Wpisz odpowiednie wyrażenia algebraiczne w puste pola.
• Nad każdym polem znajduje się panel pomocniczy. Klikaj przyciski, by wstawiać działania matematyczne oraz potęgę.
• Ułamki zwykłe (pionowe): W zadaniach z dzieleniem możesz kliknąć przycisk ułamek. Spowoduje to wyświetlenie pionowego ułamka z poziomą kreską ułamkową (bez żadnych ukośników). Możesz uzupełnić licznik, mianownik oraz dodać znaki z przodu lub z tyłu ułamka. Kliknięcie usuń ułamek przywraca standardowe pole tekstowe.
Wykorzystaj nawiasy dla określenia prawidłowej kolejności wykonywania działań.
Rozwiązanie krok po kroku:
Część a):
- suma liczb \( x \) i 7
Suma to wynik dodawania: \( x + 7 \) lub \( 7 + x \). - różnica liczb 6 i \( w \)
Różnica to wynik odejmowania. Kolejność zapisu odpowiada kolejności w opisie zadania: \( 6 - w \). - iloczyn liczb \( a \) i 8
Iloczyn to wynik mnożenia. Zazwyczaj liczbę zapisujemy przed zmienną: \( 8a \) lub \( 8 \cdot a \). - iloraz liczb \( m \) i 5
Iloraz to wynik dzielenia. Zapisujemy go w formie pionowego ułamka zwykłego: licznik to \( m \), a mianownik to \( 5 \) (lub za pomocą tradycyjnego zapisu z dwukropkiem: \( m : 5 \)).
Część b):
- połowa sumy liczb \( x \) i 7
Najpierw zapisujemy sumę (\( x+7 \)), a następnie dzielimy ją przez 2. W pionowym zapisie ułamkowym: licznik to \( x+7 \), a mianownik to \( 2 \) (lub za pomocą dwukropka: \( (x+7) : 2 \)). - liczba 8 razy większa od różnicy liczb 6 i \( w \)
Najpierw wyznaczamy różnicę (\( 6-w \)), a następnie mnożymy ją przez 8. Pamiętamy o konieczności użycia nawiasu: \( 8(6-w) \). - liczba o \( b \) mniejsza od iloczynu liczb \( a \) i 8
Iloczyn liczb \( a \) i 8 to \( 8a \). Liczba o \( b \) mniejsza oznacza, że odejmujemy \( b \): \( 8a - b \). - liczba o \( n \) większa od ilorazu liczb \( m \) i 5
Iloraz liczb \( m \) i 5 to pionowy ułamek z licznikiem \( m \) i mianownikiem \( 5 \). Liczba o \( n \) większa oznacza dodanie \( n \): \( \frac{m}{5} + n \) (lub \( n + \frac{m}{5} \)).
Wpisz odpowiednie wyrażenia algebraiczne w puste pola.
• Nad każdym polem znajduje się panel pomocniczy. Klikaj przyciski, by wstawiać działania matematyczne oraz potęgę.
• Ułamki zwykłe (pionowe): W zadaniach c) oraz d) możesz użyć przycisku ułamek, aby wygodnie zapisać część ułamkową bez używania ukośnika. Kliknięcie usuń ułamek przywraca standardowe pole tekstowe.
Rozwiązanie krok po kroku:
- a) \( a \) kilometrów i \( b \) metrów — ile to metrów?
Skoro \( 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \), to \( a \) kilometrów stanowi \( 1000 \cdot a \) metrów.
Dodając do tego pozostałe \( b \) metrów, otrzymujemy wyrażenie: \( 1000a + b \) (lub \( 1000 \cdot a + b \)). - b) \( x \) kilogramów i \( y \) dekagramów — ile to dekagramów?
Skoro \( 1 \text{ kg} = 100 \text{ dag} \), to \( x \) kilogramów stanowi \( 100 \cdot x \) dekagramów.
Dodając do tego pozostałe \( y \) dekagramów, otrzymujemy wyrażenie: \( 100x + y \) (lub \( 100 \cdot x + y \)). - c) \( s \) złotych i \( t \) groszy — ile to złotych?
Jeden grosz to jedna setna część złotego: \( 1 \text{ gr} = 0{,}01 \text{ zł} = \frac{1}{100} \text{ zł} \).
Zatem \( t \) groszy to \( 0{,}01t \) złotych lub \( \frac{t}{100} \) złotych.
Łączna kwota w złotych wynosi: \( s + 0{,}01t \) lub w zapisie ułamkowym \( s + \frac{t}{100} \). - d) \( m \) godzin i \( k \) minut — ile to godzin?
Jedna minuta to jedna sześćdziesiąta część godziny: \( 1 \text{ min} = \frac{1}{60} \text{ h} \).
Zatem \( k \) minut to \( \frac{k}{60} \) godziny.
Łączny czas w godzinach wynosi: \( m + \frac{k}{60} \) (lub \( m + k : 60 \)).
Zredukuj wyrazy podobne i wpisz ostateczną postać wyrażenia w puste pola.
• Nad każdym polem znajduje się panel pomocniczy. Użyj przycisku xʸ, aby zapisać wykładnik potęgi (np. po wstawieniu potęgi wpisz wykładnik wewnątrz nawiasu).
Gdy przed nawiasem stoi znak plus, możemy po prostu opuścić nawiasy bez zmiany znaków wyrazów wewnątrz nich:
\( (a + b) + (c - d) = a + b + c - d \).
Następnie wyszukujemy wyrazy podobne (jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym) i dodajemy lub odejmujemy ich współczynniki.
\( (2x^2 - 5xy + 4y) + (3x^2 - 2xy) = 2x^2 - 5xy + 4y + 3x^2 - 2xy = 5x^2 - 7xy + 4y \)
Rozwiązanie krok po kroku:
- a) \( (5a^2 + 2a - 3b) + (3a^2 + 7a + 6b) \)
Opuszczamy nawiasy:
\( 5a^2 + 2a - 3b + 3a^2 + 7a + 6b \)
Grupujemy i sumujemy wyrazy podobne:
\( (5a^2 + 3a^2) + (2a + 7a) + (-3b + 6b) = \mathbf{8a^2 + 9a + 3b} \) - b) \( (2pq - 5p + 3q) + (6pq - 2q) \)
Opuszczamy nawiasy:
\( 2pq - 5p + 3q + 6pq - 2q \)
Grupujemy i sumujemy wyrazy podobne:
\( (2pq + 6pq) - 5p + (3q - 2q) = \mathbf{8pq - 5p + q} \) - c) \( (-x^2 + 3y) + (3y + 3x^2 - 2xy) \)
Opuszczamy nawiasy:
\( -x^2 + 3y + 3y + 3x^2 - 2xy \)
Grupujemy i sumujemy wyrazy podobne:
\( (-x^2 + 3x^2) + (3y + 3y) - 2xy = \mathbf{2x^2 + 6y - 2xy} \) (lub \( 2x^2 - 2xy + 6y \)) - d) \( (-3b^2 - 2ab - 4a) + (a - 3b^2 + 2ab + 2b) \)
Opuszczamy nawiasy:
\( -3b^2 - 2ab - 4a + a - 3b^2 + 2ab + 2b \)
Grupujemy i sumujemy wyrazy podobne:
\( (-3b^2 - 3b^2) + (-2ab + 2ab) + (-4a + a) + 2b \)
Zauważamy, że jednomiany z \( ab \) się zerują (\( -2ab + 2ab = 0 \)):
\( -6b^2 + 0 - 3a + 2b = \mathbf{-6b^2 - 3a + 2b} \) (lub \( -3a + 2b - 6b^2 \))
Zredukuj wyrazy podobne i wpisz ostateczną postać wyrażenia w puste pola.
• Nad każdym polem znajduje się panel pomocniczy. Użyj przycisku xʸ, aby zapisać wykładnik potęgi (np. po wstawieniu potęgi wpisz wykładnik wewnątrz nawiasu).
• Wskazówka: Pamiętaj, że przed drugim nawiasem stoi znak minus – przy opuszczaniu nawiasu zmień znak każdego wyrazu wewnątrz niego na przeciwny!
Gdy przed nawiasem stoi znak minus, opuszczamy nawiasy, zmieniając znak każdego wyrazu wewnątrz nawiasu na przeciwny:
\( (a + b) - (c - d) = a + b - c + d \).
Po usunięciu nawiasów wyszukujemy wyrazy podobne i dokonujemy ich redukcji.
\( (2x^2 - 5xy + 4y) - (3x^2 - 2xy) = 2x^2 - 5xy + 4y - 3x^2 + 2xy = -x^2 - 3xy + 4y \)
Rozwiązanie krok po kroku:
- a) \( (5a^2 + 2a - 3b) - (3a^2 + 7a + 6b) \)
Zdejmujemy nawiasy, zmieniając znaki wyrazów w drugim nawiasie na przeciwne:
\( 5a^2 + 2a - 3b - 3a^2 - 7a - 6b \)
Grupujemy i redukujemy wyrazy podobne:
\( (5a^2 - 3a^2) + (2a - 7a) + (-3b - 6b) = \mathbf{2a^2 - 5a - 9b} \) - b) \( (2pq - 5p + 3q) - (6pq - 2q) \)
Zdejmujemy nawiasy, zmieniając znaki wyrazów w drugim nawiasie na przeciwne:
\( 2pq - 5p + 3q - 6pq + 2q \)
Grupujemy i redukujemy wyrazy podobne:
\( (2pq - 6pq) - 5p + (3q + 2q) = \mathbf{-4pq - 5p + 5q} \) - c) \( (-x^2 + 3y) - (3y + 3x^2 - 2xy) \)
Zdejmujemy nawiasy, zmieniając znaki wyrazów w drugim nawiasie na przeciwne:
\( -x^2 + 3y - 3y - 3x^2 + 2xy \)
Grupujemy i redukujemy wyrazy podobne:
\( (-x^2 - 3x^2) + (3y - 3y) + 2xy \)
Składniki \( 3y \) oraz \( -3y \) redukują się wzajemnie do zera:
\( -4x^2 + 0 + 2xy = \mathbf{-4x^2 + 2xy} \) (lub \( 2xy - 4x^2 \))
Wykonaj mnożenie, zredukuj wyrazy podobne i zapisz każde wyrażenie w najprostszej postaci sumy algebraicznej.
• Użyj przycisku xʸ w panelu nad polem tekstowym, aby wygodnie zapisać wykładniki potęg.
• Pamiętaj o uważnym stosowaniu znaków plus i minus przy mnożeniu wyrazów.
1. Aby pomnożyć sumę algebraiczną przez jednomian, mnożymy każdy wyraz tej sumy przez ten jednomian:
\( a(b + c) = ab + ac \).
2. Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy:
\( (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \).
Po wykonaniu mnożenia zawsze redukujemy wyrazy podobne, aby doprowadzić sumę do najprostszej postaci.
\( 4m(2n - 5m + 3) - 2m(3 - 2m) = \)
\( = 8mn - 20m^2 + 12m - 6m + 4m^2 = \)
\( = -16m^2 + 8mn + 6m \)
\( (3w - 5)(2w + 4) = \)
\( = 6w^2 + 12w - 10w - 20 = \)
\( = 6w^2 + 2w - 20 \)
\( 3p(2 - 4p) - (2p - 5)(3p + 4) = \)
\( = 6p - 12p^2 - (6p^2 + 8p - 15p - 20) = \)
\( = 6p - 12p^2 - 6p^2 - 8p + 15p + 20 = \)
\( = -18p^2 + 13p + 20 \)
Rozwiązanie krok po kroku:
Podpunkt a):
- \( 3a(2b + 4) + 2a(3 - 5b) \)
Mnożymy wyrazy w nawiasach:
\( 6ab + 12a + 6a - 10ab \)
Redukujemy wyrazy podobne:
\( (6ab - 10ab) + (12a + 6a) = \mathbf{-4ab + 18a} \) (lub \( 18a - 4ab \)) - \( -2x(5x - y) - x(8x - 2y) \)
Mnożymy wyrazy w nawiasach (uwzględniamy znaki ujemne):
\( -10x^2 + 2xy - 8x^2 + 2xy \)
Redukujemy wyrazy podobne:
\( (-10x^2 - 8x^2) + (2xy + 2xy) = \mathbf{-18x^2 + 4xy} \) - \( 5p(2 + 3r - p) - 3p(2p - 4) \)
Wykonujemy mnożenie:
\( 10p + 15pr - 5p^2 - 6p^2 + 12p \)
Grupujemy i redukujemy wyrazy podobne:
\( (-5p^2 - 6p^2) + (10p + 12p) + 15pr = \mathbf{-11p^2 + 22p + 15pr} \) - \( 3k(4 - 5m + 2k) - 3m(2 - 3k) \)
Wykonujemy mnożenie:
\( 12k - 15km + 6k^2 - 6m + 9km \)
Redukujemy wyrazy zawierające iloczyn zmiennych \( km \) i porządkujemy:
\( 6k^2 + (-15km + 9km) + 12k - 6m = \mathbf{6k^2 - 6km + 12k - 6m} \)
Podpunkt b):
- \( (2a + 6)(3a + 5) \)
Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego:
\( 2a \cdot 3a + 2a \cdot 5 + 6 \cdot 3a + 6 \cdot 5 = 6a^2 + 10a + 18a + 30 \)
Dodajemy wyrazy podobne:
\( 6a^2 + (10a + 18a) + 30 = \mathbf{6a^2 + 28a + 30} \) - \( (3p - 2)(5p + 4) \)
Wykonujemy mnożenie:
\( 15p^2 + 12p - 10p - 8 \)
Redukujemy:
\( 15p^2 + (12p - 10p) - 8 = \mathbf{15p^2 + 2p - 8} \) - \( (2x - 3)(5x - 1) \)
Wykonujemy mnożenie (uważamy na minusy):
\( 10x^2 - 2x - 15x + 3 \)
Redukujemy:
\( 10x^2 + (-2x - 15x) + 3 = \mathbf{10x^2 - 17x + 3} \) - \( (3y - 2)(4 - 3y) \)
Wykonujemy mnożenie:
\( 12y - 9y^2 - 8 + 6y \)
Porządkujemy i redukujemy:
\( -9y^2 + (12y + 6y) - 8 = \mathbf{-9y^2 + 18y - 8} \)
Podpunkt c):
- \( x(3x + 6) + (x - 4)(2x + 1) \)
Mnożymy jednomian przez sumę oraz obie sumy:
\( (3x^2 + 6x) + (2x^2 + x - 8x - 4) = 3x^2 + 6x + 2x^2 - 7x - 4 \)
Grupujemy i redukujemy:
\( (3x^2 + 2x^2) + (6x - 7x) - 4 = \mathbf{5x^2 - x - 4} \) - \( 2a(5a - 3) - (2a + 3)(a + 4) \)
Wskazówka: Przed iloczynem nawiasów stoi minus, zachowaj najpierw nawias pomocniczy!
\( 10a^2 - 6a - (2a^2 + 8a + 3a + 12) \)
Upraszczamy wnętrze nawiasu:
\( 10a^2 - 6a - (2a^2 + 11a + 12) \)
Zdejmujemy nawias, zmieniając znaki:
\( 10a^2 - 6a - 2a^2 - 11a - 12 \)
Redukujemy wyrazy podobne:
\( (10a^2 - 2a^2) + (-6a - 11a) - 12 = \mathbf{8a^2 - 17a - 12} \) - \( (3u - 2)(2u - 1) - 5u(2u + 3) \)
Wykonujemy mnożenia:
\( (6u^2 - 3u - 4u + 2) - (10u^2 + 15u) = 6u^2 - 7u + 2 - 10u^2 - 15u \)
Redukujemy wyrazy podobne:
\( (6u^2 - 10u^2) + (-7u - 15u) + 2 = \mathbf{-4u^2 - 22u + 2} \) - \( (3y - 5)(2y + 3) - 3y(5 - 2y) \)
Wykonujemy mnożenia:
\( (6y^2 + 9y - 10y - 15) - (15y - 6y^2) = 6y^2 - y - 15 - 15y + 6y^2 \)
Redukujemy wyrazy podobne:
\( (6y^2 + 6y^2) + (-y - 15y) - 15 = \mathbf{12y^2 - 16y - 15} \)
Wykonaj dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę. Podziel każdy wyraz sumy znajdującej się w nawiasie przez liczbę stojącą za nawiasem.
• Użyj przycisku xʸ w panelu pomocniczym, aby poprawnie zapisać wykładnik potęgi.
• Uważaj na znaki: Pamiętaj, że dzielenie dwóch liczb o różnych znakach daje wynik ujemny, a o takich samych znakach — wynik dodatni!
Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę (różną od zera) polega na podzieleniu każdego składnika tej sumy osobno przez tę liczbę:
\( (a + b - c) : d = (a : d) + (b : d) - (c : d) \).
Można to również zapisać w postaci ułamka: \( \frac{a + b - c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} - \frac{c}{d} \).
\( (21a - 35ab - 7b^3) : 7 = (21a : 7) - (35ab : 7) - (7b^3 : 7) = 3a - 5ab - b^3 \)
Rozwiązanie krok po kroku:
- a) \( (14n^2 - 4n) : 2 \)
Dzielimy każdy składnik przez \( 2 \):
\( (14n^2 : 2) + (-4n : 2) = \mathbf{7n^2 - 2n} \) - b) \( (-30cd + 6d) : 6 \)
Dzielimy każdy składnik przez \( 6 \):
\( (-30cd : 6) + (6d : 6) = \mathbf{-5cd + d} \) (lub \( d - 5cd \)) - c) \( (6m + 12m^2 - 15) : 3 \)
Dzielimy każdy składnik przez \( 3 \):
\( (6m : 3) + (12m^2 : 3) + (-15 : 3) = 2m + 4m^2 - 5 \)
Porządkując potęgi malejąco: \( \mathbf{4m^2 + 2m - 5} \) - d) \( (20p + 35p^3 - 5) : 5 \)
Dzielimy każdy składnik przez \( 5 \):
\( (20p : 5) + (35p^3 : 5) + (-5 : 5) = 4p + 7p^3 - 1 \)
Porządkując potęgi malejąco: \( \mathbf{7p^3 + 4p - 1} \) - e) \( (4x + 12xy - 20y) : 4 \)
Dzielimy każdy składnik przez \( 4 \):
\( (4x : 4) + (12xy : 4) + (-20y : 4) = \mathbf{x + 3xy - 5y} \) - f) \( (6ab + 14a^2 - 8b) : 2 \)
Dzielimy każdy składnik przez \( 2 \):
\( (6ab : 2) + (14a^2 : 2) + (-8b : 2) = 3ab + 7a^2 - 4b \)
Uporządkowana postać: \( \mathbf{7a^2 + 3ab - 4b} \) - g) \( (-30uw + 9u - 6w) : (-3) \)
Dzielimy każdy składnik przez \( -3 \) (uważamy na dzielenie liczb ujemnych, minus i minus daje plus):
\( (-30uw : -3) + (9u : -3) + (-6w : -3) = \mathbf{10uw - 3u + 2w} \) - h) \( (-16x^2 - 12xy + 4) : (-4) \)
Dzielimy każdy składnik przez \( -4 \) (zmiana znaków na przeciwne):
\( (-16x^2 : -4) + (-12xy : -4) + (4 : -4) = \mathbf{4x^2 + 3xy - 1} \)
Wykonaj dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę zapisaną w mianowniku ułamka.
• Podziel każdy wyraz w liczniku osobno przez liczbę w mianowniku.
• Użyj przycisku xʸ w panelu pomocniczym, aby poprawnie zapisać wykładnik potęgi.
Zapis w postaci ułamka \( \frac{a + b - c}{d} \) oznacza dokładnie to samo, co dzielenie całej sumy przez liczbę \( d \):
\( \frac{a + b - c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} - \frac{c}{d} \).
Dzielimy każdy element licznika przez mianownik, zwracając szczególną uwagę na reguły znaków.
\( \frac{12x^2 - 30xy + 18}{6} = \frac{12x^2}{6} - \frac{30xy}{6} + \frac{18}{6} = 2x^2 - 5xy + 3 \)
Rozwiązanie krok po kroku:
- a) \( \frac{16a^2}{8} - \frac{40}{8} = \mathbf{2a^2 - 5} \)
- b) \( \frac{-30xy}{5} + \frac{15x}{5} = \mathbf{-6xy + 3x} \) (lub \( 3x - 6xy \))
- c) \( \frac{15p^2}{3} - \frac{6p}{3} + \frac{3}{3} = \mathbf{5p^2 - 2p + 1} \)
- d) \( \frac{-8x^2}{4} - \frac{20x}{4} + \frac{12xy}{4} = \mathbf{-2x^2 - 5x + 3xy} \)
- e) \( \frac{21y^2}{7} - \frac{7xy}{7} + \frac{14}{7} = \mathbf{3y^2 - xy + 2} \)
- f) \( \frac{18a^2}{2} - \frac{30ab}{2} + \frac{4b}{2} = \mathbf{9a^2 - 15ab + 2b} \)
- g) \( \frac{30x^2}{10} - \frac{10xy}{10} + \frac{70}{10} = \mathbf{3x^2 - xy + 7} \)
- h) \( \frac{-12u^2}{-3} - \frac{15uw}{-3} + \frac{18u}{-3} = \mathbf{4u^2 + 5uw - 6u} \)
- i) \( \frac{-4}{-2} - \frac{14p}{-2} - \frac{2p^2}{-2} = 2 + 7p + p^2 = \mathbf{p^2 + 7p + 2} \)
- j) \( \frac{9r^2}{-9} - \frac{27rw}{-9} - \frac{45}{-9} = \mathbf{-r^2 + 3rw + 5} \)
Zapisz ceny biletów oraz wartości zakupów w postaci wyrażeń algebraicznych.
• Oznaczenie zmiennej kosztu biletu normalnego to mała litera x.
• Części ułamkowe zapisuj za pomocą kropki lub przecinka (np. 0.63x lub 0,63x).
• W panelu pomocniczym umieszczono przycisk x, ułatwiający wpisanie zmiennej na smartfonach.
Cena podstawowa (normalna) wynosi \( x \) zł.
• Jeśli coś jest tańsze o \( 37\% \), jego wartość wynosi \( 100\% - 37\% = 63\% \) ceny podstawowej: \( 0.63 \cdot x = 0.63x \) zł.
• Jeśli coś jest tańsze o \( 33\% \), jego wartość wynosi \( 100\% - 33\% = 67\% \) ceny podstawowej: \( 0.67 \cdot x = 0.67x \) zł.
Rozwiązanie krok po kroku:
- a) Cena biletu dla dziecka: Bilet ulgowy dla dzieci ma upust \( 37\% \), czyli kosztuje \( 100\% - 37\% = 63\% \) ceny bazy:
\( 0.63 \cdot x = \mathbf{0.63x} \) - b) Cena biletu dla nauczyciela: Bilet ulgowy dla nauczyciela ma upust \( 33\% \), czyli kosztuje \( 100\% - 33\% = 67\% \) ceny bazy:
\( 0.67 \cdot x = \mathbf{0.67x} \) - c) Łączny koszt (1 normalny + 1 ulgowy):
\( x + 0.63x = \mathbf{1.63x} \) - d) Łączny koszt (nauczyciel + 6 dzieci):
\( 0.67x + 6 \cdot 0.63x = 0.67x + 3.78x = \mathbf{4.45x} \) - e) Łączny koszt (4 nauczycieli + 30 dzieci):
\( 4 \cdot 0.67x + 30 \cdot 0.63x = 2.68x + 18.9x = \mathbf{21.58x} \) - f) Reszta ze 100 zł przy płatności za 3 normalne bilety:
\( \mathbf{100 - 3x} \) - g) Reszta z 50 zł przy płatności za 2 bilety dla dzieci:
\( 50 - 2 \cdot (0.63x) = \mathbf{50 - 1.26x} \) - h) Reszta ze 100 zł za zakupy z podpunktu d):
\( \mathbf{100 - 4.45x} \)
Wyznacz pola oraz obwody przedstawionych poniżej figur, a następnie zapisz je w jak najprostszej postaci wyrażenia algebraicznego.
• Użyj małych liter a oraz b jako zmiennych.
• Użyj przycisku xʸ, aby zapisać potęgę (np. a^2 lub b^2).
Rozwiązanie krok po kroku:
Rysunek ①:
- Obwód: Sumujemy wszystkie zewnętrzne boki figury:
\( a + a + b + b + b + a + a + b = \mathbf{4a + 4b} \) - Pole: Dzielimy figurę pionowo na dwa prostokąty:
- lewy prostokąt o bokach \( a \) i \( b \) (pole \( ab \)),
- prawy kwadrat o boku \( b \) (pole \( b^2 \)).
Suma pól wynosi: \( \mathbf{b^2 + ab} \) (lub \( \mathbf{ab + b^2} \)).
Rysunek ②:
- Obwód: Sumujemy wszystkie zewnętrzne krawędzie figury:
\( 2a + b + a + b + 2a + b + a + b = \mathbf{6a + 4b} \) - Pole: Figurę tworzą dwa niepokrywające się prostokąty o wymiarach \( 2a \times b \) każdy:
- pole górnego prostokąta: \( 2a \cdot b = 2ab \),
- pole dolnego prostokąta: \( 2a \cdot b = 2ab \).
Łączne pole powierzchni wynosi: \( 2ab + 2ab = \mathbf{4ab} \).
Rysunek ③:
- Obwód: Analizujemy sumę wszystkich boków:
- boki poziome: \( (2a+b) + 2a + b + 2a + a + a = 8a + 2b \)
- boki pionowe: \( b + a + 2a + a + a + (b-3a) = 2a + 2b \)
Suma daje: \( (8a+2b) + (2a+2b) = \mathbf{10a + 4b} \) - Pole: Wyznaczamy pole poprzez odjęcie brakujących wycięć od dużego prostokąta o wymiarach \( (2a+b) \times (a+b) \):
- pole dużego prostokąta: \( (2a+b)(a+b) = 2a^2 + 3ab + b^2 \),
- wycięcie w prawym górnym rogu: \( 2a \cdot a = 2a^2 \),
- wycięcie wewnętrznego rowka po lewej stronie: \( (2a \cdot a) + (a \cdot a) = 3a^2 \).
Różnica wynosi: \( (2a^2 + 3ab + b^2) - 2a^2 - 3a^2 = \mathbf{b^2 + 3ab - 3a^2} \).
Zapisz wyrażenia algebraiczne opisujące obwód lub pole prostokątów zgodnie z poniższymi poleceniami.
• Jako zmiennych używaj wyłącznie liter wskazanych w treści (a lub x).
• Aby zapisać potęgę (np. \(x^2\)), skorzystaj z przycisku xʸ (zapisze on znak potęgi jako ^()).
Jeden z boków prostokąta ma długość a, a drugi jest od niego o 2 dłuższy. Zapisz wyrażenie opisujące obwód tego prostokąta.
Jeden z boków prostokąta ma długość x, a drugi bok jest od niego 3 razy dłuższy. Zapisz wyrażenie opisujące pole tego prostokąta.
Rozwiązanie krok po kroku:
Podpunkt a):
- Pierwszy bok prostokąta ma długość: \( \mathbf{a} \).
- Drugi bok jest o \( 2 \) dłuższy, więc jego długość wynosi: \( \mathbf{a + 2} \).
- Wzór na obwód prostokąta to suma wszystkich czterech boków (dwóch par boków równej długości):
\( \text{Obwód} = 2 \cdot a + 2 \cdot (a + 2) \) - Po uproszczeniu (opuszczeniu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych) otrzymujemy:
\( \text{Obwód} = 2a + 2a + 4 = \mathbf{4a + 4} \)
Podpunkt b):
- Pierwszy bok prostokąta ma długość: \( \mathbf{x} \).
- Drugi bok jest \( 3 \) razy dłuższy, zatem jego długość to: \( \mathbf{3x} \).
- Wzór na pole prostokąta to iloczyn długości jego sąsiednich boków:
\( \text{Pole} = x \cdot 3x \) - Po wymnożeniu otrzymujemy najprostszą postać wyrażenia:
\( \text{Pole} = \mathbf{3x^2} \)
Zapisz pole podanej figury w postaci sumy algebraicznej (rozwiń wyrażenia, opuszczając nawiasy i wykonując mnożenie).
• Używaj zmiennych wskazanych na rysunkach (a, b lub x).
• Użyj przycisku xʸ, aby zapisać potęgę (np. a^2). Użyj przycisku / w celu zapisu ułamka.
Prostokąt, którego jeden z boków ma długość a, a drugi jest od niego o 5 krótszy.
Trójkąt, którego jeden z boków ma długość b, a wysokość opuszczona na ten bok jest od niego o 7 krótsza.
Trapez, którego wysokość i krótsza podstawa mają długość x, a druga podstawa jest o 3 dłuższa od krótszej.
Rozwiązanie krok po kroku:
Podpunkt a):
- Długość pierwszego boku wynosi: \( \mathbf{a} \).
- Drugi bok jest o 5 krótszy, czyli jego długość to: \( \mathbf{a - 5} \).
- Wzór na pole prostokąta: \( P = \text{bok}_1 \cdot \text{bok}_2 = a \cdot (a - 5) \).
- Wymnażamy wyrażenie, aby otrzymać sumę algebraiczną:
\( P = a \cdot a - 5 \cdot a = \mathbf{a^2 - 5a} \).
Podpunkt b):
- Długość boku (podstawy) wynosi: \( \mathbf{b} \).
- Wysokość opuszczona na ten bok jest o 7 krótsza: \( \mathbf{b - 7} \).
- Wzór na pole trójkąta: \( P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b - 7) \).
- Przekształcamy do postaci sumy algebraicznej:
\( P = \frac{1}{2} (b^2 - 7b) = \mathbf{\frac{1}{2}b^2 - \frac{7}{2}b} \) lub w zapisie dziesiętnym: \( \mathbf{0{,}5b^2 - 3{,}5b} \).
Podpunkt c):
- Krótsza podstawa prostokąta ma długość \( \mathbf{x} \), a wysokość również wynosi \( \mathbf{x} \).
- Dłuższa podstawa jest o 3 dłuższa od krótszej: \( \mathbf{x + 3} \).
- Wzór na pole trapezu: \( P = \frac{(a_{\text{górna}} + b_{\text{dolna}}) \cdot h}{2} = \frac{(x + (x + 3)) \cdot x}{2} \).
- Upraszczamy licznik wyrażenia:
\( P = \frac{(2x + 3) \cdot x}{2} = \frac{2x^2 + 3x}{2} \). - Dzieląc każdy wyraz przez 2, otrzymujemy ostateczną sumę algebraiczną:
\( P = \mathbf{x^2 + 1{,}5x} \) (bądź \( \mathbf{x^2 + \frac{3}{2}x} \)).
Zapisz podane wyrażenia w jak najprostszej postaci.
• Wybierz pole, które chcesz uzupełnić, a następnie skorzystaj z paska matematycznego lub wpisz wyrażenie z klawiatury.
• System automatycznie przetłumaczy wpisywane znaki na format matematyczny (bez wyświetlania ukośników czy symboli potęg).
Rozwiązanie krok po kroku:
a) \( \frac{6a+18b}{3} + \frac{-12a+3}{9} = (2a + 6b) + \left(-\frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\right) = \mathbf{\frac{2}{3}a + 6b + \frac{1}{3}} \) (lub \( \mathbf{\frac{2a+18b+1}{3}} \))
b) \( \frac{15+25b}{5} - \frac{2b+30}{10} = (3 + 5b) - (0{,}2b + 3) = \mathbf{4{,}8b} \) (lub \( \mathbf{\frac{24}{5}b} \))
c) \( 12 \cdot \frac{3x+12}{6} - 8 \cdot \frac{6x-1}{2} = 2(3x+12) - 4(6x-1) = 6x + 24 - 24x + 4 = \mathbf{-18x + 28} \)
d) \( 28 \cdot \frac{1+7y}{7} + 6 \cdot \frac{12-2y}{24} = 4(1+7y) + \frac{12-2y}{4} = 4 + 28y + 3 - 0{,}5y = \mathbf{27{,}5y + 7} \) (lub \( \mathbf{\frac{55}{2}y + 7} \))
e) \( 15 \cdot \frac{x+16}{30} - 9 \cdot \frac{12-x}{18} = \frac{x+16}{2} - \frac{12-x}{2} = \frac{x + 16 - 12 + x}{2} = \frac{2x+4}{2} = \mathbf{x + 2} \)
f) \( 13 \cdot \frac{3a-9b}{39} + \frac{12a+3b}{9} = \frac{3a-9b}{3} + \frac{12a+3b}{9} = a - 3b + \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}b = \mathbf{\frac{7}{3}a - \frac{8}{3}b} \) (lub \( \mathbf{\frac{7a-8b}{3}} \))
g) \( 17 \cdot \frac{17a-8b}{34} - 7 \cdot \frac{14a-4b}{2} = \frac{17a-8b}{2} - 7(7a-2b) = 8{,}5a - 4b - 49a + 14b = \mathbf{-40{,}5a + 10b} \) (lub \( \mathbf{\frac{-81a+20b}{2}} \))
h) \( 4 \cdot \frac{40a+18b}{36} - 6 \cdot \frac{9a-8b}{18} = \frac{40a+18b}{9} - \frac{3(9a-8b)}{9} = \frac{40a+18b-27a+24b}{9} = \mathbf{\frac{13a+42b}{9}} \)
Uprość poniższe wyrażenia algebraiczne i zapisz je w postaci sumy algebraicznej.
• Wybierz myszką pole tekstowe danego podpunktu, a następnie używaj przycisków na pasku matematycznym lub wpisuj wartości na klawiaturze.
• System dynamicznie konwertuje ułamki wpisane znakiem / oraz potęgi znakiem ^ na poprawną formę graficzną w czasie rzeczywistym.
Rozwiązanie krok po kroku:
a) \( (2x - 3)(x + 7) = 2x^2 + 14x - 3x - 21 = \mathbf{2x^2 + 11x - 21} \)
b) \( (4 - 5y)(1 - 6y) = 4 - 24y - 5y + 30y^2 = \mathbf{30y^2 - 29y + 4} \)
c) \( -(3 + 2x)(x - 2) = -(3x - 6 + 2x^2 - 4x) = -(2x^2 - x - 6) = \mathbf{-2x^2 + x + 6} \)
d) \( (3a + 5)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 5 + 5^2 = \mathbf{9a^2 + 30a + 25} \)
e) \( (3a - 5)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 5 + 5^2 = \mathbf{9a^2 - 30a + 25} \)
f) \( (a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = \mathbf{a^2 - 9} \)
g) \( (0{,}2 - 0{,}4z)(10z + 1) = 2z + 0{,}2 - 4z^2 - 0{,}4z = \mathbf{-4z^2 + 1{,}6z + 0{,}2} \) (lub w postaci ułamkowej: \( \mathbf{-4z^2 + \frac{8}{5}z + \frac{1}{5}} \))
h) \( -\left(\frac{1}{3}w - \frac{1}{2}\right)(4w + 6) = -\left(\frac{4}{3}w^2 + 2w - 2w - 3\right) = -\left(\frac{4}{3}w^2 - 3\right) = \mathbf{-\frac{4}{3}w^2 + 3} \)
i) \( (0{,}2c - 0{,}1)(0{,}2c + 0{,}1) = (0{,}2c)^2 - (0{,}1)^2 = \mathbf{0{,}04c^2 - 0{,}01} \) (lub \( \mathbf{\frac{1}{25}c^2 - \frac{1}{100}} \))
Zapisz poniższe wyrażenia w jak najprostszej postaci.
• Wybierz myszką pole tekstowe danego podpunktu, a następnie używaj przycisków na pasku matematycznym lub wpisuj wartości na klawiaturze.
• System automatycznie konwertuje ułamki wpisane znakiem / oraz pierwiastki wpisywane za pomocą przycisku na poprawną formę graficzną w czasie rzeczywistym.
Rozwiązanie krok po kroku:
a) \( -5(0{,}4\sqrt{7} - 1{,}2\sqrt{5}) = -5 \cdot 0{,}4\sqrt{7} - (-5) \cdot 1{,}2\sqrt{5} = \mathbf{-2\sqrt{7} + 6\sqrt{5}} \) (lub \( \mathbf{6\sqrt{5} - 2\sqrt{7}} \))
b) \( \sqrt{3}(2\sqrt{3} - 3) = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2 \cdot 3 - 3\sqrt{3} = \mathbf{6 - 3\sqrt{3}} \)
c) \( \frac{1}{2}\sqrt{6}\left(10\sqrt{6} + 4\sqrt{\frac{1}{6}}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 10\sqrt{6} + \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{\frac{1}{6}} = 5 \cdot 6 + 2 \cdot \sqrt{6 \cdot \frac{1}{6}} = 30 + 2 \cdot 1 = \mathbf{32} \)
d) \( 3\sqrt{2}\left(5 - \frac{1}{6}\sqrt{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 15\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{16}}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} = 15\sqrt{2} - \frac{3 \cdot 4}{6} + 3 = 15\sqrt{2} - 2 + 3 = \mathbf{15\sqrt{2} + 1} \)
e) Sprowadzamy pierwiastki do prostszej postaci: \( 4\sqrt{27} = 4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \). Wtedy:
\( \frac{2}{3}\sqrt{3}(5\sqrt{3} - 12\sqrt{3} - 12) = \frac{2}{3}\sqrt{3}(-7\sqrt{3} - 12) = \frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot (-7\sqrt{3}) - \frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot 12 = -\frac{14}{3} \cdot 3 - 8\sqrt{3} = \mathbf{-14 - 8\sqrt{3}} \)
f) Wykonujemy mnożenie wyraz po wyrazie:
\( -0{,}1\sqrt{15}(\sqrt{15} - 2\sqrt{5} + 20) = -0{,}1 \cdot 15 + 0{,}2\sqrt{75} - 2\sqrt{15} = -1{,}5 + 0{,}2 \cdot 5\sqrt{3} - 2\sqrt{15} = \mathbf{-1{,}5 + \sqrt{3} - 2\sqrt{15}} \) (lub \( \mathbf{-\frac{3}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{15}} \))
g) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( (5 - 2\sqrt{7})(5 + 2\sqrt{7}) = 5^2 - (2\sqrt{7})^2 = 25 - 4 \cdot 7 = 25 - 28 = \mathbf{-3} \)
h) Wykonujemy mnożenie dwumianów wyraz po wyrazie:
\( (3 - 2\sqrt{2})(5 + \sqrt{2}) = 15 + 3\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 15 - 7\sqrt{2} - 2 \cdot 2 = 15 - 7\sqrt{2} - 4 = \mathbf{11 - 7\sqrt{2}} \)
Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego dla podanej wartości \(a\).
• Wybierz pole tekstowe danego podpunktu i wpisz końcowy wynik na klawiaturze.
• Jeśli potrzebujesz zapisać znak minus, użyj klawiatury fizycznej lub wklej odpowiedni znak.
Rozwiązanie krok po kroku:
a) Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika lub podstawiamy bezpośrednio:
Dla \( a = 16 \):
\( \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 16}{2} + 16 = 4 - 24 + 16 = \mathbf{-4} \)
b) Najpierw upraszczamy wyrażenie algebraiczne:
\( (a - 3)(a + 4) - a^2 = a^2 + 4a - 3a - 12 - a^2 = a - 12 \)
Dla \( a = 100 \):
\( 100 - 12 = \mathbf{88} \)
c) Najpierw przekształcamy (mnożymy wyraz po wyrazie):
\( 6a\left(12 - \frac{3}{a}\right) = 72a - 18 \)
Dla \( a = \frac{4}{9} \):
\( 72 \cdot \frac{4}{9} - 18 = 8 \cdot 4 - 18 = 32 - 18 = \mathbf{14} \)
d) Dodajemy ułamki o tym samym mianowniku:
\( \frac{3 + 4 + 5}{a + 2} + a = \frac{12}{a + 2} + a \)
Dla \( a = 10 \):
\( \frac{12}{10 + 2} + 10 = \frac{12}{12} + 10 = 1 + 10 = \mathbf{11} \)
e) Dodajemy wyrazy podobne w liczniku:
\( \frac{3a + 4a + 18a}{a^2} = \frac{25a}{a^2} = \frac{25}{a} \)
Dla \( a = 5 \):
\( \frac{25}{5} = \mathbf{5} \)
f) Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias lub podstawiamy bezpośrednio:
\( a^2 - 98a - 200 = a(a - 98) - 200 \)
Dla \( a = 100 \):
\( 100(100 - 98) - 200 = 100 \cdot 2 - 200 = 200 - 200 = \mathbf{0} \)
Zapisz poniższe opisy słowne w postaci wyrażeń algebraicznych.
• Wybierz myszką pole tekstowe danego podpunktu, a następnie używaj przycisków na pasku matematycznym lub wpisuj wartości na klawiaturze.
• System dynamicznie konwertuje zapisy ułamkowe (używając znaku /), potęgowe (używając znaku ^) oraz pierwiastkowe na poprawną formę graficzną.
Rozwiązanie krok po kroku:
a) "Liczba o 2 większa od \(x\)" to \(x+2\), a "liczba 3 razy większa" to \(3x\). Ich suma wynosi:
\( (x+2) + 3x = \mathbf{4x + 2} \)
b) "Kwadrat liczby \(y\)" to \(y^2\), "pierwiastek z liczby \(y\)" to \(\sqrt{y}\). Ich różnica wynosi:
\( \mathbf{y^2 - \sqrt{y}} \)
c) "Połowa liczby \(a\)" to \(\frac{1}{2}a\) (lub \(0{,}5a\)), "piętnaście procent liczby \(a\)" to \(0{,}15a\). Ich iloczyn wynosi:
\( 0{,}5a \cdot 0{,}15a = \mathbf{0{,}075a^2} \) (lub w zapisie ułamkowym: \( \mathbf{\frac{3}{40}a^2} \))
d) "Liczba 10 razy mniejsza od \(b\)" to \(\frac{b}{10}\) (lub \(0{,}1b\)), "sześcian liczby \(b\)" to \(b^3\). Iloraz to dzielenie pierwszej wartości przez drugą:
\( \frac{\frac{b}{10}}{b^3} = \frac{b}{10b^3} = \mathbf{\frac{1}{10b^2}} \) (lub zapisane bezpośrednio jako iloraz: \( \mathbf{(b/10)/b^3} \))
e) "Suma liczb \(a\) i \(b\)" to \((a+b)\), "liczba \(a\) powiększona o 10%" to \(1{,}1a\) (czyli \(a + 0{,}1a\)). Ich iloczyn wynosi:
\( \mathbf{(a+b) \cdot 1{,}1a} \) lub \( \mathbf{1{,}1a(a+b)} \)
f) "Iloraz sumy liczb \(a\) i \(b\) przez ich różnicę" to \(\frac{a+b}{a-b}\). Połowa tej wartości wynosi:
\( \mathbf{\frac{1}{2} \cdot \frac{a+b}{a-b}} \) lub w postaci jednego ułamka: \( \mathbf{\frac{a+b}{2(a-b)}} \)
g) "Kwadrat sumy liczb \(p\) i \(q\)" to \((p+q)^2\), "kwadrat różnicy" to \((p-q)^2\). Liczba 4 razy większa od ich iloczynu wynosi:
\( \mathbf{4(p+q)^2(p-q)^2} \) (co po uproszczeniu można zapisać też jako \( \mathbf{4(p^2-q^2)^2} \))
Zapisz poniższe opisy słowne w postaci wyrażeń algebraicznych.
• Kliknij pole tekstowe danego podpunktu, a następnie używaj przycisków na pasku matematycznym lub wpisuj wartości na klawiaturze.
• System automatycznie konwertuje zapisy ułamkowe (używając znaku /) oraz potęgowe (używając znaku ^) na poprawną formę graficzną.
Rozwiązanie krok po kroku:
a) Jedna kartka papieru to 2 strony. Książka mająca \(s\) stron ma zatem \(\frac{s}{2}\) kartek. Grubość wszystkich kartek wynosi \(0,1 \cdot \frac{s}{2} = 0,05s\) mm. Do tego dochodzą dwie okładki (przednia i tylna), z których każda ma grubość \(0,5\) mm (co łącznie daje \(2 \cdot 0,5 = 1\) mm). Całkowita grubość książki wynosi:
\( \mathbf{0,05s + 1} \) mm (lub w formie ułamkowej: \( \mathbf{\frac{s}{20} + 1} \) mm)
b) Bożena przyniosła \(c\) cukierków, z czego sama zjadła 1 sztukę (zostało \(c-1\) sztuk). Rozdała je pozostałym uczniom, dając każdemu po 2 sztuki. Liczba pozostałych uczniów w klasie wynosi więc \(\frac{c-1}{2}\). Ponieważ Bożena również jest uczniem tej klasy, cała klasa liczy:
\( \frac{c-1}{2} + 1 = \mathbf{\frac{c+1}{2}} \) uczniów (akceptowany jest też zapis samych pozostałych uczniów: \( \mathbf{\frac{c-1}{2}} \))
c) Zebrano \(p\) pełnych pojemników po 10 jajek każdy oraz połowę jednego pojemnika (czyli \(10 \cdot 0,5 = 5\) jajek). Łączna liczba jajek wynosi:
\( \mathbf{10p + 5} \)
d) Wyrażenie „o 0,1 więcej” oznacza powiększenie zbioru o 0,1 (czyli o 10%) wartości ubiegłorocznej \(b\). Zbiór tegoroczny był większy o:
\( \mathbf{0,1b} \) kg (lub w postaci ułamka zwykłego: \( \mathbf{\frac{1}{10}b} \) lub \( \mathbf{\frac{b}{10}} \))
e) Koszt zakupionych jabłek wynosi \(2,5 \cdot x = 2,5x\) zł. Śliwek kupiono o 0,5 kg więcej niż jabłek, czyli \((x + 0,5)\) kg, w cenie 3 zł za kg (koszt śliwek to \(3(x+0,5)\) zł). Łączny koszt wynosi:
\( 2,5x + 3(x + 0,5) = 2,5x + 3x + 1,5 = \mathbf{5,5x + 1,5} \) zł
f) W sklepie było \(m\) jogurtów owocowych (zostało \(m - 30\)) oraz \(n\) jogurtów naturalnych (sprzedano \(\frac{1}{3}n\), zostało więc \(\frac{2}{3}n\)). Łącznie w sklepie pozostało:
\( \mathbf{m - 30 + \frac{2}{3}n} \) (lub w postaci: \( \mathbf{m + \frac{2}{3}n - 30} \))
Zapisz poniższe opisy słowne w postaci wyrażeń algebraicznych.
• Wybierz myszką pole tekstowe danego podpunktu, a następnie używaj przycisków na pasku matematycznym lub wpisuj wartości na klawiaturze.
• Znak ułamka wprowadzisz za pomocą ukośnika (/).
Rozwiązanie krok po kroku:
a) Skoro całe opakowanie z 28 sucharkami waży \(w\) gramów, to jeden sucharek waży \(\frac{w}{28}\) g. Skrobia stanowi \(\frac{6}{10}\) (czyli \(0,6\)) tej masy, co daje nam wyrażenie:
\( \frac{6}{10} \cdot \frac{w}{28} = \frac{6w}{280} = \mathbf{\frac{3}{140}w} \) g (akceptowany jest również zapis przed skróceniem: \( \mathbf{\frac{0,6w}{28}} \) lub \( \mathbf{\frac{6}{10} \cdot \frac{w}{28}} \))
b) Pierwsza grupa (do 16 lat) wzrosła o \(\frac{4}{5}\) (czyli o \(0,8x\)) i liczy teraz \(x + 0,8x = 1,8x\). Druga grupa (powyżej 16 lat) zmalała o \(\frac{1}{5}\) (czyli o \(0,2y\)) i liczy teraz \(y - 0,2y = 0,8y\). Całkowita liczba czytelników po zmianach to suma obu grup:
\( \mathbf{1,8x + 0,8y} \) (lub w postaci ułamków zwykłych: \( \mathbf{\frac{9}{5}x + \frac{4}{5}y} \))
c) Za 40 biletów jednorazowych należy zapłacić \(40 \cdot a = 40a\) zł. Bilet miesięczny kosztuje \(b\) zł. Różnica kosztów to:
\( \mathbf{40a - b} \) zł
d) Drugiego dnia cena jednego biletu spadła o 50 gr (czyli o \(0,5\) zł) i wynosiła \((y - 0,5)\) zł. Liczba sprzedanych biletów wzrosła o \(\frac{2}{5}\) (czyli o \(0,4x\)), co oznacza, że sprzedano ich \(1,4x\) sztuk. Przychód ze sprzedaży drugiego dnia to iloczyn nowej ceny i nowej liczby biletów:
\( \mathbf{1,4x(y - 0,5)} \) zł (lub po przemnożeniu nawiasu: \( \mathbf{1,4xy - 0,7x} \) zł)
Wpisz odpowiednie wyrażenia algebraiczne w puste miejsca (oznaczone kropkami).
• Kliknij wybrane pole tekstowe i skorzystaj z paska matematycznego lub klawiatury.
• Jeśli chcesz ująć wpisane wyrażenie w ułamek lub potęgę, zaznacz je myszką i kliknij odpowiedni przycisk na pasku.
• W razie pomyłki użyj przycisku Cofnij, aby przywrócić poprzedni stan pola.
Rozwiązanie krok po kroku:
a) Po prawej stronie równania wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
\( x^2y - 6x^2 = x^2(y - 6) \)
Porównując z lewą stroną, w miejscu kropek należy wpisać: \( \mathbf{x^2} \)
b) Wymnażamy czynnik przed nawiasem przez każdy wyraz w nawiasie:
\( 2(x + 5q) = 2 \cdot x + 2 \cdot 5q = 2x + 10q \)
W miejscu kropek należy wpisać: \( \mathbf{10q} \)
c) Wymnażamy oba nawiasy („każdy przez każdy”):
\( (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \)
W miejscu kropek należy wpisać: \( \mathbf{x} \) (lub \( 1x \))
d) Aby dowiedzieć się, co znajduje się w nawiasie, dzielimy prawą stronę równania przez czynnik \(3x\):
\( \frac{6x^2 + 18x}{3x} = \frac{6x^2}{3x} + \frac{18x}{3x} = 2x + 6 \)
W miejscu kropek należy wpisać: \( \mathbf{2x + 6} \) (lub \( 6 + 2x \))
e) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\( (2 - 4x)(2 - 4x) = (2 - 4x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4x + (4x)^2 = 4 - 16x + 16x^2 \)
Ponieważ znak minus znajduje się już w równaniu, w miejscu kropek wpisujemy tylko brakujący wyraz środkowy: \( \mathbf{16x} \)
f) Wymnażamy ułamek przez każdy czynnik w nawiasie:
\( \frac{2}{x^3} \cdot x + \frac{2}{x^3} \cdot 2x^2 - \frac{2}{x^3} \cdot x^3 = \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x} - 2 \)
Porównując z prawą stroną równania, w miejscu kropek brakuje: \( \mathbf{\frac{4}{x}} \) (czyli ułamka `4/x` lub zapisu potęgowego `4x^-1` )
Instrukcja przeprowadzenia dowodu:
• Uzupełnij poniższe kroki algebraiczne, aby poprawnie sformułować dwa niezależne dowody matematyczne.
• Wykorzystaj pasek matematyczny, aby łatwiej wprowadzać potęgi, ułamki i zmienne. Przycisk Cofnij pozwala na cofnięcie ostatniego kroku w aktywnym polu.
Rozwiązanie i pełne uzasadnienie:
Tezę sformułowaną w zadaniu możemy uzasadnić (udowodnić) na dwa bardzo eleganckie sposoby:
Metoda I (Klasyczna analiza algebraiczna):
1. Przyjmijmy, że nasze dwie liczby dodatnie różniące się o 1 to \(n\) oraz \(n+1\) (gdzie \(n > 0\)).
2. Wyznaczamy różnicę kwadratów tych liczb (zawsze od większego kwadratu odejmujemy mniejszy):
\[ (n+1)^2 - n^2 \]
3. Rozwijamy pierwszy nawias, stosując wzór skróconego mnożenia \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):
\[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1 \]
4. Obliczamy sumę tych samych liczb:
\[ n + (n+1) = 2n + 1 \]
5. Ponieważ zarówno różnica kwadratów, jak i suma liczb po uproszczeniu sprowadzają się do tożsamego wyrażenia \(2n+1\), wykazaliśmy, że są sobie równe. To kończy dowód tą metodą.
Metoda II (Wykorzystanie tożsamości różnicy kwadratów):
1. Przyjmijmy, że nasze dwie liczby dodatnie to \(a\) oraz \(b\), przy czym \(a > b\).
2. Skoro różnią się o 1, zachodzi warunek:
\[ a - b = 1 \]
3. Zapisujemy różnicę ich kwadratów i stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
4. Podstawiając \(a-b = 1\) do powyższego wzoru, otrzymujemy:
\[ a^2 - b^2 = 1 \cdot (a+b) = a+b \]
5. Otrzymany wynik \(a+b\) to dokładnie suma tych dwóch liczb. Wykazaliśmy bezpośrednio, że różnica kwadratów jest równa ich sumie, co kończy dowód.
Instrukcja dowodzenia:
• Dla każdego podpunktu uprość wyrażenie (Krok 1), a następnie zapisz je w postaci iloczynowej udowadniającej tezę (Krok 2).
• Korzystaj z przycisków pomocniczych na pasku do łatwego wstawiania potęg i zmiennej \(n\). Przycisk Cofnij pozwala na cofnięcie ostatniego kroku w aktywnym polu.
Rozwiązanie i pełne uzasadnienie:
Uzasadnienie podpunktu a)
Dodajemy wyraz po wyrazie:
\( (2n+1)+(2n+3)+(2n+5) = 2n + 2n + 2n + 1 + 3 + 5 = 6n + 9 \)
Z zapisu \(6n + 9\) wyodrębniamy składnik \(1\), aby zapisać liczbę w postaci nieparzystej:
\( 6n + 9 = 6n + 8 + 1 = 2(3n + 4) + 1 \)
Skoro \(n\) jest liczbą naturalną, to wyrażenie \(3n+4\) również jest liczbą naturalną. Dowolna liczba pomnożona przez 2 i powiększona o 1 daje liczbę nieparzystą.
Uzasadnienie podpunktu b)
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
\( (2n+1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1 \)
Wyciągamy czynnik 2 z pierwszych dwóch składników wyrażenia:
\( 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 \)
Ponieważ \(2n^2+2n\) jest liczbą naturalną, całe wyrażenie jest postaci \(2k+1\), co dowodzi, że jest to liczba nieparzysta.
Uzasadnienie podpunktu c)
Rozwijamy kwadrat różnicy i dodajemy 3:
\( (2n-1)^2 + 3 = (4n^2 - 4n + 1) + 3 = 4n^2 - 4n + 4 \)
Wyciągamy wspólny czynnik 4 przed nawias:
\( 4(n^2 - n + 1) \)
Ponieważ \(n^2-n+1\) jest liczbą całkowitą dla każdego \(n \in \mathbb{N}\), całe wyrażenie jest wielokrotnością liczby 4, a więc dzieli się przez 4.
Uzasadnienie podpunktu d)
Rozwijamy oba człony wyrażenia (iloczyn to wzór na różnicę kwadratów):
\( (n+1)(n-1) - (n-1)^2 = (n^2 - 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - 1 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 2 \)
Wyciągamy czynnik 2 przed nawias:
\( 2n - 2 = 2(n - 1) \)
Każda liczba całkowita pomnożona przez 2 jest liczbą parzystą, co kończy dowód.
• Kliknij odpowiednie okienko, aby wpisać wartość \(k\) lub \(n\) z klawiatury fizycznej lub skorzystaj z paska numerycznego poniżej.
• W tym zadaniu poszukujemy dodatnich liczb naturalnych (\(k, n \ge 1\)).
Rozwiązanie i analiza:
W poniższych równaniach zmienne \(k\) i \(n\) muszą być liczbami naturalnymi dodatnimi (\(k, n \in \{1, 2, 3, \dots\}\)). Dodatkowo mianownik nie może być zerem, stąd \(n \neq 1\).
Podpunkt a) \( k = 1 + \frac{2}{n-1} \)
Aby \(k\) było liczbą całkowitą, ułamek \(\frac{2}{n-1}\) musi się redukować do liczby całkowitej. Oznacza to, że wyrażenie w mianowniku, czyli \(n-1\), musi być jednym z dzielników liczby 2.
Dzielnikami całkowitymi liczby 2 są: \(\{-2, -1, 1, 2\}\). Przeanalizujmy je po kolei:
- Jeśli \(n - 1 = 1 \implies n = 2\) (liczba naturalna). Wtedy \(k = 1 + \frac{2}{1} = 3\). Otrzymujemy parę: \(\mathbf{(k, n) = (3, 2)}\).
- Jeśli \(n - 1 = 2 \implies n = 3\) (liczba naturalna). Wtedy \(k = 1 + \frac{2}{2} = 2\). Otrzymujemy parę: \(\mathbf{(k, n) = (2, 3)}\).
- Jeśli \(n - 1 = -1 \implies n = 0\). Wtedy \(k = 1 + \frac{2}{-1} = -1\) (wartości nie są dodatnimi liczbami naturalnymi).
- Jeśli \(n - 1 = -2 \implies n = -1\) (nie należy do liczb naturalnych).
\( \mathbf{(3, 2)} \) oraz \( \mathbf{(2, 3)} \).
Podpunkt b) \( k = \frac{2n}{n-1} \)
W celu analizy tego równania wydzielamy najpierw część całkowitą z ułamka:
\[ k = \frac{2n}{n-1} = \frac{2(n-1) + 2}{n-1} = 2 + \frac{2}{n-1} \]
Podobnie jak w podpunkcie a), mianownik \(n-1\) musi być dzielnikiem całkowitym liczby 2:
- Jeśli \(n - 1 = 1 \implies n = 2\). Wtedy \(k = 2 + \frac{2}{1} = 4\). Otrzymujemy parę: \(\mathbf{(k, n) = (4, 2)}\).
- Jeśli \(n - 1 = 2 \implies n = 3\). Wtedy \(k = 2 + \frac{2}{2} = 3\). Otrzymujemy parę: \(\mathbf{(k, n) = (3, 3)}\).
- Jeśli \(n - 1 = -1 \implies n = 0\). Wtedy \(k = 2 + \frac{2}{-1} = 0\). (Gdyby dopuścić zero do liczb naturalnych, para \((0, 0)\) byłaby poprawna, jednak klasyczny program nauczania szkolnego ją odrzuca).
\( \mathbf{(4, 2)} \) oraz \( \mathbf{(3, 3)} \).
Komentarze
Prześlij komentarz