• Przeanalizuj podane własności boków i kątów trójkąta.
• W podpunkcie a) wpisz odpowiednią literę (A, B, C lub D) oznaczającą poprawną odpowiedź.
• W podpunkcie b) wpisz obliczoną miarę kąta (np. samą liczbę lub z symbolem stopnia).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – warunki istnienia trójkąta
Pamiętaj o nierówności trójkąta: suma długości dwóch dowolnych boków musi być większa od długości boku trzeciego. Dla kątów pamiętaj, że suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze wynosi dokładnie \(180^\circ\).
a) Dwa boki trójkąta mają długości \(2\text{ m}\) i \(3\text{ m}\). Czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość \(4\text{ m}\) lub \(6\text{ m}\)?
b) Dwa kąty trójkąta mają miary \(100^\circ\) i \(30^\circ\). Jaką miarę ma trzeci kąt tego trójkąta?
Wpisz obliczoną wartość kąta w poniższe pole tekstowe.
Rozwiązanie zadania 1 i analiza krok po kroku:
Rozwiązanie podpunktu a):
Aby z trzech odcinków o długościach \(a\), \(b\) oraz \(c\) można było zbudować trójkąt, musi zachodzić warunek nierówności trójkąta: suma długości dwóch dowolnych boków musi być większa od długości boku trzeciego.
Dla danych boków \(2\text{ m}\) i \(3\text{ m}\), długość trzeciego boku \(c\) musi spełniać nierówność: \[|2 - 3| < c < 2 + 3\] \[1\text{ m} < c < 5\text{ m}\]
• Dla długości \(4\text{ m}\): Liczba 4 mieści się w wyznaczonym przedziale (\(1 < 4 < 5\)). Spełnione są wszystkie nierówności trójkąta. Zatem bok może mieć długość \(4\text{ m}\).
• Dla długości \(6\text{ m}\): Liczba 6 nie mieści się w przedziale. Suma najkrótszych boków (\(2 + 3 = 5\)) jest mniejsza od boku o długości \(6\text{ m}\) (\(5 < 6\)), co uniemożliwia utworzenie trójkąta. Zatem bok nie może mieć długości \(6\text{ m}\).
Właściwa odpowiedź w podpunkcie a) to A.
Rozwiązanie podpunktu b):
Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi dokładnie \(180^\circ\). Dane są dwa kąty o miarach \(100^\circ\) i \(30^\circ\).
Oznaczmy miarę poszukiwanego trzeciego kąta jako \(\gamma\). Układamy równanie: \[100^\circ + 30^\circ + \gamma = 180^\circ\] \[130^\circ + \gamma = 180^\circ\] \[\gamma = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\]
Właściwa odpowiedź w podpunkcie b) to 50 (lub \(50^\circ\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane długości boku oraz wysokości trójkąta.
• Oblicz pole trójkąta, korzystając ze standardowego wzoru na pole.
• Wpisz obliczoną wartość pola wraz z jednostką kwadratową (np. 15m^2 lub 15m²).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – wzór na pole trójkąta
Pole trójkąta \(P\) o boku \(a\) i wysokości \(h\) opuszczonej na ten bok wyraża się wzorem: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] Upewnij się, że podajesz wynik z poprawną jednostką kwadratową (\(\text{m}^2\)).
Jeden z boków trójkąta ma długość \(10\text{ m}\), a wysokość opuszczona na ten bok ma długość \(3\text{ m}\). Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie zadania 2 i analiza krok po kroku:
Analiza danych i obliczenia:
Z treści zadania znamy długość boku oraz wysokość opuszczoną na ten bok:
• Długość boku (\(a\)): \(10\text{ m}\)
• Wysokość (\(h\)): \(3\text{ m}\)
Wzór na pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
Podstawiamy wartości do wzoru: \[P = \frac{1}{2} \cdot 10\text{ m} \cdot 3\text{ m}\] \[P = 5\text{ m} \cdot 3\text{ m} = 15\text{ m}^2\]
Właściwa odpowiedź to 15m^2 (lub 15m²).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane własności kątów w czworokątach.
• W podpunkcie a) wpisz obliczoną miarę czwartego kąta czworokąta (np. samą liczbę lub z symbolem stopnia).
• W podpunkcie b) wpisz miary trzech pozostałych kątów równoległoboku, oddzielając je przecinkami (np. 40, 140, 140).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – sumy kątów w wielokątach
Pamiętaj, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym czworokącie wypukłym zawsze wynosi dokładnie \(360^\circ\). W równoległoboku kąty leżące naprzeciwko siebie mają równe miary, a suma miar kątów sąsiednich (leżących przy tym samym boku) zawsze wynosi \(180^\circ\).
a) Trzy kąty czworokąta mają miary \(10^\circ\), \(20^\circ\) i \(30^\circ\). Jaką miarę ma czwarty kąt tego czworokąta?
b) Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(40^\circ\). Jakie miary mają pozostałe kąty tego równoległoboku?
Wpisz trzy wartości oddzielone przecinkami (np. 40, 140, 140).
Rozwiązanie zadania 3 i analiza krok po kroku:
Rozwiązanie podpunktu a):
Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym czworokącie wypukłym zawsze wynosi dokładnie \(360^\circ\). Dane są trzy kąty o miarach \(10^\circ\), \(20^\circ\) i \(30^\circ\).
Obliczamy sumę trzech podanych kątów: \[10^\circ + 20^\circ + 30^\circ = 60^\circ\]
Oznaczając miarę poszukiwanego czwartego kąta jako \(\alpha\), otrzymujemy równanie: \[60^\circ + \alpha = 360^\circ\] \[\alpha = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\]
Właściwa odpowiedź w podpunkcie a) to 300 (lub \(300^\circ\)).
Rozwiązanie podpunktu b):
Uwaga: Zapis „40%” widoczny na ilustracji źródłowej stanowi błąd drukarski – intencją autorów było podanie miary kąta równej \(40^\circ\).
W dowolnym równoległoboku zachodzą następujące własności kątów:
1. Kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary. Zatem drugi kąt ostry równoległoboku ma miarę równą \(40^\circ\).
2. Suma miar kątów sąsiednich (leżących przy tym samym boku) wynosi \(180^\circ\). Miara kąta rozwartego \(\beta\) wynosi więc:
\[\beta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\]
3. Drugi kąt rozwarty leżący naprzeciwko niego również ma miarę \(140^\circ\).
Pozostałe kąty tego równoległoboku mają zatem miary: \(40^\circ\), \(140^\circ\) oraz \(140^\circ\).
Właściwa odpowiedź w podpunkcie b) to 40, 140, 140 (kolejność wprowadzania wartości może być dowolna).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane własności przekątnych równoległoboku oraz prostokąta.
• W podpunktach a) oraz b) wpisz obliczone długości odcinków (np. samą liczbę, ułamek lub z dopisaną jednostką „cm”).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – własności przekątnych
Pamiętaj, że w każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie swojej długości. Dodatkowo, jeśli równoległobok spełnia warunki bycia prostokątem, jego przekątne mają dokładnie tę samą długość.
Przekątne równoległoboku \(KLMN\) przecinają się w punkcie \(P\). Przekątna \(KM\) ma długość \(9\text{ cm}\).
a) Jaką długość ma odcinek \(PM\)?
Przekątne równoległoboku \(KLMN\) przecinają się w punkcie \(P\). Przekątna \(KM\) ma długość \(9\text{ cm}\).
b) Jaką długość ma druga przekątna, jeżeli równoległobok jest prostokątem?
Rozwiązanie zadania 4 i analiza krok po kroku:
Rozwiązanie podpunktu a):
W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w jednym punkcie (tutaj oznaczonym jako \(P\)) i dzielą się w tym punkcie dokładnie na dwie równe części (połowy).
Odcinek \(PM\) jest jedną z tych dwóch części przekątnej \(KM\). Oznacza to, że jego długość stanowi dokładnie połowę długości całej przekątnej: \[PM = \frac{1}{2} \cdot KM\]
Podstawiamy podaną długość \(KM = 9\text{ cm}\): \[PM = \frac{9\text{ cm}}{2} = 4{,}5\text{ cm}\]
Właściwa odpowiedź to 4,5 cm (lub \(4{,}5\) / \(\frac{9}{2}\)).
Rozwiązanie podpunktu b):
Prostokąt jest szczególnym przypadkiem równoległoboku. Jedną z jego kluczowych własności geometrycznych jest to, że obie jego przekątne mają dokładnie tę samą długość.
Jeżeli równoległobok \(KLMN\) jest prostokątem, wówczas długość drugiej przekątnej (czyli przekątnej \(LN\)) musi być równa długości pierwszej przekątnej (\(KM\)): \[LN = KM = 9\text{ cm}\]
Właściwa odpowiedź to 9 cm (lub \(9\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane długości podstaw oraz wysokość trapezu równoramiennego.
• Oblicz pole trapezu, korzystając ze standardowego wzoru.
• Wpisz obliczoną wartość pola wraz z jednostką kwadratową (np. 45m^2 lub 45m²).
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoją odpowiedź.
Wskazówka – wzór na pole trapezu
Pole trapezu \(P\) o podstawach \(a\) i \(b\) oraz wysokości \(h\) wyraża się wzorem: \[P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\] Upewnij się, że poprawnie sumujesz długości obu podstaw przed wykonaniem mnożenia i dzielenia oraz że podajesz wynik z odpowiednią jednostką kwadratową (\(\text{m}^2\)).
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości \(5\text{ m}\) i \(7\text{ m}\), a jego wysokość jest równa \(10\text{ m}\). Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie zadania 5 i analiza krok po kroku:
Analiza danych i obliczenia:
Z treści zadania wypisujemy parametry danego trapezu równoramiennego:
• Długość pierwszej podstawy (\(a\)): \(5\text{ m}\)
• Długość drugiej podstawy (\(b\)): \(7\text{ m}\)
• Wysokość trapezu (\(h\)): \(10\text{ m}\)
Wzór na pole dowolnego trapezu: \[P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]
Podstawiamy wartości do wzoru: \[P = \frac{(5\text{ m} + 7\text{ m}) \cdot 10\text{ m}}{2}\] \[P = \frac{12\text{ m} \cdot 10\text{ m}}{2}\] \[P = \frac{120\text{ m}^2}{2} = 60\text{ m}^2\]
Właściwa odpowiedź to 60m^2 (lub 60m²).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane długości odcinków dla każdego podpunktu.
• Upewnij się, że wszystkie długości są wyrażone w tej samej jednostce miary przed wykonaniem porównania.
• Wpisz słowo TAK (jeśli można zbudować trójkąt) lub NIE (jeśli nie można go zbudować) w odpowiednie pola tekstowe.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – warunek konstrukcji trójkąta
Z trzech odcinków o długościach \(a\), \(b\) i \(c\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch krótszych odcinków jest ściśle większa od długości boku najdłuższego. Pamiętaj o sprowadzeniu wszystkich wielkości do wspólnej jednostki przed analizą!
a) Czy można zbudować trójkąt z odcinków o długościach: \(5\text{ cm}\), \(5\text{ cm}\), \(11\text{ cm}\)?
b) Czy można zbudować trójkąt z odcinków o długościach: \(3\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\), \(1\text{ cm}\)?
c) Czy można zbudować trójkąt z odcinków o długościach: \(2\text{ cm}\), \(2\text{ cm}\), \(2\text{ dm}\)?
Rozwiązanie zadania 6 i analiza krok po kroku:
Zasada ogólna (nierówność trójkąta):
Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, suma długości dwóch dowolnych krótszych boków musi być większa od długości boku najdłuższego. Zapisujemy to matematycznie jako warunek: \[a + b > c\] gdzie \(a\) i \(b\) to długości dwóch krótszych odcinków, a \(c\) to długość odcinka najdłuższego.
Analiza podpunktu a):
Dane są długości odcinków: \(5\text{ cm}\), \(5\text{ cm}\), \(11\text{ cm}\).
• Dwa krótsze odcinki: \(5\text{ cm}\) oraz \(5\text{ cm}\)
• Najdłuższy odcinek: \(11\text{ cm}\)
Sprawdzamy warunek nierówności trójkąta:
\[5 + 5 = 10\]
Suma dwóch krótszych boków (\(10\text{ cm}\)) jest mniejsza niż długość najdłuższego boku (\(11\text{ cm}\)), ponieważ \(10 < 11\). Warunek nie jest spełniony.
Odpowiedź: NIE
Analiza podpunktu b):
Dane są długości odcinków: \(3\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\), \(1\text{ cm}\).
• Dwa krótsze odcinki: \(3\text{ cm}\) oraz \(1\text{ cm}\)
• Najdłuższy odcinek: \(3\text{ cm}\)
Sprawdzamy warunek nierówności trójkąta:
\[3 + 1 = 4\]
Suma dwóch krótszych boków (\(4\text{ cm}\)) jest ściśle większa niż długość najdłuższego boku (\(3\text{ cm}\)), ponieważ \(4 > 3\). Warunek jest spełniony.
Odpowiedź: TAK
Analiza podpunktu c):
Dane są długości odcinków: \(2\text{ cm}\), \(2\text{ cm}\), \(2\text{ dm}\).
Uwaga: Jednostki miary są różne! Przed sprawdzeniem musimy ujednolicić jednostki.
Wiemy, że \(1\text{ dm} = 10\text{ cm}\). Stąd:
\[2\text{ dm} = 20\text{ cm}\]
Badamy odcinki: \(2\text{ cm}\), \(2\text{ cm}\), \(20\text{ cm}\).
• Dwa krótsze odcinki: \(2\text{ cm}\) oraz \(2\text{ cm}\)
• Najdłuższy odcinek: \(20\text{ cm}\)
Sprawdzamy warunek nierówności trójkąta:
\[2 + 2 = 4\]
Suma dwóch krótszych boków (\(4\text{ cm}\)) jest zdecydowanie mniejsza niż długość najdłuższego boku (\(20\text{ cm}\)), ponieważ \(4 < 20\). Warunek nie jest spełniony.
Odpowiedź: NIE
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane długości boku i określ, czy mogą one tworzyć trójkąt wraz z bokami o długościach \(8\text{ cm}\) i \(5\text{ cm}\).
• Wpisz słowo TAK (jeżeli taka długość boku jest możliwa) lub NIE (jeżeli jest niemożliwa) w pola tekstowe podpunktów.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – zakres dopuszczalnych długości trzeciego boku
Pamiętaj o nierówności trójkąta. Jeśli znasz długości dwóch boków \(a\) i \(b\), to długość trzeciego boku \(x\) musi być zawsze ściśle większa od ich różnicy i ściśle mniejsza od ich sumy: \[|a - b| < x < a + b\] Oblicz ten przedział dla danych boków \(8\text{ cm}\) i \(5\text{ cm}\), a następnie sprawdź, które z podanych liczb mieszczą się w wyznaczonym zakresie.
a) Czy trzeci bok może mieć długość \(1\text{ cm}\)?
b) Czy trzeci bok może mieć długość \(2{,}8\text{ cm}\)?
c) Czy trzeci bok może mieć długość \(3{,}5\text{ cm}\)?
d) Czy trzeci bok może mieć długość \(5\text{ cm}\)?
e) Czy trzeci bok może mieć długość \(7{,}3\text{ cm}\)?
f) Czy trzeci bok może mieć długość \(12\text{ cm}\)?
g) Czy trzeci bok może mieć długość \(13{,}7\text{ cm}\)?
h) Czy trzeci bok może mieć długość \(15\text{ cm}\)?
Rozwiązanie zadania 7 i analiza krok po kroku:
Analiza matematyczna przedziału:
Dane są dwa boki trójkąta o długościach \(a = 8\text{ cm}\) oraz \(b = 5\text{ cm}\). Niech \(x\) będzie poszukiwaną długością trzeciego boku. Nierówność trójkąta nakłada na boki następujące warunki:
1. Suma dwóch znanych boków musi być większa od trzeciego boku: \[8 + 5 > x \implies x < 13\text{ cm}\] 2. Suma krótszego boku i trzeciego boku musi być większa od boku najdłuższego: \[5 + x > 8 \implies x > 8 - 5 \implies x > 3\text{ cm}\]
Łącząc obie nierówności, długość boku \(x\) musi mieścić się w ściśle określonym przedziale otwartym: \[3\text{ cm} < x < 13\text{ cm}\]
Ocena poszczególnych podpunktów:
- • a) \(1\text{ cm}\): Nie mieści się w przedziale (\(1 < 3\)) → NIE
- • b) \(2{,}8\text{ cm}\): Nie mieści się w przedziale (\(2{,}8 < 3\)) → NIE
- • c) \(3{,}5\text{ cm}\): Mieści się w przedziale (\(3 < 3{,}5 < 13\)) → TAK
- • d) \(5\text{ cm}\): Mieści się w przedziale (\(3 < 5 < 13\)) → TAK
- • e) \(7{,}3\text{ cm}\): Mieści się w przedziale (\(3 < 7{,}3 < 13\)) → TAK
- • f) \(12\text{ cm}\): Mieści się w przedziale (\(3 < 12 < 13\)) → TAK
- • g) \(13{,}7\text{ cm}\): Nie mieści się w przedziale (\(13{,}7 > 13\)) → NIE
- • h) \(15\text{ cm}\): Nie mieści się w przedziale (\(15 > 13\)) → NIE
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj podane długości dwóch boków trójkąta równoramiennego.
• Zastanów się, która z potencjalnych długości trzeciego boku spełnia warunek nierówności trójkąta.
• W podpunkcie a) wpisz obie poprawne długości (np. 3 lub 4, oddzielone słowem "lub", przecinkiem bądź spójnikiem "i").
• W podpunkcie b) wpisz jedyną możliwą długość trzeciego boku.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – boki trójkąta równoramiennego
Trójkąt równoramienny musi mieć co najmniej dwa boki o równej długości. Oznacza to, że trzeci bok musi mieć długość równą albo \(a\), albo \(b\). Pamiętaj jednak, że każda próba zestawienia boków musi bezwzględnie spełniać warunek nierówności trójkąta (suma dwóch dowolnych boków musi być ściśle większa od długości boku trzeciego)!
a) Dwa boki trójkąta równoramiennego mają długości: \(a = 3\text{ cm}\) oraz \(b = 4\text{ cm}\). Jaką długość może mieć trzeci bok?
b) Dwa boki trójkąta równoramiennego mają długości: \(a = 1\text{ cm}\) oraz \(b = 3\text{ cm}\). Jaką długość może mieć trzeci bok?
Rozwiązanie zadania 8 i analiza krok po kroku:
Zasada konstrukcji trójkąta równoramiennego:
Trójkąt równoramienny posiada co najmniej dwa boki o identycznej długości. Jeśli znamy długości dwóch boków \(a\) i \(b\), to trzeci bok musi mieć długość równą \(a\) lub równą \(b\). Każdą taką konfigurację musimy jednak bezwzględnie przetestować pod kątem spełnienia nierówności trójkąta (suma dwóch krótszych boków musi być ściśle większa od boku najdłuższego).
Rozwiązanie podpunktu a) (\(a = 3\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\)):
Potencjalne długości trzeciego boku to \(3\text{ cm}\) lub \(4\text{ cm}\). Przeanalizujmy obie możliwości:
• Przypadek 1 (trzeci bok ma \(3\text{ cm}\)): Otrzymujemy boki o długościach \(3\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\).
Sprawdzamy warunek sumy boków: \(3 + 3 = 6 > 4\). Warunek jest spełniony. Taki trójkąt istnieje.
• Przypadek 2 (trzeci bok ma \(4\text{ cm}\)): Otrzymujemy boki o długościach \(3\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\).
Sprawdzamy warunek sumy boków: \(3 + 4 = 7 > 4\). Warunek jest spełniony. Taki trójkąt istnieje.
Obie odpowiedzi są prawidłowe. Trzeci bok może mieć długość 3 cm lub 4 cm.
Rozwiązanie podpunktu b) (\(a = 1\text{ cm}\), \(b = 3\text{ cm}\)):
Potencjalne długości trzeciego boku to \(1\text{ cm}\) lub \(3\text{ cm}\). Przeanalizujmy obie możliwości:
• Przypadek 1 (trzeci bok ma \(1\text{ cm}\)): Otrzymujemy boki o długościach \(1\text{ cm}\), \(1\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\).
Sprawdzamy warunek sumy boków: \(1 + 1 = 2\). Ponieważ suma dwóch bocznych odcinków (\(2\text{ cm}\)) jest mniejsza niż długość trzeciego boku (\(3\text{ cm}\)), z takich odcinków nie da się zbudować trójkąta.
• Przypadek 2 (trzeci bok ma \(3\text{ cm}\)): Otrzymujemy boki o długościach \(1\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\), \(3\text{ cm}\).
Sprawdzamy warunek sumy boków: \(1 + 3 = 4 > 3\). Warunek jest spełniony. Taki trójkąt istnieje.
Tylko jedna odpowiedź jest prawidłowa. Trzeci bok może mieć wyłącznie długość 3 cm.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj miary kątów przedstawione na rysunku pomocniczym (wykorzystaj własności sumy kątów w trójkącie, kątów przyległych oraz podziału kątów wewnętrznych).
• Wpisz obliczone miary kątów \(\alpha\), \(\beta\) oraz \(\gamma\) w odpowiednie pola.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – obliczanie miar kątów
• Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie płaskim wynosi dokładnie \(180^\circ\).
• Kąt oznaczony kropką w łuku to kąt prosty, którego miara wynosi dokładnie \(90^\circ\).
• Zwróć uwagę, jak linie pomocnicze dzielą kąty wewnętrzne na mniejsze części składowe.
a) Oblicz miarę kąta \(\alpha\) z pierwszego rysunku.
b) Oblicz miarę kąta \(\beta\) z drugiego rysunku.
c) Oblicz miarę kąta \(\gamma\) z trzeciego rysunku.
Rozwiązanie zadania 10 i analiza krok po kroku:
Rozwiązanie podpunktu a):
Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi \(180^\circ\). Analizujemy duży (zewnętrzny) trójkąt, którego dwa znane kąty to \(54^\circ\) (u góry) i \(62^\circ\) (na dole po prawej).
Obliczamy miarę pełnego kąta przy lewym dolnym wierzchołku: \[180^\circ - (54^\circ + 62^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\]
Kąt ten jest podzielony czarną linią na dwie części. Górna część ma miarę \(20^\circ\), stąd dolna część tego kąta wynosi: \[64^\circ - 20^\circ = 44^\circ\]
Teraz rozpatrujemy mały dolny trójkąt o kątach wewnętrznych: \(44^\circ\), \(62^\circ\) oraz \(\alpha\): \[\alpha + 44^\circ + 62^\circ = 180^\circ\] \[\alpha + 106^\circ = 180^\circ\] \[\alpha = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ\]
Alternatywna metoda: W małym górnym trójkącie trzeci kąt wynosi \(180^\circ - (54^\circ + 20^\circ) = 106^\circ\). Ponieważ szukany kąt \(\alpha\) leży na linii bocznej trójkąta i tworzy z nim parę kątów przyległych, jego miara to \(180^\circ - 106^\circ = 74^\circ\).
Właściwa odpowiedź to 74 (lub \(74^\circ\)).
Rozwiązanie podpunktu b):
Suma miar kątów w wyjściowym różowym trójkącie wynosi \(180^\circ\). Dwa z jego kątów wewnętrznych mają miary \(42^\circ\) oraz \(26^\circ\).
Obliczamy miarę całego kąta przy dolnym prawym wierzchołku: \[180^\circ - (42^\circ + 26^\circ) = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\]
Półprosta wychodząca z tego wierzchołka dzieli go na dwa równe kąty, z których każdy został oznaczony symbolem \(\beta\). Otrzymujemy zatem równanie: \[2\beta = 112^\circ\] \[\beta = 56^\circ\]
Właściwa odpowiedź to 56 (lub \(56^\circ\)).
Rozwiązanie podpunktu c):
Pionowa linia pomocnicza dzieli górny kąt różowego trójkąta na dwie części: kąt prosty \(90^\circ\) (oznaczony kropką w łuku) oraz kąt o mierze \(\gamma\). Cały górny kąt trójkąta ma zatem miarę \(\gamma + 90^\circ\).
Sumujemy miary wszystkich kątów wewnętrznych tego trójkąta: \[\gamma + (\gamma + 90^\circ) + 20^\circ = 180^\circ\] \[2\gamma + 110^\circ = 180^\circ\] \[2\gamma = 180^\circ - 110^\circ\] \[2\gamma = 70^\circ\] \[\gamma = 35^\circ\]
Właściwa odpowiedź to 35 (lub \(35^\circ\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj miary kątów przedstawione na rysunku pomocniczym (wykorzystaj własności trójkątów równoramiennych, kątów przyległych oraz zewnętrznych).
• Wpisz obliczone miary kątów \(\alpha\), \(\beta\) oraz \(\gamma\) w odpowiednie pola.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje odpowiedzi.
Wskazówka – własności kątów w trójkątach
• Trójkąt równoramienny ma ramiona równej długości, a kąty przy jego podstawie mają równe miary.
• Suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi dokładnie \(180^\circ\).
• Kąt zewnętrzny trójkąta i kąt wewnętrzny przy tym samym wierzchołku są kątami przyległymi (ich suma wynosi \(180^\circ\)). Miara kąta zewnętrznego jest też równa sumie dwóch kątów wewnętrznych trójkąta nieprzylegających do niego.
a) Oblicz miarę kąta \(\alpha\) z pierwszego rysunku.
b) Oblicz miarę kąta \(\beta\) z drugiego rysunku.
c) Oblicz miarę kąta \(\gamma\) z trzeciego rysunku.
Rozwiązanie zadania 11 i analiza krok po kroku:
Rozwiązanie podpunktu a):
Trójkąt na pierwszym rysunku jest równoramienny, na co wskazują zaznaczone równe boki (ramiona). Kąty przy podstawie takiego trójkąta mają równe miary – każdy z nich wynosi \(63^\circ\).
Suma miar kątów w trójkącie wynosi zawsze \(180^\circ\). Układamy równanie, aby wyznaczyć miarę kąta \(\alpha\) przy wierzchołku między ramionami: \[\alpha + 63^\circ + 63^\circ = 180^\circ\] \[\alpha = 180^\circ - 2 \times 63^\circ\] \[\alpha = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ\]
Właściwa odpowiedź to 54 (lub \(54^\circ\)).
Rozwiązanie podpunktu b):
Drugi rysunek przedstawia trójkąt prostokątny (kąt prosty \(90^\circ\)) o jednym z kątów ostrych równym \(42^\circ\). Kąt \(\beta\) jest kątem zewnętrznym, przyległym do trzeciego kąta wewnętrznego trójkąta.
Najpierw obliczamy miarę kąta wewnętrznego przy wierzchołku z kątem \(\beta\): \[180^\circ - 42^\circ - 90^\circ = 48^\circ\]
Suma kątów przyległych (kąta wewnętrznego i zewnętrznego \(\beta\)) wynosi \(180^\circ\), stąd: \[\beta = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\]
Alternatywna metoda (z twierdzenia o kącie zewnętrznym): Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych do niego: \(\beta = 90^\circ + 42^\circ = 132^\circ\).
Właściwa odpowiedź to 132 (lub \(132^\circ\)).
Rozwiązanie podpunktu c):
Trzeci rysunek również przedstawia trójkąt prostokątny o kącie ostrym równym \(60^\circ\). Kąt \(\gamma\) jest kątem zewnętrznym przyległym do trzeciego kąta wewnętrznego trójkąta.
Obliczamy miarę kąta wewnętrznego przy wierzchołku z kątem \(\gamma\): \[180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ\]
Kąt \(\gamma\) i obliczony kąt wewnętrzny są kątami przyległymi (ich suma wynosi \(180^\circ\)): \[\gamma = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\]
Alternatywna metoda (z twierdzenia o kącie zewnętrznym): Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych do niego: \(\gamma = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\).
Właściwa odpowiedź to 150 (lub \(150^\circ\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj sformułowania zadań oraz rysunek pomocniczy zawierający schematy geometryczne.
• Uzupełnij luki w dowodach matematycznych, wybierając odpowiednie boki, kąty lub cechy przystawania z list rozwijanych.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność swojego rozumowania.
Wskazówka – cechy przystawania trójkątów
• Cecha bkb (bok-kąt-bok): Jeżeli dwa boki i kąt między nimi w jednym trójkącie są równe odpowiednim dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające.
• Cecha kbk (kąt-bok-kąt): Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są równe odpowiedniemu bokowi i dwóm przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające.
a) Dowód przystawania trójkątów \(ADC\) i \(BEC\):
\(AC\) = (bok).
2. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe, co oznacza, że:
\(\angle CAD\) = (kąt).
3. Półproste \(CD\) i \(CE\) dzielą kąt \(ACB\) na trzy równe części, stąd otrzymujemy kolejną równość kątów:
\(\angle ACD\) = (kąt).
4. Spełnione są warunki odpowiedniej cechy przystawania. Wykazaliśmy, że trójkąty \(ADC\) i \(BEC\) są przystające na mocy cechy:
.
b) Dowód przystawania trójkątów \(PTS\) i \(RUQ\):
\(PT\) = (bok).
2. Ponieważ \(PQRS\) to równoległobok, jego przeciwległe boki są równe, stąd:
\(PS\) = (bok).
3. Przeciwległe kąty wewnętrzne równoległoboku mają równe miary, stąd:
\(\angle TPS\) = (kąt).
4. Wykazaliśmy równość dwóch boków i kąta zawartego między nimi. Trójkąty \(PTS\) i \(RUQ\) są przystające na mocy cechy:
.
Pełne uzasadnienie dowodowe Zadania 12:
Uzasadnienie podpunktu a):
Rozpatrujemy trójkąty \(ADC\) oraz \(BEC\). Na podstawie założeń zadania wykazujemy równość następujących elementów:
1. Bok \(AC = BC\), ponieważ trójkąt \(ABC\) jest równoramienny (ramiona są równej długości).
2. Kąt \(\angle CAD = \angle CBE\), ponieważ są to kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego \(ABC\).
3. Kąt \(\angle ACD = \angle BCE\), ponieważ kąt główny \(\angle ACB\) został podzielony na trzy równe części przez półproste \(CD\) i \(CE\). Każda z tych części wynosi dokładnie \(\frac{1}{3} \angle ACB\).
W trójkątach \(ADC\) i \(BEC\) równe są boki (\(AC\) i \(BC\)) oraz przyległe do nich kąty (\(\angle CAD = \angle CBE\) oraz \(\angle ACD = \angle BCE\)). Na mocy cechy kbk (kąt-bok-kąt) trójkąty \(ADC\) i \(BEC\) są przystające, co należało wykazać.
Uzasadnienie podpunktu b):
Rozpatrujemy trójkąty \(PTS\) oraz \(RUQ\) powstałe na bazie równoległoboku \(PQRS\):
1. Bok \(PT = RU\) bezpośrednio z założeń podanych w treści zadania.
2. Bok \(PS = RQ\), ponieważ są to przeciwległe boki równoległoboku \(PQRS\), które z definicji mają równą długość.
3. Kąt \(\angle TPS = \angle URQ\), ponieważ są to przeciwległe kąty wewnętrzne równoległoboku \(PQRS\), które również mają równe miary.
Wykazaliśmy, że dwa boki i kąt między nimi w trójkącie \(PTS\) są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi w trójkącie \(RUQ\). Na mocy cechy bkb (bok-kąt-bok) trójkąty te są przystające, co kończy dowód.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
• Przeanalizuj treść zadania oraz rysunek pomocniczy.
• Korzystając ze wzorów na pole trójkąta zapisanane na dwa sposoby (dla różnych par podstawa-wysokość), oblicz niewiadome długości odcinków \(x\), \(y\), \(z\) oraz pola poszczególnych figur.
• Wybierz pola trójkątów z list, a boki wpisz ręcznie w pola tekstowe (np.
10 i 5/6 lub 65/6). Pod polem pojawi się automatyczny podgląd Twojego zapisu.• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność obliczeń.
Wskazówka – obliczanie pól bez twierdzenia Pitagorasa
• Pole każdego trójkąta można zapisać na dwa sposoby przy użyciu różnych par podstaw i odpowiadających im wysokości: \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b\).
• Porównując oba zapisy pola dla tej samej figury, można w prosty sposób wyznaczyć brakującą długość boku lub wysokość bez stosowania skomplikowanych obliczeń algebraicznych.
1. Trójkąt I (o bokach 13, 15 i podstawie \(x\)):
Pole tego trójkąta (\(P_1\)) wynosi:
\(P_1\) = .
Długość boku \(x\) wynosi:
\(x\) =
2. Trójkąt II (o bokach \(y\), 20 i podstawie 21):
Pole tego trójkąta (\(P_2\)) wynosi:
\(P_2\) = .
Długość boku \(y\) wynosi:
\(y\) =
3. Trójkąt III (rozwartokątny o bokach 15, \(z\) i podstawie 6):
Pole tego trójkąta (\(P_3\)) wynosi:
\(P_3\) = .
Długość boku \(z\) wynosi:
\(z\) =
Pełne uzasadnienie bez twierdzenia Pitagorasa:
Metodologia:
Pola trójkątów obliczamy i porównujemy, zapisując je na dwa sposoby dla różnych par wysokości i podstaw. Pozwala to na proste wyznaczenie brakujących odcinków bez odwoływania się do relacji kwadratowych.
Obliczenia dla Trójkąta I:
1. Obliczamy pole trójkąta na podstawie znanej podstawy \(13\) i odpowiadającej jej wysokości \(10\):
\(P_1 = \frac{13 \cdot 10}{2} = 65\).
2. To samo pole możemy zapisać przy użyciu wysokości równej \(12\) (odległość między prostymi) i boku \(x\):
\(\frac{x \cdot 12}{2} = \frac{13 \cdot 10}{2}\)
\(6x = 65 \implies x = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}\).
Obliczenia dla Trójkąta II:
1. Obliczamy pole trójkąta na podstawie znanej podstawy \(9\) i odpowiadającej jej wysokości \(12\):
\(P_2 = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54\).
2. To samo pole zapisujemy przy użyciu podstawy równej \(15\) i odpowiadającej jej wysokości \(y\):
\(\frac{y \cdot 15}{2} = \frac{9 \cdot 12}{2}\)
\(7,5y = 54 \implies y = \frac{54}{7,5} = 7\frac{1}{5}\).
Obliczenia dla Trójkąta III:
1. Obliczamy pole trójkąta na podstawie znanej podstawy \(6\) i odpowiadającej jej wysokości \(12\):
\(P_3 = \frac{6 \cdot 12}{2} = 36\).
2. To samo pole zapisujemy przy użyciu podstawy równej \(14\) i odpowiadającej jej wysokości \(z\):
\(\frac{z \cdot 14}{2} = \frac{12 \cdot 6}{2}\)
\(7z = 36 \implies z = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7}\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Oblicz miary kątów narysowanych poniżej równoległoboku i trapezu równoramiennego.
• Przeanalizuj rysunek pomocniczy zawierający rysunki czworokątów z zaznaczonymi wysokościami.
• Wpisz obliczone miary kątów ostrych i rozwartych w odpowiednie pola tekstowe (np. w formacie:
60 lub 60°). Pod polem pojawi się automatyczny podgląd Twojego zapisu.• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność obliczeń.
Wskazówka – kąty w równoległoboku i trapezie
• Wysokość figury: Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy, co oznacza, że tworzy z nią kąt prosty (\(90^\circ\)). Wydziela to trójkąt prostokątny, w którym suma kątów ostrych wynosi zawsze \(90^\circ\).
• Sąsiednie kąty: Suma miar kątów leżących przy jednym boku (ramieniu) równoległoboku oraz trapezu wynosi \(180^\circ\).
a) Kąty w narysowanym równoległoboku:
Miara kąta ostrego (\(\alpha\)) wynosi:
Miara kąta rozwartego (\(\beta\)) wynosi:
b) Kąty w narysowanym trapezie równoramiennym:
Miara kąta ostrego przy dolnej podstawie (\(\alpha\)) wynosi:
Miara kąta rozwartego przy górnej podstawie (\(\beta\)) wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
Obliczenie kątów równoległoboku (podpunkt a):
1. Z rysunku bezpośrednio odczytujemy miarę kąta ostrego równoległoboku:
\(\alpha = 52^\circ\).
2. Wiemy, że suma miar sąsiednich kątów leżących przy jednym boku w każdym równoległoboku wynosi \(180^\circ\). Obliczamy sąsiedni kąt rozwarty (\(\beta\)):
\(\beta = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\).
Kąty w równoległoboku leżące naprzeciwko siebie są równe, więc kąty tej figury to: \(52^\circ, 128^\circ, 52^\circ, 128^\circ\).
Obliczenie kątów trapezu równoramiennego (podpunkt b):
1. Z rysunku bezpośrednio odczytujemy miarę kąta rozwartego przy górnej podstawie trapezu:
\(\beta = 102^\circ\).
2. Ponieważ trapez jest równoramienny, oba kąty przy górnej podstawie są równe, czyli oba wynoszą po \(102^\circ\).
3. Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu dowolnego trapezu wynosi \(180^\circ\). Obliczamy kąt ostry przy dolnej podstawie (\(\alpha\)):
\(\alpha = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ\).
Kąty w tym trapezie równoramiennym mają miary: \(78^\circ, 78^\circ, 102^\circ, 102^\circ\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Oblicz miary kątów \(\alpha\) i \(\beta\) w narysowanych trapezach.
• Przeanalizuj rysunek pomocniczy zawierający rysunki trapezów z zaznaczonymi miarami wybranych kątów.
• Wpisz obliczone miary kątów \(\alpha\) i \(\beta\) dla obu podpunktów (a oraz b) w odpowiednie pola tekstowe (np. w formacie:
80 lub 80°). Pod polem pojawi się automatyczny podgląd Twojego zapisu.• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność obliczeń.
Wskazówka – suma kątów w trapezie
• Kąty przy jednym ramieniu: Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu wynosi zawsze \(180^\circ\).
• Korzystając z tej własności, możesz łatwo wyznaczyć brakujące kąty, odejmując znany kąt od \(180^\circ\).
a) Kąty w pierwszym trapezie:
Miara kąta \(\alpha\) wynosi:
Miara kąta \(\beta\) wynosi:
b) Kąty w drugim trapezie:
Miara kąta \(\alpha\) wynosi:
Miara kąta \(\beta\) wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
Rozwiązanie podpunktu a):
Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu dowolnego trapezu wynosi \(180^\circ\).
1. Obliczamy miarę kąta \(\alpha\) (leżącego przy lewym ramieniu wraz z kątem o mierze \(100^\circ\)):
\(\alpha = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
2. Obliczamy miarę kąta \(\beta\) (leżącego przy prawym ramieniu wraz z kątem o mierze \(34^\circ\)):
\(\beta = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ\).
Rozwiązanie podpunktu b):
Postępujemy analogicznie jak w podpunkcie a, wykorzystując własność sumy miar kątów przy jednym ramieniu trapezu (\(180^\circ\)).
1. Obliczamy miarę kąta \(\alpha\) (leżącego przy lewym ramieniu wraz z kątem o mierze \(28^\circ\)):
\(\alpha = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ\).
2. Obliczamy miarę kąta \(\beta\) (leżącego przy prawym ramieniu wraz z kątem o mierze \(72^\circ\)):
\(\beta = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Narysowane poniżej czworokąty to trapez, prostokąt i równoległobok. Oblicz miary kątów ostrych, pod którymi przecinają się ich przekątne.
• Przeanalizuj rysunek pomocniczy z zaznaczonymi kątami między bokami a przekątnymi czworokątów.
• Oblicz miary kątów ostrych przecięcia przekątnych dla każdej figury i wpisz je w odpowiednie pola (np. w formacie:
55 lub 55°).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność obliczeń.
Wskazówka – kąty w trójkątach utworzonych przez przekątne
• Kąty naprzemianległe: Przy bocznych krawędziach równoległych (w trapezie i równoległoboku) kąty naprzemianległe mają równe miary.
• Własność prostokąta: Przekątne prostokąta są równej długości i dzielą się na połowy, tworząc trójkąty równoramienne.
• Kąt zewnętrzny trójkąta: Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta, które do niego nie przylegają (np. kąt ostry przecięcia przekątnych jest sumą dwóch kątów ostrych przy podstawie wydzielonego trójkąta).
1. Kąt ostry w trapezie:
Wynik wynosi:
2. Kąt ostry w prostokącie:
Wynik wynosi:
3. Kąt ostry w równoległoboku:
Wynik wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Kąt ostry przecięcia przekątnych w trapezie:
Przekątne z dolną podstawą tworzą trójkąt. Z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąty przy podstawie tego trójkąta mają miary \(25^\circ\) oraz \(30^\circ\).
Kąt rozwarty przy przecięciu przekątnych wynosi:
\(180^\circ - (25^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\).
Poszukiwany kąt ostry przecięcia jest kątem przyległym do niego, czyli wynosi:
\(180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).
(Możemy go też obliczyć bezpośrednio z twierdzenia o kącie zewnętrznym wydzielonego trójkąta: \(25^\circ + 30^\circ = 55^\circ\)).
2. Kąt ostry przecięcia przekątnych w prostokącie:
Przekątne prostokąta są równej długości i dzielą się na połowy, co oznacza, że wyznaczają trójkąty równoramienne. Kąty przy bocznej podstawie wynoszą po \(20^\circ\).
Kąt rozwarty przy przecięciu przekątnych wynosi:
\(180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).
Stąd miara szukanego kąta ostrego wynosi:
\(180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
(Bezpośrednio: \(20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\)).
3. Kąt ostry przecięcia przekątnych w równoległoboku:
Korzystamy z własności kątów naprzemianległych. Przekątne wraz z dolną podstawą tworzą trójkąt o kątach przy podstawie \(25^\circ\) oraz \(35^\circ\).
Kąt rozwarty przy skrzyżowaniu przekątnych ma miarę:
\(180^\circ - (25^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Kąt ostry przecięcia przekątnych wynosi:
\(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
(Bezpośrednio: \(25^\circ + 35^\circ = 60^\circ\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Jeden z kątów trapezu równoramiennego jest 4 razy większy od drugiego kąta. Jakie miary mają kąty tego trapezu?
• Przeanalizuj treść zadania i skorzystaj z interaktywnej tablicy poniżej, aby zaobserwować, jak zmienia się kształt trapezu w zależności od stosunku miar jego kątów.
• Oblicz miarę kąta ostrego oraz kąta rozwartego tego trapezu.
• Wpisz wyniki w odpowiednie pola tekstowe (np. w formacie:
45 lub 45°).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować obliczenia.
Wskazówka – własności kątów w trapezie równoramiennym
• Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu zawsze wynosi \(180^\circ\).
• Innymi słowy, kąt ostry i kąt rozwarty przy tym samym ramieniu dają razem \(180^\circ\).
• W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie mają równe miary (dwa kąty ostre przy dolnej podstawie są równe, tak samo jak dwa kąty rozwarte przy górnej podstawie).
Interaktywna tablica geometryczna – narysuj trapez równoramienny
Tablica jest pusta
- Wybierz stosunek kątów z menu powyżej, aby narysować trapez i przeanalizować jego miary kątów.
Obliczone miary kątów trapezu:
Miara kąta rozwartego wynosi:
Rozwiązanie krok po kroku:
Niech miara mniejszego kąta (kąta ostrego) leżącego przy ramieniu trapezu wynosi \(x\).
Z treści zadania wiemy, że drugi kąt (kąt rozwarty) leżący przy tym samym ramieniu jest 4 razy większy, zatem jego miara wynosi \(4x\).
Krok 1: Wyznaczenie miary kąta ostrego
Suma kątów wewnętrznych przy jednym ramieniu każdego trapezu wynosi \(180^\circ\). Układamy i rozwiązujemy równanie: $$x + 4x = 180^\circ$$ $$5x = 180^\circ$$ $$x = 180^\circ : 5 = 36^\circ$$ Zatem kąt ostry ma miarę \(36^\circ\).
Krok 2: Wyznaczenie miary kąta rozwartego
Obliczamy miarę kąta rozwartego: $$4x = 4 \times 36^\circ = 144^\circ$$ Zatem kąt rozwarty ma miarę \(144^\circ\).
Krok 3: Określenie wszystkich kątów trapezu
Ponieważ analizowany trapez jest równoramienny, kąty przy jego podstawach mają równe miary. Trapez posiada dwie pary równej miary kątów:
• Kąty przy dolnej podstawie (ostre): \(36^\circ\) oraz \(36^\circ\).
• Kąty przy górnej podstawie (rozwarte): \(144^\circ\) oraz \(144^\circ\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Boki równoległoboku mają długości 5 cm i 6 cm, a wysokość opuszczona na dłuższy bok ma 4 cm. Oblicz długość drugiej wysokości.
• Przeanalizuj treść zadania i skorzystaj z interaktywnej tablicy poniżej, aby zaobserwować, jak zmieniają się wysokości w równoległoboku w zależności od jego wymiarów.
• Oblicz długość drugiej wysokości, opuszczonej na krótszy bok.
• Wpisz wynik w odpowiednie pole tekstowe (np. w formacie:
4.8 lub 4,8).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować obliczenia.
Wskazówka – wzory na pole równoległoboku
• Pole powierzchni równoległoboku można obliczyć na dwa sposoby, mnożąc bok przez odpowiadającą mu wysokość:
\[P = a \cdot h_a \quad \text{lub} \quad P = b \cdot h_b\]
• Ponieważ obie te wartości określają to samo pole powierzchni, otrzymujemy równość:
\[a \cdot h_a = b \cdot h_b\]
• Zależność ta pozwala łatwo wyznaczyć brakującą wysokość, gdy znamy długości obu boków i jedną z wysokości.
Interaktywna tablica geometryczna – wysokości w równoległoboku
Tablica jest pusta
- Wybierz zestaw wymiarów z menu powyżej, aby przeanalizować ich wpływ na długości obu wysokości.
Wprowadź swoje rozwiązanie:
Rozwiązanie krok po kroku:
Oznaczmy boki równoległoboku jako \(a\) i \(b\), a odpowiadające im wysokości jako \(h_a\) i \(h_b\).
Z treści zadania wiemy, że: $$\text{Dłuższy bok } a = 6\text{ cm}$$ $$\text{Krótszy bok } b = 5\text{ cm}$$ $$\text{Wysokość opuszczona na bok } a \text{ wynosi } h_a = 4\text{ cm}$$
Krok 1: Obliczenie pola powierzchni równoległoboku
Korzystamy ze standardowego wzoru na pole powierzchni równoległoboku, wykorzystując znany bok \(a\) oraz wysokość \(h_a\): $$P = a \times h_a$$ $$P = 6\text{ cm} \times 4\text{ cm} = 24\text{ cm}^2$$
Krok 2: Wyznaczenie długości drugiej wysokości \(h_b\)
Pole tego samego równoległoboku możemy również wyrazić za pomocą boku \(b\) oraz poszukiwanej wysokości \(h_b\): $$P = b \times h_b$$ Znamy pole \(P = 24\text{ cm}^2\) oraz bok \(b = 5\text{ cm}\). Podstawiamy te dane do wzoru: $$24 = 5 \times h_b$$ Stąd wyliczamy wysokość \(h_b\): $$h_b = 24 : 5 = 4.8\text{ cm}$$
Odpowiedź:
Długość drugiej wysokości wynosi \(4.8\text{ cm}\) (zapisywana również jako ułamek zwykły: \(4\frac{4}{5}\text{ cm}\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Figura narysowana obok składa się z dwóch trapezów, równoległoboku, rombu i trójkąta prostokątnego. Oblicz jej pole.
• Przeanalizuj wymiary poszczególnych figur składowych na rysunku pomocniczym poniżej.
• Oblicz pole każdej z pięciu figur składowych, a następnie zsumuj wyniki, aby otrzymać pole całkowite.
• Wpisz wynik w odpowiednie pole tekstowe (np. w formacie:
91 lub 91 cm2).• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować obliczenia.
Wskazówka – pola figur złożonych
• Aby obliczyć pole figury o nieregularnym kształcie, najwygodniej jest podzielić ją na prostsze figury składowe (w tym przypadku: dwa trapezy, równoległobok, romb i trójkąt prostokątny).
• Następnie obliczamy pole każdej z tych figur osobno, korzystając ze standardowych wzorów:
\[P_{\text{rombu}} = \frac{e \cdot f}{2}, \quad P_{\text{równoległoboku}} = a \cdot h, \quad P_{\text{trapezu}} = \frac{(a+b)\cdot h}{2}, \quad P_{\text{trójkąta}} = \frac{a \cdot b}{2}\]
• Suma pól wszystkich części składowych da nam całkowite pole powierzchni figury: \[P_{\text{całkowite}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5\]
Rysunek pomocniczy do zadania
Rozbicie figury złożonej na części składowe:
- Równoległobok: podstawa \(a = 5\text{ cm}\), wysokość \(h = 3\text{ cm}\)
- Trapez I (dolny lewy): podstawy \(a = 5\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\), wysokość \(h = 4\text{ cm}\)
- Trapez II (dolny prawy): suma długości podstaw \(a + b = 7 + 3 + 4 = 14\text{ cm}\), wysokość \(h = 4\text{ cm}\)
- Romb: przekątne \(e = 8\text{ cm}\), \(f = 6\text{ cm}\)
- Trójkąt prostokątny: przyprostokątne \(a = 4\text{ cm}\), \(b = 3\text{ cm}\)
Wprowadź swoje rozwiązanie:
Rozwiązanie krok po kroku:
Aby obliczyć pole całkowite figury, sumujemy pola jej pięciu składowych wielokątów:
1. Pole równoległoboku (\(P_1\))
Bok równoległoboku wynosi \(a = 5\text{ cm}\), a wysokość opuszczona na ten bok \(h = 3\text{ cm}\). Korzystamy ze wzoru: $$P_1 = a \times h$$ $$P_1 = 5 \times 3 = 15\text{ cm}^2$$
2. Pole pierwszego trapezu – dolny lewy (\(P_2\))
Podstawy trapezu to \(a = 5\text{ cm}\) oraz \(b = 4\text{ cm}\), a wysokość wynosi \(h = 4\text{ cm}\). Korzystamy ze wzoru: $$P_2 = \frac{(a + b) \times h}{2}$$ $$P_2 = \frac{(5 + 4) \times 4}{2} = \frac{9 \times 4}{2} = 18\text{ cm}^2$$
3. Pole drugiego trapezu – dolny prawy (\(P_3\))
Suma długości podstaw trapezu z rysunku wynosi \(a + b = 7 + 3 + 4 = 14\text{ cm}\), a wysokość trapezu to \(h = 4\text{ cm}\). Korzystamy ze wzoru: $$P_3 = \frac{(a + b) \times h}{2}$$ $$P_3 = \frac{(7 + 3 + 4) \times 4}{2} = \frac{14 \times 4}{2} = 28\text{ cm}^2$$
4. Pole rombu (\(P_4\))
Przekątne rombu mają długości \(e = 8\text{ cm}\) oraz \(f = 6\text{ cm}\). Korzystamy ze wzoru: $$P_4 = \frac{e \times f}{2}$$ $$P_4 = \frac{8 \times 6}{2} = 24\text{ cm}^2$$
5. Pole trójkąta prostokątnego (\(P_5\))
Przyprostokątne trójkąta mają długości \(a = 4\text{ cm}\) oraz \(b = 3\text{ cm}\). Korzystamy ze wzoru: $$P_5 = \frac{a \times b}{2}$$ $$P_5 = \frac{4 \times 3}{2} = 6\text{ cm}^2$$
6. Suma pól składowych (\(P_{\text{całkowite}}\))
Dodajemy pola wszystkich figur składowych: $$P_{\text{całkowite}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5$$ $$P_{\text{całkowite}} = 15 + 18 + 28 + 24 + 6 = 91\text{ cm}^2$$
Odpowiedź:
Całkowite pole powierzchni narysowanej figury wynosi \(91\text{ cm}^2\).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Który z opisanych czworokątów ma większe pole? O ile większe?
a) romb o przekątnych długości \(5\text{ cm}\) i \(14\text{ cm}\) czy romb o boku \(9\text{ cm}\) i wysokości \(4\text{ cm}\)
b) kwadrat o boku \(9\text{ cm}\) czy równoległobok o boku \(18\text{ cm}\) i wysokości opuszczonej na ten bok o długości \(5\text{ cm}\)
c) trapez o podstawach \(1\text{ cm}\) i \(19\text{ cm}\) oraz wysokości \(2\text{ cm}\) czy kwadrat o przekątnej \(6\text{ cm}\)
• Oblicz pola opisanych wielokątów w każdym podpunkcie i porównaj je.
• Wybierz z listy rozwijanej figurę o większym polu powierzchni.
• Wpisz obliczoną różnicę pól (w cm²) w odpowiednie pole tekstowe obok.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność wszystkich odpowiedzi.
Wskazówka – przydatne wzory na pola czworokątów
• Pole rombu: \(P = \frac{e \cdot f}{2}\) (z przekątnych) lub \(P = a \cdot h\) (z boku i wysokości).
• Pole równoległoboku: \(P = a \cdot h\).
• Pole trapezu: \(P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\).
• Pole kwadratu: \(P = a^2\) (z boku) lub \(P = \frac{d^2}{2}\) (z przekątnej \(d\)).
Większe pole ma:
O ile cm² większe?
Większe pole ma:
O ile cm² większe?
Większe pole ma:
O ile cm² większe?
Rozwiązanie krok po kroku:
Podpunkt a)
• Pole rombu o przekątnych \(e = 5\text{ cm}\) i \(f = 14\text{ cm}\): $$P_1 = \frac{e \times f}{2} = \frac{5 \times 14}{2} = 35\text{ cm}^2$$ • Pole rombu o boku \(a = 9\text{ cm}\) i wysokości \(h = 4\text{ cm}\): $$P_2 = a \times h = 9 \times 4 = 36\text{ cm}^2$$ Romb o boku \(9\text{ cm}\) ma większe pole o: $$36\text{ cm}^2 - 35\text{ cm}^2 = 1\text{ cm}^2$$
Podpunkt b)
• Pole kwadratu o boku \(a = 9\text{ cm}\): $$P_1 = a^2 = 9^2 = 81\text{ cm}^2$$ • Pole równoległoboku o boku \(a = 18\text{ cm}\) i wysokości \(h = 5\text{ cm}\): $$P_2 = a \times h = 18 \times 5 = 90\text{ cm}^2$$ Równoległobok ma większe pole o: $$90\text{ cm}^2 - 81\text{ cm}^2 = 9\text{ cm}^2$$
Podpunkt c)
• Pole trapezu o podstawach \(a = 1\text{ cm}\), \(b = 19\text{ cm}\) i wysokości \(h = 2\text{ cm}\): $$P_1 = \frac{(a + b) \times h}{2} = \frac{(1 + 19) \times 2}{2} = \frac{20 \times 2}{2} = 20\text{ cm}^2$$ • Pole kwadratu o przekątnej \(d = 6\text{ cm}\): $$P_2 = \frac{d^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18\text{ cm}^2$$ Trapez ma większe pole o: $$20\text{ cm}^2 - 18\text{ cm}^2 = 2\text{ cm}^2$$
Odpowiedź:
a) Romb o boku \(9\text{ cm}\) (o \(1\text{ cm}^2\));
b) Równoległobok (o \(9\text{ cm}^2\));
c) Trapez (o \(2\text{ cm}^2\)).
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Bok kratki ma długość 1. Oblicz pola narysowanych figur.
• Przeanalizuj narysowane litery na poniższej siatce geometrycznej SVG.
• Oblicz pole powierzchni każdej litery osobno, przyjmując pole jednej kratki jako 1.
• Wpisz wyniki w pola tekstowe przypisane do każdej litery.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować obliczenia.
Wskazówka – jak obliczać pola na siatce?
• Metoda podziału: Podziel każdą literę pionowymi lub poziomymi liniami na prostsze figury (prostokąty, trapezy, trójkąty), oblicz ich pola i zsumuj.
• Metoda uzupełniania: Otocz literę prostokatem, oblicz jego pole i odejmij pola „pustych” obszarów (zazwyczaj trójkątów lub prostokątów).
• Twierdzenie Picka: Dla wielokatów o wierzchołkach w punktach kratowych możesz użyć wzoru: \(P = w + \frac{b}{2} - 1\), gdzie \(w\) to liczba punktów kratowych wewnątrz figury, a \(b\) to liczba punktów kratowych na jej brzegu.
Wyraźna siatka geometryczna – napis MUZY (skala 1:1)
Rozwiązanie krok po kroku:
Pola figur wyznaczamy poprzez ich podział na prostsze wielokąty lub metodę uzupełniania do prostokąta opisującego.
Litera M
• Dwa słupki pionowe o szerokości \(1\) i wysokości \(5\): \(2 \times (1 \times 5) = 10\).
• Dwa środkowe ukośne łączniki o szerokości poziomej \(1\) i wysokości pionowej \(2\) (od wysokości 1 do 3): \(2 \times (1 \times 2) = 4\).
• Odejmujemy nachodzące na siebie części u zbiegu ramion. Ostateczne pole wynosi:
$$P_M = \mathbf{11} \quad (\text{lub } 10 \text{ przy uproszczonym liczeniu})$$
Litera U
• Dwa pionowe słupki o szerokości \(1\) i wysokości \(4\): \(2 \times 4 = 8\).
• Dolne połączenie to prostokąt \(2 \times 1 = 2\) oraz dwa narożne trójkąty o przyprostokątnych \(1 \times 1\), z których każdy ma pole \(0.5\).
• Sumaryczne pole dolnej części wynosi \(2 + 0.5 + 0.5 = 3\).
$$P_U = 8 + 3 = \mathbf{11} \quad (\text{lub } 10 \text{ przy zaokrągleniu})$$
Litera Z
• Dwie poziome belki o wymiarach \(4 \times 1\): \(2 \times 4 = 8\).
• Środkowy skośny łącznik to równoległobok o podstawie poziomej \(1\) i wysokości pionowej \(3\): \(1 \times 3 = 3\). Odejmując nakładanie się na krawędziach otrzymujemy:
$$P_Z = \mathbf{10} \quad (\text{lub } 9 \text{ przy innej interpretacji skosu})$$
Litera Y
• Dolny pionowy trzon o wymiarach \(1 \times 2\): \(P = 2\).
• Dwa symetryczne ramiona ukośne o szerokości poziomej \(1\) i wysokości pionowej \(3\): \(2 \times (1 \times 3) = 6\).
$$P_Y = 2 + 6 = \mathbf{8} \quad (\text{lub } 7.5)$$
Podsumowanie pól wszystkich liter:
M = 11, U = 11, Z = 10, Y = 8
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Oblicz miary brakujących kątów w przedstawionych trójkątach.
• Przeanalizuj rysunki trójkątów oznaczone literami a), b) oraz c).
• Oblicz miarę brakującego kąta dla każdego przypadku.
• Wpisz wyniki w odpowiednie pola tekstowe przypisane do każdego podpunktu.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować swoje obliczenia.
Wskazówka – suma kątów w trójkącie
• Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi zawsze \(180^\circ\).
• Kąty przyległe (tworzące razem linię prostą) dają w sumie \(180^\circ\). Możesz wykorzystać tę własność do znalezienia kątów wewnętrznych, gdy podane są kąty zewnętrzne.
Rysunek pomocniczy – trójkąty a), b) oraz c)
Rozwiązanie krok po kroku:
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi zawsze \(180^\circ\).
Podpunkt a)
• Dwa znane kąty wewnętrzne to \(68^\circ\) oraz \(70^\circ\).
• Aby znaleźć miarę trzeciego kąta, odejmujemy sumę znanych kątów od \(180^\circ\):
$$180^\circ - (68^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 138^\circ = \mathbf{42^\circ}$$
Podpunkt b)
• Dwa znane kąty wewnętrzne to \(98^\circ\) oraz \(34^\circ\).
• Trzeci kąt obliczamy w analogiczny sposób:
$$180^\circ - (98^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = \mathbf{48^\circ}$$
Podpunkt c)
• Na rysunku podano dwa kąty zewnętrzne (przyległe do kątów wewnętrznych trójkąta) o miarach \(115^\circ\) i \(121^\circ\).
• Wyznaczamy miary odpowiednich kątów wewnętrznych przy tych wierzchołkach jako kąty przyległe:
– Pierwszy kąt wewnętrzny: \(180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\)
– Drugi kąt wewnętrzny: \(180^\circ - 121^\circ = 59^\circ\)
• Obliczamy miarę trzeciego kąta wewnętrznego, odejmując otrzymane wartości od \(180^\circ\):
$$180^\circ - [(180^\circ - 115^\circ) + (180^\circ - 121^\circ)] = 180^\circ - [65^\circ + 59^\circ] = 180^\circ - 124^\circ = \mathbf{56^\circ}$$
Podsumowanie miar brakujących kątów:
a) = 42°, b) = 48°, c) = 56°
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Dwa boki trójkąta mają długości 3 i 6. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Wymień wszystkie możliwe długości tego boku.
• Przeanalizuj warunek istnienia trójkąta (nierówność trójkąta) dla podanych boków.
• Wyznacz wszystkie całkowite wartości, jakie może przyjąć trzeci bok trójkąta.
• Wpisz liczby w pole tekstowe poniżej, oddzielając je przecinkami.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby sprawdzić poprawność rozwiązania.
Wskazówka – warunek istnienia trójkąta
Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, suma długości każdych dwóch boków musi być większa od długości trzeciego boku. Dla boku \(c\) zachodzi nierówność podwójna: $$|a - b| < c < a + b$$
Rozwiązanie krok po kroku:
Oznaczmy boki trójkąta jako:
$$a = 3, \quad b = 6, \quad c \in \mathbb{C}^+$$
Krok 1: Nierówność trójkąta
Aby z odcinków \(3\), \(6\) i \(c\) można było skonstruować trójkąt, muszą zachodzić jednocześnie trzy nierówności:
1) \(3 + 6 > c \implies \mathbf{c < 9}\)
2) \(3 + c > 6 \implies \mathbf{c > 3}\)
3) \(6 + c > 3 \implies c > -3\) (zawsze spełnione dla długości dodatnich).
Krok 2: Wyznaczenie dopuszczalnego przedziału
Łącząc warunki, otrzymujemy przedział dla boku \(c\):
$$3 < c < 9$$
Krok 3: Wybór liczb całkowitych
Wypisujemy wszystkie liczby całkowite leżące w przedziale obustronnie otwartym od \(3\) do \(9\):
$$\mathbf{4, \quad 5, \quad 6, \quad 7, \quad 8}$$
Odpowiedź:
Możliwe długości trzeciego boku to: 4, 5, 6, 7, 8.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Wyznaczanie zakresu możliwych długości trzeciego boku trójkąta.
• Przeanalizuj podane długości boków dla każdego z podpunktów.
• Skorzystaj z interaktywnej osi liczbowej, aby zaobserwować, jak różnica i suma dwóch boków wyznaczają przedział otwarty dla trzeciego boku.
• Wpisz obliczone wartości ograniczające ($a$ oraz $b$) w odpowiednie pola tekstowe.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność obliczeń.
Wskazówka – nierówność trójkąta i przedział otwarty
• Zgodnie z nierównością trójkąta, długość trzeciego boku $c$ przy danych bokach $x$ i $y$ musi spełniać warunek:
\[|x - y| < c < x + y\]
• Oznacza to, że trzeci bok musi być ściśle większy od różnicy danych boków i ściśle mniejszy od ich sumy (przedział otwarty na osi liczbowej).
Interaktywna oś liczbowa – wizualizacja przedziału długości boku
Tablica jest pusta
- Wybierz podpunkt z menu powyżej, aby zobaczyć dopuszczalny przedział na osi liczbowej.
a) Dwa boki trójkąta mają długości \(4\text{ m}\) i \(6\text{ m}\). Wyjaśnij, dlaczego trzeci bok tego trójkąta musi być krótszy niż \(10\text{ m}\), ale dłuższy niż \(2\text{ m}\).
\(6\text{ m} + 4\text{ m} = \) \(\text{m}\)
Różnica długości boków wyznacza granicę dolną:
\(6\text{ m} - 4\text{ m} = \) \(\text{m}\)
b) Dwa spośród boków trójkąta mają długości \(3\) i \(4\). Wyznacz krańce przedziału na osi liczbowej określające możliwe długości trzeciego boku.
Dolna granica przedziału \(a = \)
Górna granica przedziału \(b = \)
c) Dwa boki trójkąta mają długości \(2\text{ m}\) i \(7\text{ m}\). Długość trzeciego boku tego trójkąta musi być krótsza od \(a\) metrów, ale dłuższa niż \(b\) metrów. Znajdź \(a\) i \(b\).
\(b = \) \(\text{m}\)
d) Dwa boki trójkąta mają długości \(1\text{ m}\) i \(100\text{ m}\). Długość \(d\) trzeciego boku tego trójkąta spełnia nierówność \(a < d < b\). Znajdź \(a\) i \(b\).
\(b = \)
Rozwiązanie zadania 26 i analiza krok po kroku:
Zasada ogólna (Nierówność Trójkąta):
Jeśli dwa boki trójkąta mają długości $x$ oraz $y$ (gdzie $x \ge y$), to długość trzeciego boku $c$ musi jednocześnie spełniać dwa warunki:
1. $c < x + y$ (trzeci bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych),
2. $c > x - y$ (trzeci bok musi być dłuższy od różnicy dwóch pozostałych).
Stąd długość boku $c$ zawsze mieści się w otwartym przedziale liczbowym: $$(x - y, \; x + y)$$
Podpunkt a) (Boki 4 m i 6 m):
• Górne ograniczenie (suma): $6\text{ m} + 4\text{ m} = \mathbf{10\text{ m}}$. Trzeci bok musi być krótszy niż $10\text{ m}$.
• Dolne ograniczenie (różnica): $6\text{ m} - 4\text{ m} = \mathbf{2\text{ m}}$. Trzeci bok musi być dłuższy niż $2\text{ m}$.
Zakres możliwych długości boku: $(2\text{ m}, 10\text{ m})$.
Podpunkt b) (Boki 3 i 4):
• Dolny kres przedziału: $a = 4 - 3 = \mathbf{1}$.
• Górny kres przedziału: $b = 4 + 3 = \mathbf{7}$.
Na osi liczbowej zaznaczamy przedział otwarty $\mathbf{(1, 7)}$.
Podpunkt c) (Boki 2 m i 7 m):
• Długość boku musi być krótsza od $a = 7 + 2 = \mathbf{9\text{ m}}$.
• Długość boku musi być dłuższa niż $b = 7 - 2 = \mathbf{5\text{ m}}$.
Podpunkt d) (Boki 1 m i 100 m):
• Nierówność $a < d < b$:
• $a = 100 - 1 = \mathbf{99\text{ m}}$,
• $b = 100 + 1 = \mathbf{101\text{ m}}$.
Otrzymujemy nierówność: $99 < d < 101$.
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
W dowolnym trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na najdłuższy bok dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty. Wykaż, że te trójkąty oraz trójkąt wyjściowy mają takie same kąty.
• Przeanalizuj poniższy dowód geometryczny i jego poszczególne etapy.
• Użyj interaktywnej tablicy geometrycznej, aby zobaczyć, jak kąty \(\alpha\) oraz \(\beta\) układają się w trójkącie głównym oraz w dwóch mniejszych trójkątach prostokątnych.
• Wpisz brakujące miary kątów oraz wyciągnij wniosek dotyczący cechy podobieństwa.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby zweryfikować poprawność wprowadzonych pól.
Wskazówka – suma kątów w trójkącie prostokątnym
• W trójkącie prostokątnym o kącie prostym \(90^\circ\) suma dwóch pozostałych kątów ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) wynosi zawsze \(90^\circ\):
\[\alpha + \beta = 90^\circ \implies \beta = 90^\circ - \alpha \quad \text{oraz} \quad \alpha = 90^\circ - \beta\]
• Wysokość opuszczona na najdłuższy bok (przeciwprostokątną) jest prostopadła do niej, co tworzy dwa mniejsze trójkąty prostokątne o kątach \(90^\circ\).
Interaktywna tablica geometryczna – podział trójkąta prostokątnego przez wysokość
Tablica jest pusta
- Wybierz przycisk z menu powyżej, aby przeanalizować podział trójkąta prostokątnego i powiązania między kątami.
a) Trójkąt wyjściowy \(ABC\): Niech w trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(90^\circ\), a kąt przy wierzchołku \(A\) oznaczmy jako \(\alpha\). Ile wynosi suma kątów ostrych \(\alpha + \beta\) w tym trójkącie?
\(\alpha + \beta = \) \(^\circ\)
Stąd drugi kąt ostry wynosi \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Kąty trójkąta wyjściowego to \((90^\circ, \alpha, \beta)\).
b) Lewy trójkąt \(ADC\): Wysokość \(CD\) opuszczona na najdłuższy bok \(AB\) tworzy kąt prosty \(\angle ADC = 90^\circ\). Ponieważ kąt przy wierzchołku \(A\) wynosi \(\alpha\), podaj miarę kąta \(\angle ACD\).
Kąt przy wierzchołku \(A\): \(\angle DAC = \alpha\)
Zatem drugi kąt ostry \(\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = \)
c) Prawy trójkąt \(BDC\): W prawym trójkącie prostokątnym \(BDC\) kąt \(\angle BDC = 90^\circ\), a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(\beta\). Wyznacz miarę drugiego kąta ostrego \(\angle BCD\).
Kąt przy wierzchołku \(B\): \(\angle DBC = \beta\)
Zatem drugi kąt ostry \(\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - \beta = \)
d) Podsumowanie dowodu: Porównaj kąty we wszystkich trzech trójkątach: trójkącie wyjściowym \(ABC\), lewym \(ADC\) oraz prawym \(BDC\). Podaj cechę podobieństwa trójkątów (wpisz skrót, np. KKK).
Na mocy cechy:
trójkąty \(ABC\), \(ADC\) oraz \(BDC\) mają takie same kąty (są podobne).
Formalny dowód matematyczny – krok po kroku:
Krok 1: Oznaczenie kątów w trójkącie wyjściowym \(ABC\)
Rozważmy trójkąt prostokątny $ABC$, w którym kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, czyli $\angle ACB = 90^\circ$.
Niech miara jednego z kątów ostrych wynosi:
\[\angle CAB = \alpha\]
Ponieważ suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$, miara drugiego kąta ostrego wynosi:
\[\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha = \beta\]
Zatem trójkąt wyjściowy $ABC$ ma kąty: $\mathbf{(90^\circ, \alpha, \beta)}$.
Krok 2: Analiza lewego trójkąta $ADC$ powstałego przez podział wysokością
Wysokość $CD$ jest prostopadła do najdłuższego boku $AB$, zatem $\angle ADC = 90^\circ$.
W trójkącie $ADC$ znamy dwa kąty:
1. $\angle ADC = 90^\circ$,
2. $\angle DAC = \alpha$.
Obliczamy trzeci kąt $\angle ACD$:
\[\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha = \mathbf{\beta}\]
Trójkąt $ADC$ ma kąty: $\mathbf{(90^\circ, \alpha, \beta)}$.
Krok 3: Analiza prawego trójkąta $BDC$
W trójkącie $BDC$ wysokość tworzy kąt prosty $\angle BDC = 90^\circ$, a kąt przy wierzchołku $B$ wynosi $\angle DBC = \beta$.
Obliczamy trzeci kąt $\angle BCD$:
\[\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - \beta = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \mathbf{\alpha}\]
Trójkąt $BDC$ ma kąty: $\mathbf{(90^\circ, \alpha, \beta)}$.
Konkluzja dowodu:
Każdy z trzech trójkątów: trójkąt wyjściowy $ABC$, lewy trójkąt $ADC$ oraz prawy trójkąt $BDC$ posiada dokładnie te same miary kątów: $\mathbf{90^\circ, \alpha \text{ oraz } \beta}$. Na mocy cechy Kąt-Kąt-Kąt (KKK) trójkąty te są podobne i mają jednakowe kąty, co kończy dowód. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość 10, a wysokość na niego opuszczona ma długość 7. Z tego trójkąta wycięto trójkąt \(ABD\), tak jak na rysunku. Pole powstałego w ten sposób czworokąta \(ADBC\) jest równe 15. Oblicz wysokość trójkąta \(ABD\) opuszczoną z wierzchołka \(D\).
• Przeanalizuj treść zadania oraz rysunek.
• Wykonaj obliczenia dla poszczególnych kroków w poniższych polach.
• Kliknij przycisk "Sprawdź wyniki", aby weryfikować poprawność swoich obliczeń.
Wskazówka – ogólne wzory geometryczne
• Pole trójkąta o podstawie \(a\) i wysokości \(h\):
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
• Zależność między polami figur na rysunku:
\[P_{ADBC} = P_{ABC} - P_{ABD}\]
a) Pole całego trójkąta \(ABC\): Oblicz pole trójkąta wyjściowego \(ABC\), mając dane \(|AB| = 10\) oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka \(C\) równą 7.
b) Pole wyciętego trójkąta \(ABD\): Oblicz pole trójkąta \(ABD\), wiedząc, że pole czworokąta \(ADBC\) wynosi 15.
c) Wysokość trójkąta \(ABD\): Wyznacz wysokość \(h_D\) opuszczoną z wierzchołka \(D\) na bok \(AB = 10\).
Formalny dowód i rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
Krok 1: Obliczenie pola trójkąta wyjściowego \(ABC\)
Dane w zadaniu:
- Długość podstawy: $|AB| = 10$
- Wysokość opuszczona z wierzchołka $C$ na bok $AB$: $h_C = 7$
Korzystamy z klasycznego wzoru na pole trójkąta:
\[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 = 35\]
Krok 2: Wyznaczenie pola wyciętego trójkąta $ABD$
Czworokąt $ADBC$ powstał w wyniku wycięcia trójkąta $ABD$ z trójkąta $ABC$. Jego pole wynosi: \[P_{ADBC} = P_{ABC} - P_{ABD}\] Podstawiamy znane wartości ($P_{ABC} = 35$ oraz $P_{ADBC} = 15$): \[15 = 35 - P_{ABD} \implies P_{ABD} = 35 - 15 = \mathbf{20}\]
Krok 3: Obliczenie wysokości $h_D$ trójkąta $ABD$
Trójkąt $ABD$ opiera się na tej samej podstawie $|AB| = 10$. Oznaczmy jego wysokość opuszczoną z wierzchołka $D$ jako $h_D$.
Zapisujemy wzór na pole trójkąta $ABD$:
\[P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_D\]
\[20 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_D\]
\[20 = 5 \cdot h_D \implies h_D = \frac{20}{5} = \mathbf{4}\]
Odpowiedź:
Wysokość trójkąta $ABD$ opuszczona z wierzchołka $D$ na bok $AB$ wynosi $\mathbf{4}$. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
*29. Trójkąt \(ACD\) został rozcięty odcinkiem \(DB\) tak, jak pokazano na rysunku. Wysokość trójkąta \(ABD\) opuszczona z wierzchołka \(A\) ma długość 2. Jaką długość ma wysokość trójkąta \(BCD\) opuszczona z wierzchołka \(C\)?
• Przeanalizuj treść zadania oraz wymiary pól z kratek na rysunku.
• Wpisuj ułamki zwykłe (np.
10/3 lub 3 1/3), składnię LaTeX (np. \frac{10}{3}) lub ułamki dziesiętne (np. 13.5).• Obok każdego pola zobaczysz podgląd wpisanego ułamka na żywo.
• Po uzupełnieniu pól kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – obliczanie pól z siatki i wzoru ze wspólną podstawą
• Pole trójkąta z kratek: \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)
• Zależność dla trójkąta \(ABD\) o danej wysokości \(h_A = 2\):
\[P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot h_A \implies |BD| = P_{ABD}\]
• Zależność dla trójkąta \(BCD\) z podstawą \(|BD|\) i szukaną wysokością \(h_C\):
\[P_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot h_C \implies h_C = \frac{2 \cdot P_{BCD}}{|BD|}\]
a) Długość wspólnego odcinka \(|BD|\): Oblicz pole trójkąta \(ABD\) z kratek (\(\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\)), a następnie wyznacz długość boku \(|BD|\), wiedząc, że wysokość \(h_A = 2\).
b) Pole trójkąta \(BCD\): Odczytaj z siatki na rysunku podstawę oraz wysokość trójkąta \(BCD\) i oblicz jego pole.
c) Wysokość \(h_C\) trójkąta \(BCD\): Oblicz wysokość \(h_C\) opuszczoną z wierzchołka \(C\) na bok \(BD\), korzystając ze wzoru \(P_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot h_C\).
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
Krok 1: Obliczenie pola trójkąta $ABD$ oraz długości odcinka $BD$
Z siatki na rysunku odczytujemy podstawę równą $9$ kratek oraz wysokość równą $3$ kratki dla trójkąta $ABD$:
\[P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = 13{,}5\]
Z treści zadania wiemy, że wysokość trójkąta $ABD$ opuszczona z wierzchołka $A$ na bok $BD$ wynosi $h_A = 2$.
Zapisujemy wzór na pole trójkąta z tą wysokością:
\[P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot h_A \implies 13{,}5 = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot 2 \implies |BD| = \mathbf{13{,}5} \quad \left(\text{czyli } 13\frac{1}{2} \text{ lub } \frac{27}{2}\right)\]
Krok 2: Obliczenie pola trójkąta $BCD$
Z siatki na rysunku odczytujemy dla trójkąta $BCD$ podstawę równą $9$ kratek oraz wysokość równą $5$ kratek: \[P_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 = \mathbf{22{,}5} \quad \left(\text{czyli } 22\frac{1}{2} \text{ lub } \frac{45}{2}\right)\]
Krok 3: Obliczenie wysokości $h_C$ trójkąta $BCD$
Wykorzystujemy wyznaczoną długość podstawy $|BD| = 13{,}5$ oraz pole $P_{BCD} = 22{,}5$: \[P_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot |BD| \cdot h_C\] \[22{,}5 = \frac{1}{2} \cdot 13{,}5 \cdot h_C \implies 22{,}5 = 6{,}75 \cdot h_C\] \[h_C = \frac{22{,}5}{6{,}75} = \frac{2250}{675} = \mathbf{\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}}\]
Odpowiedź:
Wysokość trójkąta $BCD$ opuszczona z wierzchołka $C$ wynosi $\mathbf{\frac{10}{3}}$ (czyli $\mathbf{3\frac{1}{3}}$). \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
a) Jedna z przekątnych rombu jest nachylona do boku pod kątem \(23^\circ\). Oblicz miary kątów tego rombu.
b) Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem \(34^\circ\). Oblicz miary kątów, jakie tworzą przekątne z bokami tego prostokąta.
• Przeanalizuj własności przekątnych w rombie i prostokącie.
• Wpisuj wartości liczbowe kątów w stopniach (np.
30, 150 lub 30°).• Obok każdego pola zobaczysz podgląd wpisanego kąta na żywo.
• Po uzupełnieniu pól kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – własności przekątnych czworokątów
• Romb: Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych, a sumaryczna miara kątów sąsiednich wynosi \(180^\circ\).
• Prostokąt: Przekątne prostokąta są równej długości i dzielą się na połowy, tworząc trójkąty równoramienne. Kąty przyległe przy punkcie przecięcia przekątnych dopełniają się do \(180^\circ\).
a) Kąty rombu: Wyznacz miary kąta ostrego oraz kąta rozwartego rombu.
b) Kąty przekątnych z bokami prostokąta: Oblicz dwa kąty, jakie przekątna tworzy z bokami prostokąta.
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
Podpunkt a) Obliczenie kątów rombu
Przekątne rombu dzielą jego kąty wewnętrzne na połowy (są dwusiecznymi kątów).
Skoro przekątna jest nachylona do boku pod kątem $23^\circ$, to cały kąt ostry rombu wynosi:
\[\alpha = 2 \cdot 23^\circ = \mathbf{46^\circ}\]
Sąsiednie kąty w rombie sumują się do $180^\circ$, zatem kąt rozwarty wynosi:
\[\beta = 180^\circ - 46^\circ = \mathbf{134^\circ}\]
Kąty rombu to: $\mathbf{46^\circ, 134^\circ, 46^\circ, 134^\circ}$.
Podpunkt b) Obliczenie kątów, jakie przekątne tworzą z bokami prostokąta
Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem $34^\circ$ i dzielą się na połowy, tworząc trójkąty równoramienne.
1. Trójkąt z krótszym bokiem: Kąt między ramionami wynosi $34^\circ$. Kąty przy podstawie (z krótszym bokiem) są równe:
\[\frac{180^\circ - 34^\circ}{2} = \frac{146^\circ}{2} = \mathbf{73^\circ}\]
2. Trójkąt z dłuższym bokiem: Kąt przyległy w punkcie przecięcia przekątnych wynosi $180^\circ - 34^\circ = 146^\circ$. Kąty przy podstawie (z dłuższym bokiem) wynoszą:
\[\frac{180^\circ - 146^\circ}{2} = \frac{34^\circ}{2} = \mathbf{17^\circ}\]
(Można też skorzystać z faktu, że kąt prostokąta wynosi $90^\circ$: $90^\circ - 73^\circ = 17^\circ$).
Odpowiedź:
a) Kąty rombu wynoszą $\mathbf{46^\circ}$ oraz $\mathbf{134^\circ}$.
b) Przekątne tworzą z bokami prostokąta kąty $\mathbf{17^\circ}$ oraz $\mathbf{73^\circ}$. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Narysowane pary czworokątów mają takie same pola. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.
a) romb i prostokąt | b) równoległobok i trapez
• Przyjmij $h$ jako odległość między prostymi równoległymi, ułóż równanie pól i wyznacz brakującą długość.
• Wpisuj wartości liczbowe (np.
8 lub 12).• Obok każdego pola zobaczysz podgląd wpisanej liczby na żywo.
• Po uzupełnieniu pól kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – porównywanie pól ze wspólną wysokością \(h\)
• Przyjmij, że wysokość/odległość między prostymi wynosi \(h\).
• Podpunkt a: \(P_{\text{rombu}} = \frac{10 \cdot h}{2} = 5h\), \(P_{\text{prostokąta}} = h \cdot a = h^2 \implies 5h = h^2\)
• Podpunkt b: \(P_{\text{równoległoboku}} = 10 \cdot h\), \(P_{\text{trapezu}} = \frac{(6 + b) \cdot h}{2} \implies 10h = \frac{(6 + b)h}{2}\)
a) Romb i prostokąt: Oblicz długość boku prostokąta oznaczonego literą \(a\).
b) Równoległobok i trapez: Oblicz długość podstawy trapezu oznaczoną literą \(b\).
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
Oznaczenie pomocnicze:
Niech $h$ oznacza odległość między prostymi równoległymi ($h > 0$). Wysokość wszystkich rozpatrywanych figur jest równa $h$.
Podpunkt a) Romb i prostokąt
1. Obliczamy pole rombu o przekątnych $10$ oraz $h$:
\[P_{\text{rombu}} = \frac{10 \cdot h}{2} = 5h\]
2. Prostokąt ma boki równe $h$ oraz $a$, stąd $P_{\text{prostokąta}} = h \cdot a = h^2$ (gdyż $a = h$).
3. Przyrównujemy pola obu figur:
\[5h = h^2 \implies h = 5\]
Stąd długość boku prostokąta wynosi: $a = h = \mathbf{5}$.
Podpunkt b) Równoległobok i trapez
1. Pole równoległoboku o podstawie $10$ i wysokości $h$: \[P_{\text{równoległoboku}} = 10 \cdot h = 10h\] 2. Pole trapezu o podstawach $6$ oraz $b$ i wysokości $h$: \[P_{\text{trapezu}} = \frac{(6 + b) \cdot h}{2}\] 3. Przyrównujemy pola figur i dzielimy obustronnie przez $h$: \[10h = \frac{(6 + b) \cdot h}{2} \implies 10 = \frac{6 + b}{2} \implies 20 = 6 + b \implies b = \mathbf{14}\]
Odpowiedź:
Długości szukanych odcinków wynoszą odpowiednio: $a = \mathbf{5}$ oraz $b = \mathbf{14}$. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Każdy z narysowanych czworokątów (trapez równoramienny, romb i równoległobok) ma obwód równy \(24\) i pole równe \(30\). Oblicz wysokości tych czworokątów.
a) trapez równoramienny | b) romb | c) równoległobok
• Wykorzystaj podany obwód \(O = 24\) do wyznaczenia nieznanych boków/sumy podstaw, a następnie oblicz wysokość ze wzoru na pole \(P = 30\).
• Wpisuj liczby całkowite, ułamki zwykłe (np.
15/4 lub 3 3/4) lub dziesiętne (np. 3.75).• Obok każdego pola zobaczysz podgląd wpisanej liczby na żywo.
• Po uzupełnieniu pól kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – obliczanie wysokości z pól i obwodów
• Trapez równoramienny: \(a + b = 24 - 2 \cdot 6 = 12 \implies P = \frac{12 \cdot h_1}{2} = 30\)
• Romb: \(a = 24 : 4 = 6 \implies P = 6 \cdot h_2 = 30\)
• Równoległobok: podstawa wynosi \(8 \implies P = 8 \cdot h_3 = 30\)
a) Wysokość trapezu równoramiennego: Oblicz sumę podstaw \(a + b = 24 - 2 \cdot 6 = 12\), a następnie wyznacz wysokość \(h_1\).
b) Wysokość rombu: Wyznacz długość boku rombu \(a = 24 : 4 = 6\), a następnie oblicz wysokość \(h_2\).
c) Wysokość równoległoboku: Z boku opuszczonej wysokości równego \(8\) oblicz wysokość \(h_3\).
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
a) Wysokość trapezu równoramiennego
Obwód trapezu wynosi $O = 24$, a jego dwa ramiona mają po $6$.
Obliczamy sumę długości obu podstaw $a + b$:
\[a + b = 24 - 2 \cdot 6 = 12\]
Ze wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a + b) \cdot h_1}{2} = 30$:
\[\frac{12 \cdot h_1}{2} = 30 \implies 6h_1 = 30 \implies h_1 = \mathbf{5}\]
b) Wysokość rombu
Romb ma $4$ boki równej długości. Z obwodu $O = 24$ obliczamy bok $a$: \[a = 24 : 4 = 6\] Ze wzoru na pole rombu $P = a \cdot h_2 = 30$: \[6 \cdot h_2 = 30 \implies h_2 = \mathbf{5}\]
c) Wysokość równoległoboku
Podstawa, na którą opuszczono wysokość $h_3$, ma długość $8$.
(Drugi bok wynosi $a = (24 - 2 \cdot 8) / 2 = 4$).
Ze wzoru na pole równoległoboku $P = 8 \cdot h_3 = 30$:
\[8 \cdot h_3 = 30 \implies h_3 = \frac{30}{8} = \mathbf{\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3{,}75}\]
Odpowiedź:
Wysokości figur wynoszą odpowiednio: trapezu $h_1 = \mathbf{5}$, rombu $h_2 = \mathbf{5}$ oraz równoległoboku $h_3 = \mathbf{\frac{15}{4}}$ (czyli $\mathbf{3\frac{3}{4}}$ lub $\mathbf{3{,}75}$). \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
W pewnym czworokącie największy kąt jest o \(180^\circ\) większy od najmniejszego, a różnica między miarami pozostałych dwóch kątów jest równa \(80^\circ\). Ile kątów ostrych może mieć ten czworokąt?
• Przeanalizuj układ równań wynikający z sumy kątów w czworokącie (\(360^\circ\)) oraz podanych zależności.
• Wpisz liczbę całkowitą oznaczającą liczbę kątów ostrych tego czworokąta.
• Obok pola zobaczysz podgląd wpisanej liczby na żywo.
• Po uzupełnieniu pola kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – badanie miar kątów czworokąta
• Oznacz najmniejszy kąt jako \(\alpha\). Wtedy największy kąt wynosi \(\delta = \alpha + 180^\circ\).
• Suma pozostałych dwóch kątów \(\beta + \gamma\) wynosi \(360^\circ - \alpha - (\alpha + 180^\circ) = 180^\circ - 2\alpha\).
• Wyznacz zakresy miar poszczególnych kątów, aby sprawdzić, ile z nich ma miarę mniejszą niż \(90^\circ\).
Podaj liczbę kątów ostrych w tym czworokącie:
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
1. Oznaczenie kątów czworokąta
Niech kąty czworokąta będą oznaczone jako $x_1, x_2, x_3, x_4$, gdzie $x_1$ jest najmniejszym kątem, a $x_4$ – największym.
Z treści zadania wiemy, że największy kąt jest o $180^\circ$ większy od najmniejszego:
\[x_4 = x_1 + 180^\circ\]
2. Wykorzystanie sumy kątów w czworokącie
Suma wszystkich kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi $360^\circ$: \[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 360^\circ\] Podstawiamy $x_4 = x_1 + 180^\circ$: \[x_1 + x_2 + x_3 + (x_1 + 180^\circ) = 360^\circ \implies 2x_1 + x_2 + x_3 = 180^\circ\]
3. Wykorzystanie różnicy pozostałych dwóch kątów
Różnica między pozostałymi dwoma kątami ($x_2$ i $x_3$) wynosi $80^\circ$. Bez straty ogólności przyjmijmy, że $x_3 = x_2 + 80^\circ$.
Podstawiamy tę zależność do poprzedniego równania:
\[2x_1 + x_2 + (x_2 + 80^\circ) = 180^\circ \implies 2x_1 + 2x_2 = 100^\circ \implies x_1 + x_2 = 50^\circ\]
Zatem $x_2 = 50^\circ - x_1$, a trzeci kąt to $x_3 = (50^\circ - x_1) + 80^\circ = 130^\circ - x_1$.
4. Analiza ostrości kątów (kąt ostry to kąt $< 90^\circ$)
Ponieważ $x_1$ jest najmniejszym kątem ($x_1 \le x_2$), z równania $x_1 + x_2 = 50^\circ$ wynika, że $0^\circ < x_1 \le 25^\circ$.
Sprawdźmy typy poszczególnych kątów:
• **Pierwszy kąt ($x_1$):** $0^\circ < x_1 \le 25^\circ < 90^\circ \implies$ **kąt ostry**.
• **Drugi kąt ($x_2$):** $x_2 = 50^\circ - x_1$, więc $25^\circ \le x_2 < 50^\circ < 90^\circ \implies$ **kąt ostry**.
• **Trzeci kąt ($x_3$):** $x_3 = 130^\circ - x_1$, więc $105^\circ \le x_3 < 130^\circ > 90^\circ \implies$ **kąt rozwarty**.
• **Czwarty kąt ($x_4$):** $x_4 = 180^\circ + x_1 > 180^\circ \implies$ **kąt wklęsły**.
Odpowiedź:
Ten czworokąt może mieć **dokładnie 2 kąty ostre** (są to kąty $x_1$ oraz $x_2$). \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Wykaż, że jeśli trapez ma trzy boki o jednakowych długościach, to jego przekątne dzielą kąty przy jednej z podstaw na połowy.
• Przeanalizuj poniższy dowód oparty na oznaczeniu kąta \(\alpha\) między przekątną a ramieniem trapezu.
• W celu weryfikacji zrozumienia dowodu: Jeśli kąt między przekątną a ramieniem wynosi \(\alpha = 35^\circ\), oblicz miarę całego kąta przy dolnej podstawie trapezu (\(2\alpha\)).
• Wpisz samą liczbę (np.
70).• Obok pola zobaczysz podgląd wpisanej liczby na żywo.
• Po uzupełnieniu pola kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka do dowodu (metoda oparta na kącie \(\alpha\))
• Niech \(\alpha\) oznacza kąt między przekątną a ramieniem trapezu.
• W trójkącie równoramiennym przy górnej podstawie kąt wynosi \(180^\circ - 2\alpha\) (kąt między górną podstawą a ramieniem).
• Z właściwości kątów przy jednym ramieniu trapezu, cały kąt przy dolnej podstawie wynosi \(180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha\).
Pytanie sprawdzające zrozumienie dowodu: Jeśli kąt \(\alpha\) między przekątną a ramieniem wynosi \(35^\circ\), to ile wynosi cały kąt przy dolnej podstawie (\(2\alpha\))?
Formalny dowód matematyczny – krok po kroku:
Założenia i oznaczenia:
Rozważmy trapez $ABCD$ o podstawach $AB \parallel CD$, w którym ramiona oraz górna podstawa mają równe długości: \[|AD| = |CD| = |BC|\] Niech **$\alpha$** oznacza kąt między przekątną $AC$ a ramieniem $AD$ trapezu: \[\angle CAD = \alpha\]
Krok 1: Wyznaczenie kąta przy górnej podstawie
Trójkąt $\triangle ACD$ jest trójkątem równoramiennym ($|AD| = |CD|$), więc kąty przy jego podstawie $AC$ są równe: \[\angle ACD = \angle CAD = \alpha\] Suma kątów w trójkącie $\triangle ACD$ wynosi $180^\circ$, zatem kąt $\angle ADC$ (kąt między górną podstawą a ramieniem trapezu) wynosi: \[\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha\]
Krok 2: Wyznaczenie kąta przy dolnej podstawie
Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu ($AD$) wynosi $180^\circ$ (kąty jednoległe przy prostych równoległych $AB \parallel CD$): \[\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ\] Stąd kąt przy dolnej podstawie $\angle DAB$ wynosi: \[\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha\]
Wniosek i podsumowanie:
Cały kąt przy dolnej podstawie ma miarę $2\alpha$, a kąt między ramieniem a przekątną wynosi $\alpha$. Zatem kąt między przekątną a dolną podstawą wynosi:
\[\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 2\alpha - \alpha = \alpha\]
Ponieważ $\angle CAD = \alpha$ oraz $\angle CAB = \alpha$, oznacza to, że przekątna $AC$ dzieli kąt przy dolnej podstawie na dwa równe kąty o miarach $\alpha$ (czyli dzieli go na połowy).
Analogicznie z symetrii trapezu równoramiennego druga przekątna $BD$ dzieli kąt $\angle ABC = 2\alpha$ na połowy. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
a) Wykaż, że przekątne dowolnego prostokąta dzielą go na cztery trójkąty o jednakowych polach.
b) Wykaż, że przekątne dowolnego równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o jednakowych polach.
• Przeanalizuj poniższy dowód oparty na prostym wzorze na pole trójkąta \(P = \frac{1}{2} a \cdot h\) (porównanie podstaw i wspólnej wysokości).
• Wyznacz pola pojedynczych trójkątów dla podanych przykładowych pól figur, aby zweryfikować zrozumienie faktu, że stanowią one dokładnie \(\frac{1}{4}\) pola całej figury.
• Wpisuj liczby całkowite lub ułamki.
• Obok każdego pola zobaczysz podgląd wpisanej liczby na żywo.
• Po uzupełnieniu pól kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – podstawowy wzór na pole trójkąta \(P = \frac{1}{2} a \cdot h\)
• Jeśli dwa trójkąty mają **podstawy o jednakowej długości** leżące na jednej prostej oraz **wspólny wierzchołek** (czyli tę samą wysokość opuszczoną na tę prostą), to ich pola są **równe**.
• Ponieważ punkt przecięcia przekątnych $O$ dzieli każdą przekątną na połowy (\(|AO|=|CO|\) oraz \(|BO|=|DO|\)), trójkąty przyległe spełniają ten warunek i mają identyczne pola równe \(\frac{1}{4}\) pola całej figury.
a) Pole trójkąta w prostokącie: Jeśli pole prostokąta wynosi \(P = 48\text{ cm}^2\), to ile wynosi pole każdego z czterech trójkątów?
b) Pole trójkąta w równoległoboku: Jeśli pole równoległoboku wynosi \(P = 60\text{ cm}^2\), to ile wynosi pole każdego z czterech trójkątów?
Szkolny dowód matematyczny (metoda podstawy i wysokości):
Dowód dla dowolnego równoległoboku (i prostokąta):
Niech $ABCD$ będzie dowolnym równoległobokiem, a punkt $O$ punktem przecięcia jego przekątnych $AC$ i $BD$.
Z własności równoległoboku wiemy, że przekątne dzielą się na połowy w punkcie przecięcia:
\[|AO| = |CO| \quad \text{oraz} \quad |BO| = |DO|\]
Krok 1: Porównanie pól trójkątów $\triangle AOB$ i $\triangle COB$
• Trójkąty $\triangle AOB$ i $\triangle COB$ mają podstawy $AO$ i $CO$ leżące na jednej prostej $AC$. Ich długości są równe: $|AO| = |CO|$.
• Oba trójkąty mają wspólny wierzchołek $B$, co oznacza, że wysokość opuszczona z wierzchołka $B$ na prostą $AC$ (oznaczmy ją jako $h_B$) jest dla obu tych trójkątów dokładnie taka sama.
• Obliczamy pola ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}$:
\[P(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \cdot |AO| \cdot h_B\]
\[P(\triangle COB) = \frac{1}{2} \cdot |CO| \cdot h_B\]
Ponieważ $|AO| = |CO|$, stąd:
\[P(\triangle AOB) = P(\triangle COB)\]
Krok 2: Porównanie pól trójkątów $\triangle AOB$ i $\triangle AOD$
• Trójkąty $\triangle AOB$ i $\triangle AOD$ mają podstawy $BO$ i $DO$ leżące na jednej prostej $BD$. Ich długości są równe: $|BO| = |DO|$.
• Oba trójkąty mają wspólny wierzchołek $A$, zatem wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ na prostą $BD$ (oznaczmy ją jako $h_A$) jest dla nich taka sama.
• Zatem:
\[P(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \cdot |BO| \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot |DO| \cdot h_A = P(\triangle AOD)\]
Krok 3: Porównanie pól trójkątów $\triangle COD$ i $\triangle AOD$
• Analogicznie, trójkąty $\triangle COD$ i $\triangle AOD$ mają równe podstawy $|CO| = |AO|$ oraz wspólną wysokość $h_D$ opuszczoną z wierzchołka $D$ na prostą $AC$: \[P(\triangle COD) = P(\triangle AOD)\]
Wniosek końcowy:
Z powyższych równości wynika bezpośrednio, że pola wszystkich czterech trójkątów są sobie równe:
\[P(\triangle AOB) = P(\triangle COB) = P(\triangle COD) = P(\triangle AOD)\]
Skoro suma pól tych czterech trójkątów daje pole całej figury $P$, to pole każdego z nich wynosi dokładnie $\frac{1}{4} P$.
Ponieważ prostokąt jest szczególnym rodzajem równoległoboku (jego przekątne również przecinają się w połowie), dowód ten w całości stosuje się zarówno do prostokąta (podpunkt a), jak i do równoległoboku (podpunkt b). \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Przekątne dzielą narysowany obok czworokąt na cztery trójkąty. Pola trzech z tych trójkątów podano na rysunku. Jakie jest pole czwartego trójkąta?
• Wykorzystaj zależności między długościami odcinków przekątnych \(x, y\) oraz wysokościami \(h, H\) opuszczonymi na wspólną przekątną.
• Oblicz nieznane pole \(P\) i wpisz wynik w poniższe pole.
• Obok pola zobaczysz podgląd wpisanej liczby na żywo.
• Po uzupełnieniu pola kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – porównanie wysokości \(h\) i \(H\)
• Dzieląc przekątną na odcinki \(x\) oraz \(y\) i przyjmując wysokości \(h\) oraz \(H\):
• Stosunek wysokości wynosi \(\frac{h}{H} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\).
• Wykorzystaj ten stosunek do pola całych trójkątów opartych na przekątnej \(x+y\): \(\frac{h}{H} = \frac{15 + P}{40}\).
Oblicz pole czwartego trójkąta \(P\):
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
1. Oznaczenia odcinków i wysokości
Oznaczmy części przekątnej, na które podzielił ją punkt przecięcia, jako $x$ oraz $y$ (cała przekątna ma długość $x+y$).
Niech $h$ oznacza wysokość opuszczoną na tę przekątną z górnego wierzchołka, a $H$ – wysokość opuszczoną z dolnego wierzchołka.
2. Wyrażenie pól trójkątów ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}$
Dla górnych trójkątów o wysokości $h$: \[\frac{1}{2} x h = 15\] \[\frac{1}{2} y h = P\] \[\frac{1}{2} (x+y) h = 15 + P\] Dla dolnych trójkątów o wysokości $H$: \[\frac{1}{2} x H = 10\] \[\frac{1}{2} y H = 30\] \[\frac{1}{2} (x+y) H = 10 + 30 = 40\]
3. Wyznaczenie stosunku wysokości $\frac{h}{H}$
Z porównania pól opartych na odcinku $x$: \[\frac{\frac{1}{2} x h}{\frac{1}{2} x H} = \frac{15}{10} \implies \frac{h}{H} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\] Z porównania pól całych trójkątów opartych na przekątnej $x+y$: \[\frac{\frac{1}{2} (x+y) h}{\frac{1}{2} (x+y) H} = \frac{15 + P}{40} \implies \frac{h}{H} = \frac{15 + P}{40}\]
4. Przyrównanie stosunków i obliczenie pola $P$
Przyrównujemy oba wyrażenia na $\frac{h}{H}$: \[\frac{3}{2} = \frac{15 + P}{40}\] Mnożymy obie strony równania przez $40$: \[60 = 15 + P\] \[P = 60 - 15 = \mathbf{45}\]
Odpowiedź:
Pole czwartego trójkąta wynosi $P = \mathbf{45}$. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F — jeśli jest fałszywe.
• Przeanalizuj każde zdanie pod kątem własności figur płaskich (warunek trójkąta, suma kątów, cechy przekątnych w czworokątach).
• Kliknij przycisk P (Prawda) lub F (Fałsz) przy każdym zdaniu.
• Po uzupełnieniu wszystkich odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówki geometryczne:
• Warunek trójkąta: Trójkąt o bokach \(a, b, c\) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dowolnych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku (wystarczy sprawdzić: \(a + b > c\) dla dwóch krótszych boków).
• Suma kątów w trójkącie: W każdym trójkącie suma kątów wewnętrznych wynosi dokładnie \(180^\circ\).
• Przekątne czworokątów:
– Prostopadłe przekątne mają np. romby, ale także deltoidy (latawce).
– Równe przekątne mają np. prostokąty, ale także trapezy równoramienne.
– Przekątne dzielące się na pół to cecha charakterystyczna każdego równoległoboku.
Formalne wyjaśnienie i analiza każdego zdania krok po kroku:
1. Istnieje trójkąt o bokach długości $10\text{ cm}$, $202\text{ cm}$ i $195\text{ cm}$. ➔ PRAWDA (P)
Sprawdzamy nierówność trójkąta. Najdłuższy bok ma długość $202\text{ cm}$. Suma dwóch krótszych boków to: \[10\text{ cm} + 195\text{ cm} = 205\text{ cm}\] Ponieważ $205\text{ cm} > 202\text{ cm}$, spełniony jest warunek trójkąta (\(a + b > c\)). Taki trójkąt istnieje.
2. Istnieje trójkąt o kątach $11^\circ$, $70^\circ$ i $99^\circ$. ➔ PRAWDA (P)
Sprawdzamy sumę miar kątów w trójkącie: \[11^\circ + 70^\circ + 99^\circ = 180^\circ\] Suma kątów wynosi dokładnie $180^\circ$, zatem taki trójkąt istnieje.
3. Każdy czworokąt, którego przekątne są prostopadłe, jest rombem. ➔ FAŁSZ (F)
Przekątne prostopadłe ma również np. deltoid (latawiec), w którym pary sąsiednich boków są równe, ale nie wszystkie cztery boki są tej samej długości. Istnieją również czworokąty wklęsłe o prostopadłych przekątnych. Dlatego zdanie jest fałszywe.
4. Każdy czworokąt, którego przekątne mają jednakowe długości, jest prostokątem. ➔ FAŁSZ (F)
Przekątne jednakowej długości posiada również trapez równoramienny (niebędący prostokątem). Wynika z tego, że równość przekątnych nie gwarantuje, że czworokąt jest prostokątem.
5. Każdy czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie, jest równoległobokiem. ➔ PRAWDA (P)
Przecinanie się przekątnych w połowie jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby czworokąt był równoległobokiem. Wynika to wprost z cech przystawania trójkątów utworzonych przez przekątne (kąty wierzchołkowe i przeciwległe boki równe i równoległe).
Podsumowanie odpowiedzi:
1 – P, 2 – P, 3 – F, 4 – F, 5 – P \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Z prostokąta o wymiarach \(12\text{ cm} \times 14\text{ cm}\) wycięto trójkąt o bokach długości \(13\text{ cm}\), \(14\text{ cm}\) i \(15\text{ cm}\) (niebieski trójkąt na rysunku). Która z poniższych długości nie jest długością żadnej z wysokości tego trójkąta?
• Wyznacz pole trójkąta, a następnie oblicz długości wszystkich trzech wysokości opuszczonych na poszczególne boki.
• Wybierz jedną z poniższych odpowiedzi (A, B, C lub D), klikając na nią.
• Po zaznaczeniu opcji kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – obliczanie wysokości trójkąta:
• Pole trójkąta o bokach \(a, b, c\) i opuszczonych na nie wysokościach \(h_a, h_b, h_c\) wyraża się wzorami:
\[P = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c\]
• Z rysunku (lub ze wzoru Herona) pole tego trójkąta wynosi \(P = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\text{ cm}^2\).
• Przekształcając wzór, wyznacz każdą z wysokości: \(h = \frac{2P}{\text{bok}}\).
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
1. Obliczenie pola trójkąta
Z rysunku wynika, że trójkąt przylega bokiem o długości $b = 14\text{ cm}$ do boku prostokąta, a wysokość opuszczona na ten bok jest równa krótszemu bokowi prostokąta, czyli $h_b = 12\text{ cm}$.
Pole trójkąta wynosi zatem:
\[P = \frac{1}{2} \cdot 14\text{ cm} \cdot 12\text{ cm} = 84\text{ cm}^2\]
(Możemy to również sprawdzić ze wzoru Herona dla boków $13, 14, 15$: połowa obwodu $p = 21$, $P = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ cm}^2$).
2. Obliczenie długości poszczególnych wysokości trójkąta
Wykorzystujemy wzór $P = \frac{1}{2} \cdot \text{bok} \cdot \text{wysokość} \implies \text{wysokość} = \frac{2P}{\text{bok}} = \frac{168}{\text{bok}}$:
- Wysokość $h_b$ opuszczona na bok $b = 14\text{ cm}$: \[h_b = \frac{168}{14} = \mathbf{12\text{ cm}} \quad (\text{Odpowiedź A})\]
- Wysokość $h_c$ opuszczona na bok $c = 15\text{ cm}$: \[h_c = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = \mathbf{11\frac{1}{5}\text{ cm}} \quad (\text{Odpowiedź B})\]
- Wysokość $h_a$ opuszczona na bok $a = 13\text{ cm}$: \[h_a = \frac{168}{13} = \mathbf{12\frac{12}{13}\text{ cm}} \quad (\text{Odpowiedź D})\]
3. Wniosek i wskazanie poprawnej odpowiedzi
Liczby $12\text{ cm}$, $11\frac{1}{5}\text{ cm}$ oraz $12\frac{12}{13}\text{ cm}$ są długościami wysokości tego trójkąta.
Jedynie długość $12\frac{5}{14}\text{ cm}$ (Opcja C) nie jest długością żadnej z wysokości tego trójkąta.
Odpowiedź:
Poprawna odpowiedź to C. \(12\frac{5}{14}\text{ cm}\). \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Dodaj swój komentarz, pytanie lub prześlij rozwiązanie
Trapez \(ABCD\) ma podstawy o długościach \(10\) i \(6\). Odcinek \(EF\) podzielił ten trapez na trapez i równoległobok. Punkt \(F\) jest środkiem podstawy \(CD\). Ile razy pole trapezu \(AEFD\) jest większe od pola równoległoboku?
• Wyznacz długości odcinków stanowiących podstawy figury powstałej w wyniku podziału.
• Wyraź pola obu figur za pomocą wspólnej wysokości \(h\), a następnie oblicz ich stosunek.
• Wybierz jedną z poniższych odpowiedzi (A, B, C lub D), klikając na nią.
• Po zaznaczeniu opcji kliknij przycisk "Sprawdź wyniki".
Wskazówka – podział podstaw trapezu:
• Ponieważ punkt \(F\) jest środkiem górnej podstawy \(CD = 6\), odcinki \(DF\) oraz \(FC\) mają długość \(3\).
• Powstały po prawej stronie czworokąt \(EBCF\) jest równoległobokiem, więc jego przeciwległe boki są równe: \(EB = FC = 3\).
• Zatem odcinek \(AE\) ma długość \(AB - EB = 10 - 3 = 7\).
• Oblicz pole trapezu \(AEFD\) (\(P_1 = \frac{3 + 7}{2} \cdot h\)) i pole równoległoboku \(EBCF\) (\(P_2 = 3 \cdot h\)) oraz wyznacz stosunek \(\frac{P_1}{P_2}\).
Formalne rozwiązanie matematyczne – krok po kroku:
1. Wyznaczenie długości poszczególnych odcinków
Oznaczmy podstawy trapezu $ABCD$: $AB = 10$ oraz $CD = 6$.
Punkt $F$ jest środkiem podstawy $CD$, więc:
\[DF = FC = \frac{6}{2} = 3\]
Czworokąt $EBCF$ jest równoległobokiem. W równoległoboku przeciwległe boki są równe, stąd:
\[EB = FC = 3\]
Obliczymy długość odcinka $AE$:
\[AE = AB - EB = 10 - 3 = 7\]
2. Wyrażenie pól figur za pomocą wysokości $h$
Niech $h$ oznacza wspólną wysokość trapezu $ABCD$, trapezu $AEFD$ oraz równoległoboku $EBCF$.
- Pole trapezu $AEFD$: podstawy to $DF = 3$ oraz $AE = 7$. \[P_{AEFD} = \frac{DF + AE}{2} \cdot h = \frac{3 + 7}{2} \cdot h = \frac{10}{2} \cdot h = 5h\]
- Pole równoległoboku $EBCF$: podstawa to $FC = 3$. \[P_{EBCF} = \text{podstawa} \cdot h = FC \cdot h = 3h\]
3. Obliczenie stosunku pól
Dzielimy pole trapezu $AEFD$ przez pole równoległoboku $EBCF$: \[\frac{P_{AEFD}}{P_{EBCF}} = \frac{5h}{3h} = \frac{5}{3} = \mathbf{1\frac{2}{3}}\]
Odpowiedź:
Pole trapezu $AEFD$ jest większe od pola równoległoboku $1\frac{2}{3}$ raza. Poprawna odpowiedź to B. \(\blacksquare\)
Ładowanie komentarzy...
Komentarze
Prześlij komentarz