Własności liczb naturalnych.

Zadanie 1

Instrukcja:
Wpisz w puste okienko odpowiednią cyfrę tak, aby powstała liczba spełniała warunek zapisany kolorem niebieskim. Następnie kliknij przycisk „Sprawdź”.

Cechy podzielności liczb

Podzielność przez 2: Ostatnią cyfrą liczby musi być cyfra parzysta: $0, 2, 4, 6$ lub $8$.

Podzielność przez 4: Dwie ostatnie cyfry muszą tworzyć liczbę podzielną przez $4$.

Podzielność przez 9: Suma wszystkich cyfr danej liczby musi być podzielna przez $9$.

Podzielność przez 15: Liczba musi być podzielna jednocześnie przez $3$ (suma cyfr podzielna przez $3$) i przez $5$ (ostatnia cyfra to $0$ lub $5$).

Wskazówka: W niektórych podpunktach prawidłowych odpowiedzi może być kilka. Każda z nich zostanie uznana przez program za poprawną.

a) Uzupełnij brakujące cyfry:

174

podzielna przez 2

174

podzielna przez 9

174

podzielna przez 4

174

podzielna przez 15

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

1. Liczba podzielna przez 2 ($174\_$):

Liczba dzieli się przez $2$ bez reszty, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta.
Możliwe prawidłowe cyfry to: 0, 2, 4, 6, 8 (otrzymamy np. $1740, 1742$ itd.).

2. Liczba podzielna przez 9 ($174\_$):

Suma cyfr liczby musi być wielokrotnością liczby $9$.
Obliczamy sumę znanych cyfr: $1 + 7 + 4 = 12$.
Kolejną wielokrotnością $9$ większą od $12$ jest $18$. Brakująca wartość to: $18 - 12 = 6$.
Jedynym prawidłowym rozwiązaniem jest wpisanie cyfry 6 (liczba $1746$).

3. Liczba podzielna przez 4 ($174\_$):

Dwie ostatnie cyfry muszą tworzyć liczbę podzielną przez $4$.
Dla zapisu $174\_$ sprawdzamy końcówkę dwucyfrową $4\_$. Liczby z przedziału od $40$ do $49$ podzielne przez $4$ to: $40$, $44$ oraz $48$.
Możliwe prawidłowe cyfry to: 0, 4, 8.

4. Liczba podzielna przez 15 ($174\_$):

Liczba musi dzielić się jednocześnie przez $3$ i przez $5$.

Z cechy podzielności przez $5$ wynika, że ostatnią cyfrą musi być $0$ lub $5$.
Sprawdzamy warunek podzielności przez $3$ (suma cyfr podzielna przez $3$):
- Gdy na końcu stoi $0$ (liczba $1740$): suma wynosi $1+7+4+0 = 12$ (dzieli się przez $3$).
- Gdy na końcu stoi $5$ (liczba $1745$): suma wynosi $1+7+4+5 = 17$ (nie dzieli się przez $3$).
Jedynym prawidłowym wpisem jest cyfra 0.

Zadanie 2

Instrukcja:
Dokończ rozkład na czynniki pierwsze liczb 180 oraz 315 w lewej kolumnie, wpisując brakujące wartości w puste pola. Następnie oblicz ich najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) oraz największy wspólny dzielnik (NWD) i kliknij przycisk „Sprawdź”.

Rozkład na czynniki pierwsze

180	2
90



1

315	3
105	3
35

1

Pamiętaj: Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze, dzielimy ją przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, 11...) aż do momentu, gdy otrzymamy wynik równy 1.

a) Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW):

NWW(180, 315):

b) Oblicz największy wspólny dzielnik (NWD):

NWD(180, 315):

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Dopełnienie rozkładów na czynniki pierwsze

Dla liczby 180:
Rozpoczynamy od $180 : 2 = 90$. Następnie:
- $90 : \mathbf{2} = 45$
- $45 : \mathbf{3} = 15$
- $15 : \mathbf{3} = 5$
- $5 : \mathbf{5} = 1$
Zapis iloczynowy rozkładu: $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Dla liczby 315:
Mamy podane na początku $315 : 3 = 105$ oraz $105 : 3 = 35$. Następnie:
- $35 : \mathbf{5} = 7$
- $7 : \mathbf{7} = 1$
Zapis iloczynowy rozkładu: $315 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

Krok 2: Wyznaczenie największego wspólnego dzielnika (NWD)

NWD wyznaczamy poprzez pomnożenie wspólnych czynników pierwszych, które występują w obu rozkładach (wybieramy te z najniższym wykazanym wykładnikiem potęgi):
Wspólne dzielniki dla obu liczb to $3^2$ oraz $5^1$.
$\text{NWD}(180, 315) = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = \mathbf{45}$.

Krok 3: Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW)

NWW wyznaczamy poprzez pomnożenie wszystkich czynników pierwszych z obu rozkładów, biorąc pod uwagę ich najwyższe potęgi:
$\text{NWW}(180, 315) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = \mathbf{1260}$.

Zadanie 3

Instrukcja:
Przeanalizuj kroki algorytmu przedstawione na schemacie, wykonaj obliczenia dla wskazanych liczb $n$, a następnie uzupełnij wyniki końcowe i sformułowaną prawidłowość. Na koniec kliknij przycisk „Sprawdź”.

Procedura algorytmiczna ($n > 3$)

Krok I Znajdź największą liczbę pierwszą mniejszą od liczby $n$.

➔

Krok II Dodaj 5 do liczby znalezionej w Kroku I.

➔

Krok III Znajdź najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą jest podzielna liczba z Kroku II.

Wskazówka matematyczna: Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które dzielą się tylko przez 1 i przez samą siebie (np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...).

a) Podaj wyniki końcowe (z Kroku III):

Dla $n = 9$:

Dla $n = 17$:

Dla $n = 27$:

Dla $n = 32$:

b) Sformułuj zaobserwowaną prawidłowość:

Wynik końcowy w Kroku III dla każdej liczby naturalnej $n > 3$ zawsze wynosi , ponieważ wynik działania w Kroku II jest zawsze liczbą .

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Analiza poszczególnych przypadków:

Dla $n = 9$:
- Krok I: Największa liczba pierwsza mniejsza od $9$ to $7$.
- Krok II: $7 + 5 = 12$.
- Krok III: Najmniejsza liczba pierwsza dzieląca $12$ to 2.
Dla $n = 17$:
- Krok I: Największa liczba pierwsza mniejsza od $17$ to $13$ (uwaga: liczba musi być *ściśle mniejsza* od 17).
- Krok II: $13 + 5 = 18$.
- Krok III: Najmniejsza liczba pierwsza dzieląca $18$ to 2.
Dla $n = 27$:
- Krok I: Największa liczba pierwsza mniejsza od $27$ to $23$.
- Krok II: $23 + 5 = 28$.
- Krok III: Najmniejsza liczba pierwsza dzieląca $28$ to 2.
Dla $n = 32$:
- Krok I: Największa liczba pierwsza mniejsza od $32$ to $31$.
- Krok II: $31 + 5 = 36$.
- Krok III: Najmniejsza liczba pierwsza dzieląca $36$ to 2.

Wyjaśnienie prawidłowości:

Dla każdej liczby naturalnej $n > 3$ największa liczba pierwsza mniejsza od $n$ jest liczbą nieparzystą (ponieważ jedyną parzystą liczbą pierwszą jest $2$, a szukamy liczby pierwszej większej bądź równej $3$).

W Kroku II do tej nieparzystej liczby pierwszej dodajemy liczbę $5$ (która również jest nieparzysta).
Suma dwóch liczb nieparzystych daje zawsze liczbę parzystą.

Każda liczba parzysta jest podzielna przez $2$. Ponieważ $2$ jest najmniejszą liczbą pierwszą, wynik Kroku III będzie zawsze wynosił 2.

Zadanie 4

Instrukcja:
Dla każdego z poniższych warunków podaj dwa różne przykłady liczb spełniających te kryteria. Po uzupełnieniu wszystkich pól kliknij przycisk „Sprawdź”.

Matematyczny pomocnik

Wielokrotność wspólna:

Wspólna wielokrotność liczb $a$ i $b$ to każda liczba, która dzieli się bez reszty zarówno przez $a$, jak i przez $b$.

Reszta z dzielenia:

Zapis $x = k \cdot p + r$ oznacza, że reszta z dzielenia liczby $x$ przez $p$ wynosi $r$. Na przykład liczby o reszcie 5 z dzielenia przez 8 to: 5, 13, 21 itd.

Dzielniki właściwe:

Dzielniki liczby oprócz niej samej i liczby 1. Warunek, aby jedynymi takimi dzielnikami były liczby pierwsze, spełniają m.in. liczby pierwsze, kwadraty liczb pierwszych (np. $4$, $9$) czy iloczyny dwóch różnych liczb pierwszych (np. $6$, $10$).

Ważna uwaga: W każdym podpunkcie podane dwie liczby muszą się od siebie różnić. Wpisanie dwóch takich samych liczb zostanie uznane za błąd.

1. Liczba jest podzielna przez 13:

2. Liczba jest podzielna przez 2 i 7:

3. Liczba jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9:

4. Reszta z dzielenia tej liczby przez 8 jest równa 5:

5. Liczba, która jest wielokrotnością zarówno liczby 22, jak i 33:

6. Liczba pierwsza większa od 30 i mniejsza od 40:

7. Liczba, której jedynymi dzielnikami, oprócz niej samej i 1, są liczby pierwsze:

Wyjaśnienie i przykładowe rozwiązania:

1. Podzielne przez 13:

Są to kolejne wielokrotności liczby 13 (oprócz zera):
13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104...

2. Podzielne przez 2 i 7:

Liczba podzielna przez 2 i 7 musi być podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli przez 14:
14, 28, 42, 56, 70, 84, 98...

3. Podzielne przez 3, ale nie przez 9:

Wybieramy wielokrotności liczby 3, wykluczając te, które są wielokrotnościami liczby 9:
3, 6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, 39... (wykluczamy: 9, 18, 27, 36...).

4. Reszta z dzielenia przez 8 wynosi 5:

Liczby te mają postać $8k + 5$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą nieujemną:
5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61...

5. Wspólna wielokrotność 22 i 33:

Najmniejsza wspólna wielokrotność $\text{NWW}(22, 33) = 66$. Przykłady to wielokrotności liczby 66:
66, 132, 198, 264, 330...

6. Liczba pierwsza większa od 30 i mniejsza od 40:

W tym przedziale istnieją dokładnie dwie liczby pierwsze: 31 oraz 37. Jest to jedyna para poprawnych odpowiedzi dla tego warunku.

7. Liczba, której jedynymi dzielnikami (oprócz 1 i jej samej) są liczby pierwsze:

Warunek ten spełniają:

Każda liczba pierwsza (nie posiada żadnych innych dzielników, więc warunek jest spełniony próżniowo, np. 2, 3, 5, 7, 11...).
Kwadraty liczb pierwszych (posiadają tylko jeden dzielnik właściwy, który jest liczbą pierwszą, np. $4$ dzieli się przez $2$; $9$ dzieli się przez $3$; $25$ dzieli się przez $5$).
Iloczyny dwóch różnych liczb pierwszych (posiadają dokładnie dwa dzielniki właściwe, będące liczbami pierwszymi, np. $6$ o dzielnikach $2, 3$; $10$ o dzielnikach $2, 5$; $15$ o dzielnikach $3, 5$).

Zadanie 5

Instrukcja:
Oblicz iloraz oraz resztę z dzielenia dla każdego z poniższych podpunktów, a następnie wykonaj sprawdzenie według wzoru: $b \cdot c + d$. Wpisz wyniki w odpowiednie pola i kliknij „Sprawdź”.

Zasada dzielenia z resztą

Każde dzielenie liczby $a$ przez liczbę $b$ możemy zapisać w postaci:

$a : b = c \text{ reszta } d$

gdzie zachodzi zależność:

$b \cdot c + d = a$

oraz reszta $d$ musi spełniać warunek: $0 \le d < b$.

Przykład:

Dzielimy $17 : 5$.
W liczbie $17$ mieści się maksymalnie trzy razy liczba $5$ (iloraz $c = 3$).
Zostaje reszta $d = 17 - 5 \cdot 3 = 2$.
Zapis: $17 : 5 = 3 \text{ reszta } 2$.
Sprawdzenie: $5 \cdot 3 + 2 = 15 + 2 = 17$.

Wskazówka: W polach „Sprawdzenie” wykonaj działanie $b \cdot c + d$ i wpisz jego ostateczny wynik. Wynik ten powinien być równy dzielonej liczbie $a$.

a) 29 : 7 = r

Spr: 7 · c + d =

b) 79 : 11 = r

Spr: 11 · c + d =

c) 231 : 22 = r

Spr: 22 · c + d =

d) 371 : 8 = r

Spr: 8 · c + d =

e) 712 : 13 = r

Spr: 13 · c + d =

f) 520 : 25 = r

Spr: 25 · c + d =

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok po kroku:

a) $29 : 7$
W liczbie $29$ mieści się cztery razy siódemka ($7 \cdot 4 = 28$). Pozostaje reszta $1$.
Zapis: $29 : 7 = \mathbf{4} \text{ reszta } \mathbf{1}$.
Sprawdzenie: $7 \cdot 4 + 1 = 28 + 1 = \mathbf{29}$.
b) $79 : 11$
W liczbie $79$ mieści się siedem razy jedenastka ($11 \cdot 7 = 77$). Pozostaje reszta $2$.
Zapis: $79 : 11 = \mathbf{7} \text{ reszta } \mathbf{2}$.
Sprawdzenie: $11 \cdot 7 + 2 = 77 + 2 = \mathbf{79}$.
c) $231 : 22$
W liczbie $231$ mieści się dziesięć razy dwudziestka dwójka ($22 \cdot 10 = 220$). Pozostaje reszta $11$.
Zapis: $231 : 22 = \mathbf{10} \text{ reszta } \mathbf{11}$.
Sprawdzenie: $22 \cdot 10 + 11 = 220 + 11 = \mathbf{231}$.
d) $371 : 8$
Dzielenie pisemne lub kalkulacyjne daje $46$ całości ($8 \cdot 46 = 368$). Pozostaje reszta $371 - 368 = 3$.
Zapis: $371 : 8 = \mathbf{46} \text{ reszta } \mathbf{3}$.
Sprawdzenie: $8 \cdot 46 + 3 = 368 + 3 = \mathbf{371}$.
e) $712 : 13$
W liczbie $712$ mieści się dokładnie $54$ razy trzynastka ($13 \cdot 54 = 702$). Pozostaje reszta $712 - 702 = 10$.
Zapis: $712 : 13 = \mathbf{54} \text{ reszta } \mathbf{10}$.
Sprawdzenie: $13 \cdot 54 + 10 = 702 + 10 = \mathbf{712}$.
f) $520 : 25$
W liczbie $520$ mieści się $20$ razy dwudziestka piątka ($25 \cdot 20 = 500$). Pozostaje reszta $20$.
Zapis: $520 : 25 = \mathbf{20} \text{ reszta } \mathbf{20}$.
Sprawdzenie: $25 \cdot 20 + 20 = 500 + 20 = \mathbf{520}$.

Zadanie 6

Instrukcja:
Przedstaw każdą z podanych liczb jako sumę dwóch liczb pierwszych, uzupełniając puste pola tekstowe. Następnie kliknij przycisk „Sprawdź”.

Hipoteza Goldbacha

Słynne matematyczne przypuszczenie głosi, że każda liczba parzysta większa od 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych.

Lista początkowych liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Wskazówka: Pamiętaj, że liczba 1 nie jest liczbą pierwszą! Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2.

a) 10 = +

b) 20 = +

c) 30 = +

Wyjaśnienie i możliwe rozwiązania:

Każdą z podanych liczb parzystych można rozbić na sumę dwóch liczb pierwszych na kilka sposobów:

a) Przedstawienie liczby 10:
Dozwolone kombinacje to:
- $3 + 7 = 10$ (zarówno $3$, jak i $7$ to liczby pierwsze)
- $5 + 5 = 10$ ($5$ to liczba pierwsza)
b) Przedstawienie liczby 20:
Dozwolone kombinacje to:
- $3 + 17 = 20$ (zarówno $3$, jak i $17$ to liczby pierwsze)
- $7 + 13 = 20$ (zarówno $7$, jak i $13$ to liczby pierwsze)
c) Przedstawienie liczby 30:
Dozwolone kombinacje to:
- $7 + 23 = 30$ (zarówno $7$, jak i $23$ to liczby pierwsze)
- $11 + 19 = 30$ (zarówno $11$, jak i $19$ to liczby pierwsze)
- $13 + 17 = 30$ (zarówno $13$, jak i $17$ to liczby pierwsze)

Wskazówka: Zapisy $x + y$ oraz $y + x$ są traktowane tożsamo i obie wersje kolejności są w pełni poprawne.

Zadanie 7

Instrukcja:
Oblicz, ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych spełniających podane warunki podzielności. Wpisz odpowiednie liczby w pola tekstowe i kliknij przycisk „Sprawdź”.

Analiza liczb dwucyfrowych

Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe należą do przedziału: [10, 99] Liczba wszystkich liczb dwucyfrowych wynosi dokładnie $90$ (od $99$ odejmujemy $9$ liczb jednocyfrowych: $99 - 9 = 90$).

Metoda obliczania wielokrotności:
Aby obliczyć, ile liczb z danego zakresu dzieli się przez $x$, można podzielić krańce przedziału przez $x$ (zaokrąglając wyniki w dół) i odjąć mniejszą wartość od większej:
$\text{Liczba wielokrotności} = \lfloor \frac{99}{x} \rfloor - \lfloor \frac{9}{x} \rfloor$

a) Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 5?

b) Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?

c) Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 15?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Metoda 1: Wyznaczanie ciągów liczb (wypisywanie / zliczanie)

a) Podzielne przez 5:
Pierwszą dwucyfrową wielokrotnością liczby $5$ jest $10$ ($5 \cdot 2$), a ostatnią jest $95$ ($5 \cdot 19$).
Liczba tych wartości odpowiada liczbie kolejnych liczb całkowitych od $2$ do $19$:
$19 - 2 + 1 = \mathbf{18}$.
b) Podzielne przez 3:
Pierwszą dwucyfrową wielokrotnością liczby $3$ jest $12$ ($3 \cdot 4$), a ostatnią jest $99$ ($3 \cdot 33$).
Liczba tych wartości odpowiada liczbie kolejnych liczb całkowitych od $4$ do $33$:
$33 - 4 + 1 = \mathbf{30}$.
c) Podzielne przez 15:
Wielokrotności dwucyfrowe liczby $15$ możemy łatwo wypisać bezpośrednio:
$15, 30, 45, 60, 75, 90$ — jest ich dokładnie $\mathbf{6}$.

Metoda 2: Dzielenie z zaokrągleniem w dół

Wykorzystujemy wzór: $\lfloor \frac{99}{x} \rfloor - \lfloor \frac{9}{x} \rfloor$:

Dla $x = 5$: $\lfloor \frac{99}{5} \rfloor - \lfloor \frac{9}{5} \rfloor = 19 - 1 = \mathbf{18}$.
Dla $x = 3$: $\lfloor \frac{99}{3} \rfloor - \lfloor \frac{9}{3} \rfloor = 33 - 3 = \mathbf{30}$.
Dla $x = 15$: $\lfloor \frac{99}{15} \rfloor - \lfloor \frac{9}{15} \rfloor = 6 - 0 = \mathbf{6}$.

Zadanie 8

Instrukcja:
Przełączaj się między zakładkami od a) do f). Dla każdego zestawu liczb uzupełnij brakujące pola w rozkładach na czynniki pierwsze, a następnie oblicz ich NWD i NWW. Na koniec kliknij przycisk „Sprawdź”.

Rozkład, NWD i NWW

Rozkład na czynniki pierwsze:

Polega na przedstawieniu liczby złożonej w postaci iloczynu liczb pierwszych. Dzielimy liczbę przez jej najmniejsze dzielniki pierwsze do uzyskania wyniku 1.

Największy Wspólny Dzielnik (NWD):

Iloczyn wszystkich wspólnych czynników pierwszych, które powtarzają się w rozkładach obydwu liczb.

Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW):

Najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się bez reszty przez obydwie te liczby. Wyznaczamy ją mnożąc jedną z liczb przez te czynniki z rozkładu drugiej liczby, których brakuje w rozkładzie pierwszej.

Wskazówka: Kliknięcie przycisku „Sprawdź” zweryfikuje poprawność uzupełnienia we wszystkich zakładkach jednocześnie. Pola błędne zostaną podświetlone na czerwono, a poprawne na zielono.

Dopełnij rozkład dla liczb 11 i 13:

11
1

13
1

NWD(11, 13):

NWW(11, 13):

Dopełnij rozkład dla liczb 11 i 22:

11	11
1

22	2
	11
1

NWD(11, 22):

NWW(11, 22):

Dopełnij rozkład dla liczb 22 i 26:

22
11	11
1

26	2
13
1

NWD(22, 26):

NWW(22, 26):

Dopełnij rozkład dla liczb 36 i 54:

36	2
18
	3
3	3
1

54	2
27	3

3	3
1

NWD(36, 54):

NWW(36, 54):

Dopełnij rozkład dla liczb 90 i 135:

90	2
45
15	3
	5
1

135	3
	3
15	3
5
1

NWD(90, 135):

NWW(90, 135):

Dopełnij rozkład dla liczb 240 i 600:

240	2
120	2
60
30	2
	3
5	5
1

600	2
300	2
150
75	3
25
	5
1

NWD(240, 600):

NWW(240, 600):

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

a) Liczby 11 i 13:

Są to liczby pierwsze. Ich rozkłady to po prostu $11 = 11$ oraz $13 = 13$.

$\text{NWD}(11, 13) = \mathbf{1}$ (brak wspólnych czynników pierwszych).
$\text{NWW}(11, 13) = 11 \cdot 13 = \mathbf{143}$.

b) Liczby 11 i 22:

Rozkłady: $11 = 11$, $22 = 2 \cdot 11$.

$\text{NWD}(11, 22) = \mathbf{11}$ (wspólnym czynnikiem jest 11).
$\text{NWW}(11, 22) = 2 \cdot 11 = \mathbf{22}$.

c) Liczby 22 i 26:

Rozkłady: $22 = 2 \cdot 11$, $26 = 2 \cdot 13$.

$\text{NWD}(22, 26) = \mathbf{2}$ (jedynym wspólnym czynnikiem jest 2).
$\text{NWW}(22, 26) = 2 \cdot 11 \cdot 13 = \mathbf{286}$.

d) Liczby 36 i 54:

Rozkłady: $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $54 = 2 \cdot 3^3$.

$\text{NWD}(36, 54) = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = \mathbf{18}$.
$\text{NWW}(36, 54) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = \mathbf{108}$.

e) Liczby 90 i 135:

Rozkłady: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $135 = 3^3 \cdot 5$.

$\text{NWD}(90, 135) = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = \mathbf{45}$.
$\text{NWW}(90, 135) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = \mathbf{270}$.

f) Liczby 240 i 600:

Rozkłady: $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$, $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$.

$\text{NWD}(240, 600) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = \mathbf{120}$.
$\text{NWW}(240, 600) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 16 \cdot 3 \cdot 25 = \mathbf{1200}$.

Zadanie 9

Instrukcja:
Przeanalizuj liczbę 1 234 560. Uzupełnij puste pola w jej rozkładzie na czynniki pierwsze (lewa kolumna), a następnie ustal — bez wykonywania bezpośredniego dzielenia pisemnego — czy jest ona podzielna przez liczby od a) do f). Wybierz TAK lub NIE i kliknij przycisk „Sprawdź”.

Złożone cechy podzielności

Aby sprawdzić podzielność przez liczbę złożoną, rozkładamy ją na czynniki pierwsze lub względnie pierwsze. Liczba jest podzielna przez liczbę złożoną, jeśli jest podzielna przez każdy z jej czynników względnie pierwszych osobno.

Podzielność przez 12: podzielna przez 3 i 4.
Podzielność przez 15: podzielna przez 3 and 5.
Podzielność przez 18: podzielna przez 2 and 9.
Podzielność przez 20: końcówka podzielna przez 20.
Podzielność przez 30: podzielna przez 3 i 10.
Podzielność przez 90: podzielna przez 9 i 10.

Dopełnij rozkład liczby 1 234 560:

1 234 560	2
617 280	2
308 640	2
	2
77 160	2
38 580
19 290	2
	3
3 215
643	643
1

a) podzielna przez 12?

b) podzielna przez 15?

c) podzielna przez 18?

d) podzielna przez 20?

e) podzielna przez 30?

f) podzielna przez 90?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Analiza rozkładu liczby 1 234 560:

Prawidłowo dopełniony rozkład to:
$1\,234\,560 : 2 = 617\,280$
$617\,280 : 2 = 308\,640$
$308\,640 : 2 = \mathbf{154\,320}$
$154\,320 : 2 = 77\,160$
$77\,160 : 2 = 38\,580$
$38\,580 : \mathbf{2} = 19\,290$
$19\,290 : 2 = \mathbf{9\,645}$
$9\,645 : 3 = 3\,215$
$3\,215 : \mathbf{5} = 643$ (gdzie 643 jest liczbą pierwszą).

Krok 2: Badanie podzielności bez dzielenia:

Obliczamy najpierw sumę cyfr liczby $1\,234\,560$:
$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0 = \mathbf{21}$. Suma cyfr jest podzielna przez $3$, ale nie jest podzielna przez $9$.

a) Podzielność przez 12 (wymaga podzielności przez 3 i przez 4):
- przez 3: TAK (suma cyfr to 21).
- przez 4: TAK (ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę 60, która dzieli się przez 4).
Wynik: TAK.
b) Podzielność przez 15 (wymaga podzielności przez 3 i przez 5):
- przez 3: TAK.
- przez 5: TAK (liczba kończy się na 0).
Wynik: TAK.
c) Podzielność przez 18 (wymaga podzielności przez 2 i przez 9):
- przez 2: TAK (parzysta).
- przez 9: NIE (suma cyfr to 21, nie dzieli się przez 9).
Wynik: NIE.
d) Podzielność przez 20 (wymaga podzielności przez 4 i przez 5):
Ostatnie dwie cyfry to 60, co dzieli się bez reszty przez 20.
Wynik: TAK.
e) Podzielność przez 30 (wymaga podzielności przez 3 i przez 10):
- przez 3: TAK.
- przez 10: TAK (liczba kończy się na 0).
Wynik: TAK.
f) Podzielność przez 90 (wymaga podzielności przez 9 i przez 10):
- przez 10: TAK.
- przez 9: NIE.
Wynik: NIE.

Zadanie 10

Instrukcja:
Uzupełnij brakujące pola w rozkładzie liczby 11 872 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie rozstrzygnij — bez wykonywania pełnych obliczeń pisemnych — czy podane działania dają wyniki podzielne przez wskazane liczby. Wybierz TAK lub NIE i kliknij „Sprawdź”.

Podzielność sumy, różnicy i iloczynu

Możemy przewidzieć podzielność wyników działań bez obliczania ich dokładnej wartości końcowej:

Suma i różnica: Aby wynik był podzielny przez $x$, suma lub różnica reszt z dzielenia poszczególnych składników przez $x$ musi być podzielna przez $x$. (Np. dla podzielności przez 5 badamy ostatnie cyfry).
Iloczyn: Iloczyn jest podzielny przez $x$, jeżeli przynajmniej jeden z jego czynników jest podzielny przez $x$.

Dopełnij rozkład liczby 11 872:

11 872	2
5 936	2
2 968
1 484	2
	2
371	7
53
1

a) Czy różnica $70\,987 - 11\,872$ jest podzielna przez 5?

b) Czy suma $12\,018 + 57\,804$ jest podzielna przez 4?

c) Czy iloczyn $26\,787 \cdot 50\,723$ jest podzielny przez 3?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 11 872 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy kolejne dzielenia przez liczby pierwsze:
$11\,872 : 2 = 5\,936$
$5\,936 : 2 = 2\,968$
$2\,968 : \mathbf{2} = 1\,484$
$1\,484 : 2 = \mathbf{742}$
$\mathbf{742} : 2 = 371$
$371 : 7 = 53$
$53 : \mathbf{53} = 1$ (53 jest liczbą pierwszą).

Krok 2: Rozstrzygnięcie podzielności zadań:

a) Czy różnica $70\,987 - 11\,872$ dzieli się przez 5?
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
Badamy różnicę cyfr jedności obu liczb:
$7 - 2 = \mathbf{5}$.
Różnica kończy się cyfrą 5, więc dzieli się bez reszty przez 5.
Wynik: TAK.
b) Czy suma $12\,018 + 57\,804$ dzieli się przez 4?
Liczba dzieli się przez 4, gdy jej końcówka dwucyfrowa dzieli się przez 4.
Badamy sumę końcówek: $18 + 04 = \mathbf{22}$.
Liczba 22 nie dzieli się przez 4 (najbliższa podzielna to 20 lub 24).
Wynik: NIE.
c) Czy iloczyn $26\,787 \cdot 50\,723$ dzieli się przez 3?
Iloczyn jest podzielny przez 3, jeśli przynajmniej jeden z czynników dzieli się przez 3 (czyli suma jego cyfr dzieli się przez 3).
Suma cyfr pierwszej liczby ($26\,787$):
$2 + 6 + 7 + 8 + 7 = \mathbf{30}$ (jest podzielna przez 3, bo $30 : 3 = 10$).
Ponieważ pierwszy czynnik dzieli się przez 3, cały iloczyn również jest podzielny przez 3.
Wynik: TAK.

Zadanie 11

Instrukcja:
Uzupełnij brakujące wartości w rozkładzie liczby 540 na czynniki pierwsze. Następnie przeanalizuj logicznie podane pytania dotyczące parzystości sumy oraz iloczynu trzech liczb i wybierz właściwe opcje z rozwijanej listy. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Zasady parzystości liczb

Parzystość wyników działań rządzi się ścisłymi regułami:

Suma: Suma trzech liczb jest nieparzysta, jeśli wszystkie trzy są nieparzyste lub gdy dwie są parzyste, a jedna nieparzysta.
Iloczyn: Iloczyn liczb całkowitych jest zawsze parzysty, jeśli przynajmniej jedna z mnożonych liczb jest parzysta. Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są nieparzyste.

Dopełnij rozkład liczby 540:

540	2
270	2
135
45	3
	3
5
1

a) Suma trzech liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą. Czy ich iloczyn jest liczbą parzystą czy nieparzystą?

b) Suma trzech liczb naturalnych jest liczbą parzystą. Czy ich iloczyn jest liczbą parzystą czy nieparzystą?

Wyjaśnienie i uzasadnienie krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 540 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$540 : 2 = 270$
$270 : 2 = 135$
$135 : \mathbf{3} = 45$
$45 : 3 = 15$
$\mathbf{15} : 3 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Zatem $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

Krok 2: Analiza pytań o parzystość:

Podpunkt a) Suma trzech liczb jest nieparzysta:

Aby suma trzech liczb $x + y + z$ była nieparzysta, mamy dokładnie dwa możliwe przypadki:

Wszystkie trzy liczby są nieparzyste:
Wtedy ich iloczyn $x \cdot y \cdot z$ jest również liczbą nieparzystą (np. $1 + 3 + 5 = 9$ - suma nieparzysta, $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$ - iloczyn nieparzysty).
Dwie liczby są parzyste, a jedna nieparzysta:
Wtedy ich iloczyn $x \cdot y \cdot z$ musi być parzysty, ponieważ zawiera przynajmniej jeden parzysty czynnik (np. $1 + 2 + 4 = 7$ - suma nieparzysta, $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$ - iloczyn parzysty).

Ponieważ oba przypadki są możliwe, ostateczny wynik może być parzysty lub nieparzysty (zależy od konkretnych liczb).

Podpunkt b) Suma trzech liczb jest parzysta:

Aby suma trzech liczb $x + y + z$ była parzysta, mamy również dwa przypadki:

Wszystkie trzy liczby są parzyste:
Wtedy ich iloczyn jest oczywiście liczbą parzystą.
Dwie liczby są nieparzyste, a jedna parzysta:
Suma $\text{nieparzysta} + \text{nieparzysta} + \text{parzysta} = \text{parzysta}$.
Iloczyn również musi być parzysty, gdyż jednym z czynników jest liczba parzysta.

W każdym z możliwych przypadków przynajmniej jedna z liczb jest parzysta, więc ich iloczyn jest zawsze parzysty.

Zadanie 12

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 900 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie rozwiąż logiczne łamigłówki liczbowe od a) do c) i wpisz właściwe cyfry oraz liczby w pola tekstowe. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Logika podziału i cyfr

Rozwiązując tego typu zadania, musimy łączyć cechy podzielności z regułami pozycyjnymi systemu dziesiętnego:

Liczba trzycyfrowa $XYZ$ ma cyfrę setek $X \ge 1$.
Jeżeli cyfry mają być różne (distinct), to $X \neq Y$, $Y \neq Z$ oraz $X \neq Z$.
Aby liczba była jak najmniejsza, staramy się zminimalizować cyfry na najwyższych pozycjach (setki, tysiące), pamiętając o warunku podzielności i różnych cyfrach.

Dopełnij rozkład liczby 900:

900	2
450
225	3
75	3
	5
5
1

a) Cyfra dziesiątek liczby trzycyfrowej to 3, a liczba dzieli się przez 4.

Cyfra setek (najmniejsza możliwa):

Cyfra setek (największa możliwa):

Mniejsza możliwa cyfra jedności:

Większa możliwa cyfra jedności:

b) Różnocyfrowa liczba trzycyfrowa > 900 jest podzielna przez 9.

Cyfra setek tej liczby:

Suma cyfr dziesiątek i jedności:

Ile jest takich liczb łącznie?

c) Różnocyfrowa liczba czterocyfrowa jest podzielna przez 3.

Najmniejsza liczba spełniająca ten warunek:

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 540 na czynniki pierwsze:

$540 : 2 = 270$
$270 : 2 = 135$
$135 : \mathbf{3} = 45$
$45 : 3 = 15$
$\mathbf{25}$ (bo $75 : 3 = 25$) $: 5 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Pełny rozkład: $900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

Krok 2: Analiza podpunktów:

a) Cyfra dziesiątek to 3, podzielna przez 4:

Liczba trzycyfrowa $XYZ$ kończy się na $3Z$. Aby liczba dzieliła się przez 4, jej dwucyfrowa końcówka $3Z$ musi być podzielna przez 4. Wielokrotności 4 z przedziału [30, 39] to 32 i 36.
- Cyfrą jedności $Z$ może być tylko 2 lub 6.
- Cyfra setek $X$ może być dowolną cyfrą niezerową (od 1 do 9).

b) Liczba trzycyfrowa o różnych cyfrach > 900 podzielna przez 9:

Liczba $XYZ > 900$ musi mieć cyfrę setek $X = \mathbf{9}$.
Aby dzieliła się przez 9, suma jej cyfr $9 + Y + Z$ musi być podzielna przez 9, co oznacza, że suma cyfr dziesiątek i jedności $Y + Z$ musi być równa 9 (suma nie może wynosić 18, ponieważ wymagałoby to $Y=9, Z=9$, a cyfry muszą być różne).
Szukamy par różnych cyfr ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ dających sumę 9:
$\{1, 8\}, \{2, 7\}, \{3, 6\}, \{4, 5\}$.
Każda para daje 2 liczby (np. 918 i 981). Łącznie takich liczb jest $4 \cdot 2 = \mathbf{8}$.

c) Najmniejsza różnocyfrowa liczba czterocyfrowa podzielna przez 3:

Chcąc zminimalizować liczbę czterocyfrową $XYZW$, ustawiamy na najwyższych pozycjach najmniejsze cyfry:
- Tysiące: $X = 1$ (najmniejsza możliwa niezerowa).
- Setki: $Y = 0$ (najmniejsza możliwa różna od 1).
- Dziesiątki: $Z = 2$ (najmniejsza możliwa różna od 0 i 1).
Mamy na razie liczbę $102W$. Suma cyfr wynosi $1 + 0 + 2 + W = 3 + W$.
Aby liczba dzieliła się przez 3, suma $3 + W$ musi być wielokrotnością 3. Zatem $W \in \{0, 3, 6, 9\}$.
- $W=0$ odpada (cyfry muszą być różne, a 0 już użyliśmy).
- Najmniejszą pozostałą poprawną cyfrą jest $W = \mathbf{3}$.
Zatem szukaną najmniejszą liczbą jest 1023 (jej cyfry są różne, a suma wynosi $1+0+2+3=6$, co dzieli się przez 3).

Zadanie 14

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 210 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie, opierając się na teoretycznych regułach wyznaczania dzielników, oblicz, ile jest dzielników naturalnych dla liczb od a) do f). Wpisz wartości i kliknij „Sprawdź”.

Liczba dzielników naturalnych

Jeżeli rozkład liczby $N$ na czynniki pierwsze ma postać:

$N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$

to liczba wszystkich różnych dzielników naturalnych tej liczby wynosi:

$d(N) = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$

Mówiąc prościej, zwiększamy wykładnik potęgi każdego czynnika pierwszego o 1, a następnie mnożymy te wartości przez siebie.

Dopełnij rozkład liczby 210:

210	2
105
	5
7
1

a) $11 \cdot 17$

b) $73 \cdot 103$

c) $7 \cdot 13 \cdot 19$

d) $71 \cdot 73 \cdot 79$

e) $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 210 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$210 : 2 = 105$
$105 : \mathbf{3} = 35$
$\mathbf{35} : 5 = 7$
$7 : \mathbf{7} = 1$.
Stąd: $210 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$.

Krok 2: Wyznaczenie liczby dzielników metodą wykładników:

a) $11 \cdot 17 = 11^1 \cdot 17^1$ (obie to liczby pierwsze):
Wykładniki to $1$ i $1$.
Liczba dzielników: $(1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 = \mathbf{4}$.
(Dzielniki to: 1, 11, 17, 187).
b) $73 \cdot 103 = 73^1 \cdot 103^1$ (obie to liczby pierwsze):
Wykładniki to $1$ i $1$.
Liczba dzielników: $(1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 = \mathbf{4}$.
(Dzielniki to: 1, 73, 103, 7519).
c) $7 \cdot 13 \cdot 19 = 7^1 \cdot 13^1 \cdot 19^1$ (trzy liczby pierwsze):
Wykładniki to $1$, $1$ i $1$.
Liczba dzielników: $(1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{8}$.
d) $71 \cdot 73 \cdot 79 = 71^1 \cdot 73^1 \cdot 79^1$ (trzy liczby pierwsze):
Wykładniki to $1$, $1$ i $1$.
Liczba dzielników: $(1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{8}$.
e) $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$ (cztery liczby pierwsze):
Wykładniki to $1$, $1$, $1$ i $1$.
Liczba dzielników: $(1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{16}$.

Zadanie 15

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 104 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie, korzystając ze wzorów na potęgi czynników pierwszych, oblicz liczbę dzielników naturalnych dla każdego z podpunktów od a) do d). Wpisz wyniki i kliknij „Sprawdź”.

Liczba dzielników a potęgi

Zasada wyznaczania liczby dzielników naturalnych dla zapisu potęgowego rozkładu:

$N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$

Liczba wszystkich dzielników naturalnych wynosi:

$d(N) = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$

Gdy czynnik pierwszy występuje bez potęgi (np. $11$), jego domyślny wykładnik to $1$ (bo $11 = 11^1$), więc dodajemy do niego 1 i otrzymujemy czynnik mnożenia równy $1+1 = 2$.

Dopełnij rozkład liczby 104:

104	2
52
	2
13
1

a) $7^2$

b) $5^2 \cdot 11$

c) $2^3 \cdot 13$

d) $13^2 \cdot 17^2$

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 104 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$104 : 2 = 52$
$52 : \mathbf{2} = 26$
$\mathbf{26} : 2 = 13$
$13 : \mathbf{13} = 1$.
Stąd: $104 = 2^3 \cdot 13^1$.

Krok 2: Wyznaczenie liczby dzielników z potęg:

a) $7^2$:
Wykładnik wynosi $2$.
Liczba dzielników: $(2 + 1) = \mathbf{3}$.
(Dzielniki to: 1, 7, 49).
b) $5^2 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11^1$:
Wykładniki to $2$ (dla 5) i $1$ (dla 11).
Liczba dzielników: $(2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = \mathbf{6}$.
(Dzielniki to: 1, 5, 11, 25, 55, 275).
c) $2^3 \cdot 13 = 2^3 \cdot 13^1$:
Wykładniki to $3$ (dla 2) i $1$ (dla 13).
Liczba dzielników: $(3 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 2 = \mathbf{8}$.
(Dzielniki to: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104).
d) $13^2 \cdot 17^2$:
Wykładniki to $2$ (dla 13) i $2$ (dla 17).
Liczba dzielników: $(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 3 \cdot 3 = \mathbf{9}$.
(Dzielniki to: 1, 13, 17, 169, 221, 289, 2873, 3757, 48841).

Zadanie 16

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 720 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie, bez wykonywania pełnego dzielenia pisemnego, wyznacz resztę z dzielenia liczby 730 049 przez podane liczby od a) do f). Wpisz wartości i kliknij „Sprawdź”.

Obliczanie reszty z dzielenia

Resztę z dzielenia liczby przez dzielnik możemy łatwo wyznaczyć na podstawie cech podzielności:

Przez 2, 5, 10: Reszta jest równa reszcie z dzielenia ostatniej cyfry badanej liczby przez dany dzielnik (np. dla dzielnika 10 resztą jest po prostu ostatnia cyfra).
Przez 4: Reszta jest równa reszcie z dzielenia liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry przez 4.
Przez 3, 9: Reszta jest równa reszcie z dzielenia sumy cyfr badanej liczby przez 3 lub 9.

Dopełnij rozkład liczby 720:

720	2
360	2
180
90	2
	3
15	3
5
1

a) reszta z dzielenia przez 2

b) reszta z dzielenia przez 3

c) reszta z dzielenia przez 4

d) reszta z dzielenia przez 5

e) reszta z dzielenia przez 9

f) reszta z dzielenia przez 10

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 720 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$720 : 2 = 360$
$360 : 2 = 180$
$180 : \mathbf{2} = 90$
$90 : 2 = 45$
$\mathbf{45} : 3 = 15$
$15 : 3 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Stąd: $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Krok 2: Wyznaczenie reszt z dzielenia liczby 730 049:

a) Reszta z dzielenia przez 2:
Liczba kończy się nieparzystą cyfrą 9.
Mamy: $9 : 2 = 4 \text{ reszta } \mathbf{1}$.
b) Reszta z dzielenia przez 3:
Suma cyfr liczby wynosi: $7 + 3 + 0 + 0 + 4 + 9 = 23$.
Mamy: $23 : 3 = 7 \text{ reszta } \mathbf{2}$.
c) Reszta z dzielenia przez 4:
Dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 49.
Mamy: $49 : 4 = 12 \text{ reszta } \mathbf{1}$.
d) Reszta z dzielenia przez 5:
Ostatnia cyfra to 9.
Mamy: $9 : 5 = 1 \text{ reszta } \mathbf{4}$.
e) Reszta z dzielenia przez 9:
Suma cyfr liczby wynosi 23.
Mamy: $23 : 9 = 2 \text{ reszta } \mathbf{5}$.
f) Reszta z dzielenia przez 10:
Resztą jest po prostu cyfra jedności tej liczby, czyli 9.
Mamy: $730\,049 = 730\,04 \cdot 10 + \mathbf{9}$.

Zadanie 17

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 390 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie rozwiąż logiczne łamigłówki liczbowe od a) do c) i podaj po jednym przykładowym dzielniku spełniającym warunek. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Zależność dzielnika i reszty

Jeżeli dzielimy liczbę $a$ przez liczbę $x$ i otrzymujemy iloraz $q$ oraz resztę $r$, zapisujemy to równaniem:

$a = q \cdot x + r$

Przekształcając, otrzymujemy:

$q \cdot x = a - r$

Oznacza to, że szukany dzielnik $x$ musi być dzielnikiem liczby $(a - r)$.
Dodatkowo, kluczowym warunkiem jest to, że dzielnik musi być ściśle większy od reszty ($x > r$).

Dopełnij rozkład liczby 390:

390	2
195
	5
13
1

a) Przez jaką liczbę należy podzielić 18, żeby otrzymać resztę 3?

b) Przez jaką liczbę należy podzielić 14, żeby otrzymać resztę 2?

c) Przez jaką liczbę należy podzielić 39, żeby otrzymać resztę 4?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 390 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$390 : 2 = 195$
$195 : \mathbf{3} = 65$
$\mathbf{65} : 5 = 13$
$13 : \mathbf{13} = 1$.
Stąd: $390 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1$.

Krok 2: Rozwiązanie łamigłówek z resztą:

a) Podzielić 18, aby otrzymać resztę 3:
Szukamy dzielnika $x$ większego od reszty ($x > 3$), który dzieli bez reszty liczbę $18 - 3 = 15$.
Dzielniki naturalne liczby 15 to: 1, 3, 5, 15.
Ponieważ $x > 3$, jedynymi poprawnymi rozwiązaniami są: 5 lub 15.
(Sprawdzenie: $18 : 5 = 3 \text{ r } 3$ lub $18 : 15 = 1 \text{ r } 3$).
b) Podzielić 14, aby otrzymać resztę 2:
Szukamy dzielnika $x$ większego od reszty ($x > 2$), który dzieli bez reszty liczbę $14 - 2 = 12$.
Dzielniki naturalne liczby 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ponieważ $x > 2$, poprawnymi rozwiązaniami są: 3, 4, 6 lub 12.
(Sprawdzenie np.: $14 : 4 = 3 \text{ r } 2$).
c) Podzielić 39, aby otrzymać resztę 4:
Szukamy dzielnika $x$ większego od reszty ($x > 4$), który dzieli bez reszty liczbę $39 - 4 = 35$.
Dzielniki naturalne liczby 35 to: 1, 5, 7, 35.
Ponieważ $x > 4$, poprawnymi rozwiązaniami są: 5, 7 lub 35.
(Sprawdzenie np.: $39 : 7 = 5 \text{ r } 4$).

Zadanie 18

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 120 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie, wykorzystując matematyczne własności NWW (najmniejszej wspólnej wielokrotności), rozwiąż zadania od a) do d) i wpisz właściwe liczby naturalne w pola tekstowe. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Zastosowanie NWW w zadaniach z resztą

Zadania te sprowadzają się do własności wielokrotności:

Podzielna przez kilka liczb (a): Szukamy po prostu najmniejszej wspólnej wielokrotności: $x = \text{NWW}(a, b, c)$.
Taka sama reszta (b, c): Liczba, która przy dzieleniu przez kilka liczb daje taką samą resztę $r$, ma postać: $x = \text{NWW}(a, b, c) \cdot k + r$ (dla najmniejszej naturalnej dodatniej zwykle $k=0$ lub $k=1$).
Reszty mniejsze o stałą wartość (d): Gdy w każdym przypadku różnica między dzielnikiem a resztą jest stała i wynosi $s$, szukana liczba ma postać: $x = \text{NWW}(a, b, c) \cdot k - s$.

Dopełnij rozkład liczby 120:

120	2
60	2
30
	3
5
1

a) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna podzielna przez 3, 4 i 6:

b) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która podzielona przez 3, 4 i 6 daje taką samą resztę równą 2:

c) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która podzielona przez 2, 4, 5, 8 i 10 daje taką samą resztę równą 1:

d) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która podzielona przez 2 daje resztę 1, podzielona przez 3 daje resztę 2, a podzielona przez 4 daje resztę 3:

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 120 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$120 : 2 = 60$
$60 : 2 = 30$
$30 : \mathbf{2} = 15$
$\mathbf{15} : 3 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Stąd: $120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

Krok 2: Rozwiązanie zadań:

a) Podzielna przez 3, 4 i 6:
Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych trzech liczb:
$\text{NWW}(3, 4, 6) = \mathbf{12}$.
b) Podzielona przez 3, 4 i 6 daje resztę 2:
Liczba ta musi mieć postać: $x = \text{NWW}(3, 4, 6) \cdot k + 2 = 12k + 2$.
- Jeśli założymy $k = 0$, otrzymujemy $x = \mathbf{2}$ (jest to najmniejsza matematycznie liczba naturalna spełniająca warunek).
- Jeśli szukamy liczby większej od dzielników (standardowe oczekiwanie szkolne, $k = 1$), otrzymujemy $x = 12 \cdot 1 + 2 = \mathbf{14}$.
(Zarówno 2, jak i 14 są akceptowane przez system).
c) Podzielona przez 2, 4, 5, 8 i 10 daje resztę 1:
Najpierw wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność dzielników:
$\text{NWW}(2, 4, 5, 8, 10) = \mathbf{40}$.
Szukana liczba ma postać: $x = 40k + 1$.
- Dla $k = 0$ mamy $x = \mathbf{1}$.
- Dla $k = 1$ mamy $x = 40 \cdot 1 + 1 = \mathbf{41}$.
(Obie odpowiedzi 1 i 41 są poprawne).
d) Reszta mniejsza o 1 od dzielnika (przez 2 r 1, przez 3 r 2, przez 4 r 3):
Zauważmy ciekawą zależność: w każdym przypadku do pełnego podzielenia bez reszty brakuje dokładnie jedności ($2-1 = 1$, $3-2 = 1$, $4-3 = 1$).
Oznacza to, że gdybyśmy do szukanej liczby $x$ dodali $1$, powstała liczba $x + 1$ byłaby podzielna bez reszty przez 2, 3 i 4.
Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności dla 2, 3, 4:
$\text{NWW}(2, 3, 4) = \mathbf{12}$.
Zatem: $x + 1 = 12 \implies x = 12 - 1 = \mathbf{11}$.
(Sprawdzenie: $11 : 2 = 5 \text{ r } 1$, $11 : 3 = 3 \text{ r } 2$, $11 : 4 = 2 \text{ r } 3$).

Zadanie 19

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 130 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie, opierając się na matematycznych własnościach NWW (najmniejszej wspólnej wielokrotności), rozwiąż zadania od a) do c) i wpisz właściwe liczby naturalne w pola tekstowe. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Wspólna wielokrotność z resztą

Zasada wyznaczania najmniejszych liczb naturalnych dających określoną resztę:

Podzielna przez $a$ i $b$: Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności: $x = \text{NWW}(a, b)$. Ponieważ liczby $5$ i $13$ oraz $5$ i $7$ są względnie pierwsze, ich NWW to po prostu ich iloczyn.
Zostawiająca resztę $r$: Liczba taka ma postać $x = \text{NWW}(a, b) \cdot k + r$ (gdzie dzielniki muszą być większe od reszty).
- Najmniejszą matematycznie dodatnią liczbą spełniającą ten warunek jest samo $x = r$ (dla $k = 0$).
- Najmniejszą liczbą większą od dzielników (oczekiwanie programowe) jest $x = \text{NWW}(a, b) + r$ (dla $k = 1$).

Dopełnij rozkład liczby 130:

130	2
	5
13
1

a) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna podzielna przez 5 i 13:

b) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 5 i 13 daje resztę 4:

c) Najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 7 i 5 daje resztę 3:

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 130 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$130 : 2 = 65$
$\mathbf{65} : 5 = 13$
$13 : \mathbf{13} = 1$.
Stąd: $130 = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1$.

Krok 2: Rozwiązanie zadań:

a) Podzielna przez 5 i 13:
Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych dwóch liczb pierwszych:
$\text{NWW}(5, 13) = 5 \cdot 13 = \mathbf{65}$.
b) Przy dzieleniu przez 5 i 13 daje resztę 4:
Liczba ta musi mieć ogólną postać: $x = \text{NWW}(5, 13) \cdot k + 4 = 65k + 4$.
- Dla $k = 0$ otrzymujemy najmniejszą matematycznie liczbę $x = \mathbf{4}$ (gdyż $4 : 5 = 0 \text{ r } 4$ oraz $4 : 13 = 0 \text{ r } 4$).
- Dla $k = 1$ (szukając liczby większej od dzielników) otrzymujemy $x = 65 \cdot 1 + 4 = \mathbf{69}$.
(Obie odpowiedzi, czyli 4 oraz 69, są akceptowane przez system).
c) Przy dzieleniu przez 7 i 5 daje resztę 3:
Najpierw wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność dzielników:
$\text{NWW}(7, 5) = 7 \cdot 5 = \mathbf{35}$.
Liczba ta ma postać: $x = 35k + 3$.
- Dla $k = 0$ otrzymujemy $x = \mathbf{3}$.
- Dla $k = 1$ (liczba większa od dzielników) otrzymujemy $x = 35 \cdot 1 + 3 = \mathbf{38}$.
(System akceptuje zarówno 3, jak i 38).

Zadanie 20

Instrukcja:
Przeanalizuj treść łamigłówki matematycznej. Rozwiąż układ równań związany z dzieleniem z resztą, aby znaleźć wartość niewiadomej $a$ oraz szukaną liczbę. Na koniec uzupełnij puste pola (w tym rozkład szukanej liczby na czynniki pierwsze w lewej kolumnie) i kliknij przycisk „Sprawdź”.

Zapis algebraiczny dzielenia

Zależność $x : b = q \text{ reszta } r$ zapisujemy algebraicznie jako równanie:

$x = b \cdot q + r$

gdzie zachodzi fundamentalny warunek dla reszty:

$r < b$

Zapisując obydwa zdania z treści zadania w postaci równań, otrzymamy prosty układ równań z dwoma niewiadomymi ($x$ oraz $a$).

Dopełnij rozkład szukanej liczby (155):

155	5
31
1

a) Podaj wartość niewiadomej $a$:

b) Jaka to szukana liczba?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Zapisanie układu równań:

Niech szukaną liczbą będzie $x$. Zapisujemy dwa podane warunki dzielenia z resztą:

Dzielenie przez 12 daje iloraz $a$ i resztę 11:
$x = 12 \cdot a + 11$ (przy czym reszta $11 < 12$, co się zgadza).
Dzielenie przez 13 daje iloraz 11 i resztę $a$:
$x = 13 \cdot 11 + a$ (przy czym reszta $a < 13$).

Krok 2: Wyznaczenie niewiadomej $a$:

Ponieważ oba równania opisują tę samą liczbę $x$, możemy je do siebie porównać:

$12 \cdot a + 11 = 13 \cdot 11 + a$
$12 \cdot a + 11 = 143 + a$
$12 \cdot a - a = 143 - 11$
$11 \cdot a = 132$
$a = 132 : 11$
$a = \mathbf{12}$.

Sprawdzamy warunek dla reszty: $a < 13 \implies 12 < 13$ (warunek jest spełniony!).

Krok 3: Obliczenie szukanej liczby $x$:

Podstawiamy wartość $a = 12$ do dowolnego z początkowych równań:

$x = 12 \cdot 12 + 11 = 144 + 11 = \mathbf{155}$.

(Sprawdzenie z drugim równaniem: $x = 13 \cdot 11 + 12 = 143 + 12 = 155$).

Krok 4: Rozkład szukanej liczby 155 na czynniki pierwsze:

$155 : 5 = 31$
$31 : \mathbf{31} = 1$ (ponieważ 31 jest liczbą pierwszą).
Stąd: $155 = 5^1 \cdot 31^1$.

Zadanie 21

Instrukcja:
Rozłóż liczbę 60 na czynniki pierwsze, uzupełniając puste pola tabeli (lewa kolumna - podpunkt a). Następnie wybierz wszystkie właściwe dzielniki w podpunkcie b) oraz uzupełnij pary liczb w podpunkcie c). Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Związek między NWD i NWW

Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych dodatnich $x$ i $y$ zachodzi fundamentalna zależność:

$x \cdot y = \text{NWD}(x, y) \cdot \text{NWW}(x, y)$

Ponadto:

Zarówno $x$, jak i $y$ muszą być podzielne przez $\text{NWD}(x, y)$.
Zarówno $x$, jak i $y$ muszą dzielić bez reszty $\text{NWW}(x, y)$.

a) Rozkład liczby 60 na czynniki pierwsze:

60	2
30
	3
5
1

b) Zaznacz wszystkie dzielniki liczby 60 podzielne przez 6:

c) Podaj pary liczb, których NWD wynosi 6, a NWW wynosi 60:

Para I: oraz

Para II: oraz

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

a) Rozkład liczby 60 na czynniki pierwsze:

$60 : 2 = 30$
$30 : \mathbf{2} = 15$
$\mathbf{15} : 3 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Stąd: $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

b) Wszystkie dzielniki liczby 60 podzielne przez 6:

Dzielnikami liczby 60 są: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Z tego zbioru wybieramy wielokrotności liczby 6:
- $6 = 6 \cdot 1$ (TAK)
- $12 = 6 \cdot 2$ (TAK)
- $30 = 6 \cdot 5$ (TAK)
- $60 = 6 \cdot 10$ (TAK).
Są to dokładnie: 6, 12, 30, 60.

c) Pary liczb o $\text{NWD} = 6$ i $\text{NWW} = 60$:

Niech szukanymi liczbami będą $x$ i $y$. Korzystamy z własności:
$x \cdot y = \text{NWD}(x,y) \cdot \text{NWW}(x,y) = 6 \cdot 60 = 360$.

Zarówno $x$, jak i $y$ muszą być podzielne przez 6 oraz dzielić bez reszty 60. Należą zatem do zbioru dzielników wyznaczonych w podpunkcie b: $\{6, 12, 30, 60\}$.
Możemy zapisać: $x = 6a$ oraz $y = 6b$, przy czym czynniki $a$ i $b$ muszą być względnie pierwsze ($\text{NWD}(a,b) = 1$).

Podstawiając do wzoru na iloczyn:
$6a \cdot 6b = 360 \implies 36 \cdot a \cdot b = 360 \implies a \cdot b = 10$.

Szukamy par względnie pierwszych liczb naturalnych dających iloczyn 10:

$\{a, b\} = \{1, 10\}$ (są względnie pierwsze).
Otrzymujemy parę liczb: $x = 6 \cdot 1 = \mathbf{6}$ oraz $y = 6 \cdot 10 = \mathbf{60}$.
$\{a, b\} = \{2, 5\}$ (są względnie pierwsze).
Otrzymujemy parę liczb: $x = 6 \cdot 2 = \mathbf{12}$ oraz $y = 6 \cdot 5 = \mathbf{30}$.

Jedynymi poszukiwanymi parami są: (6, 60) oraz (12, 30).

Zadanie 22

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 1000 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie rozstrzygnij — bez wykonywania pełnych obliczeń pisemnych — czy suma $3 \cdot 10 + 5 \cdot 10^7 + 10^9 + 9 \cdot 10^{20}$ jest podzielna przez podane liczby od a) do f). Wybierz TAK lub NIE i kliknij przycisk „Sprawdź”.

Analiza sumy potęg dziesiątki

Zapis sumy w postaci $a \cdot 10^n$ bezpośrednio odpowiada pozycji cyfry w układzie dziesiętnym:

Suma $S = 3 \cdot 10 + 5 \cdot 10^7 + 10^9 + 9 \cdot 10^{20}$ zapisana pozycyjnie składa się z cyfr: jednej 9, jednej 1, jednej 5, jednej 3 oraz samych zer.
Suma jej cyfr to po prostu suma jej współczynników niezerowych: $9 + 1 + 5 + 3 = \mathbf{18}$.
Końcówką dwucyfrową tej liczby jest $30$ (najniższa potęga to $3 \cdot 10 = 30$).

Dopełnij rozkład liczby 1000:

1000	2
500	2
250
	5
25	5
5
1

a) podzielna przez 2?

b) podzielna przez 3?

c) podzielna przez 4?

d) podzielna przez 5?

e) podzielna przez 9?

f) podzielna przez 10?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 1000 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$1000 : 2 = 500$
$500 : 2 = 250$
$250 : \mathbf{2} = 125$
$\mathbf{125} : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Stąd: $1000 = 2^3 \cdot 5^3$.

Krok 2: Analiza podzielności sumy $S$:

Zapisując sumę pozycyjnie, każda potęga liczby 10 tworzy cyfrę w innym rzędzie wielkości:
- $3 \cdot 10 = 30$ (cyfra dziesiątek to 3, jedności to 0)
- $5 \cdot 10^7$ (cyfra na rzędzie $10^7$ to 5)
- $10^9$ (cyfra na rzędzie $10^9$ to 1)
- $9 \cdot 10^{20}$ (cyfra na rzędzie $10^{20}$ to 9).
Suma $S = 900\,000\,001\,050\,000\,030$.

a) Podzielność przez 2:
Liczba kończy się cyfrą 0 (parzysta). Jest podzielna.
Wynik: TAK.
b) Podzielność przez 3:
Suma cyfr wynosi $9 + 1 + 5 + 3 = 18$. Liczba 18 jest podzielna przez 3.
Wynik: TAK.
c) Podzielność przez 4:
Ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę 30. Liczba 30 nie jest podzielna przez 4.
Wynik: NIE.
d) Podzielność przez 5:
Liczba kończy się cyfrą 0. Jest podzielna.
Wynik: TAK.
e) Podzielność przez 9:
Suma cyfr wynosi 18. Liczba 18 jest podzielna przez 9.
Wynik: TAK.
f) Podzielność przez 10:
Liczba kończy się cyfrą 0. Jest podzielna.
Wynik: TAK.

Zadanie 23

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 1500 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie sformułuj poprawne logicznie i matematycznie wyjaśnienia podzielności w podpunktach od a) do c), uzupełniając brakujące słowa i liczby. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Podzielność potęg dziesiątki

Wykładnik potęgi liczby 10 bezpośrednio wskazuje na liczbę zer stojących na końcu zapisu:

Liczba $10^n$ ma postać $100\dots0$ (jedynka i $n$ zer).
Suma jej cyfr wynosi zawsze dokładnie $1$.
Różnica $10^n - 1$ ma postać $99\dots9$ (dokładnie $n$ dziewiątek). Suma jej cyfr wynosi $9n$, więc jest zawsze podzielna przez 9.
Suma $10^n + k$ (gdzie $0 \le k < 10$) ma postać $100\dots0k$. Suma jej cyfr wynosi $1 + k$, a jej ostatnią cyfrą jest $k$.

Dopełnij rozkład liczby 1500:

1500	2
750	2
375
	5
25	5
5
1

a) Dlaczego suma $10^{99} + 9$ nie dzieli się przez 9?

Suma cyfr liczby $10^{99} + 9$ wynosi dokładnie . Ponieważ ta suma przez 9, cała liczba nie dzieli się przez 9.

b) Dlaczego różnica $10^{100} - 1$ dzieli się przez 9?

Różnica ta po rozpisaniu składa się wyłącznie z cyfr , a dokładnie zawiera ich aż . Suma jej cyfr jest więc wielokrotnością 9, stąd cała liczba dzieli się przez 9.

c) Dlaczego suma $10^{15} + 5$ dzieli się przez 15?

Liczba $10^{15} + 5$ kończy się cyfrą , co oznacza, że dzieli się przez 5. Suma jej cyfr wynosi z kolei , co oznacza, że dzieli się przez 3. Ponieważ dzieli się jednocześnie przez 3 i przez 5, dzieli się przez 15.

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 1500 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$1500 : 2 = 750$
$750 : 2 = 375$
$375 : \mathbf{3} = 125$
$\mathbf{125} : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Stąd: $1500 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^3$.

Krok 2: Pełne logiczne wyjaśnienie zadań:

a) Dlaczego $10^{99} + 9$ nie jest podzielna przez 9?
Liczba $10^{99}$ to $1$ i $99$ zer. Po dodaniu $9$ otrzymujemy liczbę $100\dots09$.
Suma jej cyfr wynosi: $1 + 0 + \dots + 0 + 9 = \mathbf{10}$.
Ponieważ $10$ nie dzieli się bez reszty przez 9, cała liczba również nie jest podzielna przez 9.
b) Dlaczego $10^{100} - 1$ jest podzielna przez 9?
Liczba $10^{100}$ to $1$ i $100$ zer (liczba 101-cyfrowa). Odejmując od niej jedynkę, otrzymujemy liczbę składającą się wyłącznie z samych cyfr 9.
Liczba ta ma dokładnie 100 cyfr, czyli ma postać $\underbrace{99\dots9}_{100}$.
Suma jej cyfr wynosi $100 \cdot 9 = 900$, co oczywiście dzieli się przez 9.
c) Dlaczego $10^{15} + 5$ jest podzielna przez 15?
Aby liczba dzieliła się przez $15$, musi być podzielna jednocześnie przez $3$ i przez $5$ (ponieważ $15 = 3 \cdot 5$, a 3 i 5 są względnie pierwsze).
- Podzielność przez 5: Liczba $10^{15} + 5$ kończy się cyfrą 5, więc jest podzielna przez 5.
- Podzielność przez 3: Suma jej cyfr wynosi $1 + 0 + \dots + 0 + 5 = \mathbf{6}$. Liczba 6 dzieli się przez 3, więc cała liczba jest podzielna przez 3.
Ponieważ dzieli się przez 3 i 5, dzieli się przez 15.

Zadanie 24

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 1080 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie rozwiąż matematyczne łamigłówki od a) do d), wpisując najmniejsze poprawne liczby spełniające kryteria. Spacje w zapisie liczb są automatycznie ignorowane. Na koniec kliknij „Sprawdź”.

Podzielność liczb o takich samych cyfrach

W zadaniach tych szukamy liczby o powtarzającej się cyfrze $D$ mającej postać $\underbrace{DD\dotsD}_{n}$:

Podzielna przez 9 (a, c): Suma cyfr wynosi $n \cdot D$ i musi dzielić się przez 9.
Podzielna przez 15 (b): Musi dzielić się przez 3 (suma cyfr $5 \cdot n$ podzielna przez 3) i przez 5 (spełnione zawsze, bo ostatnia cyfra to 5).
Podzielna przez 36 (c): Musi dzielić się przez 4 (dwie ostatnie cyfry to 44, co dzieli się przez 4 - zawsze spełnione) i przez 9 (suma cyfr $4n$ podzielna przez 9).
Podzielna przez 27 (d): Zapisujemy jako $3 \cdot \underbrace{11\dots1}_{n}$. Dzieli się przez 27, jeśli repunit $\underbrace{11\dots1}_{n}$ dzieli się przez 9 (czyli suma jego cyfr $n$ dzieli się przez 9).

Dopełnij rozkład liczby 1080:

1080	2
540	2
270
	3
45	3
15	3
5
1

a) Wszystkie cyfry są jedynkami. Najmniejsza taka liczba podzielna przez 9:

Liczba:

b) Wszystkie cyfry są piątkami. Najmniejsza taka liczba podzielna przez 15:

Liczba:

c) Wszystkie cyfry są czwórkami. Najmniejsza taka liczba podzielna przez 36:

Liczba:

d) Wszystkie cyfry są trójkami. Najmniejsza taka liczba podzielna przez 27:

Liczba:

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 1080 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$1080 : 2 = 540$
$540 : 2 = 270$
$270 : \mathbf{2} = 135$
$\mathbf{135} : 3 = 45$
$45 : 3 = 15$
$15 : 3 = 5$
$5 : \mathbf{5} = 1$.
Stąd: $1080 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1$.

Krok 2: Rozwiązanie łamigłówek:

a) Wszystkie cyfry są jedynkami ($11\dots1$), podzielna przez 9:
Liczba dzieli się przez 9, gdy suma jej cyfr jest wielokrotnością 9.
Suma dla $n$ jedynek wynosi $n \cdot 1 = n$. Najmniejsze $n$ podzielne przez 9 to $9$.
Szukana liczba składa się z dziewięciu jedynek: 111 111 111.
b) Wszystkie cyfry są piątkami ($55\dots5$), podzielna przez 15:
Liczba dzieli się przez 15, gdy dzieli się przez 3 i przez 5.
- Przez 5: Każda liczba $55\dots5$ kończy się cyfrą 5, więc dzieli się przez 5 zawsze.
- Przez 3: Suma cyfr $n \cdot 5$ musi być podzielna przez 3. Najmniejsze $n$, dla którego $5n$ dzieli się przez 3, to $3$.
Szukana liczba składa się z trzech piątek: 555.
c) Wszystkie cyfry są czwórkami ($44\dots4$), podzielna przez 36:
Liczba dzieli się przez 36, gdy dzieli się przez 4 i przez 9.
- Przez 4: Końcówka dwucyfrowa to zawsze 44 (dla $n \ge 2$). Liczba 44 dzieli się przez 4, więc warunek jest zawsze spełniony.
- Przez 9: Suma cyfr $n \cdot 4$ musi być podzielna przez 9. Najmniejsze $n$, dla którego $4n$ dzieli się przez 9, to $9$.
Szukana liczba składa się z dziewięciu czwórek: 444 444 444.
d) Wszystkie cyfry są trójkami ($33\dots3$), podzielna przez 27:
Zapiszmy liczbę jako iloczyn: $\underbrace{33\dots3}_{n} = 3 \cdot \underbrace{11\dots1}_{n}$.
Aby ten iloczyn dzielił się przez 27, repunit $\underbrace{11\dots1}_{n}$ musi dzielić się przez $27 : 3 = \mathbf{9}$.
Liczba $\underbrace{11\dots1}_{n}$ dzieli się przez 9, gdy suma jej cyfr ($n \cdot 1 = n$) dzieli się przez 9. Najmniejsze $n$ wynosi 9.
Szukana liczba składa się z dziewięciu trójek: 333 333 333.

Zadanie 25

Instrukcja:
Uzupełnij puste pola w rozkładzie liczby 250 na czynniki pierwsze (lewa kolumna). Następnie rozstrzygnij logicznie, czy podane liczby nieparzyste można zapisać jako sumę dwóch liczb pierwszych. Wybierz TAK lub NIE i kliknij „Sprawdź”.

Suma liczb pierwszych

Rozpatrując sumę dwóch liczb pierwszych $x + y = N$ dla liczby nieparzystej $N$, korzystamy z własności parzystości:

Suma dwóch liczb całkowitych jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta.
Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2.
Z tego wynika, że jedynym możliwym rozkładem liczby nieparzystej $N$ na sumę dwóch liczb pierwszych jest:
$N = 2 + p$
gdzie $p$ musi być nieparzystą liczbą pierwszą.
Zatem liczba nieparzysta $N$ jest sumą dwóch liczb pierwszych wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $N - 2$ jest liczbą pierwszą.

Dopełnij rozkład liczby 250:

250	2
	5
25
5	5
1

a) Czy liczbę 25 można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych?

b) Czy liczbę 125 można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych?

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Rozkład liczby 250 na czynniki pierwsze:

Wykonujemy dzielenia przez liczby pierwsze:
$250 : 2 = 125$
$\mathbf{125} : 5 = 25$
$25 : \mathbf{5} = 5$
$5 : 5 = 1$.
Stąd: $250 = 2^1 \cdot 5^3$.

Krok 2: Analiza logiczna pytań o sumy:

Zarówno 25, jak i 125 są liczbami nieparzystymi. Suma dwóch liczb pierwszych daje wynik nieparzysty tylko wtedy, gdy jednym ze składników jest jedyna parzysta liczba pierwsza, czyli 2.

a) Czy liczbę 25 można przedstawić jako sumę dwóch pierwszych?
Zakładamy składnik równy 2. Wtedy:
$25 = 2 + p \implies p = 25 - 2 = 23$.
Liczba 23 jest liczbą pierwszą.
Zatem: TAK, można przedstawić ($25 = 2 + 23$).
b) Czy liczbę 125 można przedstawić jako sumę dwóch pierwszych?
Zakładamy składnik równy 2. Wtedy:
$125 = 2 + p \implies p = 125 - 2 = 123$.
Badamy, czy liczba 123 jest pierwsza. Suma jej cyfr wynosi $1 + 2 + 3 = 6$, co oznacza, że 123 dzieli się bez reszty przez 3 ($123 : 3 = 41$). Jest to liczba złożona.
Ponieważ nie ma innego parzystego składnika pierwszego niż 2, liczby 125 nie da się przedstawić w żądanej postaci.
Zatem: NIE.

Zadanie 26

Instrukcja:
Przeanalizuj treść logicznej łamigłówki liczbowej. Zapisz odpowiednie warunki matematyczne w postaci wielokrotności, uzupełnij brakujące pola (w tym rozkład szukanej liczby na czynniki pierwsze w lewej kolumnie) i kliknij przycisk „Sprawdź”.

Podzielność i krotność ilorazów

Jeżeli liczba $x$ podzielona przez liczbę $A$ daje wynik (iloraz) podzielny przez liczbę $k$, to zapisujemy:

$x : A = q \implies x = A \cdot q$

gdzie $q = k \cdot m$ dla pewnej liczby naturalnej $m$.
Podstawiając, otrzymujemy:

$x = A \cdot k \cdot m = (A \cdot k) \cdot m$

Oznacza to, że szukana liczba $x$ musi być wielokrotnością liczby $A \cdot k$.

Dopełnij rozkład szukanej liczby (396):

396	2
198	2
99
	3
11
1

a) Z pierwszego warunku (podzielna przez 22 z ilorazem podzielnym przez 2) wynika, że szukana liczba musi być wielokrotnością liczby:

b) Z drugiego warunku (podzielna przez 33 z ilorazem podzielnym przez 3) wynika, że szukana liczba musi być wielokrotnością liczby:

c) Podaj najmniejszą liczbę spełniającą oba powyższe warunki jednocześnie:

Wyjaśnienie i obliczenia krok po kroku:

Krok 1: Przełożenie treści na wielokrotności:

Niech szukaną najmniejszą liczbą naturalną dodatnią będzie $x$. Analizujemy oba zdania warunkowe:

Warunek I: „podzielona przez 22 daje wynik podzielny przez 2”
Oznacza to, że $x : 22 = 2k$ (gdzie $2k$ to parzysty iloraz).
Przekształcając równanie, otrzymujemy: $x = 22 \cdot 2k = \mathbf{44}k$.
Zatem szukana liczba musi być wielokrotnością liczby 44.
Warunek II: „podzielna przez 33 daje wynik podzielny przez 3”
Oznacza to, że $x : 33 = 3m$ (gdzie $3m$ to iloraz podzielny przez 3).
Przekształcając równanie, otrzymujemy: $x = 33 \cdot 3m = \mathbf{99}m$.
Zatem szukana liczba musi być wielokrotnością liczby 99.

Krok 2: Wyznaczenie najmniejszej wspólnej liczby:

Szukamy najmniejszej liczby naturalnej $x$, która jest jednocześnie wielokrotnością 44 i wielokrotnością 99.
Jest to po prostu ich Najmniejsza Wspólna Wielokrotność, czyli $\text{NWW}(44, 99)$.

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

$44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$
$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$

Obliczamy NWW:

$\text{NWW}(44, 99) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = \mathbf{396}$.

Krok 3: Sprawdzenie poprawności:

$396 : 22 = 18$ (iloraz 18 dzieli się przez 2 - Zgadza się!).
$396 : 33 = 12$ (iloraz 12 dzieli się przez 3 - Zgadza się!).

Krok 4: Rozkład liczby 396 na czynniki pierwsze:

$396 : 2 = 198$
$198 : 2 = 99$
$99 : \mathbf{3} = 33$
$\mathbf{33} : 3 = 11$
$11 : \mathbf{11} = 1$.
Stąd: $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^1$.

Zasadnicze tw. arytmetyki. Dlaczego uczymy się o liczbach pierwszych

Wizualizacja dowodu tożsamości: NWW(a, b) · NWD(a, b) = a · b przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.

Ładowanie kroku...

...

1. Szczegółowy przykład liczbowy (a = 12, b = 15)

Dane początkowe:
a = 12, b = 15

Ujednolicony rozkład na czynniki pierwsze (bazy: 2, 3, 5):
a = 2² · 3¹ · 5⁰ (gdyż 4 · 3 · 1 = 12)
b = 2⁰ · 3¹ · 5¹ (gdyż 1 · 3 · 5 = 15)

Obliczenie NWD (bierzemy minimum z wykładników):
NWD(12, 15) = 2^min(2,0) · 3^min(1,1) · 5^min(0,1)
           = 2⁰ · 3¹ · 5⁰ = 1 · 3 · 1 = 3

Obliczenie NWW (bierzemy maksimum z wykładników):
NWW(12, 15) = 2^max(2,0) · 3^max(1,1) · 5^max(0,1)
           = 2² · 3¹ · 5¹ = 4 · 3 · 5 = 60

Weryfikacja tożsamości NWW(a,b) · NWD(a,b) = a · b:
Liczbowo: NWW(12,15) · NWD(12,15) = 60 · 3 = 180
Liczbowo: a · b = 12 · 15 = 180

Zapis formalny mnożenia potęg:
NWD(12,15) · NWW(12,15) = (2^min(2,0) · 3^min(1,1) · 5^min(0,1)) · (2^max(2,0) · 3^max(1,1) · 5^max(0,1))
                        = 2^{min(2,0)+max(2,0)} · 3^{min(1,1)+max(1,1)} · 5^{min(0,1)+max(0,1)}
                        = 2²⁺⁰ · 3¹⁺¹ · 5⁰⁺¹
                        = 2² · 3² · 5¹
                        = 4 · 9 · 5 = 180 (co odpowiada dokładnie 12 · 15)

2. Zastosowanie wielkich liczb pierwszych w szyfrowaniu bankowym

Zabezpieczanie połączeń SSL/TLS

Podczas logowania do bankowości elektronicznej, Twoja przeglądarka nawiązuje bezpieczne połączenie za pomocą protokołu HTTPS (SSL/TLS). Systemy te wykorzystują asymetryczne algorytmy kryptograficzne, takie jak RSA.

Klucz publiczny służący do szyfrowania danych powstaje poprzez pomnożenie dwóch olbrzymich liczb pierwszych. O ile komputer może pomnożyć je w ułamku sekundy, o tyle odwrócenie tego procesu (faktoryzacja, czyli znalezienie tych dwóch liczb na podstawie ich iloczynu) zajęłoby najpotężniejszym superkomputerom miliardy lat. Dzięki temu Twoje hasła i dane transakcyjne pozostają bezpieczne podczas przesyłu przez sieć.

Największa znana liczba pierwsza

Największe znane liczby pierwsze to tzw. liczby pierwsze Mersenne'a (zapisywane w postaci $2^p - 1$). Ich poszukiwaniem zajmuje się globalny projekt obliczeń rozproszonych GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Aktualnie największa znana liczba pierwsza to $2^{136\,279\,841} - 1$ (ma ponad 41 milionów cyfr w zapisie dziesiętnym). Została odkryta 11 października 2024 roku przez Luke'a Duranta.

Gdzie jest przechowywana?
Pełny plik tekstowy zawierający wszystkie cyfry tej liczby jest oficjalnie rejestrowany i przechowywany na serwerach bazy danych projektu GIMPS na stronie Mersenne.org, a także w prestiżowym rejestrze The Prime Pages prowadzonym przez University of Tennessee at Martin.

8 820	2
4 410	2
2 205
735	3
	5
49	7
7
1