Przelicz podane liczby rzymskie na liczby w systemie dziesiątkowym, wpisując wyniki w odpowiednie pola pomocnicze. Następnie przeanalizuj podane zdania i zaznacz poprawną odpowiedź za pomocą checkboxa.
Przypomnij sobie wartości podstawowych znaków rzymskich:
Zasada odejmowania: jeśli znak o mniejszej wartości stoi przed znakiem o większej wartości, to mniejszą wartość odejmujemy od większej (np. \( \text{IV} = 4 \), \( \text{XL} = 40 \), \( \text{CD} = 400 \)).
Które z poniższych zdań dotyczą podanych wyżej liczb?
- I. Nie ma wśród nich liczby 463.
- II. Największą liczbą jest 1212.
- III. Najmniejszą liczbą jest 49.
- IV. Są wśród nich trzy liczby mniejsze od 500.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zamiana liczb rzymskich na dziesiątkowe:
- \( \text{CXVI} = 100 + 10 + 5 + 1 = 116 \)
- \( \text{CDLXIII} = (500 - 100) + 50 + 10 + 3 = 400 + 63 = 463 \)
- \( \text{MCCXII} = 1000 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 = 1212 \)
- \( \text{MCDLX} = 1000 + (500 - 100) + 50 + 10 = 1000 + 400 + 60 = 1460 \)
- \( \text{XLIX} = (50 - 10) + (10 - 1) = 40 + 9 = 49 \)
Zbiór naszych liczb to: {49, 116, 463, 1212, 1460}.
2. Analiza poszczególnych zdań:
- I. Nie ma wśród nich liczby 463.
Fałsz. Liczba CDLXIII to dokładnie 463, więc ta liczba znajduje się w zbiorze. - II. Największą liczbą jest 1212.
Fałsz. Liczba MCDLX wynosi 1460, co oznacza, że to ona jest największa. - III. Najmniejszą liczbą jest 49.
Prawda. Liczba XLIX to 49 i jest to najmniejsza wartość w tym zbiorze. - IV. Są wśród nich trzy liczby mniejsze od 500.
Prawda. Liczbami mniejszymi od 500 są: 49 (XLIX), 116 (CXVI) oraz 463 (CDLXIII) — łącznie dokładnie trzy liczby.
Prawdziwe są zdania III i IV. Poprawna odpowiedź to D.
Przeanalizuj definicję liczby \( a \). Ustal reszty z dzielenia podane w Kroku 1 (wpisz 0, jeśli liczba dzieli się bez reszty). Następnie w Kroku 2 zaznacz checkboxem zdanie, które jest fałszywe.
Każdą liczbę naturalną \( a \) możemy przedstawić w postaci: \[ a = q \cdot d + r \] gdzie:
- \( d \) to dzielnik (\( d > 0 \)),
- \( q \) to iloraz (liczba całkowita),
- \( r \) to reszta z dzielenia, która spełnia warunek \( 0 \le r < d \).
Rozwiązanie krok po kroku:
Liczba \( a \) jest określona wzorem: \( a = 17 \cdot 248 + 11 \).
Przeanalizujmy po kolei każde zdanie, aby sprawdzić jego prawdziwość:
- Zdanie A: "Reszta z dzielenia liczby \( a \) przez 17 jest równa 11."
Zapiszmy liczbę w postaci dzielenia przez 17:
\( a = 17 \cdot 248 + 11 \).
Iloraz wynosi 248, a reszta to 11 (ponieważ \( 0 \le 11 < 17 \)).
Zdanie jest PRAWDZIWE. - Zdanie B: "Liczba \( a - 11 \) jest podzielna przez 248."
Odejmijmy 11 od obu stron równania:
\( a - 11 = 17 \cdot 248 \).
Liczba \( a - 11 \) jest wielokrotnością liczby 248, co oznacza, że dzieli się przez nią bez reszty (reszta wynosi 0).
Zdanie jest PRAWDZIWE. - Zdanie C: "Reszta z dzielenia liczby \( a \) przez 248 jest równa 11."
Dzięki przemienności mnożenia możemy zapisać:
\( a = 248 \cdot 17 + 11 \).
W tym przypadku iloraz z dzielenia przez 248 to 17, a reszta to 11 (ponieważ \( 0 \le 11 < 248 \)).
Zdanie jest PRAWDZIWE. - Zdanie D: "Liczba \( a + 17 \) jest podzielna przez 17."
Dodajmy 17 do definicji liczby \( a \):
\( a + 17 = 17 \cdot 248 + 11 + 17 = 17 \cdot 248 + 28 \).
Wyciągnijmy 17 przed nawias na tyle, na ile to możliwe:
\( a + 17 = 17 \cdot 248 + 17 \cdot 1 + 11 = 17 \cdot (248 + 1) + 11 = 17 \cdot 249 + 11 \).
Otrzymujemy iloraz 249 oraz resztę z dzielenia równą 11. Ponieważ reszta nie wynosi 0, liczba \( a + 17 \) nie jest podzielna przez 17.
Zdanie jest FAŁSZYWE.
Szukamy zdania fałszywego, zatem poprawną odpowiedzią do zaznaczenia jest D.
Liczbę \( x \) można zapisać w postaci \( x = 12k + 11 \) (gdzie \( k \) jest liczbą całkowitą). W Kroku 1 określ resztę z dzielenia każdego z podanych wyrażeń przez \( 12 \) (wpisz 0, jeśli reszty brak). Następnie w Kroku 2 zaznacz opcję przedstawiającą liczbę, która nie jest podzielna przez \( 12 \).
Liczba całkowita jest podzielna przez \( 12 \), gdy można ją zapisać w postaci: \[ 12 \cdot m \] gdzie \( m \) jest pewną liczbą całkowitą. Oznacza to, że reszta z dzielenia tej liczby przez \( 12 \) wynosi \( 0 \).
Rozwiązanie krok po kroku:
Skoro resztą z dzielenia liczby \( x \) przez \( 12 \) jest \( 11 \), to liczbę tę możemy zapisać jako:
\[ x = 12k + 11 \]gdzie \( k \) jest pewną liczbą całkowitą. Podstawmy to wyrażenie do poszczególnych podpunktów:
- Opcja A: \( x - 11 \)
\( x - 11 = (12k + 11) - 11 = 12k \).
Otrzymana liczba jest wielokrotnością 12, więc reszta z jej dzielenia przez 12 wynosi 0 (jest podzielna przez 12). - Opcja B: \( x + 1 \)
\( x + 1 = (12k + 11) + 1 = 12k + 12 = 12(k + 1) \).
Wyrażenie można zapisać jako \( 12 \cdot m \) (gdzie \( m = k+1 \)), więc reszta z dzielenia wynosi 0 (jest podzielna przez 12). - Opcja C: \( 12x \)
\( 12x = 12 \cdot (12k + 11) \).
Wyrażenie ma czynnik 12 bezpośrednio przed nawiasem, zatem cała liczba jest wielokrotnością 12, a reszta z dzielenia wynosi 0 (jest podzielna przez 12). - Opcja D: \( x + 12 \)
\( x + 12 = (12k + 11) + 12 = 12(k + 1) + 11 \).
Otrzymujemy iloraz \( k+1 \) oraz resztę z dzielenia równą 11. Liczba ta nie dzieli się bez reszty przez 12.
Jest to zatem liczba niepodzielna przez 12.
Szukamy liczby, która nie jest podzielna przez 12, co wskazuje na odpowiedź D.
Przeanalizuj poniższe zdania dotyczące liczb pierwszych. Zaznacz odpowiednie pole: P (Prawda) lub F (Fałsz) przy każdym z nich.
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od \( 1 \), która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: \( 1 \) oraz samą siebie.
Początkowe liczby pierwsze to: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots \)
Uwaga: Liczba \( 2 \) jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
| Treść zdania | Prawda (P) | Fałsz (F) |
|---|---|---|
| Istnieje para liczb pierwszych, których suma jest liczbą pierwszą. | ||
| Istnieje para liczb pierwszych, których różnica jest liczbą pierwszą. | ||
| Istnieje para liczb pierwszych, których iloczyn jest liczbą pierwszą. | ||
| Istnieje para liczb pierwszych, których iloraz jest liczbą pierwszą. |
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Zdanie 1: "Istnieje para liczb pierwszych, których suma jest liczbą pierwszą."
Weźmy liczby pierwsze \( 2 \) oraz \( 3 \). Ich suma wynosi: \[ 2 + 3 = 5 \] Liczba \( 5 \) również jest liczbą pierwszą. Znalazaliśmy przynajmniej jedną taką parę, więc zdanie jest PRAWDZIWE (P). -
Zdanie 2: "Istnieje para liczb pierwszych, których różnica jest liczbą pierwszą."
Weźmy liczby pierwsze \( 5 \) oraz \( 3 \) (lub \( 5 \) oraz \( 2 \)). Ich różnica wynosi: \[ 5 - 3 = 2 \quad \text{lub} \quad 5 - 2 = 3 \] Zarówno \( 2 \), jak i \( 3 \) są liczbami pierwszymi. Istnieje taka para, więc zdanie jest PRAWDZIWE (P). -
Zdanie 3: "Istnieje para liczb pierwszych, których iloczyn jest liczbą pierwszą."
Niech \( p \) oraz \( q \) będą liczbami pierwszymi. Ich iloczyn to \( p \cdot q \).
Z definicji, liczba pierwsza dzieli się wyłącznie przez \( 1 \) i przez samą siebie.
Liczba \( p \cdot q \) (gdzie \( p > 1, q > 1 \)) ma jednak co najmniej trzy różne dzielniki naturalne: \( 1, p, q, p \cdot q \).
Iloczyn dowolnych dwóch liczb pierwszych nigdy nie będzie liczbą pierwszą (będzie to zawsze liczba złożona). Zdanie jest FAŁSZYWE (F). -
Zdanie 4: "Istnieje para liczb pierwszych, których iloraz jest liczbą pierwszą."
Niech \( p \) oraz \( q \) będą liczbami pierwszymi, a ich iloraz \( \frac{p}{q} \) jest liczbą pierwszą (czyli w szczególności liczbą całkowitą większą od \( 1 \)).
Aby \( \frac{p}{q} \) było liczbą całkowitą, \( p \) musi dzielić się przez \( q \). Ponieważ obie liczby są pierwsze, jest to możliwe tylko wtedy, gdy \( p = q \).
Wtedy jednak otrzymujemy: \[ \frac{p}{p} = 1 \] Liczba \( 1 \) z definicji nie jest liczbą pierwszą. Stąd iloraz dwóch liczb pierwszych nigdy nie da liczby pierwszej. Zdanie jest FAŁSZYWE (F).
W Kroku 1 wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność (\(\text{NWW}\)) oraz największy wspólny dzielnik (\(\text{NWD}\)) liczb \( 12 \) i \( 90 \). Następnie w Kroku 2 oblicz wynik dzielenia tych dwóch wartości i zaznacz poprawną odpowiedź.
Największy Wspólny Dzielnik (NWD): największa liczba naturalna, która dzieli bez reszty każdą z podanych liczb.
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW): najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest jednocześnie wielokrotnością podanych liczb.
Wskazówka: Do obliczeń warto zastosować rozkład liczb na czynniki pierwsze.
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby wyznaczyć \(\text{NWD}\) oraz \(\text{NWW}\) liczb 12 i 90, dokonajmy ich rozkładu na czynniki pierwsze:
- \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)
- \( 90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
1. Wyznaczanie Największego Wspólnego Dzielnika (\(\text{NWD}\)):
Bierzemy wspólne czynniki pierwsze o najniższych potęgach, w jakich występują w rozkładach:
\[ \text{NWD}(12, 90) = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6 \]2. Wyznaczanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (\(\text{NWW}\)):
Bierzemy wszystkie czynniki pierwsze występujące w obu rozkładach o najwyższych potęgach, w jakich występują:
\[ \text{NWW}(12, 90) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \]3. Obliczanie wyniku dzielenia:
Zgodnie z treścią zadania dzielimy wyznaczoną wartość \(\text{NWW}\) przez \(\text{NWD}\):
\[ \frac{\text{NWW}(12, 90)}{\text{NWD}(12, 90)} = \frac{180}{6} = 30 \]Prawidłowa jest odpowiedź B.
Liczba \( a \) jest zapisana jako iloczyn trzech liczb pierwszych: \( a = 11 \cdot 17 \cdot 31 \). W Kroku 1 ustal łączną liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby \( a \). Następnie w Kroku 2 zaznacz właściwy checkbox określający, ile dodatkowych dzielników (oprócz liczby \( 1 \) oraz samej siebie) posiada ta liczba.
Jeśli liczba \( n \) ma rozkład na czynniki pierwsze postaci: \[ n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k} \] gdzie \( p_1, p_2, \dots, p_k \) to różne liczby pierwsze, to łączna liczba wszystkich jej dzielników naturalnych wynosi: \[ d(n) = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \dots \cdot (a_k + 1) \]
Rozwiązanie krok po kroku:
Liczba \( a \) jest określona jako iloczyn trzech różnych liczb pierwszych: \( 11 \), \( 17 \) oraz \( 31 \):
\[ a = 11^1 \cdot 17^1 \cdot 31^1 \]1. Wyznaczanie łącznej liczby dzielników:
Korzystamy ze wzoru na liczbę dzielników naturalnych na podstawie wykładników potęg czynników pierwszych:
\[ d(a) = (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]Liczba \( a \) posiada łącznie dokładnie 8 dzielników naturalnych.
Możemy je łatwo wypisać:
- \( 1 \)
- \( 11 \)
- \( 17 \)
- \( 31 \)
- \( 11 \cdot 17 = 187 \)
- \( 11 \cdot 31 = 341 \)
- \( 17 \cdot 31 = 527 \)
- \( 11 \cdot 17 \cdot 31 = a \) (czyli \( 5797 \))
2. Odpowiedź na pytanie główne:
W treści pytania wykluczamy dwa dzielniki: jedynkę (\( 1 \)) oraz samą tę liczbę (\( a \)).
\[ 8 - 2 = 6 \]Pozostałe dzielniki to: \( \{11, 17, 31, 187, 341, 527\} \). Jest ich dokładnie 6.
Prawidłowa jest odpowiedź C.
W Kroku 1 porównaj każdą z liczb z ułamkiem \( \frac{1}{3} \), wpisując odpowiedni znak nierówności: < (mniejsze), > (większe) lub = (równe). Następnie w Kroku 2 zaznacz właściwy ułamek większy od \( \frac{1}{3} \).
Aby porównać ułamki zwykłe, dziesiętne oraz pierwiastki, warto sprowadzić je do wspólnej postaci (np. ułamków o tym samym mianowniku, przybliżeń dziesiętnych) lub podnieść obie dodatnie strony porównania do kwadratu: \[ a > b \iff a^2 > b^2 \quad (\text{dla } a, b > 0) \]
Rozwiązanie krok po kroku:
Porównajmy każdą z liczb podanych w wariantach z wartością \( \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\dots \):
-
Opcja A: \( \frac{1}{4} \)
W postaci dziesiętnej to \( 0{,}25 \). Ponieważ \( 0{,}25 < 0{,}3333\dots \), ułamek ten jest mniejszy:
\[ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} \] -
Opcja B: \( \sqrt{\frac{1}{8}} \)
Zauważmy, że ułamek \( \frac{1}{3} \) można zapisać jako \( \sqrt{\frac{1}{9}} \). Ponieważ \( 8 < 9 \), zachodzi relacja dla mianowników, która odwraca się przy dzieleniu:
\[ \frac{1}{8} > \frac{1}{9} \] Nakładając pierwiastek kwadratowy (który zachowuje kierunek nierówności dla liczb dodatnich), otrzymujemy:
\[ \sqrt{\frac{1}{8}} > \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \] Wartość ta wynosi około \( 0{,}3535 \), czyli rzeczywiście \( 0{,}3535 > 0{,}3333\dots \). Jest to liczba większa od \( \frac{1}{3} \). -
Opcja C: \( 0{,}3 \)
Zapisując ułamek dziesiętny skończony jako ułamek zwykły: \( 0{,}3 = \frac{3}{10} \). Sprowadzając oba ułamki do wspólnego mianownika \( 30 \):
\( \frac{3}{10} = \frac{9}{30} \) oraz \( \frac{1}{3} = \frac{10}{30} \). Ponieważ \( \frac{9}{30} < \frac{10}{30} \), otrzymujemy:
\[ 0{,}3 < \frac{1}{3} \] -
Opcja D: \( 0{,}(3) \)
Ułamek dziesiętny nieskończony okresowy \( 0{,}(3) \) jest dokładnie rozwinięciem dziesiętnym ułamka \( \frac{1}{3} \). Zachodzi zatem tożsamość:
\[ 0{,}(3) = \frac{1}{3} \] Wartości te są równe, więc ułamek ten nie jest większy.
Jedyną liczbą większą od \( \frac{1}{3} \) jest \( \sqrt{\frac{1}{8}} \). Poprawna odpowiedź to B.
W Kroku 1 wykonaj poprawne zaokrąglenia liczby \( 63\ 993{,}5249 \) zgodnie z kryteriami w polach pomocniczych. Następnie w Kroku 2 zaznacz, która z podanych propozycji (A, B, C lub D) stanowi błędne zaokrąglenie tej liczby.
Przy zaokrąglaniu liczby patrzymy na cyfrę stojącą bezpośrednio po rzędzie, do którego zaokrąglamy:
- Jeśli ta cyfra to 0, 1, 2, 3 lub 4 – zaokrąglamy w dół (cyfrę rzędu pozostawiamy bez zmian, a kolejne zastępujemy zerami lub odrzucamy w ułamku dziesiętnym).
- Jeśli ta cyfra to 5, 6, 7, 8 lub 9 – zaokrąglamy w górę (cyfrę rzędu zwiększamy o 1, a kolejne zastępujemy zerami lub odrzucamy).
Rozwiązanie krok po kroku:
Przeanalizujmy poprawność zaokrągleń liczby wyjściowej \( 63\ 993{,}5249 \) dla poszczególnych podpunktów:
-
Opcja A: do części tysięcznych
Trzecią cyfrą po przecinku (części tysięczne) jest \( 4 \) (\( 63\ 993{,}52\underline{4}9 \)). Kolejna cyfra to \( 9 \). Ponieważ \( 9 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę (zwiększamy \( 4 \) o \( 1 \)):
\[ 63\ 993{,}5249 \approx 63\ 993{,}525 \] To zaokrąglenie jest poprawne. -
Opcja B: do dziesiątek tysięcy
Cyfrą dziesiątek tysięcy jest \( 6 \) (\( \underline{6}3\ 993{,}5249 \)). Kolejna cyfra to \( 3 \). Ponieważ \( 3 < 5 \), zaokrąglamy w dół (pozostawiamy \( 6 \) bez zmian i zastępujemy cyfry po niej zerami):
\[ 63\ 993{,}5249 \approx 60\ 000 \] To zaokrąglenie jest poprawne. -
Opcja C: do jedności
Cyfrą jedności jest \( 3 \) (\( 63\ 99\underline{3}{,}5249 \)). Kolejna cyfra (części dziesiętne) to \( 5 \). Ponieważ \( 5 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę (zwiększamy \( 3 \) o \( 1 \) do \( 4 \)):
\[ 63\ 993{,}5249 \approx 63\ 994 \] To zaokrąglenie jest poprawne. -
Opcja D: do setek
Cyfrą setek jest \( 9 \) (\( 63\ \underline{9}93{,}5249 \)). Kolejna cyfra (dziesiątek) to również \( 9 \). Ponieważ \( 9 \ge 5 \), zaokrąglamy w górę. Zwiększenie cyfry setek o jeden powoduje przeniesienie na wyższy rząd (z \( 993 \) robimy \( 1000 \)):
\[ 63\ 993{,}5249 \approx 64\ 000 \] W opcji D podano wartość \( 63\ 900 \), co stanowi błędne zaokrąglenie (jest to po prostu obcięcie cyfr rzędu dziesiątek i jedności).
Błędnym zaokrągleniem jest opcja D.
W Kroku 1 zapisz każdą z liczb w postaci ułamka dziesiętnego z wypisanymi pierwszymi czterema cyframi po przecinku (np. dla \( 5{,}(12) \) wpisz \( 5{,}1212 \) lub \( 5.1212 \) bez zaokrąglania). Następnie w Kroku 2 wybierz prawidłową relację porządkową łączącą te liczby.
Liczby z okresem w nawiasie mają nieskończone rozwinięcia, w których powtarza się wskazana grupa cyfr, np.:
- \( 5{,}(25) = 5{,}25252525\dots \)
- \( 5{,}2(5) = 5{,}25555555\dots \)
Porównując takie liczby, analizujemy kolejne cyfry po przecinku (dziesiąte, setne, tysięczne, dziesięciotysięczne itd.) od lewej do prawej.
Rozwiązanie krok po kroku:
Przedstawmy wszystkie cztery liczby w postaci ułamków dziesiętnych wypisując ich rozwinięcia:
- \( a = 5{,}(25) = 5{,}25252525\dots \)
- \( b = 5\frac{1}{4} = 5{,}25 = 5{,}25000000\dots \)
- \( c = 5{,}(52) = 5{,}52525252\dots \)
- \( d = 5{,}2(5) = 5{,}25555555\dots \)
Teraz porównajmy te wartości pozycyjnie (cyfra po cyfrze od lewej strony):
1. Porównanie rzędu części dziesiętnych (pierwsza cyfra po przecinku):
- Dla liczb \( a, b, d \) wynosi ona \( 2 \).
- Dla liczby \( c \) wynosi ona \( 5 \).
Ponieważ \( 5 > 2 \), liczba \( c \) jest największą liczbą w zbiorze.
2. Porównanie pozostałych liczb \( a, b, d \) na kolejnych pozycjach:
- Rząd części setnych (druga cyfra po przecinku):
Dla \( a \), \( b \) oraz \( d \) cyfra setnych to \( 5 \) (\( 5{,}2\underline{5}\dots \)). Nadal mamy remis. - Rząd części tysięcznych (trzecia cyfra po przecinku):
Wypiszmy trzecie cyfry po przecinku dla tych trzech liczb:- dla \( d \to 5 \) (\( 5{,}25\underline{5}\dots \))
- dla \( a \to 2 \) (\( 5{,}25\underline{2}\dots \))
- dla \( b \to 0 \) (\( 5{,}25\underline{0}\dots \))
Porównując wartości części tysięcznych, widzimy zależność \( 5 > 2 > 0 \). Stąd wynika, że:
\[ d > a > b \]3. Uporządkowanie końcowe:
Łącząc wszystkie analizowane relacje (pamiętając, że \( c \) jest największa), otrzymujemy:
\[ c > d > a > b \]Prawidłowe uszeregowanie znajduje się w opcji C.
W Kroku 1 wykonaj poszczególne przekształcenia ułamkowe (wpisz same wartości liczników w pola wejściowe). Następnie w Kroku 2 oblicz końcową wartość wyrażenia i zaznacz właściwy wynik.
Wykonywanie działań łączonych wymaga ujednolicenia zapisu (np. zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe oraz ułamków dziesiętnych na zwykłe). Pamiętaj o kolejności działań – najpierw wykonujemy działania w nawiasach, a potem mnożenie.
Rozwiązanie krok po kroku:
Obliczmy wartość wyrażenia: \( \left(1\frac{4}{9} - 2\frac{5}{6}\right) \cdot 1{,}8 \).
1. Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe:
\[ 1\frac{4}{9} = \frac{9 \cdot 1 + 4}{9} = \frac{13}{9} \] \[ 2\frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 2 + 5}{6} = \frac{17}{6} \]2. Wykonanie odejmowania w nawiasie (sprowadzamy do wspólnego mianownika 18):
\[ \frac{13}{9} - \frac{17}{6} = \frac{13 \cdot 2}{18} - \frac{17 \cdot 3}{18} = \frac{26}{18} - \frac{51}{18} = -\frac{25}{18} \]3. Przemnożenie wyniku przez ułamek \( 1{,}8 \):
Zamieńmy liczbę \( 1{,}8 \) na ułamek zwykły:
\[ 1{,}8 = \frac{18}{10} \]Wykonajmy mnożenie:
\[ \left(-\frac{25}{18}\right) \cdot \frac{18}{10} \]Mianownik pierwszej liczby i licznik drugiej liczby (\( 18 \)) ulegają skróceniu:
\[ -\frac{25}{\cancel{18}} \cdot \frac{\cancel{18}}{10} = -\frac{25}{10} = -2{,}5 \]Wartość wyrażenia wynosi \( -2{,}5 \), co odpowiada opcji B.
W Kroku 1 zapisz liczbę ludności w pełnym zapisie cyfrowym oraz oblicz przybliżoną gęstość zaludnienia. Następnie w Kroku 2 zaznacz właściwe oszacowanie średniej liczby ludzi przypadających na \( 1\text{ km}^2 \).
Gęstość zaludnienia określa średnią liczbę mieszkańców przypadających na jednostkę powierzchni (najczęściej na \( 1\text{ km}^2 \)).
Obliczamy ją, dzieląc liczbę ludności (\( L \)) danego terytorium przez jego powierzchnię (\( P \)):
\[ G = \frac{L}{P} \]
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby wyznaczyć średnią liczbę osób przypadających na \( 1\text{ km}^2 \) Mongolii, musimy podzielić całkowitą liczbę mieszkańców przez powierzchnię kraju.
1. Ujednolicenie zapisu danych:
- Liczba ludności: \( L = 2{,}99\text{ mln} = 2\ 990\ 000 \)
- Powierzchnia: \( P = 1\ 564\ 116\text{ km}^2 \)
2. Metoda szacowania (szybka metoda bez kalkulatora):
Zaokrąglijmy obie wartości do wygodnych, bliskich liczb:
- Liczba ludności: \( L \approx 3\ 000\ 000 \) (3 miliony)
- Powierzchnia: \( P \approx 1\ 500\ 000\text{ km}^2 \) (półtora miliona kilometrów kwadratowych)
Wykonując przybliżone dzielenie:
\[ G \approx \frac{3\ 000\ 000}{1\ 500\ 000} = 2\text{ osoby/km}^2 \]3. Dokładne obliczenie:
\[ G = \frac{2\ 990\ 000}{1\ 564\ 116} \approx 1{,}9116\text{ osoby/km}^2 \]Otrzymany wynik \( 1{,}91 \) leży najbliżej liczby \( 2 \).
Na \( 1\text{ km}^2 \) Mongolii żyje więc średnio około 2 ludzi (odpowiedź B).
W Kroku 1 wykonaj obliczenia pomocnicze, uzupełniając ułamki zwykłe nieskracalne (wpisz odpowiednio licznik i mianownik). Następnie w Kroku 2 zaznacz właściwy wynik końcowy zadania.
Aby obliczyć ułamek z danej liczby, mnożymy ten ułamek przez tę liczbę. Gdy obiekt traci pewną część \( \frac{a}{b} \) swojej masy, to pozostaje mu część równa \( 1 - \frac{a}{b} \).
12. Jabłko o masie 0,16 kg podczas suszenia straciło \( \frac{13}{20} \) swej masy. Po ususzeniu jabłko to waży:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zamiana masy początkowej na ułamek zwykły:
Masa początkowa wynosi \( 0{,}16\text{ kg} \). Zapiszmy ją w postaci ułamka zwykłego i skróćmy:
\[ 0{,}16 = \frac{16}{100} = \frac{16 : 4}{100 : 4} = \frac{4}{25}\text{ kg} \]2. Wyznaczenie pozostałej części masy:
Skoro jabłko podczas suszenia straciło \( \frac{13}{20} \) swojej masy, to pozostała część stanowi:
\[ 1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}\text{ całości} \]3. Obliczenie pozostałej masy jabłka (po ususzeniu):
Mnożymy pozostałą część (\( \frac{7}{20} \)) przez masę początkową (\( \frac{4}{25}\text{ kg} \)):
\[ m = \frac{4}{25} \cdot \frac{7}{20} \]Skracamy licznik \( 4 \) i mianownik \( 20 \) przez ich wspólny dzielnik \( 4 \):
\[ m = \frac{\cancel{4}^1}{25} \cdot \frac{7}{\cancel{20}_5} = \frac{1 \cdot 7}{25 \cdot 5} = \frac{7}{125}\text{ kg} \]Uwaga do podpunktu D: Gdybyśmy chcieli zamienić ten ułamek na ułamek dziesiętny:
\[ \frac{7}{125} = \frac{7 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{56}{1000} = 0{,}056\text{ kg} \]Wartość \( 0{,}056\text{ kg} \) nie jest równa \( 0{,}03\text{ kg} \) (co wyklucza opcję D).
Po ususzeniu jabłko waży \( \frac{7}{125} \) kg. Prawidłowa jest odpowiedź A.
W Kroku 1 przelicz podane sekundy na minuty, godziny oraz pozostałe sekundy, wpisując wartości w pola pomocnicze. Następnie w Kroku 2 wskaż nieprawdziwe (błędne) dokończenie zdania.
Podstawowe zależności między jednostkami czasu:
- \( 1\text{ minuta} = 60\text{ sekund} \)
- \( 1\text{ godzina} = 60\text{ minut} = 3600\text{ sekund} \)
Przy przeliczaniu wartości ułamkowych pamiętaj, że np. \( 0{,}5\text{ min} \) to pół minuty, czyli \( 30\text{ sekund} \) (a nie \( 50\text{ sekund} \)).
32 490 sekund to:
Rozwiązanie krok po kroku:
Przeanalizujmy poprawność każdego dokończenia zdania dla czasu wynoszącego \( 32\ 490\text{ sekund} \):
-
Analiza opcji A (zamiana na minuty):
Dzielimy liczbę sekund przez \( 60 \) (ponieważ jedna minuta ma 60 sekund):
\[ \frac{32\ 490}{60} = \frac{3249}{6} = 541{,}5\text{ minut} \] Dokończenie w opcji A jest prawdziwe. -
Analiza opcji B i D (zamiana minut na godziny i minuty):
Wydzielmy z \( 541{,}5\text{ min} \) pełne godziny (jedna godzina ma 60 minut):
\[ 541\text{ min} : 60 = 9\text{ godzin i } 1\text{ minuta pozostałości} \] Zostaje nam jeszcze ułamkowa część minuty, czyli \( 0{,}5\text{ min} \). Zamieniając ją na sekundy:
\[ 0{,}5\text{ min} = 0{,}5 \cdot 60\text{ s} = 30\text{ sekund} \] Łącznie otrzymujemy zatem czas równy:
\[ 9\text{ h } 1\text{ min } 30\text{ s} \] - Czyni to dokończenie D prawdziwym.
- Ponieważ \( 1\text{ min } 30\text{ s} = 1{,}5\text{ min} \), zapis \( 9\text{ h } 1{,}5\text{ min} \) również jest poprawny. Czyni to dokończenie B prawdziwym. -
Analiza opcji C:
Opcja C sugeruje wynik \( 9\text{ h } 1\text{ min } 50\text{ s} \).
Błąd ten wynika z mylnego potraktowania części dziesiętnej minuty (\( 0{,}5\text{ min} \)) bezpośrednio jako \( 50\text{ sekund} \). Pół minuty to \( 30\text{ sekund} \), a nie \( 50 \).
Dokończenie w opcji C jest nieprawdziwe.
Szukamy nieprawdziwego dokończenia zdania, dlatego poprawną odpowiedzią do zaznaczenia jest C.
W Kroku 1 uzupełnij brakujące przeliczniki jednostek w polach pomocniczych. Następnie w Kroku 2 oceń prawdziwość podanych zdań, wybierając odpowiednio P (Prawda) lub F (Fałsz) w tabeli.
Przeliczając jednostki złożone (np. kwadratowe i sześcienne), pamiętaj o podnoszeniu podstawowego przelicznika do odpowiedniej potęgi:
- \( 1\text{ m} = 100\text{ cm} \implies 1\text{ m}^3 = (100\text{ cm})^3 = 1\ 000\ 000\text{ cm}^3 \)
- \( 1\text{ t} = 1000\text{ kg} = 1\ 000\ 000\text{ g} \)
- \( 1\text{ ha} = 100\text{ a} \)
| Równość | Prawda (P) | Fałsz (F) |
|---|---|---|
| \( 10\ 000\text{ cm}^3 = 0{,}01\text{ m}^3 \) | ||
| \( 100\text{ cm} = 0{,}001\text{ km} \) | ||
| \( 10\ 000\text{ g} = 0{,}00001\text{ t} \) | ||
| \( 0{,}1\text{ a} = 0{,}001\text{ ha} \) |
Rozwiązanie krok po kroku:
Przeanalizujmy każdą z podanych równości:
-
Równość 1: \( 10\ 000\text{ cm}^3 = 0{,}01\text{ m}^3 \)
Wiemy, że \( 1\text{ m} = 100\text{ cm} \). Podnosząc tę zależność do sześcianu, otrzymujemy:
\[ 1\text{ m}^3 = 100\text{ cm} \times 100\text{ cm} \times 100\text{ cm} = 1\ 000\ 000\text{ cm}^3 \] Przeliczmy podaną wartość na metry sześcienne:
\[ 10\ 000\text{ cm}^3 = \frac{10\ 000}{1\ 000\ 000}\text{ m}^3 = 0{,}01\text{ m}^3 \] Równość jest prawdziwa (P). -
Równość 2: \( 100\text{ cm} = 0{,}001\text{ km} \)
Wiemy, że \( 100\text{ cm} = 1\text{ m} \). Ponieważ jeden kilometr to \( 1000\text{ metrów} \), zachodzi relacja:
\[ 1\text{ m} = \frac{1}{1000}\text{ km} = 0{,}001\text{ km} \] Zatem \( 100\text{ cm} = 0{,}001\text{ km} \). Równość jest prawdziwa (P). -
Równość 3: \( 10\ 000\text{ g} = 0{,}00001\text{ t} \)
Zamieńmy gramy na kilogramy (wiedząc, że \( 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)):
\[ 10\ 000\text{ g} = \frac{10\ 000}{1000}\text{ kg} = 10\text{ kg} \] Teraz zamieńmy kilogramy na tony (wiedząc, że \( 1\text{ t} = 1000\text{ kg} \)):
\[ 10\text{ kg} = \frac{10}{1000}\text{ t} = 0{,}01\text{ t} \] Zapis \( 0{,}00001\text{ t} \) odpowiada \( 10\text{ gramom} \), a nie \( 10\ 000\text{ g} \). Równość jest fałszywa (F). -
Równość 4: \( 0{,}1\text{ a} = 0{,}001\text{ ha} \)
Jeden hektar to \( 100\text{ arów} \), czyli \( 1\text{ ar} = 0{,}01\text{ ha} \). Przeliczmy podaną wartość:
\[ 0{,}1\text{ a} = 0{,}1 \cdot 0{,}01\text{ ha} = 0{,}001\text{ ha} \] Równość jest prawdziwa (P).
W Kroku 1 wykonaj obliczenia cząstkowe (wyznacz długość boku działki, jej pole całkowite, pole jednej części, a następnie przelicz je na ary). Następnie w Kroku 2 wskaż poprawną odpowiedź na pytanie główne.
- Obwód kwadratu o boku \( a \) wynosi: \( Obw = 4a \).
- Pole powierzchni kwadratu o boku \( a \) wynosi: \( P = a^2 \).
- Ar (\( \text{a} \)) to jednostka pola powierzchni stosowana w rolnictwie i geodezji. Jeden ar odpowiada polu kwadratu o boku \( 10\text{ m} \):
\[ 1\text{ a} = 100\text{ m}^2 \]
Rozwiązanie krok po kroku:
Rozwiążmy zadanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie boku kwadratowej działki:
Działka ma kształt kwadratu, a jej obwód to \( 400\text{ m} \). Wzór na obwód kwadratu o boku \( a \) to \( Obw = 4a \), stąd:
\[ a = \frac{Obw}{4} = \frac{400\text{ m}}{4} = 100\text{ m} \]2. Obliczenie pola całkowitego działki:
Pole powierzchni kwadratu wyznaczamy ze wzoru \( P = a^2 \):
\[ P_{\text{całkowite}} = (100\text{ m})^2 = 10\ 000\text{ m}^2 \]3. Obliczenie pola jednej części:
Działkę podzielono na \( 100 \) jednakowych kwadratowych części. Pole powierzchni jednej części (\( P_{\text{części}} \)) wynosi więc:
\[ P_{\text{części}} = \frac{P_{\text{całkowite}}}{100} = \frac{10\ 000\text{ m}^2}{100} = 100\text{ m}^2 \]4. Zamiana metrów kwadratowych na ary:
Wiemy z definicji jednostek miar gruntu, że jeden ar (\( \text{a} \)) to dokładnie \( 100\text{ m}^2 \):
\[ 100\text{ m}^2 = 1\text{ a} \]Zatem pole jednej części wynosi dokładnie 1 a.
Prawidłowa jest odpowiedź A.
W Kroku 1 przeprowadź obliczenia cząstkowe (zapisz prędkość cyframi w jednostce km/s, przelicz ją na m/s oraz uzupełnij brakujący wykładnik w notacji wykładniczej). Następnie w Kroku 2 wybierz prawidłową odpowiedź na pytanie główne.
Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci:
\[ a \cdot 10^n \]
gdzie \( 1 \le a < 10 \) oraz \( n \) jest liczbą całkowitą.
Przy zamianie jednostek prędkości pamiętaj, że \( 1\text{ km/s} = 1000\text{ m/s} \).
Rozwiązanie krok po kroku:
Rozwiążmy zadanie krok po kroku:
1. Zapis słowny prędkości za pomocą cyfr:
Prędkość podana słownie to "sto dwadzieścia pięć tysięcy kilometrów na sekundę". Zapisujemy tę liczbę jako:
\[ v = 125\ 000\text{ km/s} \]2. Przeliczenie kilometrów na metry:
Wiemy, że jeden kilometr (\( 1\text{ km} \)) to \( 1000\text{ metrów} \). Przeliczmy prędkość do jednostki \( \text{m/s} \):
\[ v = 125\ 000 \cdot 1000\text{ m/s} = 125\ 000\ 000\text{ m/s} \]3. Przedstawienie liczby w notacji wykładniczej:
Notacja wykładnicza ma postać \( a \cdot 10^n \), gdzie \( 1 \le a < 10 \).
Dla liczby \( 125\ 000\ 000 \) naszą podstawą \( a \) będzie \( 1{,}25 \).
Aby z liczby \( 1{,}25 \) otrzymać \( 125\ 000\ 000 \), musimy przesunąć przecinek w prawo o \( 8 \) pozycji. Oznacza to przemnożenie przez \( 10^8 \):
Porównując nasz wynik z wariantami, prawidłowa jest odpowiedź D.
W Kroku 1 przeprowadź obliczenia pomocnicze, uzupełniając czas w godzinach (jako ułamek zwykły nieskracalny) oraz wyznaczoną drogę. Następnie w Kroku 2 zaznacz właściwy wynik końcowy.
W ruchu jednostajnym droga \( s \) pokonana przez pojazd poruszający się ze stałą prędkością \( v \) w czasie \( t \) wyraża się wzorem: \[ s = v \cdot t \] Przed podstawieniem danych do wzoru należy upewnić się, że jednostki czasu są spójne (np. czas podany w minutach przeliczamy na godziny, gdy prędkość podana jest w kilometrach na godzinę).
Rozwiązanie krok po kroku:
Rozwiążmy zadanie krok po kroku:
1. Odczytanie danych z zadania:
- Prędkość samochodu: \( v = 80\text{ km/h} \)
- Czas jazdy: \( t = 15\text{ minut} \)
2. Przeliczenie jednostki czasu:
Prędkość podana jest w kilometrach na godzinę (\( \text{km/h} \)), więc czas musimy wyrazić w godzinach. Wiedząc, że jedna godzina ma \( 60\text{ minut} \):
\[ t = \frac{15}{60}\text{ h} = \frac{15 : 15}{60 : 15}\text{ h} = \frac{1}{4}\text{ h} \quad (= 0{,}25\text{ h}) \]3. Obliczenie pokonanej drogi:
Korzystamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym \( s = v \cdot t \):
\[ s = 80\text{ km/h} \cdot \frac{1}{4}\text{ h} = \frac{80}{4}\text{ km} = 20\text{ km} \]Samochód pokona drogę 20 km. Prawidłowa jest odpowiedź C.
W Kroku 1 uprość każde z wyrażeń do postaci jednej potęgi o podstawie \( 7 \) i wpisz odpowiednie wykładniki w pola pomocnicze. Następnie w Kroku 2 zaznacz, która z podanych liczb ma największą wartość.
Podczas rozwiązywania zadania skorzystaj z podstawowych wzorów:
- Mnożenie potęg o tych samych podstawach: \( a^r \cdot a^s = a^{r+s} \)
- Dzielenie potęg o tych samych podstawach: \( a^r : a^s = a^{r-s} \)
- Potęgowanie potęgi: \( (a^r)^s = a^{r \cdot s} \)
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby porównać podane liczby, sprowadźmy każdą z nich do postaci pojedynczej potęgi o podstawie \( 7 \), stosując odpowiednie prawa działań na potęgach:
-
Opcja A: \( 7^3 \cdot 7^4 \)
Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach dodajemy ich wykładniki:
\[ 7^3 \cdot 7^4 = 7^{3 + 4} = 7^7 \] -
Opcja B: \( (7^2)^4 \)
Przy potęgowaniu potęgi mnożymy ich wykładniki:
\[ (7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8 \] -
Opcja C: \( \frac{7^{15}}{7^9} \)
Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładnik mianownika od wykładnika licznika:
\[ \frac{7^{15}}{7^9} = 7^{15 - 9} = 7^6 \] -
Opcja D: \( 7^2 : 7^{-7} \)
Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładnik dzielnika od wykładnika dzielnej. Pamiętaj o znaku minus przy wykładniku ujemnym:
\[ 7^2 : 7^{-7} = 7^{2 - (-7)} = 7^{2 + 7} = 7^9 \]
Uporządkowanie i porównanie:
Otrzymaliśmy cztery potęgi o tej samej podstawie równej \( 7 \) (która jest większa od \( 1 \)):
\[ 7^6 < 7^7 < 7^8 < 7^9 \]Największą wartość ma potęga o najwyższym wykładniku, czyli \( 7^9 \).
Największą z podanych liczb jest \( 7^2 : 7^{-7} \). Prawidłowa jest odpowiedź D.
W Kroku 1 przeanalizuj cztery równości zapisane na kartce Asi i oceń ich poprawność, wybierając opcję Poprawny lub Błędny w tabeli pomocniczej. Następnie w Kroku 2 wskaż łączną liczbę błędów popełnionych przez dziewczynkę.
Wykładniki potęg o tej samej podstawie podlegają ścisłym regułom matematycznym:
- Przy mnożeniu potęg dodajemy wykładniki: \( a^r \cdot a^s = a^{r+s} \).
- Przy dzieleniu potęg odejmujemy wykładniki: \( a^r : a^s = a^{r-s} \).
- Przy dodawaniu potęg (np. \( a^r + a^s \)) nie wolno dodawać wykładników do siebie.
| Id | Zapis z kartki | Poprawny | Błędny |
|---|---|---|---|
| a) | \( 2^5 \cdot 2^2 = 2^{10} \) | ||
| b) | \( 3^8 : 3^4 = 3^2 \) | ||
| c) | \( 2^2 \cdot 2^3 = 2^5 \) | ||
| d) | \( 2^2 + 2^3 = 2^5 \) |
Rozwiązanie krok po kroku:
Przeanalizujmy kolejno każdą z równości z kartki Asi:
-
Równość a): \( 2^5 \cdot 2^2 = 2^{10} \)
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki:
\[ 2^5 \cdot 2^2 = 2^{5+2} = 2^7 \] Asia pomnożyła wykładniki (\( 5 \cdot 2 = 10 \)), co jest niepoprawne. Jest to błąd (1). -
Równość b): \( 3^8 : 3^4 = 3^2 \)
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:
\[ 3^8 : 3^4 = 3^{8-4} = 3^4 \] Asia podzieliła wykładniki (\( 8 : 4 = 2 \)), co jest niepoprawne. Jest to błąd (2). -
Równość c): \( 2^2 \cdot 2^3 = 2^5 \)
Stosując prawo mnożenia potęg (dodajemy wykładniki):
\[ 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 \] Ta równość jest zapisana poprawnie. -
Równość d): \( 2^2 + 2^3 = 2^5 \)
Dla dodawania potęg o tej samej podstawie nie istnieją uproszczone wzory pozwalające na dodawanie wykładników. Obliczmy faktyczne wartości obu stron:
- Lewa strona: \( 2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12 \)
- Prawa strona: \( 2^5 = 32 \)
Ponieważ \( 12 \neq 32 \), ten zapis jest błędny. Jest to błąd (3).
Asia popełniła łącznie 3 błędy (w przykładach a, b oraz d).
Prawidłowa jest odpowiedź C.
W Kroku 1 uprość każdą z podanych liczb do postaci potęgi o podstawie \( 2 \), wpisując wyznaczone wykładniki w pola pomocnicze. Następnie w Kroku 2 zaznacz, które dwie spośród tych liczb są sobie równe.
W celu uproszczenia wyrażeń zastosuj następujące reguły:
- Mnożenie potęg o tych samych podstawach (dodawanie wykładników): \( 2^r \cdot 2^s = 2^{r+s} \)
- Dzielenie potęg o tych samych podstawach (odejmowanie wykładników): \( 2^r : 2^s = 2^{r-s} \)
- Potęgowanie potęgi (mnożenie wykładników): \( (2^r)^s = 2^{r \cdot s} \)
Rozwiązanie krok po kroku:
Przekształćmy każdą z podanych liczb do najprostszej postaci potęgi o podstawie \( 2 \):
-
Liczba \( a \):
W liczniku dodajemy wykładniki, a następnie przy dzieleniu odejmujemy wykładnik mianownika:
\[ a = \frac{2^8 \cdot 2^7}{2^{10}} = \frac{2^{8+7}}{2^{10}} = \frac{2^{15}}{2^{10}} = 2^{15-10} = 2^5 \] -
Liczba \( b \):
Najpierw potęgujemy potęgę (mnożymy wykładniki), a następnie mnożymy przez \( 2 \) (co jest równe \( 2^1 \)), dodając wykładniki:
\[ b = (2^2)^5 \cdot 2 = 2^{2 \cdot 5} \cdot 2^1 = 2^{10} \cdot 2^1 = 2^{10+1} = 2^{11} \] -
Liczba \( c \):
Wewnątrz nawiasu mnożymy potęgi o tych samych podstawach (dodajemy wykładniki), a następnie podnosimy do potęgi drugiej (mnożymy wykładniki):
\[ c = (2^5 \cdot 2^2)^2 = (2^{5+2})^2 = (2^7)^2 = 2^{7 \cdot 2} = 2^{14} \] -
Liczba \( d \):
Wewnątrz nawiasu dzielimy potęgi (odejmujemy wykładniki), a otrzymany ułamek podnosimy do potęgi siódmej (mnożymy wykładniki):
\[ d = \left(\frac{2^{10}}{2^8}\right)^7 = (2^{10-8})^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14} \]
Porównanie wyników:
Mamy wartości poszczególnych liczb:
- \( a = 2^5 \)
- \( b = 2^{11} \)
- \( c = 2^{14} \)
- \( d = 2^{14} \)
Z powyższego zestawienia jasno wynika, że liczby \( c \) oraz \( d \) są równe (\( c = d = 2^{14} \)).
Prawidłowa jest odpowiedź C.
W Kroku 1 przeanalizuj cztery obliczenia i oceń ich poprawność, wybierając opcję Poprawne lub Błędne w tabeli pomocniczej. Następnie w Kroku 2 zaznacz, które z podanych obliczeń nie zostało przeprowadzone poprawnie.
Podczas działań na liczbach w notacji wykładniczej stosujemy standardowe zasady potęgowania:
- Przy mnożeniu: mnożymy liczby przed potęgami, a wykładniki potęg dziesiątki dodajemy: \( (a \cdot 10^r) \cdot (b \cdot 10^s) = (a \cdot b) \cdot 10^{r+s} \).
- Przy dzieleniu: dzielimy liczby przed potęgami, a wykładniki odejmujemy: \( (a \cdot 10^r) : (b \cdot 10^s) = (a : b) \cdot 10^{r-s} \).
- Przy dodawaniu/odejmowaniu: najpierw sprowadzamy obie liczby do tego samego wykładnika przy potędze dziesiątki, a następnie dodajemy/odejmujemy współczynniki.
| Id | Przebieg obliczeń | Poprawne | Błędne |
|---|---|---|---|
| A. | \( 100 \cdot (2{,}8 \cdot 10^{13}) = 280 \cdot 10^{15} = 2{,}8 \cdot 10^{17} \) | ||
| B. | \( (5 \cdot 10^7) \cdot (4 \cdot 10^8) = 20 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^{16} \) | ||
| C. | \( 3{,}5 \cdot 10^9 + 5 \cdot 10^8 = 40 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^9 \) | ||
| D. | \( (2 \cdot 10^{12}) : (4 \cdot 10^7) = 0{,}5 \cdot 10^5 = 5 \cdot 10^4 \) |
Rozwiązanie krok po kroku:
Przeanalizujmy poprawność każdego z czterech ciągów obliczeń:
-
Obliczenie A: \( 100 \cdot (2{,}8 \cdot 10^{13}) = 280 \cdot 10^{15} = 2{,}8 \cdot 10^{17} \)
Wykonajmo poprawne mnożenie liczby \( 100 \) (czyli \( 10^2 \)) przez wyrażenie w nawiasie:
\[ 100 \cdot (2{,}8 \cdot 10^{13}) = 2{,}8 \cdot (10^2 \cdot 10^{13}) = 2{,}8 \cdot 10^{15} \] Tymczasem w pierwszej równości podano błędną wartość \( 280 \cdot 10^{15} \) (powstałą w wyniku jednoczesnego pomnożenia przez 100 zarówno liczby \( 2{,}8 \), jak i potęgi \( 10^{13} \) do \( 10^{15} \), co jest podwójnym naliczeniem).
Zapis ten jest niepoprawny (błędny). -
Obliczenie B: \( (5 \cdot 10^7) \cdot (4 \cdot 10^8) = 20 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^{16} \)
Mnożymy współczynniki oraz potęgi (dodając ich wykładniki):
\[ (5 \cdot 4) \cdot (10^7 \cdot 10^8) = 20 \cdot 10^{15} \] Następnie przesuwamy przecinek w lewo, aby dopasować do notacji naukowej:
\[ 20 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^1 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^{16} \] Zapis ten jest poprawny. -
Obliczenie C: \( 3{,}5 \cdot 10^9 + 5 \cdot 10^8 = 40 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^9 \)
Przed dodawaniem sprowadzamy obie liczby do wspólnego wykładnika potęgi dziesięciu (np. do \( 10^8 \)):
\[ 3{,}5 \cdot 10^9 = 35 \cdot 10^8 \] Dodajemy współczynniki:
\[ 35 \cdot 10^8 + 5 \cdot 10^8 = (35 + 5) \cdot 10^8 = 40 \cdot 10^8 \] Zapisujemy wynik w notacji naukowej:
\[ 40 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^1 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^9 \] Zapis ten jest poprawny. -
Obliczenie D: \( (2 \cdot 10^{12}) : (4 \cdot 10^7) = 0{,}5 \cdot 10^5 = 5 \cdot 10^4 \)
Dzielimy współczynniki oraz potęgi (odejmując wykładnik mianownika od licznika):
\[ \frac{2}{4} \cdot 10^{12 - 7} = 0{,}5 \cdot 10^5 \] Przesuwamy przecinek w prawo, dostosowując wynik do notacji wykładniczej:
\[ 0{,}5 \cdot 10^5 = 5 \cdot 10^{-1} \cdot 10^5 = 5 \cdot 10^4 \] Zapis ten jest poprawny.
Błędnie przeprowadzone zostało wyłącznie obliczenie A.
W Kroku 1 wykonaj obliczenia pomocnicze (wyznacz kwadrat czynnika liczbowego oraz kwadrat pierwiastka, a następnie pomnóż te wartości). Następnie w Kroku 2 zaznacz właściwy wynik określający pole powierzchni tego kwadratu.
- Pole kwadratu o boku \( a \) wyraża się wzorem: \[ P = a^2 \] - Podnosząc do kwadratu wyrażenie z pierwiastkiem stopnia drugiego (np. \( x\sqrt{y} \)), stosujemy prawo potęgowania iloczynu oraz definicję pierwiastka kwadratowego: \[ (x\sqrt{y})^2 = x^2 \cdot (\sqrt{y})^2 = x^2 \cdot y \quad (\text{dla } y \ge 0) \]
Rozwiązanie krok po kroku:
Rozwiążmy zadanie krok po kroku:
1. Zastosowanie wzoru na pole kwadratu:
Wzór na pole kwadratu o boku \( a \) to:
\[ P = a^2 \]2. Podstawienie długości boku:
Podstawiamy podaną w treści długość boku \( a = 5\sqrt{7} \):
\[ P = (5\sqrt{7})^2 \]3. Potęgowanie wyrażenia:
Korzystamy z prawa potęgowania iloczynu \( (x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 \):
\[ P = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 \]Obliczamy poszczególne kwadraty:
- Kwadrat współczynnika: \( 5^2 = 25 \)
- Kwadrat pierwiastka (pierwiastek i potęga wzajemnie się redukują): \( (\sqrt{7})^2 = 7 \)
Mnożymy oba wyniki cząstkowe:
\[ P = 25 \cdot 7 = 175 \]Uwaga do opcji C: Wartość \( 20\sqrt{7} \) stanowi obwód tego kwadratu (\( Obw = 4a = 4 \cdot 5\sqrt{7} = 20\sqrt{7} \)), a nie jego pole.
Pole tego kwadratu wynosi dokładnie 175. Prawidłowa jest odpowiedź D.
W Kroku 1 uprość każde z podanych wyrażeń, wpisując ostateczną wartość całkowitą współczynnika przed pierwiastkiem lub samą liczbę całkowitą. Następnie w Kroku 2 wskaż liczbę, która nie jest równa \( 5\sqrt{2} \).
Wykorzystaj podstawowe własności pierwiastków stopnia drugiego (dla \( x, y \ge 0 \)):
- Mnożenie pierwiastków: \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} \)
- Dzielenie pierwiastków: \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}} \quad (y > 0) \)
- Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka: \( \sqrt{k^2 \cdot x} = k\sqrt{x} \)
- Dodawanie pierwiastków o tym samym stopniu i liczbie podpierwiastkowej: \( a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} \)
Rozwiązanie krok po kroku:
Wprowadźmy liczbę \( 5\sqrt{2} \) pod znak pierwiastka w celu łatwiejszego porównania z innymi formami zapisu:
\[ 5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50} \]Przeanalizujmy teraz każde z wyrażeń podanych w opcjach:
-
Opcja A: \( \sqrt{18} + \sqrt{8} \)
Wyłączmy czynnik przed znak pierwiastka w obu składnikach:
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
Dodajemy pierwiastki podobne:
\[ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \] Wartość jest równa \( 5\sqrt{2} \). -
Opcja B: \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \)
Stosujemy wzór na dzielenie pierwiastków o tym samym stopniu:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \] Otrzymany wynik to liczba całkowita \( 5 \). Ponieważ \( 5 \neq 5\sqrt{2} \) (gdyż \( 5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1{,}41 = 7{,}05 \)), ta liczba nie jest równa \( 5\sqrt{2} \). -
Opcja C: \( \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \)
Stosujemy wzór na mnożenie pierwiastków o tym samym stopniu:
\[ \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10 \cdot 5} = \sqrt{50} \] Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \] Wartość jest równa \( 5\sqrt{2} \). -
Opcja D: \( \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{4}} \)
Stosujemy wzór na dzielenie pierwiastków o tym samym stopniu:
\[ \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{200}{4}} = \sqrt{50} \] Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \] Wartość jest równa \( 5\sqrt{2} \).
Liczbą, która nie jest równa \( 5\sqrt{2} \), jest \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \). Prawidłowa jest odpowiedź B.
W Kroku 1 uprość każde z podanych wyrażeń, wpisując ostateczną wartość liczbową współczynnika przed odpowiednim pierwiastkiem. Następnie w Kroku 2 wskaż tę liczbę, która różni się wartością od pozostałych trzech.
Aby porównać wyrażenia z pierwiastkami, należy doprowadzić je do najprostszej postaci poprzez wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka: \[ \sqrt{k^2 \cdot x} = k\sqrt{x} \] oraz wykonanie redukcji wyrazów podobnych.
Rozwiązanie krok po kroku:
Przekształćmy i uprośćmy każdą z podanych liczb:
-
Opcja A: \( \sqrt{45} + \sqrt{20} \)
Wyłączamy czynniki przed znak pierwiastka:
- \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \)
- \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \)
Wykonujemy dodawanie:
\[ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \] -
Opcja B: \( \sqrt{125} \)
Rozkładamy liczbę podpierwiastkową i wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka:
\[ \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \] -
Opcja C: \( \frac{\sqrt{500}}{2} \)
Wyłączamy czynnik z pierwiastka w liczniku:
\[ \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \] Dzielimy otrzymany licznik przez mianownik:
\[ \frac{10\sqrt{5}}{2} = \left(\frac{10}{2}\right)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \] -
Opcja D: \( \sqrt{50} - \sqrt{5} \)
Uprośćmy pierwiastek z 50:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \] Zapisujemy całe wyrażenie:
\[ 5\sqrt{2} - \sqrt{5} \] Ponieważ pierwiastki \( \sqrt{2} \) oraz \( \sqrt{5} \) są różnego stopnia/rodzaju (nie są podobne), wyrażenia nie da się bardziej uprościć. Wartość ta jest zdecydowanie różna od \( 5\sqrt{5} \).
Porównanie wyników:
Wartości liczb wynoszą odpowiednio:
- Liczba A: \( 5\sqrt{5} \)
- Liczba B: \( 5\sqrt{5} \)
- Liczba C: \( 5\sqrt{5} \)
- Liczba D: \( 5\sqrt{2} - \sqrt{5} \)
Liczby A, B oraz C mają tę samą wartość. Liczba D różni się od pozostałych trzech.
Prawidłowa jest odpowiedź D.
Komentarze
Prześlij komentarz