Wstęp teoretyczny: Klasyfikacja i rozwiązywanie równań liniowych
Równanie liniowe z jedną niewiadomą \(x\) po odpowiednich przekształceniach można zapisać w postaci ogólnej:
W zależności od wartości współczynników \(a\) i \(b\), wyróżniamy trzy typy równań liniowych:
- Równanie oznaczone: Gdy \(a \neq 0\). Posiada ono dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem \(x = \frac{b}{a}\).
- Równanie sprzeczne: Gdy \(a = 0\) oraz \(b \neq 0\). Po przekształceniach otrzymujemy fałszywą tożsamość liczbową (np. \(0 = 9\)). Równanie to nie posiada rozwiązań.
- Równanie tożsamościowe: Gdy \(a = 0\) oraz \(b = 0\). Przybiera postać \(0 = 0\), co oznacza, że każda liczba rzeczywista spełnia to równanie (posiada nieskończenie wiele rozwiązań, \(x \in \mathbb{R}\)).
Przykładowe rozwiązanie równania liniowego
Zobacz, jak krok po kroku poprawnie przekształcić i rozwiązać równanie liniowe:
• Kliknij dowolne pole tekstowe odpowiedzi (obszar uaktywni się zieloną ramką).
• Struktury złożone: Klikaj odpowiednie ikony struktur (ułamek, potęga, pierwiastek) na pasku narzędzi, aby wstawić je do aktywnego pola, a następnie uzupełniaj puste okienka.
• Przejście między polami struktur jest możliwe za pomocą myszki lub strzałek na klawiaturze.
Wstęp teoretyczny: Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie
Aby sprawdzić, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem określonego równania, stosujemy metodę podstawienia. Polega ona na obliczeniu wartości lewej strony równania (\(L\)) oraz prawej strony równania (\(P\)) po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej \(x\):
- Jeśli po obliczeniach otrzymamy równość prawdziwą (czyli \(L = P\)), wówczas badana liczba jest rozwiązaniem równania (spełnia to równanie).
- Jeśli otrzymamy sprzeczność (czyli \(L \neq P\)), wówczas liczba ta nie jest rozwiązaniem równania (nie spełnia go).
Przy podstawianiu ujemnych liczb w miejsce zmiennych podnoszonych do potęgi parzystej, zawsze pamiętaj o ujęciu podstawy w nawias, np. dla \(x = -3\) wyrażenie \(x^2\) wynosi \((-3)^2 = 9\).
Przykładowa weryfikacja liczby jako rozwiązania
Sprawdźmy, czy liczba \(x = 4\) jest rozwiązaniem równania \(3(x - 2) = x + 2\):
• Kliknij dowolne pole odpowiedzi (obszar zaznaczy się ramką).
• Wpisz słowo tak (jeśli liczba jest rozwiązaniem) lub nie (jeśli liczba nie jest rozwiązaniem).
• Możesz skorzystać z gotowych przycisków na panelu projektowania, aby automatycznie wstawić tekst.
Wstęp teoretyczny: Rozwiązania równań nieliniowych metodą analizy zbioru
Równania kwadratowe, stopnia trzeciego, wymierne oraz z wartością bezwzględną mogą posiadać więcej niż jedno rozwiązanie rzeczywiste. W tym zadaniu Twoim celem jest wskazanie dwóch poprawnych rozwiązań dla każdego równania, wybierając je ze wskazanego zbioru liczb:
Metoda postępowania polega na sprawdzaniu kolejnych liczb z podanego zbioru skończonego i wyłonieniu dwóch, które po podstawieniu dają prawdziwą tożsamość lewej i prawej strony równania (\(L = P\)). Pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny równania wymiernego (np. mianownik nie może być równy zero).
Przykładowe poszukiwanie rozwiązań ze zbioru
Znajdź dwa rozwiązania równania \(x^2 - x = 2x\) ze zbioru \(\{ -1, 0, 3 \}\):
• Kliknij dowolne pole odpowiedzi (obszar uaktywni się zieloną ramką).
• Wpisz liczbę będącą rozwiązaniem (użyj klawiatury lub paska pomocniczego).
• Wskazówka: Kolejność wpisywania rozwiązań nie ma znaczenia dla oceny poprawności.
Wstęp teoretyczny: Równania proporcjonalne i ułamkowe
Równanie, w którym obie strony mają postać ułamków, najwygodniej jest rozwiązać za pomocą mnożenia na krzyż (zgodnie z własnością proporcji):
W przypadku bardziej rozbudowanych równań ułamkowych, pierwszym krokiem jest zazwyczaj pomnożenie obu stron równania przez najmniejszy wspólny mianownik występujących ułamków, aby sprowadzić je do prostszej postaci liniowej.
• Przeczytaj równanie w każdym z poniższych kafelków.
• Wybierz właściwe rozwiązanie dla każdego podpunktu spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Rozwiązanie zadań i analiza krok po kroku:
Podpunkt a) \( \frac{x}{4} = \frac{3}{5} \)
Mnożymy proporcję na krzyż:
\( 5 \cdot x = 4 \cdot 3 \implies 5x = 12 \)
Dzielimy przez 5:
\( x = \frac{12}{5} = 2{,}4 \).
Podpunkt b) \( \frac{5}{-12} = \frac{x}{4} \)
Mnożymy proporcję na krzyż:
\( -12 \cdot x = 5 \cdot 4 \implies -12x = 20 \)
Dzielimy przez -12:
\( x = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \).
Podpunkt c) \( \frac{x+5}{3} = \frac{x}{2} \)
Mnożymy proporcję na krzyż:
\( 2 \cdot (x + 5) = 3 \cdot x \implies 2x + 10 = 3x \)
Przenosimy \(2x\) na prawą stronę:
\( 10 = 3x - 2x \implies x = 10 \).
Podpunkt d) \( \frac{3x-1}{5} = \frac{x-4}{2} \)
Mnożymy proporcję na krzyż:
\( 2 \cdot (3x - 1) = 5 \cdot (x - 4) \implies 6x - 2 = 5x - 20 \)
Przenosimy \(5x\) na lewą, a \(-2\) na prawą stronę:
\( 6x - 5x = -20 + 2 \implies x = -18 \).
Podpunkt e) \( \frac{6-2x}{5} - \frac{3x+2}{-2} = 5{,}5 \)
Minus w mianowniku drugiego ułamka zmienia znak odejmowania przed ułamkiem na dodawanie:
\( \frac{6-2x}{5} + \frac{3x+2}{2} = 5{,}5 \)
Mnożymy całe równanie przez wspólny mianownik (10):
\( 2 \cdot (6 - 2x) + 5 \cdot (3x + 2) = 55 \)
\( 12 - 4x + 15x + 10 = 55 \implies 11x + 22 = 55 \)
\( 11x = 33 \implies x = 3 \).
Podpunkt f) \( \frac{5x-2}{2} + \frac{3x-7}{6} = \frac{1}{2} \)
Mnożymy całe równanie przez wspólny mianownik (6):
\( 3 \cdot (5x - 2) + (3x - 7) = 3 \)
\( 15x - 6 + 3x - 7 = 3 \implies 18x - 13 = 3 \)
\( 18x = 16 \implies x = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} \).
Wstęp teoretyczny: Przekształcanie wzorów matematycznych i fizycznych
Przekształcenie wzoru polega na wyznaczeniu wskazanej wielkości (zmiennej) w taki sposób, aby znajdowała się ona samodzielnie po jednej stronie równania. Wykorzystujemy przy tym operacje równoważne:
- Obustronne dodawanie lub odejmowanie wyrazów, aby przenieść je na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem.
- Obustronne mnożenie przez mianownik ułamka, aby pozbyć się postaci ułamkowej.
- Obustronne dzielenie przez współczynniki liczbowe lub inne zmienne stojące przy wyznaczanej wielkości.
Przykładowe wyznaczenie zmiennej ze wzoru
Wyznaczmy zmienną \( b \) ze wzoru na pole trapezu: \( P = \frac{(a+b)h}{2} \)
• Kliknij wybrane pole tekstowe wyniku.
• Wprowadzanie ułamków zwykłych: Kliknij pierwszą ikonę z symbolem ułamka (pionowa kreska ułamkowa) na panelu projektowania poniżej, a następnie uzupełnij licznik i mianownik.
• Do wstawiania potęg użyj ikony potęgowania \( ■^■ \). Litery i indeksy możesz wprowadzać bezpośrednio z klawiatury lub z paska symboli.
Wstęp teoretyczny: Układanie równań kwadratowych i ich redukcja
Aby rozwiązać zadanie geometryczne, w którym pole figury wyrażone jest za pomocą niewiadomej \(x\):
- Stosujemy odpowiedni wzór na pole danej figury (trójkąta, prostokąta lub trapezu).
- Porównujemy otrzymane wyrażenie z podaną wartością pola (w tym przypadku \(x^2\)).
- Upraszczamy i rozwiązujemy powstałe równanie. Choć w obliczeniach pojawia się wyrażenie kwadratowe \(x^2\), po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę ulega ono redukcji, dając proste równanie liniowe z jedną niewiadomą.
• Przeczytaj treść zadania w każdym podpunkcie.
• Wybierz właściwy wynik spośród czterech proponowanych opcji (kliknięte pole podświetli się na niebiesko).
• Po zaznaczeniu odpowiedzi we wszystkich trzech polach kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Rozwiązanie zadań i analiza krok po kroku:
Podpunkt a)
Wzór na pole trójkąta prostokątnego:
\( P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot (x + 5) \cdot (2x - 4) \)
Upraszczamy wyrażenie:
\( P = (x + 5) \cdot (x - 2) = x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10 \)
Porównujemy z wartością \( x^2 \):
\( x^2 + 3x - 10 = x^2 \implies 3x - 10 = 0 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \).
Podpunkt b)
Wzór na pole prostokąta:
\( P = a \cdot b = (x - 2) \cdot (x + 10) \)
Upraszczamy wyrażenie:
\( P = x^2 + 10x - 2x - 20 = x^2 + 8x - 20 \)
Porównujemy z wartością \( x^2 \):
\( x^2 + 8x - 20 = x^2 \implies 8x = 20 \implies x = 2,5 \).
Podpunkt c)
Suma długości podstaw trapezu:
\( a + b = 10 + (x + 2) + (x - 7) = 2x + 5 \)
Wzór na pole trapezu:
\( P = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(2x + 5) \cdot (x - 2)}{2} = \frac{2x^2 - 4x + 5x - 10}{2} = \frac{2x^2 + x - 10}{2} = x^2 + 0,5x - 5 \)
Porównujemy z wartością \( x^2 \):
\( x^2 + 0,5x - 5 = x^2 \implies 0,5x = 5 \implies x = 10 \).
Wstęp teoretyczny: Zadania tekstowe i układanie równań stopnia pierwszego
Rozwiązując zadania tekstowe za pomocą równań:
- Wybieramy niewiadomą (najczęściej oznaczamy ją jako \(x\)) i przypisujemy ją do jednej z poszukiwanych wielkości.
- Zapisujemy pozostałe wielkości z zadania za pomocą wyrażeń algebraicznych z niewiadomą \(x\).
- Układamy równanie, korzystając z zależności podanych w tekście (np. sumy bocznej obwodu czy łącznej liczby miejsc).
- Rozwiązujemy równanie, a następnie wykonujemy sprawdzenie z warunkami zadania.
• Przeczytaj treść zadania w każdym podpunkcie.
• Wybierz właściwą odpowiedź z czterech dostępnych opcji (kliknięte pole zaznaczy się na niebiesko).
• Po zaznaczeniu odpowiedzi we wszystkich podpunktach kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Rozwiązanie zadań i analiza krok po kroku:
Podpunkt a)
Oznaczmy dłuższy bok równoległoboku jako \( y \) (w centymetrach).
Wtedy krótszy bok wynosi: \( y - 3,5 \).
Wzór na obwód równoległoboku wynosi: \( O = 2a + 2b \). Zapisujemy równanie:
\( 2 \cdot y + 2 \cdot (y - 3,5) = 31 \)
\( 2y + 2y - 7 = 31 \)
\( 4y = 38 \implies y = 9,5\text{ cm} \) (dłuższy bok).
Obliczamy krótszy bok: \( 9,5 - 3,5 = 6\text{ cm} \).
Boki mają długości \( 6\text{ cm} \) i \( 9,5\text{ cm} \).
Podpunkt b)
Niech długość najdłuższego boku wynosi \( z \) (w centymetrach).
Zgodnie z treścią zadania:
• Najkrótszy bok: \( z - 6 \)
• Bok o średniej długości: \( z - 3 \)
Obwód trójkąta (suma wszystkich trzech boków) wynosi \( 30\text{ cm} \):
\( z + (z - 6) + (z - 3) = 30 \)
\( 3z - 9 = 30 \)
\( 3z = 39 \implies z = 13\text{ cm} \) (najdłuższy bok).
Pytanie dotyczy boku o średniej długości: \( z - 3 = 13 - 3 = 10\text{ cm} \).
Średni bok ma długość \( 10\text{ cm} \).
Podpunkt c)
Oznaczmy szerokość placu jako \( w \) (w metrach).
Długość placu wynosi: \( 2w - 2 \).
Obwód prostokątnego placu to \( 26\text{ m} \):
\( 2 \cdot w + 2 \cdot (2w - 2) = 26 \)
\( 2w + 4w - 4 = 26 \)
\( 6w = 30 \implies w = 5\text{ m} \) (szerokość).
Długość placu wynosi: \( 2 \cdot 5 - 2 = 8\text{ m} \).
Plac ma wymiary \( 5\text{ m} \) i \( 8\text{ m} \).
Podpunkt d)
Oznaczmy liczbę miejsc siedzących jako \( s \).
Liczba miejsc stojących wynosi wówczas: \( s + 40 \).
Suma wszystkich miejsc wynosi \( 120 \):
\( s + (s + 40) = 120 \)
\( 2s + 40 = 120 \)
\( 2s = 80 \implies s = 40 \).
W autobusie jest \( 40 \) miejsc siedzących.
Wstęp teoretyczny: Modelowanie matematyczne w zadaniach z życia codziennego
Równania liniowe pozwalają na proste analizowanie dynamicznych procesów:
- Porównywanie stanów oszczędności: Układamy równanie, w którym po jednej stronie zapisujemy początkowy kapitał i tempo odkładania jednej osoby, a po drugiej – dane drugiej osoby.
- Zadania z ruchu (naprzeciw siebie): Gdy dwa obiekty poruszają się naprzeciw siebie, ich prędkości się sumują. Czas do momentu spotkania obliczamy, dzieląc całkowitą odległość przez sumę prędkości obu pojazdów.
• Przeczytaj treść zadania w każdym podpunkcie.
• Wybierz właściwą odpowiedź z czterech dostępnych opcji.
• Po zaznaczeniu obu odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Rozwiązanie zadań i analiza krok po kroku:
Podpunkt a)
Oznaczmy liczbę tygodni jako \( w \).
Zapisujemy stan oszczędności po upływie \( w \) tygodni:
• Oszczędności Magdy: \( 10 + 2w \)
• Oszczędności Ani: \( 190 - 10w \)
Chcemy dowiedzieć się, kiedy kwoty te będą równe, więc układamy równanie:
\( 10 + 2w = 190 - 10w \)
Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą:
\( 2w + 10w = 190 - 10 \)
\( 12w = 180 \)
Dzielimy obie strony przez \( 12 \):
\( w = 15 \).
Siostry będą miały tyle samo pieniędzy po \( 15 \) tygodniach (każda będzie miała wtedy po \( 40\text{ zł} \)).
Podpunkt b)
Metoda 1 (równanie drogi):
Oznaczmy czas jazdy obu pojazdów do momentu spotkania jako \( t \) (w godzinach).
Droga pokonana przez pierwszy samochód wynosi: \( s_1 = 60 \cdot t \).
Droga pokonana przez drugi samochód wynosi: \( s_2 = 80 \cdot t \).
Suma pokonanych dróg wynosi \( 280\text{ km} \):
\( 60t + 80t = 280 \)
\( 140t = 280 \)
Dzielimy obie strony przez \( 140 \):
\( t = 2\text{ h} \).
Metoda 2 (prędkość względna zbliżania):
Gdy pojazdy poruszają się naprzeciw siebie, zbliżają się z sumaryczną prędkością:
\( v_{wzgl} = v_1 + v_2 = 60\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} + 80\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} = 140\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \).
Czas do spotkania obliczamy ze wzoru:
\( t = \frac{s}{v_{wzgl}} = \frac{280\text{ km}}{140\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 2\text{ h} \).
Samochody jechały naprzeciw siebie przez \( 2 \) godziny.
Wstęp teoretyczny: Zadania z zakupami i układanie równań z dwiema wielkościami
Rozwiązując zadania dotyczące zakupów o określonej strukturze:
- Ustalamy niewiadomą (np. \(s\) dla liczby stołów) i opisujemy za jej pomocą drugą wielkość (np. \(2s\) dla liczby krzeseł, ponieważ przy każdym stole stoją po dwa krzesła).
- Mnożymy liczbę sztuk przez ich cenę jednostkową, aby otrzymać koszt poszczególnych artykułów.
- Sumujemy te koszty i porównujemy z całkowitą kwotą wydaną na zakupy, tworząc równanie liniowe.
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji (wybrana opcja zaznaczy się na niebiesko).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić poprawność wyboru.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Oznaczmy liczbę zakupionych stołów jako \( s \).
Skoro przy każdym stole stoją dwa krzesła, to krzeseł zakupiono dwukrotnie więcej niż stołów.
Zapisujemy liczbę krzeseł jako: \( 2s \).
Ceny jednostkowe zakupionych mebli:
• Cena jednego stołu: \( 90\text{ zł} \)
• Cena jednego krzesła: \( 70\text{ zł} \)
Zapisujemy koszt zakupu mebli:
• Koszt wszystkich stołów: \( 90 \cdot s \) (w złotych)
• Koszt wszystkich krzeseł: \( 70 \cdot (2s) = 140s \) (w złotych)
Suma wydatków wynosi \( 13\,800\text{ zł} \). Układamy odpowiednie równanie:
\( 90s + 140s = 13\,800 \)
\( 230s = 13\,800 \)
Dzielimy obie strony równania przez \( 230 \):
\( s = \frac{13\,800}{230} \)
\( s = 60 \) (liczba zakupionych stołów).
Teraz obliczamy liczbę zakupionych krzeseł:
\( 2s = 2 \cdot 60 = 120 \) (liczba zakupionych krzeseł).
Sprawdzenie warunków zadania:
• Koszt stołów: \( 60 \cdot 90\text{ zł} = 5400\text{ zł} \)
• Koszt krzeseł: \( 120 \cdot 70\text{ zł} = 8400\text{ zł} \)
• Łączny koszt: \( 5400\text{ zł} + 8400\text{ zł} = 13\,800\text{ zł} \) (zgadza się).
Zakupiono \( 60 \) stołów i \( 120 \) krzeseł.
Wstęp teoretyczny: Równania w zadaniach z określaniem wieku (zadania "wiekowe")
Zadania, w których porównujemy wiek osób w różnych okresach czasu (np. obecnie, kilka lat temu, za kilka lat):
- Wprowadzamy niewiadomą \(x\) dla obecnego wieku jednej z osób.
- Zapisujemy wiek pozostałych osób obecnie oraz w przeszłości/przyszłości, pamiętając o odjęciu lub dodaniu odpowiedniej liczby lat dla każdej z osób (czas płynie dla wszystkich tak samo!).
- Układamy równanie na podstawie podanej relacji (np. "była 4 razy młodsza", "będzie 2 razy starsza") i rozwiązujemy je.
• Przeczytaj treść zadania w każdym podpunkcie.
• Wybierz właściwą odpowiedź z czterech dostępnych opcji.
• Po zaznaczeniu odpowiedzi we wszystkich trzech podpunktach kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Rozwiązanie zadań i analiza krok po kroku:
Podpunkt a)
Oznaczmy obecny wiek Doroty jako \( d \).
Skoro Dorota jest \( 3 \) razy młodsza od swego taty, to jej tata ma obecnie: \( 3d \) lat.
Zapiszmy wiek obu osób \( 4 \) lata temu:
• Wiek Doroty: \( d - 4 \)
• Wiek taty: \( 3d - 4 \)
Cztery lata temu Dorota była \( 4 \) razy młodsza od taty (czyli tata był \( 4 \) razy starszy):
\( 3d - 4 = 4 \cdot (d - 4) \)
\( 3d - 4 = 4d - 16 \)
\( 16 - 4 = 4d - 3d \implies d = 12 \).
Dorota ma obecnie \( 12 \) lat (tata ma \( 36 \) lat).
Podpunkt b)
Oznaczmy obecny wiek Kacpra jako \( k \).
Kacper jest \( 4 \) razy młodszy od swojej mamy, zatem mama ma obecnie: \( 4k \) lat.
Zapiszmy wiek obu osób za \( 14 \) lat:
• Wiek Kacpra: \( k + 14 \)
• Wiek mamy: \( 4k + 14 \)
Za \( 14 \) lat mama będzie od niego \( 2 \) razy starsza:
\( 4k + 14 = 2 \cdot (k + 14) \)
\( 4k + 14 = 2k + 28 \)
\( 4k - 2k = 28 - 14 \)
\( 2k = 14 \implies k = 7 \) (wiek Kacpra obecnie).
Obliczamy obecny wiek mamy: \( 4k = 4 \cdot 7 = 28 \).
Mama Kacpra ma obecnie \( 28 \) lat.
Podpunkt c)
Przeanalizujmy wiek Barbakanów. Okres od \( 1549 \) roku do \( 1597 \) roku wynosi:
\( 1597 - 1549 = 48 \) lat.
Oznaczmy wiek Barbakanu w Warszawie w \( 1549 \) roku jako \( w \).
Wtedy Barbakan w Krakowie w \( 1549 \) roku miał: \( 50w \) lat.
W \( 1597 \) roku (czyli \( 48 \) lat później) ich wiek wynosił:
• Barbakan w Warszawie: \( w + 48 \)
• Barbakan w Krakowie: \( 50w + 48 \)
W \( 1597 \) roku krakowski Barbakan był tylko \( 2 \) razy starszy:
\( 50w + 48 = 2 \cdot (w + 48) \)
\( 50w + 48 = 2w + 96 \)
\( 48w = 48 \implies w = 1 \) (wiek warszawskiego Barbakanu w \( 1549 \) roku).
Zatem w \( 1549 \) r. krakowski Barbakan miał: \( 50 \cdot 1 = 50 \) lat.
Obliczamy wiek Barbakanów w roku \( 2016 \). Od roku \( 1549 \) do \( 2016 \) minęło:
\( 2016 - 1549 = 467 \) lat.
• Wiek warszawskiego Barbakanu w \( 2016 \) r.: \( 1 + 467 = 468 \) lat (wzniesiony w \( 1548 \) r.).
• Wiek krakowskiego Barbakanu w \( 2016 \) r.: \( 50 + 467 = 517 \) lat (wzniesiony w \( 1499 \) r.).
W \( 2016 \) roku krakowski Barbakan liczył \( 517 \) lat, a warszawski \( 468 \) lat.
Wstęp teoretyczny: Zadania tekstowe z porównywaniem wielkości w czasie
Rozwiązując zadania dotyczące relacji wieku lub długości życia organizmów:
- Wprowadzamy niewiadomą \(k\) dla wyjściowej długości życia jednego gatunku (zazwyczaj krócej żyjącego).
- Wyrażamy długość życia drugiego gatunku za pomocą wyrażenia algebraicznego (np. \(6k\), gdy żyje 6 razy dłużej).
- Dodajemy do obu wartości tę samą liczbę lat (np. \(+20\)), tworząc nowe wyrażenia odzwierciedlające zmienione warunki.
- Układamy i rozwiązujemy równanie stopnia pierwszego na podstawie podanej nowej relacji.
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji (wybrana opcja zaznaczy się na niebiesko).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Oznaczmy średnią długość życia kangura jako \( k \) (w latach).
Skoro średnia długość życia hipopotama jest \( 6 \) razy większa, zapisujemy ją jako: \( 6k \).
Zapisujemy wiek obu zwierząt w przypadku, gdyby żyły o \( 20 \) lat dłużej niż ich średnia krajowa:
• Wiek kangura: \( k + 20 \)
• Wiek hipopotama: \( 6k + 20 \)
Zgodnie z informacją w zadaniu, w tej sytuacji hipopotam byłby \( 2 \) razy starszy od kangura. Układamy odpowiednie równanie:
\( 6k + 20 = 2 \cdot (k + 20) \)
Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
\( 6k + 20 = 2k + 40 \)
Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą:
\( 6k - 2k = 40 - 20 \)
\( 4k = 20 \)
\( k = 5 \) (średnia długość życia kangura).
Obliczamy średnią długość życia hipopotama:
\( 6k = 6 \cdot 5 = 30 \) lat.
Sprawdzenie warunków zadania:
• Stosunek średnich długości życia: \( \frac{30}{5} = 6 \) (hipopotam żyje 6 razy dłużej – zgadza się).
• Po dodaniu 20 lat: kangur miałby \( 5 + 20 = 25 \) lat, a hipopotam \( 30 + 20 = 50 \) lat.
• Porównanie hipotetycznego wieku: \( \frac{50}{25} = 2 \) (hipopotam byłby 2 razy starszy – zgadza się).
Średnia długość życia kangura wynosi \( 5 \) lat, a hipopotama \( 30 \) lat.
Wstęp teoretyczny: Porównanie ilorazowe i różnicowe
Rozwiązując zadania tekstowe, w których porównujemy dwie nieznane wielkości:
- Wprowadzamy niewiadomą \(x\) dla mniejszej wartości (np. powierzchni mniejszej wyspy).
- Wyrażamy większą wartość na dwa sposoby opisane w tekście zadania:
- Mnożenie (stosunek ilorazowy): jeśli wielkość jest \(n\) razy większa, zapisujemy ją jako \(n \cdot x\).
- Dodawanie (stosunek różnicowy): jeśli wielkość jest o \(d\) większa, zapisujemy ją jako \(x + d\).
- Ponieważ oba te wyrażenia opisują tę samą wielkość, możemy je do siebie przyrównać, tworząc równanie: \(n \cdot x = x + d\).
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Oznaczmy powierzchnię Wielkiej Brytanii jako \( x \) (w milionach kilometrów kwadratowych).
Z treści zadania wiemy, że powierzchnia Grenlandii może być zapisana na dwa sposoby:
• Jest \( 10 \) razy większa od powierzchni Wielkiej Brytanii: \( 10 \cdot x \)
• Jest o \( 1{,}98\text{ mln km}^2 \) większa od powierzchni Wielkiej Brytanii: \( x + 1{,}98 \)
Zapisujemy równanie przyrównujące oba te wyrażenia:
\( 10x = x + 1{,}98 \)
Rozwiązujemy równanie:
Przenosimy niewiadomą \( x \) na lewą stronę równania:
\( 10x - x = 1{,}98 \)
\( 9x = 1{,}98 \)
Dzielimy obie strony równania przez \( 9 \):
\( x = \frac{1{,}98}{9} \)
\( x = 0{,}22\text{ mln km}^2 \) (powierzchnia Wielkiej Brytanii).
Obliczamy powierzchnię Grenlandii, podstawiając wyznaczone \( x \):
\( P = 10 \cdot 0{,}22 = 2{,}2\text{ mln km}^2 \)
(lub alternatywnie przy użyciu drugiego wzoru: \( 0{,}22 + 1{,}98 = 2{,}2\text{ mln km}^2 \)).
Sprawdzenie warunków zadania:
• Powierzchnia Wielkiej Brytanii: \( 220\ 000\text{ km}^2 \) (\(0{,}22\text{ mln km}^2\)).
• Powierzchnia Grenlandii: \( 2\ 200\ 000\text{ km}^2 \) (\(2{,}2\text{ mln km}^2\)).
• Czy Grenlandia jest 10 razy większa? \( \frac{2{,}2}{0{,}22} = 10 \) (zgadza się).
• Czy Grenlandia jest o \( 1{,}98\text{ mln km}^2 \) większa? \( 2{,}2 - 0{,}22 = 1{,}98 \) (zgadza się).
Powierzchnia Grenlandii wynosi \( 2{,}2\text{ mln km}^2 \).
Wstęp teoretyczny: Zadania z dwiema kategoriami obiektów
Gdy w zadaniu występują dwa rodzaje obiektów o różnych cenach jednostkowych (np. małe i duże gałki lodów):
- Wprowadzamy niewiadomą \(y\) dla poszukiwanej liczby jednego z obiektów (np. dużych gałek).
- Wyrażamy liczbę drugiego obiektu za pomocą różnicy: \(\text{Suma} - y\) (np. \(380 - y\) dla małych gałek).
- Tworzymy równanie wartościowe, mnożąc liczbę sztuk każdego rodzaju przez ich ceny jednostkowe i przyrównując do całkowitego przychodu:
\(\text{Cena}_1 \cdot (\text{Suma} - y) + \text{Cena}_2 \cdot y = \text{Łączny przychód}\).
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Oznaczmy niewiadome:
• \( y \) – liczba sprzedanych dużych gałek lodów (cena: \(3{,}20\text{ zł}\)),
• \( 380 - y \) – liczba sprzedanych małych gałek lodów (cena: \(2\text{ zł}\)), jako że łącznie sprzedano \(380\) sztuk.
Zapisujemy równanie opisujące łączny dochód ze sprzedaży:
\( 2 \cdot (380 - y) + 3{,}20 \cdot y = 1072 \)
Rozwiązujemy ułożone równanie stopnia pierwszego:
Przemnażamy nawias:
\( 760 - 2y + 3{,}20y = 1072 \)
Upraszczamy wyrażenia z niewiadomą \( y \):
\( 760 + 1{,}20y = 1072 \)
Przenosimy stałą \( 760 \) na prawą stronę równania:
\( 1{,}20y = 1072 - 760 \)
\( 1{,}20y = 312 \)
Dzielimy obie strony równania przez \( 1{,}2 \):
\( y = \frac{312}{1{,}2} = \frac{3120}{12} \)
\( y = 260 \) (liczba sprzedanych dużych gałek lodów).
Sprawdzenie warunków zadania:
• Liczba dużych gałek: \( 260 \), przychód: \( 260 \cdot 3{,}20\text{ zł} = 832\text{ zł} \).
• Liczba małych gałek: \( 380 - 260 = 120 \), przychód: \( 120 \cdot 2\text{ zł} = 240\text{ zł} \).
• Łączna liczba gałek: \( 260 + 120 = 380 \) (zgadza się).
• Łączny przychód: \( 832\text{ zł} + 240\text{ zł} = 1072\text{ zł} \) (zgadza się).
Lodziarz sprzedał tego dnia \( 260 \) dużych gałek lodów.
Wstęp teoretyczny: Zadania geometryczne z marginesem (pasem otaczającym)
Gdy dany prostokąt o wymiarach \(a \times b\) otaczamy ze wszystkich stron pasem o stałej szerokości \(d\):
- Zewnętrzne wymiary prostokąta powiększają się o dwukrotność szerokości pasa, ponieważ pas dodawany jest z każdej strony (z lewej i prawej oraz z góry i dołu).
- Nowe wymiary zewnętrznego prostokąta to: \(a + 2d\) oraz \(b + 2d\).
- Obwód zewnętrznego prostokąta obliczamy ze wzoru: \(\text{Obwód} = 2 \cdot (\text{szerokość zewnętrzna} + \text{długość zewnętrzna})\).
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Oznaczmy wymiary wewnętrznego prostokąta (klombu) jako:
• \( x \) – krótszy bok klombu (w metrach),
• \( 3x \) – dłuższy bok klombu (jako że jest 3 razy dłuższy).
Klomb jest otoczony trawnikiem o szerokości \( 2\text{ m} \). Szerokość ta przylega do każdego z boków z obu stron. Oznacza to, że wymiary zewnętrznego prostokąta (trawnika wraz z klombem, który ogradza płot) wynoszą:
• Krótszy bok zewnętrzny: \( x + 2 + 2 = x + 4\text{ m} \),
• Dłuższy bok zewnętrzny: \( 3x + 2 + 2 = 3x + 4\text{ m} \).
Płot o długości \( 20\text{ m} \) stanowi obwód tego zewnętrznego prostokąta. Układamy odpowiednie równanie:
\( 2 \cdot [(x + 4) + (3x + 4)] = 20 \)
Rozwiązujemy otrzymane równanie:
Dzielimy obie strony przez \( 2 \):
\( (x + 4) + (3x + 4) = 10 \)
Redukujemy wyrazy podobne:
\( 4x + 8 = 10 \)
Przenosimy liczbę \( 8 \) na prawą stronę:
\( 4x = 10 - 8 \)
\( 4x = 2 \)
Dzielimy przez \( 4 \):
\( x = 0{,}5\text{ m} \) (krótszy bok klombu).
Wyznaczamy wymiary klombu:
• Krótszy bok: \( x = 0{,}5\text{ m} \),
• Dłuższy bok: \( 3x = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\text{ m} \).
Sprawdzenie warunków zadania:
• Stosunek boków klombu: \( \frac{1{,}5}{0{,}5} = 3 \) (dłuższy bok jest 3 razy dłuższy – zgadza się).
• Zewnętrzne wymiary trawnika: \( 0{,}5 + 4 = 4{,}5\text{ m} \) oraz \( 1{,}5 + 4 = 5{,}5\text{ m} \).
• Obwód zewnętrzny (długość płotu): \( 2 \cdot (4{,}5 + 5{,}5) = 2 \cdot 10 = 20\text{ m} \) (zgadza się).
Klomb ma wymiary \( 0{,}5\text{ m} \times 1{,}5\text{ m} \).
Wstęp teoretyczny: Zadania z osiami czasu i rocznicami
Rozwiązując zadania związane z upływem lat, kluczowym krokiem jest prawidłowe zapisanie wieku (lub rocznicy) w konkretnym momencie:
- Jeśli wydarzenie miało miejsce w roku \(X\), to w wybranym roku \(Y\) (gdzie \(Y > X\)) jego rocznica wynosi: \(\text{Rocznica} = Y - X\).
- Jeżeli drugie wydarzenie miało miejsce \(d\) lat później, to jego rok rozpoczęcia wynosi \(X + d\), a rocznica w tym samym roku \(Y\) to odpowiednio: \(Y - (X + d)\).
- Dzięki tym relacjom możemy zapisać proporcje rocznic w postaci równania z jedną niewiadomą.
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Wprowadźmy niewiadomą reprezentującą rok wydarzenia:
• Niech \( K \) oznacza rok, w którym Kazimierz Dolny otrzymał prawa miejskie.
• Gdynia otrzymała prawa miejskie \( 570 \) lat później, więc jej rok nadania praw to: \( K + 570 \).
Zapisujemy, ile lat minęło od nadania praw do roku \( 1956 \) (czyli rocznice obu miast):
• Rocznica Kazimierza Dolnego w \( 1956 \) roku: \( 1956 - K \)
• Rocznica Gdyni w \( 1956 \) roku: \( 1956 - (K + 570) = 1956 - K - 570 = 1386 - K \)
Zgodnie z treścią zadania, w \( 1956 \) roku rocznica Kazimierza była \( 20 \) razy większa od rocznicy Gdyni. Układamy równanie:
\( 1956 - K = 20 \cdot (1386 - K) \)
Rozwiązujemy otrzymane równanie stopnia pierwszego:
Mnożymy prawą stronę przez \( 20 \):
\( 1956 - K = 27720 - 20K \)
Przenosimy wyrazy z niewiadomą \( K \) na lewą stronę, a liczby na prawą:
\( 20K - K = 27720 - 1956 \)
\( 19K = 25764 \)
Dzielimy obie strony równania przez \( 19 \):
\( K = \frac{25764}{19} \)
\( K = 1356 \) (rok nadania praw miejskich Kazimierzowi Dolnemu).
Obliczamy rok nadania praw miejskich Gdyni:
\( K + 570 = 1356 + 570 = 1926 \) rok.
Sprawdzenie warunków zadania:
• Rok nadania praw: Kazimierz Dolny (1356), Gdynia (1926) – różnica wynosi \( 1926 - 1356 = 570 \) lat (zgadza się).
• Rocznice w \( 1956 \) roku:
– Kazimierz Dolny: \( 1956 - 1356 = 600 \) lat,
– Gdynia: \( 1956 - 1926 = 30 \) lat.
• Czy rocznica Kazimierza była 20 razy większa? \( \frac{600}{30} = 20 \) (zgadza się).
Kazimierz Dolny otrzymał prawa miejskie w \( 1356 \) roku, a Gdynia w \( 1926 \) roku.
Wstęp teoretyczny: Równania z ułamkowymi częściami całości
Rozwiązując zadania tekstowe, w których poszczególne składniki są ułamkami całkowitej poszukiwanej wartości:
- Wprowadzamy niewiadomą \(T\) dla poszukiwanej całości (np. dzisiejszego czasu powrotu Tomka).
- Wyrażamy poszczególne udziały ułamkowe jako iloczyny ułamków i niewiadomej (np. \(\frac{1}{4}T\), \(\frac{1}{3}T\)).
- Wszystkie składowe (zarówno części ułamkowe, jak i stałe wartości liczbowe) sumujemy i przyrównujemy do pełnej niewiadomej \(T\).
- Rozwiązujemy równanie liniowe poprzez sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i wyznaczenie niewiadomej.
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Oznaczmy całkowity dzisiejszy czas powrotu Tomka do domu jako \( T \) (w minutach).
Zgodnie z treścią zadania, dzisiejszy czas powrotu (\(T\)) składa się z następujących części:
• Czas marszu bez zatrzymywania się: \( 12\text{ minut} \)
• Czas oglądania wystaw: \( \frac{1}{4} \) dzisiejszego czasu, czyli \( \frac{1}{4}T \)
• Czas rozmowy z kolegami: \( \frac{1}{3} \) dzisiejszego czasu, czyli \( \frac{1}{3}T \)
• Czas przyglądania się grającym w piłkę: \( 8\text{ minut} \)
Suma tych wszystkich części musi być równa całości dzisiejszego czasu powrotu (\(T\)). Układamy równanie:
\( T = 12 + \frac{1}{4}T + \frac{1}{3}T + 8 \)
Rozwiązujemy otrzymane równanie:
Dodajemy do siebie stałe wartości liczbowe (\(12\) oraz \(8\)):
\( T = 20 + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) T \)
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (którym dla \(4\) i \(3\) jest \(12\)):
\( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} \)
Podstawiamy uproszczoną sumę ułamków:
\( T = 20 + \frac{7}{12}T \)
Przenosimy składnik z niewiadomą \( T \) na lewą stronę równania:
\( T - \frac{7}{12}T = 20 \)
\( \frac{5}{12}T = 20 \)
Mnożymy obie strony równania przez odwrotność współczynnika, czyli przez \( \frac{12}{5} \):
\( T = 20 \cdot \frac{12}{5} \)
\( T = 4 \cdot 12 \)
\( T = 48\text{ minut} \).
Sprawdzenie warunków zadania:
• Dzisiejszy czas powrotu wynosi \( 48 \) minut.
• Czas na oglądanie wystaw: \( \frac{1}{4} \cdot 48 = 12 \) minut.
• Czas na rozmowę: \( \frac{1}{3} \cdot 48 = 16 \) minut.
• Czas na piłkę: \( 8 \) minut.
• Podsumowanie wszystkich czasów: \( 12\text{ (marsz)} + 12\text{ (wystawy)} + 16\text{ (rozmowa)} + 8\text{ (piłka)} = 48 \) minut (zgadza się).
Tomek wracał dzisiaj ze szkoły do domu przez \( 48 \) minut.
Wstęp teoretyczny: Upraszczanie wyrażeń za pomocą wzorów skróconego mnożenia
Do badania tożsamości algebraicznych i sprawdzania istnienia rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\) wykorzystujemy:
- Wzory skróconego mnożenia:
- Kwadrat sumy: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- Kwadrat różnicy: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- Różnica kwadratów: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
- Znak minus przed nawiasem: pamiętaj, że minus stojący bezpośrednio przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu wewnątrz nawiasu na przeciwny (np. \(-(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1\)).
• Przeczytaj poniższe stwierdzenia sformułowane na podstawie treści zadania.
• Wybierz dla każdego stwierdzenia właściwą ocenę: P (Prawda) lub F (Fałsz).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić swoje odpowiedzi.
| Stwierdzenie | Wybór |
|---|---|
| 1. Istnieje taka liczba naturalna \(n\), dla której wartość wyrażenia \((n+3)^2 - n^2\) jest równa \(51\). | |
| 2. Istnieje taka liczba naturalna \(n\), dla której wartość wyrażenia \((n+1)(n-1) - (n-1)^2\) jest równa \(597\ 651\). |
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Analiza zdania pierwszego:
Rozpatrujemy równanie:
\( (n+3)^2 - n^2 = 51 \)
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) do pierwszego członu wyrażenia:
\( (n^2 + 6n + 9) - n^2 = 51 \)
Redukujemy wyrazy podobne (\(n^2\) i \(-n^2\) znoszą się):
\( 6n + 9 = 51 \)
Przenosimy stałą \(9\) na prawą stronę:
\( 6n = 51 - 9 \)
\( 6n = 42 \)
Dzielimy obie strony przez \(6\):
\( n = 7 \)
Liczba \( 7 \) jest liczbą naturalną (\( 7 \in \mathbb{N} \)). Zatem stwierdzenie, że istnieje taka liczba naturalna spełniająca to równanie, jest PRAWDZIWE (P).
Analiza zdania drugiego:
Rozpatrujemy równanie:
\( (n+1)(n-1) - (n-1)^2 = 597\ 651 \)
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów \((a+1)(a-1) = a^2 - 1\) oraz kwadrat różnicy \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\( (n^2 - 1) - (n^2 - 2n + 1) = 597\ 651 \)
Opuszczamy nawiasy, pamiętając, że minus przed drugim nawiasem odwraca znaki wszystkich wyrazów wewnątrz:
\( n^2 - 1 - n^2 + 2n - 1 = 597\ 651 \)
Redukujemy wyrazy podobne (\(n^2\) i \(-n^2\) znoszą się):
\( 2n - 2 = 597\ 651 \)
Przenosimy \(-2\) na prawą stronę:
\( 2n = 597\ 653 \)
Dzielimy obie strony przez \(2\):
\( n = 298\ 826{,}5 \)
Ponieważ wynik \( 298\ 826{,}5 \) nie należy do zbioru liczb naturalnych (\( 298\ 826{,}5 \notin \mathbb{N} \)), nie istnieje liczba naturalna \(n\), dla której zachodzi powyższa równość. Z tego powodu stwierdzenie, że taka liczba naturalna istnieje, jest FAŁSZYWE (F).
Wstęp teoretyczny: Równoważność równań i sprawdzanie rozwiązań
Gdy szukamy równania, którego rozwiązanie jest takie samo, jak rozwiązanie podanego równania wyjściowego:
- Rozwiązujemy najpierw równanie wyjściowe metodami algebraicznymi (np. mnożenie przez mianownik, redukcja wyrazów podobnych), aby wyznaczyć wartość niewiadomej \(x\).
- Wartość tę podstawiamy kolejno w miejsce \(x\) do każdego z proponowanych równań (A, B, C, D).
- Równanie, dla którego lewa strona okaże się równa prawej (\(L = P\)), jest poszukiwanym równaniem.
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować odpowiedź.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Krok 1: Rozwiązujemy równanie wyjściowe
Rozpatrujemy równanie:
\( 3(x-2) = \frac{2x-4}{3} \)
Mnożymy obie strony równania przez \( 3 \), aby usunąć ułamek po prawej stronie:
\( 9(x-2) = 2x - 4 \)
Przemnażamy nawias po lewej stronie:
\( 9x - 18 = 2x - 4 \)
Przenosimy składniki z niewiadomą \( x \) na lewą stronę, a liczby na prawą stronę:
\( 9x - 2x = -4 + 18 \)
\( 7x = 14 \)
Dzielimy obie strony równania przez \( 7 \):
\( x = 2 \).
Rozwiązaniem wyjściowego równania jest liczba \( 2 \).
Krok 2: Sprawdzamy, które z podanych równań (A, B, C, D) jest spełnione przez liczbę \( x = 2 \)
• Równanie A: \(\frac{x+3}{10} = \frac{1}{x}\)
Podstawiamy \( x = 2 \):
Lewa strona: \( L = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Prawa strona: \( P = \frac{1}{2} \)
Ponieważ \( L = P \), liczba \( 2 \) spełnia to równanie. Równanie A jest poprawną odpowiedzią.
• Równanie B: \(2x^2 = x + 2\)
Podstawiamy \( x = 2 \):
Lewa strona: \( L = 2 \cdot (2^2) = 2 \cdot 4 = 8 \)
Prawa strona: \( P = 2 + 2 = 4 \)
Ponieważ \( 8 \neq 4 \), liczba \( 2 \) nie spełnia tego równania.
• Równanie C: \(\sqrt{2+x} = x - 4\)
Podstawiamy \( x = 2 \):
Lewa strona: \( L = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2 \)
Prawa strona: \( P = 2 - 4 = -2 \)
Ponieważ \( 2 \neq -2 \), liczba \( 2 \) nie spełnia tego równania.
• Równanie D: \((x+1)(x+2) = 1\)
Podstawiamy \( x = 2 \):
Lewa strona: \( L = (2+1)(2+2) = 3 \cdot 4 = 12 \)
Prawa strona: \( P = 1 \)
Ponieważ \( 12 \neq 1 \), liczba \( 2 \) nie spełnia tego równania.
Właściwą odpowiedzią jest opcja A.
Wstęp teoretyczny: Zadania o wieku osób w czasie
Rozwiązując zadania dotyczące wieku osób w różnych momentach czasowych:
- Wprowadzamy niewiadome dla obecnego wieku osób (np. \(A\) i \(E\)).
- Wyrażamy ich wiek w przeszłości lub przyszłości poprzez dodanie bądź odjęcie odpowiedniej liczby lat (np. za dwa lata wiek Adama wyniesie \(A+2\), a kilka lat temu wynosił \(A-x\)).
- Ważna zasada: Czas płynie tak samo dla każdego. Jeśli dodajemy lata do wieku jednej osoby, musimy dodać dokładnie tyle samo lat do wieku drugiej osoby.
• Przeczytaj treść zadania oraz stwierdzenia w tabeli.
• Wybierz dla każdego wiersza odpowiedź P (Prawda) lub F (Fałsz).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić swoje odpowiedzi.
| Stwierdzenie | Wybór |
|---|---|
| 1. Adam jest o \(14\) lat młodszy od Ewy. | |
| 2. Ewa jest cztery razy starsza od Adama. | |
| 3. Kilka lat temu Ewa była osiem razy starsza od Adama. | |
| 4. Za \(6\) lat Adam i Ewa będą mieli razem \(30\) lat. |
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Krok 1: Wyznaczamy obecny wiek Adama i Ewy
Oznaczmy:
• \( A \) – obecny wiek Adama,
• \( E \) – obecny wiek Ewy.
Zapisujemy układ informacji z treści zadania:
1. Obecnie mają razem \(24\) lata:
\( A + E = 24 \implies E = 24 - A \)
2. Za dwa lata wiek Adama wyniesie \( A + 2 \), a wiek Ewy \( E + 2 \). Ewa będzie wtedy \(3\) razy starsza od Adama:
\( E + 2 = 3 \cdot (A + 2) \)
Podstawiamy wyrażenie \( E = 24 - A \) do drugiego równania:
\( (24 - A) + 2 = 3A + 6 \)
\( 26 - A = 3A + 6 \)
\( 26 - 6 = 3A + A \)
\( 4A = 20 \)
\( A = 5 \) (obecny wiek Adama).
Obliczamy wiek Ewy:
\( E = 24 - 5 = 19 \) (obecny wiek Ewy).
Krok 2: Analizujemy poszczególne stwierdzenia
1. Adam jest o \(14\) lat młodszy od Ewy.
Różnica wieku wynosi: \( 19 - 5 = 14 \) lat. Zdanie jest PRAWDZIWE (P).
2. Ewa jest cztery razy starsza od Adama.
Stosunek ich wieku wynosi obecnie: \( 19 : 5 = 3{,}8 \). Ewa nie jest dokładnie 4 razy starsza. Zdanie jest FAŁSZYWE (F).
3. Kilka lat temu Ewa była osiem razy starsza od Adama.
Oznaczmy jako \( x \) liczbę lat wstecz:
\( 19 - x = 8 \cdot (5 - x) \)
\( 19 - x = 40 - 8x \)
\( 7x = 21 \implies x = 3 \).
Dokładnie 3 lata temu Adam miał \( 2 \) lata, a Ewa miała \( 16 \) lat. Ponieważ \( 16 : 2 = 8 \), Ewa była wtedy 8 razy starsza od Adama. Zdanie jest PRAWDZIWE (P).
4. Za \(6\) lat Adam i Ewa będą mieli razem \(30\) lat.
Obecnie mają razem 24 lata. Za 6 lat każda z dwóch osób będzie starsza o 6 lat. Suma ich wieków wzrośnie zatem o \( 2 \cdot 6 = 12 \) lat i wyniesie: \( 24 + 12 = 36 \) lat (Adam będzie miał 11 lat, Ewa 25 lat). Zdanie jest FAŁSZYWE (F).
Wstęp teoretyczny: Przekształcanie wzorów algebraicznych
Przekształcanie wzorów (wyznaczanie wskazanej zmiennej) polega na wykonaniu takich obustronnych operacji matematycznych, które doprowadzą do pozostawienia wybranej litery samej po jednej stronie znaku równości:
- Jeśli wyznaczana zmienna znajduje się w liczniku ułamka, pierwszym krokiem jest zazwyczaj pomnożenie równania przez mianownik tego ułamka.
- Jeśli zmienna jest częścią wyrażenia w nawiasie pomnożonego przez inną wartość, dogodnie jest podzielić całe równanie przez tę wartość.
- Wykonujemy działania przeciwne do tych, którym aktualnie podlega wyznaczana zmienna (np. jeśli dodajemy \(b\), to obustronnie odejmujemy \(b\)).
• Przeczytaj treść zadania poniżej.
• Wybierz właściwy wariant spośród czterech opcji (wybrany kafelek zaznaczy się na niebiesko).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wynik", aby sprawdzić poprawność swojej odpowiedzi.
Rozwiązanie zadania i analiza krok po kroku:
Mamy dany wzór wyjściowy (wzór na pole trapezu):
\( P = \frac{a+b}{2} \cdot h \)
Chcemy wyznaczyć z niego zmienną \( a \). Wykonujemy następujące obustronne przekształcenia:
Krok 1: Mnożymy obie strony równania przez mianownik ułamka (czyli przez \( 2 \)), aby pozbyć się zapisu ułamkowego:
\( 2 \cdot P = (a + b) \cdot h \)
\( 2P = (a + b) \cdot h \)
Krok 2: Dzielimy obie strony równania przez wysokość \( h \) (przy założeniu, że \( h \neq 0 \)), aby odizolować sumę \( a + b \):
\( \frac{2P}{h} = a + b \)
Krok 3: Chcemy, aby po prawej stronie pozostała wyłącznie zmienna \( a \). W tym celu odejmujemy obustronnie zmienną \( b \) (lub przenosimy \( b \) na lewą stronę ze zmienionym znakiem):
\( \frac{2P}{h} - b = a \)
Zapisując równanie od lewej strony otrzymujemy ostateczną postać:
\( a = \frac{2P}{h} - b \)
Wyznaczony wzór odpowiada opcji A.
Komentarze
Prześlij komentarz