• Przeanalizuj podane wyrażenia algebraiczne i ustal, które z nich można uprościć do postaci \(3x - 2\).
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – opuszczanie nawiasów
Pamiętaj, że znak minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich składników wewnątrz nawiasu na przeciwne, np. \(-(a - b) = -a + b\).
Rozwiązanie zadania 1 i analiza krok po kroku:
Aby wskazać poprawne wyrażenie, upraszczamy każdą z podanych opcji:
Opcja A:
\(\frac{9x - 2}{3} = \frac{9x}{3} - \frac{2}{3} = 3x - \frac{2}{3}\)
To wyrażenie nie jest tożsame z \(3x - 2\).
Opcja B:
\(2x - (2 - x)\)
Opuszczamy nawias, zmieniając znaki wyrazów w nawiasie na przeciwne z powodu minusa przed nawiasem:
\(2x - 2 + x\)
Redukujemy wyrazy podobne:
\(3x - 2\)
Wyrażenie to jest tożsame z poszukiwaną postacią. Odpowiedź B jest prawidłowa.
Opcja C:
\(3(x - 2) = 3x - 6\)
To wyrażenie nie jest tożsame z \(3x - 2\).
Opcja D:
\(3x - 2x^2 - x^2 = 3x - 3x^2\)
To wyrażenie nie jest tożsame z \(3x - 2\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przekształć podane wyrażenie algebraiczne i ustal, które z poniższych wyrażeń jest jego uproszczoną postacią.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – mnożenie sum algebraicznych
Aby pomnożyć dwa nawiasy, mnożymy każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, np. \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\). Pamiętaj o uwzględnieniu znaków przed wyrazami.
Rozwiązanie zadania 2 i analiza krok po kroku:
Aby doprowadzić wyrażenie \(x^2 - (x - 5)(3 + x)\) do prostszej postaci, wykonujemy działania w następującej kolejności:
Krok 1: Wykonujemy mnożenie dwóch nawiasów:
Pomnóżmy wyrażenie \((x - 5)(3 + x)\):
\((x - 5)(3 + x) = x \cdot 3 + x \cdot x - 5 \cdot 3 - 5 \cdot x\)
\(= 3x + x^2 - 15 - 5x\)
Redukujemy wyrazy podobne wewnątrz nawiasu (\(3x - 5x = -2x\)):
\(= x^2 - 2x - 15\)
Krok 2: Wstawiamy uproszczony iloczyn z powrotem do całego wyrażenia:
Pamiętamy, że przed iloczynem stał znak minus, co oznacza konieczność zmiany wszystkich znaków w otrzymanym trójmianie:
\(x^2 - [x^2 - 2x - 15]\)
\(= x^2 - x^2 + 2x + 15\)
Krok 3: Redukcja wyrazów podobnych:
Wyrazy \(x^2\) oraz \(-x^2\) redukują się (ich suma wynosi zero):
\(= \mathbf{2x + 15}\)
Porównując otrzymany wynik z podanymi wariantami, stwierdzamy, że poprawna jest odpowiedź C.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż zadanie geometryczne i ustal, które z poniższych wyrażeń przedstawia różnicę pól.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – pola figur i mnożenie sum
Pole prostokąta obliczamy mnożąc długości jego sąsiednich boków: \(P_p = a \cdot b\). Pole kwadratu o boku \(x\) wyraża się wzorem \(P_k = x^2\). Po wykonaniu mnożenia uporządkuj otrzymane wyrażenie przez redukcję wyrazów podobnych.
Rozwiązanie zadania 3 i analiza krok po kroku:
Aby obliczyć różnicę między polem prostokąta a polem kwadratu, wykonujemy następujące kroki:
Krok 1: Wyznaczamy pole prostokąta (\(P_p\)):
Boki prostokąta mają długości \(x - 3\) oraz \(x + 5\). Mnożymy je przez siebie:
\(P_p = (x - 3)(x + 5)\)
\(P_p = x \cdot x + x \cdot 5 - 3 \cdot x - 3 \cdot 5\)
\(P_p = x^2 + 5x - 3x - 15\)
Redukujemy wyrazy podobne (\(5x - 3x = 2x\)):
\(P_p = x^2 + 2x - 15\)
Krok 2: Wyznaczamy pole kwadratu (\(P_k\)):
Bok kwadratu ma długość \(x\), zatem jego pole wynosi:
\(P_k = x^2\)
Krok 3: Obluczamy różnicę między polem prostokąta a polem kwadratu:
Odejmujemy pole kwadratu od pola prostokąta:
\(P_p - P_k = (x^2 + 2x - 15) - x^2\)
Wyrazy \(x^2\) oraz \(-x^2\) redukują się wzajemnie:
\(P_p - P_k = \mathbf{2x - 15}\)
Porównując otrzymany wynik z podanymi opcjami, stwierdzamy, że prawidłowa jest odpowiedź B.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż podane równanie liniowe i określ właściwości otrzymanej liczby.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – rozwiązywanie równań liniowych
Rozpocznij od usunięcia nawiasu poprzez pomnożenie każdego czynnika wewnątrz przez liczbę stojącą przed nawiasem. Zwróć szczególną uwagę na znaki (np. \(-2 \cdot (-x) = 2x\)). Następnie przenieś wyrażenia z niewiadomą \(x\) na jedną stronę równania, a liczby na drugą.
Rozwiązanie zadania 4 i analiza krok po kroku:
Aby znaleźć właściwości rozwiązania równania \(9 - 2(8 - x) = x - 5\), rozwiązujemy je krok po kroku:
Krok 1: Opuszczamy nawias:
Mnożymy każdy element w nawiasie przez \(-2\):
\(9 - 16 + 2x = x - 5\)
Krok 2: Upraszczamy lewą stronę równania:
Wykonujemy odejmowanie \(9 - 16 = -7\):
\(-7 + 2x = x - 5\)
Krok 3: Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę równania:
Odejmujemy \(x\) od obu stron i dodajemy \(7\) do obu stron równania:
\(2x - x = -5 + 7\)
\(x = 2\)
Krok 4: Analiza otrzymanej liczby \(2\):
• Jest to liczba dodatnia (ponieważ \(2 > 0\)).
• Jest to liczba parzysta (dzieli się przez \(2\) bez reszty).
Zatem rozwiązanie równania jest liczbą parzystą dodatnią.
Porównując wynik z dostępnymi opcjami, stwierdzamy, że poprawna jest odpowiedź A.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane równanie ułamkowe i określ liczbę jego rozwiązań.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – eliminacja mianowników w równaniu
Aby ułatwić sobie rozwiązanie równania z ułamkami, pomnóż obie jego strony przez wspólny mianownik (dla liczb \(6\) i \(4\) wspólnym mianownikiem jest \(12\)) lub pomnóż wyrażenia „na krzyż”. Jeśli w trakcie przekształceń zmienna \(x\) całkowicie się zredukuje, przeanalizuj prawdziwość powstałej tożsamości liczbowej.
Rozwiązanie zadania 5 i analiza krok po kroku:
Aby ustalić liczbę rozwiązań podanego równania \(\frac{3x - 5}{6} = \frac{3 + 2x}{4}\), przeprowadzamy jego analizę algebraiczną:
Krok 1: Mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik:
Wspólnym mianownikiem dla ułamków o mianownikach \(6\) i \(4\) jest liczba \(12\). Mnożymy obie strony przez \(12\):
\(12 \cdot \frac{3x - 5}{6} = 12 \cdot \frac{3 + 2x}{4}\)
Skracamy mianowniki z liczbą \(12\):
\(2 \cdot (3x - 5) = 3 \cdot (3 + 2x)\)
Krok 2: Opuszczamy nawiasy (mnożymy współczynniki):
\(6x - 10 = 9 + 6x\)
Krok 3: Przenosimy wyrazy z niewiadomą \(x\) na jedną stronę:
Odejmujemy obustronnie \(6x\):
\(6x - 6x - 10 = 9\)
\(-10 = 9\)
Krok 4: Interpretacja wyniku:
Otrzymaliśmy tożsamość liczbową \(-10 = 9\), która jest fałszywa (jest to tzw. równanie sprzeczne). Oznacza to, że nie istnieje żadna wartość zmiennej \(x\), dla której równanie byłoby prawdziwe.
Równanie nie ma rozwiązania.
Porównując wynik z dostępnymi odpowiedziami, stwierdzamy, że prawidłowa jest odpowiedź A.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane równania i ustal, dla którego z nich liczba \(4,5\) jest rozwiązaniem.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – sprawdzanie rozwiązania równania
Aby sprawdzić, czy dana liczba spełnia równanie, najprościej jest podstawić ją w miejsce zmiennej \(x\) po obu stronach równania (lewej \(L\) i prawej \(P\)). Jeśli po obliczeniu wartości liczbowych otrzymasz równość \(L = P\), oznacza to, że liczba ta jest rozwiązaniem tego równania.
Rozwiązanie zadania 6 i analiza krok po kroku:
Aby wskazać właściwe równanie, możemy podstawić wartość \(x = 4,5\) do każdego z wariantów i sprawdzić, czy lewa strona równania (\(L\)) jest równa prawej (\(P\)):
Opcja A:
\(3(0,5 - x) = 12\)
Podstawiamy \(x = 4,5\):
\(L = 3 \cdot (0,5 - 4,5) = 3 \cdot (-4) = -12\)
\(P = 12\)
Ponieważ \(L \neq P\) (\(-12 \neq 12\)), liczba \(4,5\) nie jest rozwiązaniem tego równania.
Opcja B:
\(x + 1,5 = (3x + 4,5) : 3\)
Podstawiamy \(x = 4,5\):
\(L = 4,5 + 1,5 = 6\)
\(P = (3 \cdot 4,5 + 4,5) : 3 = (13,5 + 4,5) : 3 = 18 : 3 = 6\)
Ponieważ \(L = P\) (\(6 = 6\)), liczba \(4,5\) jest rozwiązaniem tego równania.
Uwaga dodatkowa: Po uproszczeniu prawej strony równania: \(\frac{3x + 4,5}{3} = x + 1,5\), otrzymujemy tożsamość \(x + 1,5 = x + 1,5\). Oznacza to, że każda liczba rzeczywista spełnia to równanie, w tym również liczba \(4,5\).
Opcja C:
\(-(x + 3,5) = 17 - 2x\)
Podstawiamy \(x = 4,5\):
\(L = -(4,5 + 3,5) = -8\)
\(P = 17 - 2 \cdot (4,5) = 17 - 9 = 8\)
Ponieważ \(L \neq P\) (\(-8 \neq 8\)), liczba \(4,5\) nie jest rozwiązaniem.
Opcja D:
\(2(x - 4) - \frac{1}{2}(x - 4) = \frac{4}{3}\)
Podstawiamy \(x = 4,5\):
\(L = 2 \cdot (4,5 - 4) - \frac{1}{2} \cdot (4,5 - 4) = 2 \cdot 0,5 - 0,5 \cdot 0,5 = 1 - 0,25 = 0,75 = \frac{3}{4}\)
\(P = \frac{4}{3}\)
Ponieważ \(L \neq P\) (\(\frac{3}{4} \neq \frac{4}{3}\)), liczba \(4,5\) nie jest rozwiązaniem.
Prawidłowa jest odpowiedź B.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj treść zadania tekstowego, ułóż odpowiednie równania i wyznacz początkową liczbę gruszek na tacy.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – zadania tekstowe z niewiadomymi
Wprowadź czytelne oznaczenia, na przykład: \(g\) jako początkowa liczba gruszek, oraz \(j\) jako początkowa liczba jabłek. Na podstawie informacji o sumie wszystkich owoców wyraź jedną zmienną za pomocą drugiej (np. \(j = 25 - g\)). Następnie zapisz zmiany ilości owoców w postaci równania wiążącego stany końcowe.
Rozwiązanie zadania 7 i analiza krok po kroku:
Aby wyznaczyć początkową liczbę gruszek, analizujemy dane krok po kroku:
Krok 1: Wprowadzamy oznaczenia niewiadomych:
• Niech \(g\) oznacza początkową liczbę gruszek na tacy.
• Niech \(j\) oznacza początkową liczbę jabłek na tacy.
Wiemy, że na początku suma wszystkich owoców wynosiła \(25\):
\(j + g = 25 \implies j = 25 - g\)
Krok 2: Opisujemy zmiany ilości owoców:
• Z tacy ubyło 6 gruszek, więc końcowa liczba gruszek to: \(g - 6\).
• Do jabłek dołożono 8 sztuk, więc końcowa liczba jabłek to: \(j + 8\).
Krok 3: Układamy równanie końcowe:
Na koniec jabłek jest o 19 więcej niż gruszek:
\(\text{Końcowa liczba jabłek} = \text{Końcowa liczba gruszek} + 19\)
\(j + 8 = (g - 6) + 19\)
\(j + 8 = g + 13\)
Krok 4: Podstawiamy i rozwiązujemy równanie:
Podstawiamy \(j = 25 - g\) do powyższego równania:
\((25 - g) + 8 = g + 13\)
\(33 - g = g + 13\)
Przenosimy zmienne na jedną stronę, a liczby na drugą:
\(33 - 13 = g + g\)
\(20 = 2g\)
\(g = 10\)
Krok 5: Sprawdzenie poprawności:
• Początkowa liczba gruszek: \(10\)
• Początkowa liczba jabłek: \(25 - 10 = 15\)
• Po ubyciu 6 gruszek na tacy zostały: \(10 - 6 = 4\) gruszki.
• Po dołożeniu 8 jabłek na tacy jest: \(15 + 8 = 23\) jabłka.
• Różnica: \(23 - 4 = 19\) (warunek o 19 więcej jest spełniony).
Na początku na tacy było 10 gruszek. Poprawna jest odpowiedź B.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podaną proporcję i ustal, które z poniższych równań powstaje w wyniku jej przekształcenia.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – mnożenie „na krzyż”
Równanie w postaci proporcji \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) przekształcamy metodą mnożenia „na krzyż” – iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych: \(a \cdot d = b \cdot c\). Pamiętaj o poprawnym pomnożeniu zmiennej przez sumę dwumianu w liczniku: \(x \cdot (2 + x) = 2x + x^2\).
Rozwiązanie zadania 8 i analiza krok po kroku:
Aby sprawdzić, które równanie wynika z danej proporcji \(\frac{3}{x} = \frac{2 + x}{12}\), stosujemy regułę mnożenia „na krzyż”:
Krok 1: Zapisujemy równanie mnożąc licznik jednego ułamka przez mianownik drugiego:
\(3 \cdot 12 = x \cdot (2 + x)\)
Krok 2: Upraszczamy obie strony równania:
• Po lewej stronie mnożymy stałe: \(3 \cdot 12 = 36\).
• Po prawej stronie wymnażamy jednomian przez dwumian w nawiasie: \(x \cdot (2 + x) = x \cdot 2 + x \cdot x = 2x + x^2\).
Krok 3: Zapisujemy końcową postać równania:
\(36 = 2x + x^2\)
Porównując otrzymane równanie z podanymi opcjami, widzimy, że poprawna jest odpowiedź C.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Rozwiąż cztery podane równania, porównaj otrzymane wyniki i wskaż, które z nich jest spełnione przez najmniejszą z tych liczb.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – porównywanie rozwiązań równań
Rozwiąż każde z równań I, II, III oraz IV osobno, korzystając z metod mnożenia „na krzyż” lub sprowadzania do wspólnego mianownika. Pamiętaj o określeniu dziedziny równania (mianownik nie może wynosić \(0\)). Po znalezieniu wszystkich czterech rozwiązań wybierz liczbę o najmniejszej wartości i przyporządkuj ją do właściwego równania.
Rozwiązanie zadania 9 i analiza krok po kroku:
Aby wskazać właściwe równanie, wyznaczamy rozwiązanie każdego z nich:
Równanie I:
\(\frac{x - 3}{24} = \frac{x - 18}{-48}\)
Mnożymy obie strony przez \(-48\):
\(-2(x - 3) = x - 18\)
\(-2x + 6 = x - 18\)
\(24 = 3x \implies \mathbf{x = 8}\)
Równanie II:
\(\frac{13}{x + 6} = \frac{26}{72 - x}\) (zakładamy, że \(x \neq -6\) oraz \(x \neq 72\))
Dzielimy liczniki obu stron przez \(13\):
\(\frac{1}{x + 6} = \frac{2}{72 - x}\)
Mnożymy „na krzyż”:
\(72 - x = 2(x + 6)\)
\(72 - x = 2x + 12\)
\(60 = 3x \implies \mathbf{x = 20}\)
Równanie III:
\(\frac{x}{10 + x} = \frac{45}{75}\) (zakładamy, że \(x \neq -10\))
Upraszczamy ułamek \(\frac{45}{75}\) dzieląc licznik i mianownik przez \(15\):
\(\frac{x}{10 + x} = \frac{3}{5}\)
Mnożymy „na krzyż”:
\(5x = 3(10 + x)\)
\(5x = 30 + 3x\)
\(2x = 30 \implies \mathbf{x = 15}\)
Równanie IV:
\(\frac{x}{x - 2} = \frac{x}{x + 1}\) (zakładamy, że \(x \neq 2\) oraz \(x \neq -1\))
• Jeśli \(x = 0\), to obie strony równania są równe zero, więc \(0\) jest poprawnym rozwiązaniem.
• Jeśli \(x \neq 0\), możemy podzielić obie strony przez \(x\):
\(\frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x + 1} \implies x - 2 = x + 1 \implies -2 = 1\) (równanie sprzeczne).
Zatem jedynym rozwiązaniem jest \(\mathbf{x = 0}\).
Porównanie rozwiązań:
Otrzymaliśmy następujące rozwiązania: \(8\), \(20\), \(15\) oraz \(0\). najmniejszą z tych wartości jest \(0\). Liczba \(0\) jest rozwiązaniem równania IV.
Prawidłowa jest odpowiedź D.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj dane informacyjne zestawione w tabeli i oblicz wielkość mieszkania pana Jana.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – tworzenie równania kosztów
Zapisz całkowity koszt zakupu nieruchomości jako sumę trzech elementów: ceny mieszkania (powierzchnia w \(\text{m}^2 \cdot 7000\text{ zł}\)), stałej ceny garażu (\(25\,000\text{ zł}\)) oraz ceny piwnicy (powierzchnia w \(\text{m}^2 \cdot 750\text{ zł}\)). Jeśli przyjmiesz, że powierzchnia piwnicy wynosi \(x\), wówczas powierzchnia mieszkania to \(15x\).
| Składnik oferty / Parametr | Wartość / Cena | Źródło danych |
|---|---|---|
| Łączny koszt zakupu | \(448\,000\text{ zł}\) | Treść zadania (zakup pana Jana) |
| Cena metra kwadratowego mieszkania | \(7000\text{ zł za } 1\text{ m}^2\) | Oferta reklamowa Osiedla Słonecznego |
| Dopuszczalny metraż mieszkań | \(35 - 112\text{ m}^2\) | Oferta reklamowa Osiedla Słonecznego |
| Koszt garażu | \(25\,000\text{ zł}\) (opłata stała) | Element dodatkowy oferty |
| Cena metra kwadratowego piwnicy | \(750\text{ zł za } 1\text{ m}^2\) | Element dodatkowy oferty |
| Zależność powierzchni | Powierzchnia mieszkania jest \(15\) razy większa od powierzchni piwnicy | Treść zadania |
Rozwiązanie zadania 10 i analiza krok po kroku:
Aby wyznaczyć powierzchnię mieszkania pana Jana, układamy równanie opisujące całkowity koszt zakupu nieruchomości:
Krok 1: Wprowadzamy niewiadomą:
• Niech \(x\) oznacza powierzchnię piwnicy w \(\text{m}^2\).
• Ponieważ mieszkanie jest 15 razy większe od piwnicy, jego powierzchnia wynosi \(15x\).
Krok 2: Określamy koszty poszczególnych elementów:
• Koszt mieszkania: \(15x \cdot 7000\text{ zł} = 105\,000x\text{ zł}\)
• Koszt garażu: \(25\,000\text{ zł}\) (stała opłata)
• Koszt piwnicy: \(x \cdot 750\text{ zł} = 750x\text{ zł}\)
Krok 3: Układamy i rozwiązujemy równanie sumaryczne:
Suma kosztów wynosi \(448\,000\text{ zł}\):
\(105\,000x + 25\,000 + 750x = 448\,000\)
Łączymy wyrazy podobne:
\(105\,750x + 25\,000 = 448\,000\)
Odejmujemy \(25\,000\) od obu stron równania:
\(105\,750x = 423\,000\)
Dzielimy przez \(105\,750\):
\(x = \frac{423\,000}{105\,750}\)
\(x = 4\text{ m}^2\) (powierzchnia piwnicy)
Krok 4: Obliczamy powierzchnię mieszkania:
\(P_{\text{mieszkania}} = 15 \cdot x = 15 \cdot 4 = \mathbf{60\text{ m}^2}\)
Otrzymany metraż (\(60\text{ m}^2\)) mieści się w dopuszczalnym przedziale oferty handlowej (\(35 - 112\text{ m}^2\)).
Poprawna odpowiedź to C.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj tabele i określ, w których z nich przedstawiono wielkości wprost proporcjonalne.
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – proporcjonalność wprost
Dwie wielkości dodatnie \(x\) i \(y\) są wprost proporcjonalne, gdy ich stosunek jest stały, czyli \(\frac{y}{x} = a\) (gdzie \(a\) jest stałym współczynnikiem proporcjonalności większym od zera). Oznacza to, że wraz ze wzrostem jednej wielkości, druga rośnie tyle samo razy.
W każdej tabeli przedstawiono zależność między dwiema wielkościami \(x\) i \(y\).
| x | 10 | 400 |
| y | 55 | 2200 |
| x | 18 | 36 |
| y | 10 | 5 |
| x | 80 | 60 |
| y | 30 | 40 |
| x | 36 | 6 |
| y | 60 | 10 |
Dokończ poniższe zdania. Wybierz odpowiedzi spośród podanych.
Wielkości wprost proporcjonalne przedstawiono w tabelach:
Rozwiązanie zadania 11 i analiza krok po kroku:
Aby sprawdzić, które tabele przedstawiają wielkości wprost proporcjonalne, musimy zbadać, czy dla każdej pary odpowiadających sobie wartości \(x\) i \(y\) iloraz \(\frac{y}{x}\) (lub \(\frac{x}{y}\)) jest stały.
Krok 1: Analiza Tabeli I
• Sprawdzamy pierwszą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{55}{10} = 5{,}5\)
• Sprawdzamy drugą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{2200}{400} = \frac{22}{4} = 5{,}5\)
Stosunek wartości jest stały i wynosi \(5{,}5\). Wielkości w tabeli I są wprost proporcjonalne.
Krok 2: Analiza Tabeli II
• Sprawdzamy pierwszą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \approx 0{,}56\)
• Sprawdzamy drugą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{5}{36} \approx 0{,}14\)
Stosunki te są różne, więc wielkości nie są wprost proporcjonalne.
Uwaga pomocnicza: Zauważmy, że iloczyn \(x \cdot y\) jest stały (\(18 \cdot 10 = 180\) oraz \(36 \cdot 5 = 180\)), co oznacza, że są to wielkości odwrotnie proporcjonalne.
Krok 3: Analiza Tabeli III
• Sprawdzamy pierwszą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8} = 0{,}375\)
• Sprawdzamy drugą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\)
Stosunki te są różne. Podobnie jak w tabeli II, stały jest iloczyn \(x \cdot y = 2400\), co oznacza proporcjonalność odwrotną.
Krok 4: Analiza Tabeli IV
• Sprawdzamy pierwszą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\)
• Sprawdzamy drugą kolumnę: \(\frac{y}{x} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\)
Stosunek wartości jest stały i wynosi \(\frac{5}{3}\). Wielkości w tabeli IV są wprost proporcjonalne.
Podsumowanie:
Wielkości wprost proporcjonalne znajdują się w tabelach I i IV.
Poprawna odpowiedź to A.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeczytaj uważnie każde zdanie w tabeli.
• Wpisz literę P (Prawda) lub F (Fałsz) w odpowiednie pole tekstowe obok każdego zdania.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – zależność proporcjonalna w geometrii
Aby sprawdzić, czy wielkości są wprost proporcjonalne, zapisz wzór łączący obie wielkości (np. pole lub obwód z długością boku \(a\)). Jeżeli jedna wielkość jest stałą wielokrotnością drugiej (stosunek wynosi \(C\)), to wielkości są wprost proporcjonalne. Jeżeli w zależności występuje potęga (np. \(a^2\)), proporcjonalność prosta nie zachodzi.
Oceń prawdziwość zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F — jeśli jest fałszywe.
| Zdanie | Odpowiedź (P / F) |
|---|---|
| 1. Pole trójkąta równobocznego i jego bok to wielkości wprost proporcjonalne. | |
| 2. Długość boku trójkąta równobocznego i jego obwód to wielkości wprost proporcjonalne. |
Rozwiązanie zadania 12 i analiza krok po kroku:
Aby ocenić prawdziwość zdań, musimy zbadać charakter zależności funkcyjnej między wskazanymi wielkościami.
Analiza zdania 1: "Pole trójkąta równobocznego i jego bok to wielkości wprost proporcjonalne."
• Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości \(a\) to:
\[P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
• Zbadajmy stosunek pola \(P\) do długości boku \(a\):
\[\frac{P}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}\]
• Otrzymany stosunek nie jest wielkością stałą — zależy bezpośrednio od długości boku \(a\). Przykładowo:
– dla \(a = 2\): \(P = \sqrt{3}\), stosunek \(\frac{P}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\)
– dla \(a = 4\): \(P = 4\sqrt{3}\), stosunek \(\frac{P}{a} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\)
Ponieważ stosunek wielkości zmienia się wraz ze zmianą boku (pole rośnie kwadratowo, a nie liniowo), wielkości te nie są wprost proporcjonalne.
Zdanie jest FAŁSZYWE (F).
Analiza zdania 2: "Długość boku trójkąta równobocznego i jego obwód to wielkości wprost proporcjonalne."
• Wzór na obwód \(O\) trójkąta równobocznego o boku \(a\) to:
\[O = 3a\]
• Zbadajmy stosunek obwodu \(O\) do boku \(a\):
\[\frac{O}{a} = 3\]
• Stosunek ten jest wartością stałą i wynosi zawsze \(3\) (nie zależy od długości boku). Jeśli zwiększymy długość boku \(n\)-krotnie, obwód również wzrośnie dokładnie \(n\)-krotnie.
Wielkości te są wprost proporcjonalne.
Zdanie jest PRAWDZIWE (P).
Prawidłowe odpowiedzi w tabeli to kolejno: F, P.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj treść zadania oraz podaną tabelę decyzyjną.
• W pierwszym polu tekstowym wpisz TAK lub NIE.
• W drugim polu tekstowym wpisz literę oznaczającą uzasadnienie: A lub B.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – ilorazy a kierunek porównania
Zwróć uwagę na to, kto kupił więcej, a kto mniej ziemniaków. Iloraz \(\frac{4{,}2}{3{,}5}\) porównuje większą wartość do mniejszej, określając ile razy coś jest większe/droższe. Pytanie dotyczy jednak relacji w drugą stronę (ile razy mniej). Pamiętaj też, że cena jednostkowa (za 1 kg) jest stała.
Kilogram ziemniaków kosztuje \(1{,}40\text{ zł}\). Pani Lucyna kupiła \(3{,}5\text{ kg}\) ziemniaków, a pan Robert — \(4{,}2\text{ kg}\). Ile razy mniej niż pani Lucyna zapłacił za ziemniaki pan Robert?
Czy do udzielenia odpowiedzi na to pytanie wystarczy obliczyć iloraz \(\frac{4{,}2}{3{,}5}\)? Wybierz odpowiedź TAK lub NIE oraz jej uzasadnienie A lub B.
Rozwiązanie zadania 13 i analiza krok po kroku:
Aby poprawnie rozwiązać to zadanie, przeanalizujmy matematyczną zależność między masą zakupionych ziemniaków a kosztem zakupu.
Krok 1: Analiza kosztów i mas
• Masa ziemniaków pani Lucyny: \(3{,}5\text{ kg}\)
• Masa ziemniaków pana Roberta: \(4{,}2\text{ kg}\)
• Ponieważ cena za 1 kg jest stała (\(1{,}40\text{ zł}\)), koszt zakupu jest wprost proporcjonalny do kupionej masy. Oznacza to, że:
\[\frac{\text{Koszt Roberta}}{\text{Koszt Lucyny}} = \frac{\text{Masa Roberta}}{\text{Masa Lucyny}} = \frac{4{,}2}{3{,}5}\]
Stosunek ilości kupionych ziemniaków jest dokładnie taki sam jak stosunek zapłaconych kwot. Potwierdza to prawdziwość zdania B (zdanie A jest fałszywe, ponieważ mówi o odwrotności).
Krok 2: Określenie kierunku pytania
• Pytanie w zadaniu brzmi: "Ile razy mniej niż pani Lucyna zapłacił pan Robert?".
• Skoro pan Robert kupił więcej ziemniaków (\(4{,}2\text{ kg} > 3{,}5\text{ kg}\)), to zapłacił więcej, a nie mniej.
• Iloraz \(\frac{4{,}2}{3{,}5} = 1{,}2\) mówi nam, ile razy więcej zapłacił pan Robert (lub ile razy Robert kupił więcej).
• Aby dowiedzieć się, ile razy mniej (w sensie ułamkowym/mnożnikowym) zapłacił pan Robert w stosunku do pani Lucyny, należałoby obliczyć stosunek kwoty pani Lucyny do kwoty pana Roberta:
\[\frac{\text{Koszt Lucyny}}{\text{Koszt Roberta}} = \frac{3{,}5}{4{,}2} = \frac{5}{6} \approx 0{,}83\]
Sam iloraz \(\frac{4{,}2}{3{,}5}\) daje odwrotny stosunek (ile razy więcej).
Podsumowanie:
Obliczenie samego ilorazu \(\frac{4{,}2}{3{,}5}\) nie wystarczy do bezpośredniego udzielenia odpowiedzi na to specyficzne pytanie (gdyż daje on odwrotną relację). Stosunek mas ziemniaków jest taki sam jak stosunek kosztów.
Prawidłowa odpowiedź to: NIE, ponieważ B.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Uprość podane wyrażenie algebraiczne i przeanalizuj jego właściwości dla dodatnich liczb naturalnych \(n\).
• Wpisz literę oznaczającą poprawną odpowiedź (A, B, C lub D) w pole tekstowe pod zadaniem.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – redukcja wyrazów podobnych
Zacznij od wykonania mnożenia w nawiasach: \((n + 2)(n + 2)\), co jest równoważne wzorowi skróconego mnożenia na kwadrat sumy \((n + 2)^2\). Pamiętaj, aby przy usuwaniu nawiasu poprzedzonego znakiem minus zmienić znaki wszystkich znajdujących się w nim wyrazów na przeciwne.
O liczbie \(n^2 - (n + 2)(n + 2) + 16\), gdzie \(n\) oznacza pewną liczbę naturalną dodatnią, można powiedzieć, że:
Rozwiązanie zadania 14 i analiza krok po kroku:
Aby zbadać właściwości podanej liczby, przekształćmy i uprośćmy dane wyrażenie algebraiczne:
Krok 1: Rozwinięcie iloczynu w nawiasach:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) lub mnożymy każdy wyraz przez każdy:
\[(n + 2)(n + 2) = (n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4\]
Krok 2: Podstawienie i redukcja wyrazów podobnych:
Wstawiamy otrzymany wynik do początkowego wyrażenia. Pamiętamy, że minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów wewnątrz na przeciwne:
\[n^2 - (n^2 + 4n + 4) + 16\]
\[n^2 - n^2 - 4n - 4 + 16\]
Wyrazy \(n^2\) oraz \(-n^2\) redukują się (dają 0):
\[-4n - 4 + 16 = -4n + 12\]
Krok 3: Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:
Możemy zapisać to wyrażenie jako:
\[12 - 4n = 4(3 - n)\]
Krok 4: Analiza poprawności poszczególnych odpowiedzi:
Wiemy, że \(n\) jest dodatnią liczbą naturalną, czyli \(n \in \{1, 2, 3, 4, \dots\}\).
• Wyrażenie ma postać \(4 \cdot (3 - n)\). Ponieważ \(3 - n\) jest liczbą całkowitą, całe wyrażenie jest zawsze wielokrotnością liczby 4. Oznacza to, że liczba ta jest zawsze podzielna przez 4. To potwierdza prawdziwość odpowiedzi B.
Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?
• A (jest nieparzysta): Liczba będąca wielokrotnością 4 jest zawsze parzysta (fałsz).
• C (może być równa 6): Liczba 6 nie jest podzielna przez 4, więc wyrażenie nigdy nie przyjmie wartości 6 dla całkowitego \(n\) (fałsz).
• D (może być większa od 8): Zbadajmy wartości dla kolejnych dodatnich liczb naturalnych:
– Dla \(n = 1\): \(4(3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8\)
– Dla \(n = 2\): \(4(3 - 2) = 4 \cdot 1 = 4\)
– Dla \(n = 3\): \(4(3 - 3) = 0\)
– Dla \(n \ge 4\) wartości są mniejsze od zera (ujemne).
Maksymalna wartość wyrażenia wynosi \(8\) (dla \(n=1\)), zatem wartość ta nigdy nie będzie większa od 8 (fałsz).
Poprawna odpowiedź to B.
Ładowanie komentarzy...
Komentarze
Prześlij komentarz