapisu dokładnie tej samej liczby.

Sposób 1: Ułamki zwykłe

\( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \)

Po uproszczeniu (całość):

Sposób 2: Ułamki okresowe

\( 0,(3) + 0,(6) = \)

Ostateczna wartość całkowita:

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 20):

Sposób 1 (ułamki zwykłe):

Dodajemy dwa ułamki zwykłe o jednakowych mianownikach:
\( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} \) Ułamek \( \frac{3}{3} \) reprezentuje jedną całą część:
\( \frac{3}{3} = 1 \)

Sposób 2 (ułamki okresowe):

Dodajemy do siebie bezpośrednio ułamki dziesiętne okresowe:
\( 0{,}3333... + 0{,}6666... = 0{,}9999... = 0{,}(9) \)

Wniosek i ostateczna wartość:

Ponieważ oba sposoby obliczeń są poprawne i opisują tę samą sumę, otrzymane wyniki muszą być identyczne. To oznacza, że:
\( 0{,}(9) = 1 \) Ostateczna wartość całkowita sumy wynosi zatem \( 1 \).

Zadanie 21

Instrukcja Zadania 21:
Znajdź i wpisz dowolną liczbę niewymierną leżącą pomiędzy podanymi dwiema liczbami.

Skorzystaj z przycisku √, aby wstawić symbol pierwiastka do aktywnego pola tekstowego.
W podpunktach ujemnych pamiętaj o dopisaniu znaku minus przed pierwiastkiem (np. -√17.5). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Wyznaczanie liczb niewymiernych w przedziałach)

Liczba niewymierna to liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego (jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe). Najbardziej naturalnym przykładem są pierwiastki z liczb, które nie są pełnymi kwadratami (np. \( \sqrt{2}, \sqrt{3{,}5}, \sqrt{17} \)).

Aby znaleźć liczbę niewymierną pomiędzy dwiema liczbami, sprowadzamy obie granice do postaci pierwiastków kwadratowych (podnosząc je do kwadratu):

Dla przedziału dodatniego (np. między 1 a 1,3): Podnosimy do kwadratu: \( 1^2 = 1 \) oraz \( 1{,}3^2 = 1{,}69 \). Szukamy dowolnego pierwiastka \( \sqrt{x} \), gdzie \( 1 < x < 1{,}69 \). Poprawnym wynikiem jest np. \( \sqrt{1{,}2} \) lub \( \sqrt{1{,}5} \).
Uwaga na pułapki (np. między \( \sqrt{3} \) a \( \sqrt{5} \)): Szukamy pierwiastka z liczby z przedziału \( (3; 5) \). Liczba \( \sqrt{4} \) odpada, ponieważ \( \sqrt{4} = 2 \) (jest liczbą wymierną!). Poprawny wynik to np. \( \sqrt{3{,}5} \) lub \( \sqrt{4{,}2} \).

a) \( 1 \) oraz \( 1{,}3 \) →

b) \( 4{,}6 \) oraz \( 5 \) →

c) \( \sqrt{3} \) oraz \( \sqrt{5} \) →

d) \( -\sqrt{18} \) oraz \( -\sqrt{17} \) →

Przykładowe rozwiązanie (Zadanie 21):

Istnieje nieskończenie wiele prawidłowych odpowiedzi. Oto najprostsze przykłady:

a) Między 1 i 1,3: Przedział pierwiastkowy to \( (\sqrt{1}; \sqrt{1{,}69}) \). Przykładowa odpowiedź: \( \sqrt{1{,}2} \) lub \( \sqrt{1{,}5} \).
b) Między 4,6 i 5: Przedział pierwiastkowy to \( (\sqrt{21{,}16}; \sqrt{25}) \). Przykładowa odpowiedź: \( \sqrt{22} \), \( \sqrt{23} \) lub \( \sqrt{24} \).
c) Między \( \sqrt{3} \) i \( \sqrt{5} \): Przedział to \( (\sqrt{3}; \sqrt{5}) \). Pamiętamy o odrzuceniu \( \sqrt{4} = 2 \) (liczba wymierna). Przykładowo: \( \sqrt{3{,}5} \) lub \( \sqrt{4{,}2} \).
d) Między \( -\sqrt{18} \) i \( -\sqrt{17} \): Przedział dla ujemnych to \( (-\sqrt{18}; -\sqrt{17}) \). Przykładowa odpowiedź: \( -\sqrt{17{,}5} \) lub \( -\sqrt{17{,}2} \).

Zadanie 22

Instrukcja Zadania 22:
Zapisz podkreślone w tekście liczby bez użycia potęg (w postaci standardowych liczb dziesiętnych lub całkowitych). Możesz używać spacji jako separatorów tysięcy (np. 4 000 000). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Zamiana zapisu wykładniczego na standardowy)

Przekształcanie liczb zapisanych w notacji wykładniczej \( a \cdot 10^n \) polega na przesunięciu przecinka dziesiętnego w zależności od znaku wykładnika \( n \):

Gdy wykładnik jest dodatni (\( n > 0 \)): Przesuwamy przecinek dziesiętny w prawo o \( n \) miejsc (dopisując odpowiednią liczbę zer). Odpowiada to bardzo dużym liczbom, np.:
\( 4 \cdot 10^6 = 4\ 000\ 000 \) (przesuwamy przecinek o 6 miejsc w prawo).
Gdy wykładnik jest ujemny (\( n < 0 \)): Przesuwamy przecinek dziesiętny w lewo o \( |n| \) miejsc (uzupełniając brakujące miejsca zerami bezpośrednio po przecinku). Odpowiada to ułamkom dziesiętnym bliskim zeru, np.:
\( 1{,}8 \cdot 10^{-5} = 0{,}000018 \) (przesuwamy przecinek o 5 miejsc w lewo).

a) Grubość igieł i nici mikrochirurgicznych:

Igieł: \( 5 \cdot 10^{-5} \text{ m} \) → \( \text{m} \)

Nici: \( 1{,}8 \cdot 10^{-5} \text{ m} \) → \( \text{m} \)

b) Wymiary najmniejszego oszlifowanego brylantu:

Waga: \( 1{,}5 \cdot 10^{-5} \text{ g} \) → \( \text{g} \)

Średnica: \( 1{,}6 \cdot 10^{-4} \text{ m} \) → \( \text{m} \)

Wysokość: \( 1{,}1 \cdot 10^{-4} \text{ m} \) → \( \text{m} \)

c) Kolonia piesków preriowych:

Osobników: \( 4 \cdot 10^{6} \) →

Powierzchnia: \( 6{,}1 \cdot 10^{10} \text{ m}^2 \) → \( \text{m}^2 \)

d) Zapora Rogun na rzece Wachsz:

Betonu: \( 7{,}55 \cdot 10^{7} \text{ m}^3 \) → \( \text{m}^3 \)

Wody: \( 1{,}16 \cdot 10^{10} \text{ m}^3 \) → \( \text{m}^3 \)

e) Średnica atomu węgla i ich liczba w 1 gramie:

Średnica: \( 7{,}7 \cdot 10^{-13} \text{ m} \) → \( \text{m} \)

Liczba atomów: \( 5 \cdot 10^{22} \) →

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 22):

a) Igły i nici:
\( 5 \cdot 10^{-5} = 0{,}00005 \text{ m} \) (przesuwamy przecinek w lewo o 5 miejsc).
\( 1{,}8 \cdot 10^{-5} = 0{,}000018 \text{ m} \) (przesuwamy przecinek w lewo o 5 miejsc).
b) Najmniejszy brylant:
Waga: \( 1{,}5 \cdot 10^{-5} = 0{,}000015 \text{ g} \) (przesunięcie w lewo o 5 miejsc).
Średnica: \( 1{,}6 \cdot 10^{-4} = 0{,}00016 \text{ m} \) (przesunięcie w lewo o 4 miejsca).
Wysokość: \( 1{,}1 \cdot 10^{-4} = 0{,}00011 \text{ m} \) (przesunięcie w lewo o 4 miejsca).
c) Pieski preriowe:
Osobników: \( 4 \cdot 10^6 = 4\ 000\ 000 \) (wykładnik dodatni: dopisujemy 6 zer).
Powierzchnia: \( 6{,}1 \cdot 10^{10} = 61\ 000\ 000\ 000 \text{ m}^2 \) (przesuwamy przecinek o 10 miejsc w prawo).
d) Zapora Rogun:
Betonu: \( 7{,}55 \cdot 10^7 = 75\ 500\ 000 \text{ m}^3 \) (przesuwamy przecinek o 7 miejsc w prawo).
Wody: \( 1{,}16 \cdot 10^{10} = 11\ 600\ 000\ 000 \text{ m}^3 \) (przesuwamy przecinek o 10 miejsc w prawo).
e) Atom węgla:
Średnica: \( 7{,}7 \cdot 10^{-13} = 0{,}00000000000077 \text{ m} \) (przesuwamy przecinek w lewo o 13 miejsc — daje to 12 zer po przecinku, a potem cyfry 77).
Liczba atomów: \( 5 \cdot 10^{22} = 50\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000 \) (dopisujemy 22 zera po cyfrze 5).

Zadanie 23

Instrukcja Zadania 23:
Zapisz podkreślone w tekście wartości w formacie notacji wykładniczej: uzupełnij pole mantysy a oraz wykładnika n w szablonie \( a \cdot 10^n \). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wprowadzenie teoretyczne (Zapisywanie liczb w notacji wykładniczej)

Zapis liczby w notacji wykładniczej ma postać \( a \cdot 10^n \), gdzie mantysa \( a \) spełnia warunek \( 1 \le a < 10 \), a wykładnik \( n \) jest liczbą całkowitą. Przed zamianą wartości podanych za pomocą skrótów słownych (tys., mln), rozwijamy je najpierw do postaci standardowej:

tys. (tysiąc): oznacza dopisanie trzech zer lub pomnożenie przez \( 10^3 \), np. \( 2{,}5 \text{ tys.} = 2500 = 2{,}5 \cdot 10^3 \).
mln (milion): oznacza dopisanie sześciu zer lub pomnożenie przez \( 10^6 \), np. \( 387 \text{ mln} = 387\ 000\ 000 = 3{,}87 \cdot 10^8 \) (przesuwamy przecinek o 8 miejsc w lewo).

a) Najlżejszy i najcięższy gaz (\( 1\text{ cm}^3 \)):

Wodór: \( 0{,}00009 \text{ g} \) →

\( \cdot 10 \) g

Radon: \( 0{,}01 \text{ g} \) →

\( \cdot 10 \) g

b) Powiększenie mikroskopów (optyczny i elektronowy):

Optyczny: \( 2{,}5 \text{ tys.} \) razy →

\( \cdot 10 \) razy

Elektronowy: \( 250 \text{ tys.} \) razy →

\( \cdot 10 \) razy

c) Budowa Kanału Panamskiego:

Koszt: \( 387 \text{ mln} \) USD →

\( \cdot 10 \) USD

Dynamit: \( 27{,}5 \text{ mln} \) ton →

\( \cdot 10 \) ton

Ziemia: \( 163{,}8 \text{ mln m}^3 \) →

\( \cdot 10 \) m³

d) Rozród samicy dorsza i średnica jajeczek:

Liczba jaj: \( 5 \text{ mln} \) →

\( \cdot 10 \)

Średnica jajeczka: \( 0{,}0015 \text{ m} \) →

\( \cdot 10 \) m

Rozwiązanie krok po kroku (Zadanie 23):

a) Waga gazów:
Wodór: \( 0{,}00009 = 9 \cdot 10^{-5} \text{ g} \) (przesuwamy przecinek w prawo o 5 miejsc).
Radon: \( 0{,}01 = 1 \cdot 10^{-2} \text{ g} \) (przesuwamy przecinek w prawo o 2 miejsca).
b) Mikroskopy:
Optyczny: \( 2{,}5 \text{ tys.} = 2500 = 2{,}5 \cdot 10^3 \) razy (przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo).
Elektronowy: \( 250 \text{ tys.} = 250\ 000 = 2{,}5 \cdot 10^5 \) razy (przesuwamy przecinek o 5 miejsc w lewo).
c) Budowa Kanału Panamskiego:
Koszt: \( 387 \text{ mln} = 387\ 000\ 000 = 3{,}87 \cdot 10^8 \) USD (przesuwamy przecinek o 8 miejsc w lewo).
Dynamit: \( 27{,}5 \text{ mln} = 27\ 500\ 000 = 2{,}75 \cdot 10^7 \) ton (przesuwamy przecinek o 7 miejsc w lewo).
Ziemia: \( 163{,}8 \text{ mln} = 163\ 800\ 000 = 1{,}638 \cdot 10^8 \text{ m}^3 \) (przesuwamy przecinek o 8 miejsc w lewo).
d) Samica dorsza:
Jajeczka: \( 5 \text{ mln} = 5\ 000\ 000 = 5 \cdot 10^6 \) (dopisujemy 6 zer).
Średnica: \( 0{,}0015 = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \text{ m} \) (przesuwamy przecinek w prawo o 3 miejsca).

Obliczanie pierwiastków bez kalkulatora. Dlaczego uczymy się porównywać liczby

Wzór Algorytmu Herona (Metoda Babilońska)

Metoda babilońska (znana również jako algorytm Herona) to jeden z najstarszych i najszybszych algorytmów służących do ręcznego obliczania przybliżonej wartości pierwiastka kwadratowego z liczby dodatniej \( S \).

Wybierając pierwsze przybliżenie \( x_0 > 0 \), kolejne, coraz dokładniejsze przybliżenia pierwiastka \( x_{n+1} \) wyznaczamy rekurencyjnie za pomocą wzoru:

\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \)

Ciekawostka: Wzór ten geometrycznie odpowiada wyznaczaniu średniej arytmetycznej z boków prostokąta o polu \( S \), tak aby z każdym krokiem stawał się on coraz bardziej zbliżony do kwadratu.

Przykład: Obliczanie \( \sqrt{3} \) bez kalkulatora:

Chcemy obliczyć przybliżenie \( \sqrt{3} \) (czyli \( S = 3 \)). Jako pierwsze przybliżenie wybieramy \( x_0 = 2 \), ponieważ \( 2^2 = 4 \) leży blisko liczby 3.

Krok 1 (Pierwsza iteracja):
\( x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{3}{x_0} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{3}{2} \right) \)
\( x_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{7}{2} \right) = \frac{7}{4} = \mathbf{1{,}75} \)
Krok 2 (Druga iteracja):
\( x_2 = \frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{3}{x_1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7}{4} + \frac{3}{\frac{7}{4}} \right) \)
\( x_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{7}{4} + \frac{12}{7} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{49 + 48}{28} \right) \)
\( x_2 = \frac{97}{56} \approx \mathbf{1{,}73214} \)

Porównajmy wynik: nasza wartość ułamkowa \( \frac{97}{56} \approx 1{,}73214 \), podczas gdy rzeczywista wartość \( \sqrt{3} \approx 1{,}73205 \). Uzyskaliśmy dokładność do 4 miejsc po przecinku w zaledwie 2 krokach!

Dowód zbieżności algorytmu Herona:

Udowodnimy, że ciąg określony wzorem \( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \) dla dowolnego \( x_0 > 0 \) jest zbieżny do granicy \( \sqrt{S} \).

Ograniczenie z dołu: Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM), dla każdego \( x_n > 0 \) zachodzi:
\( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) \ge \sqrt{x_n \cdot \frac{S}{x_n}} = \sqrt{S} \)
Wykazaliśmy, że każdy wyraz ciągu (od drugiego) spełnia nierówność: \( x_n \ge \sqrt{S} \).
Monotoniczność: Ponieważ \( x_n \ge \sqrt{S} \implies x_n^2 \ge S \implies \frac{S}{x_n} \le x_n \). Zbadajmy różnicę:
\( x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right) - x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{S}{x_n} - x_n \right) \le 0 \)
Ciąg jest więc monotonicznie malejący dla \( n \ge 1 \).
Zbieżność: Ciąg malejący i ograniczony z dołu na mocy twierdzenia o zbieżności ciągu monotonicznego posiada granicę \( L = \lim_{n\to\infty} x_n \), gdzie \( L \ge \sqrt{S} \).
Wyznaczenie granicy: Przechodząc do granicy po obu stronach równania rekurencyjnego, otrzymujemy:
\( L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{S}{L}\right) \implies 2L = L + \frac{S}{L} \implies L = \frac{S}{L} \implies L^2 = S \)
Ponieważ \( L > 0 \), ostatecznie otrzymujemy: \( L = \sqrt{S} \). \( \blacksquare \)

Dlaczego uczymy się porównywać liczby?

Porównywanie liczb to fundament matematycznego i logicznego myślenia. Pozwala nam oceniać otaczający świat, analizować dane i podejmować optymalne decyzje.

Konkretne zastosowania w życiu codziennym i nauce:

Finanse i ekonomia osobista: Porównywanie cen produktów (szczególnie przeliczników ceny za kilogram lub litr), stóp oprocentowania lokat i kredytów, kosztów subskrypcji oraz planowanie domowego budżetu (przychody vs wydatki).
Inżynieria i budownictwo: Weryfikacja parametrów technicznych i tolerancji wymiarowych (np. czy rzeczywista średnica rury mieści się w granicach błędu, czy nośność stropu przewyższa planowane obciążenie).
Medycyna i zdrowie: Analiza wyników badań laboratoryjnych poprzez porównanie ich z normami referencyjnymi (np. poziom cukru, hormonów tarczycy), a także precyzyjne dawkowanie leków w zależności od masy ciała.
Technologia i programowanie: Każdy algorytm sortowania (np. wyświetlanie produktów od najtańszych na Allegro) opiera się na instrukcji porównania wartości. GPS na bieżąco porównuje trasy pod kątem najkrótszego czasu dojazdu.